Bài giảng Giải tích 2: Chương 5 - TS. Nguyễn Văn Quang

Bài giảng Giải tích 2: Chương 5 cung cấp cho người học những kiến thức như: Tích phân đường loại 1; Tích phân đường loại 2. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung của bài giảng!

1 Tích phân đường loại Tích phân đường loại TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm Định nghĩa  A2        M2   A1 M1   A0 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN  An Mn   An1    Định nghĩa Xét hàm f  f ( x, y ) xác định đường cong C Chia C cách tùy ý n đường cong nhỏ điểm A0 , A1, , An Độ dài tương ứng L1, L2 , , Ln Trên cung Ai 1 Ai lấy tuỳ ý điểm M i ( xi , yi ) n Lập tổng Riemann: I n   f ( M i )  Li i 1 I  lim I n , không phụ thuộc cách chia C, cách lấy điểm Mi n I   f ( x, y )dl C gọi tích phân đường loại f = f(x,y) cung C 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính chất 1) Hàm f(x,y) liên tục cung C khả tích C 2) L(C )   dl 3)    fdl   fdl C C 4)  ( f  g )dl   fdl   gdl C C C C 5) Tích phân đường loại khơng phụ thuộc chiều lấy tích phân C 6) Nếu C chia làm hai cung C1 C2 rời nhau:  fdl   fdl   fdl C C1 C2 7) ( x, y )  C , f ( x, y )  g ( x, y )   fdl   gdl C C 8) Định lý giá trị trung bình: Nếu f(x,y) liên tục cung trơn C có độ dài L Khi tồn điểm M0 thuộc cung C, cho:  fdl  f ( M )  L C 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Cách tính f  f ( x, y ) xác định đường cong C có phương trình: y  y ( x), a  x  b Chia C cách tùy ý n đường cong nhỏ điểm A0 , A1, , An Độ dài tương ứng L1, L2 , , Ln Li  Ai 1 Ai  ( xi  xi 1 )  ( yi  yi 1 )  (xi )  (yi ) 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Cách tính Theo cơng thức Lagrange (Định lý giá trị trung bình) y(x) đoạn [xi–1, xi], ta tìm giá trị 𝑥𝑖∗ ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] cho: y ( xi )  y ( xi 1 )  y( xi* )  ( xi  xi 1 )  yi  y( xi* )  xi  Li  (xi )  (yi )  (xi )   y( x )  xi  * i 2    y( x )   (xi )    y( x )   xi * i 23-Mar-21 * i TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN (do xi  0) Cách tính Sau thực phép chia đường cong C, đó: Trên cung Ai 1 Ai lấy điểm M i ( xi* , y ( xi* )) n Lập tổng Riemann: I n   f ( M i )  Li i 1 n  f i 1 * * ( xi , y ( xi ))  1 *  y( xi )     xi Do đó: n  * * * I  lim I n  I   f ( x, y )dl  lim   f ( xi , y ( xi ))    y( xi )   xi  n n  i 1 C  b   f ( x, y ( x))    y( x)   dx a 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Cách tính Cung C cho phương trình: y  y ( x ) , a xb b  f ( x, y )dl   f ( x, y ( x))    y( x)   dx C a Tương tự, cung C cho phương trình: x  x( y ) , d c yd  f ( x, y )dl   f ( x( y ), y )    x( y )   dy C 23-Mar-21 c TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Cách tính Cung C cho phương trình tham số: x  x(t ) , y  y (t ) , t1  t  t2 Khi đó:  x(t )   y(t ) y(t ) y( x)  ; dx  x(t )dt ;   y( x)   x(t ) t2  f ( x, y )dl   f ( x(t ), y (t ))  C 23-Mar-21 x(t )  x(t )    y(t )  2  dt t1 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN Cách tính Cung C cho hệ tọa độ cực: r  r ( ) , 1     Khi đó, phương trình tham số cung C: x  r ( ) cos  , y  r ( )sin    x( )    y( )   r ( )   r ( )  2 2  f ( x, y )dl   f  r ( ) cos  , r ( )sin    r ( )   r ( )   d C 23-Mar-21 2 1 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 10 ( x  y )dx  ( x  y )dy Tính I   , C đường trịn: 2 x y C x  y  