Bài giảng Giải tích 2: Chương 4 - TS. Nguyễn Văn Quang

Bài giảng Giải tích 2: Chương 4 cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba; Hệ tọa độ trụ; Hệ tọa độ cầu; Ứng dụng hình học; Ứng dụng cơ học. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung của bài giảng!

1 Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba Hệ tọa độ trụ TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm Hệ tọa độ cầu Ứng dụng hình học Ứng dụng học Định nghĩa f  f ( x, y, z ) xác định vật thể đóng, bị chặn E Chia E cách tùy ý thành n khối hình hộp nhỏ: E1, E2 , , En Thể tích tương ứng khối: V ( E1 ),V ( E2 ), ,V ( En ) Trên khối Ei lấy tuỳ ý điểm M i ( xi , yi , zi ) n Lập tổng Riemann: I n   f ( M i )  V ( Ei ) i 1 I  lim I n , không phụ thuộc cách chia E, cách lấy điểm Mi n I   f ( x, y, z )dxdydz E gọi tích phân bội ba f = f(x,y,z) khối E 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính chất 1) Hàm liên tục khối đóng, bị chặn, khả tích miền 2) VE   dxdydz E 3)    f ( x, y, z )dxdydz   f ( x, y, z )dxdydz E E 4)  ( f  g )dxdydz   fdxdydz   gdxdydz E E E 5) Nếu E chia làm hai khối E1 E2 rời nhau:  fdxdydz   fdxdydz   fdxdydz E E1 E2 6) ( x, y, z )  E , f ( x, y, z )  g ( x, y, z )   fdxdydz   gdxdydz E 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN E Cách tính (Định lý Fubini): tích phân lặp I   f ( x, y, z )dxdydz E z  z ( x, y ) Phân tích khối E: Chọn mặt chiếu 𝑂𝑥𝑦 Mặt phía dưới: z  z1 ( x, y ) Mặt phía trên: z  z2 ( x, y ) Hình chiếu: PrOxy E  Dxy z  z1 ( x, y ) I   f ( x, y, z )dxdydz E   dxdy Dxy 23-Mar-21 z2 ( x , y )  f ( x, y, z )dz z1 ( x , y ) Hình chiếu: 𝐷𝑥𝑦 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN Cách tính – Định lý Fubini (tích phân lặp) Chú ý • Tương tự ta có cơng thức tích phân lặp khác, chiếu khối E lên mặt phẳng Oxz, Oyz • Thơng thường, miền hình chiếu 𝐷𝑥𝑦 có biên phương trình biên khối E khơng chứa 𝑧  Ta khử 𝑧 phương trình biên khối E, tìm phương trình khơng chứa 𝑧 biên khối E 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN Tính tích phân bội ba I   zdxdydz E vật thể: E z   x  y2 , z  ; x2  y  Hình chiếu E xuống Oxy: D : x2  y  2 Mặt phía trên: z2 ( x, y )   x  y Mặt phía dưới: z1   2 x  y  I     zdz  dxdy  x  y 1   23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 2 x  y  z2  I     x  y 1   dxdy (2  x  y ) I   dxdy Đổi sang hệ tọa độ cực x  y 1 2 0 I   d  23-Mar-21 2  r  2  r  dr  7 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ Tính tích phân bội ba I   zdxdydz , E vật thể giới hạn bởi: E y   x, z   x , nằm góc phần tám thứ Hình chiếu E xuống Oxy: Tam giác OAB Mặt phía trên: z2 ( x, y )   x Mặt phía dưới: z1   x   I   dxdy   zdz  OAB   23-Mar-21 B A TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 1 x  I     zdz  dxdy OAB   A  1 x  z   dxdy I    OAB    I     x2 OAB 1 x 0   dx  23-Mar-21  2 1  x  2 O B dxdy 11 dy  60 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN Ví dụ Tính tích phân I   (2 x  y )dxdydz , E vật thể giới hạn bởi: E y  x , z   y, x  0, z  Mặt phía trên: z   y Mặt phía dưới: z  Hình chiếu E xuống Oxy: 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 10 Tính tích phân I   ( y  z )dxdydz , E vật thể giới hạn bởi: E z  0, x  y  z  y ( z  0) Cách 1:  x    sin   cos   Đổi sang tọa độ cầu:  y    sin   sin   z    cos   Xác định cận:    z y x      2sin   sin    2sin  sin   /2 0 I   d  d 23-Mar-21  (  sin  sin  + cos )   sin   d  TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 5  12 26 Cách 2: z Đổi sang tọa độ cầu mở rộng: Gốc tọa độ dời  x    sin   cos    y     sin   sin   z    cos    Xác định cận: y      2   1  2  /2 0 x I   d  d  (1   sin  sin  + cos )   sin   d  23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 5  12 27 Tính tích phân I   e E ( x  y  z )3/ dxdydz , E vật thể giới hạn bởi: y  0, x  y  z  ( y  0)  x    sin   cos   Đổi sang tọa độ cầu:  y    sin   sin   z    cos   z Xác định cận:         2   1  2  I   d  d  e 23-Mar-21 3 y 2(e  1)   sin   d   x TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 28 Tính tích phân I   zdxdydz , E vật thể giới hạn bởi: E z  1, x  y  z  z ( z  1)  x    sin   cos   Đổi sang tọa độ cầu:  y    sin   sin   z    cos   Xác định cận:       2 0   ? Phải chia khối E làm khối Việc tính tốn phức tạp 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 29 Đổi sang tọa độ cầu mở rộng: Gốc tọa độ dời  x    sin   cos    y    sin   sin   z     cos    Xác định cận:      2   1  2 5 I   d  d