ngược chiều kim đồng hồ Cách 1: Cung C kín, P, Q ĐHR cấp không liên tục D, không sử dụng công thức Green !!! Viết phương trình tham số cung C:  x  2cos t   y  2sin t t1  0; t2  2 (2cos t  2sin t )  ( 2sin t ) dt  (2cos t  2sin t)  2cos tdt I   2 2 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 41 Cách 2: Tích phân đường trịn: 𝑥 + 𝑦 = 4, nên thay vào mẫu số ta có: ( x  y )dx  ( x  y )dy I C Có thể sử dụng công thức Green trường hợp I   ( x  y )dx  ( x  y )dy 4C   (1  1)dxdy    SD  2 x  y 4 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 42 Ví dụ Tính I   (4  y )dx  xdy , C cung Cicloid: C x  2(t  sin t ), y  2(1  cos t ),0  t  2 (cùng chiều kim đồng hồ) Cung C khơng kín 2 I     2(1  cos t )   2(1  cos t ) dt  2(t  sin t )(2sin t ) dt 2 I   4t sin tdt  8 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 43 Ví dụ Tính I   e  x2  y  cos xydx  sin xydy  , C đường tròn: C x  y  , ngược chiều kim đồng hồ P ( x, y )  e  x2  y cos(2 xy ) ; Q ( x, y )  e  x2  y sin(2 xy ) P  x2  y2  2e  y cos(2 xy)  x sin(2 xy) y Q  x2  y2  2e  y cos(2 xy)  x sin(2 xy) x  Q P  I     dxdy   y  x  y   x 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 44  ydx  xdy Tính I   , C đường cong kín tùy ý, 2 x y C không qua gốc O, ngược chiều kim đồng hồ Trường hợp 1: C không bao quanh gốc O Sử dụng công thức Green y P( x, y)  x  y2 P 1 2y2   2 2 y x  y x y     x Q( x , y )  x  y2 Q 2x2   x x  y x2  y2 23-Mar-21  Q P   I     dxdy   y  D  x TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 45 Trường hợp 2: C bao quanh gốc Không sử dụng cơng thức Green P, Q ĐHR cấp khơng liên tục miền D, có biên C Kẻ thêm đường trịn C1 có bán kính a đủ nhỏ để C1 nằm lọt C, chọn chiều kim đồng hồ I        I1  I C C C1 C1 I1   C C1  Q P   dxdy  =     y  D  x Green Tính tích phân I2 cung tròn: 𝑥 + 𝑦 = 𝑎2 Phương trình tham số cung C1: x  a cos t, y  a sin t, t1  2 , t2  a cos t  a cos t  dt  a sin t  a sin t  dt I2    2 a 2 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN  I  I1  I  2 46 Tích phân khơng phụ thuộc đường lấy tích phân Định lý: (không phát biểu cho miền đa liên) Giả sử tồn miền mở đơn liên D chứa cung AB, cho P(x,y), Q(x,y) ĐHR cấp chúng liên tục D Các mệnh đề sau tương đương: Q P  , ( x , y )  D x y Tích phân I   Pdx  Qdy không phụ thuộc đường cong (trơn khúc) AB nối điểm A, B nằm D Tồn hàm U(x,y) D vi phân toàn phần Pdx + Qdy, tức là: dU ( x, y)  Pdx  Qdy Tích phân đường cong kín C, trơn khúc D 0: I   Pdx  Qdy  C 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 47 Tích phân khơng phụ thuộc đường lấy tích phân  Q P   Tích phân không phụ thuộc đường    x  y   I        I1  I AB AC B CB I1   P ( x, y)dx  Q( x , y )dy x  xB AC xB y A , yB   P ( x , y A )dx  Q( x , y A )  0dx xA A I   P ( x , y )dx  Q( x , y )dy y  yA x A , xB C CB yB   P ( x A , y )  0dy  Q( x B , y )dy yA 23-Mar-21 xB yB xA yA  I   P ( x , y A )dx   Q( x B , y )dy TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 48 (2,3) Tính I   ydx  xdy ( 1,2) Q P   suy ra, tích phân không phụ thuộc đường x y B(2,3) Cách 1: A(1, 2)  1 C I       2dx   2dy  AC CB Cách 2: Tồn hàm U(x,y) vi phân toàn phần Pdx + Qdy U x  P ( x , y ) tìm hàm U ( x , y )  xy  C   U y  Q( x , y ) (2,3) (2,3) I   ydx  xdy  U ( x, y ) ( 1,2)  U (2,3)  U (1, 2)  ( 1,2) 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 49 (6,8) Tính I   xdx  ydy (1,0) x2  y , với đường cong không bao quanh gốc tọa độ Q P  suy ra, tích phân không phụ thuộc đường x y Tồn hàm U(x,y) vi phân toàn phần Pdx + Qdy   U x  P ( x , y )    U   Q( x , y )   y  x x2  y2 y x2  y2 (1) (1)  U ( x , y )   P ( x , y )dx  g( y ) U ( x, y)  (2) x  y  g( y ) (2)  g( y )   g( y )  C  U ( x, y)  x  y  C I (6,8)  U ( x, y ) (1,0) 23-Mar-21  U (6,8)  U (1,0)  TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 50 xdx  ydy Tính I   theo đường cong AB tùy ý từ A(1,0) đến B(2,0): 2 AB x  y a) Không bao quanh gốc tọa độ b) Bao quanh gốc tọa độ a) Q P  , tích phân I khơng phụ thuộc đường từ A đến B x y dx Nên ta tính tích phân theo trục hồnh: I   b) x  ln x  ln Q P  , tích phân I không phụ thuộc đường từ A đến B x y Tuy nhiên I khơng thể tính câu a (theo đường thẳng từ A đến B theo trục hồnh), khơng tồn miền đơn liên D chứa đường thẳng AB đường cong kín bao quanh gốc O P, Q ĐHR cấp liên tục D 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 51 Cách 1: Tính theo đoạn thẳng: AC, CD, DE, EF, FB đó: A(1,0), C(1,1), D(-1,1), E(-1,-1), F(2,-1), B(2,0) Cách 2: Tìm hàm U(x,y) vi phân toàn phần P(x,y)dx+Q(x,y)dy x   U x  P ( x , y )  x  y (1)   y U   Q( x , y )  (2) y 2  x y ln( x  y )  U ( x, y)  C (1)  U ( x , y )   P ( x , y )dx  g( y ) ln( x  y ) U ( x, y)   g( y ) (2)  g( y )   g( y )  C ln  ln1  U (2,0)  U (1,0)   ln 2 Cách 3: Bổ sung thêm đoạn thẳng từ B đến A, đưa vào đường tròn (đủ nhỏ) bao (2,0) I  U ( x, y ) (1,0) quanh gốc O Sử dụng công thức Green miền đa liên 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 52 I   (2 ye xy  e x cos y )dx  (2 xe xy  e x sin y )dy C a) Tìm số  để tích phân I không phụ thuộc đường b) Với  câu a), tính I biết C cung tùy ý nối A (0, ) B (1,0) a) Điều kiện cần để tích phân khơng phụ thuộc đường đi: Q P  x y xy xy x  2e  xye   e xy xy x sin y  2e  xye  e sin y  1 Đây điều kiện đủ với cung C ln tìm miền đơn liên D chứa cung C cho P, Q ĐHR cấp liên tục miền D 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 53 b) Với   ta có tích phân: (1,0) I   (2 ye xy  e x cos y )dx  (2 xe xy  e x sin y )dy (0, )  A(0,  ) x0 Chú ý: tích phân I khơng phụ thuộc đường O I   AO y1   , y2  B(1,0) OB  y0 x I    sin ydy   e dx x1  1, x2  I  e 1 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 54 Tích phân khơng phụ thuộc đường lấy tích phân a) Cho P( x, y )  y, Q( x, y )  x  ye y Tìm hàm h(y) thỏa h(1) = cho tích phân I   h( y ) P ( x, y )dx  h( y )Q( x, y )dy không phụ thuộc đường C b) Với h(y) câu a), tính I biết C phần đường cong có phương trình: x  y  36 , ngược kim đồng hồ từ A(3,0) đến B(0,2) a) Điều kiện cần để tích phân khơng phụ thuộc đường đi: Q P  x y 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 55 ... tổng quát điều không 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 36 Công thức Green Miền đơn liên 23-Mar-21 Miền đa liên TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 37 Công thức... x, y )dy C gọi tích phân đường loại hai P(x,y) Q(x,y) cung C 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 25 Tính chất 1) Tích phân đường loại hai phụ thuộc chiều lấy tích phân C: ... trơn khúc D 0: I   Pdx  Qdy  C 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 47 Tích phân khơng phụ thuộc đường lấy tích phân  Q P   Tích phân không phụ thuộc đường   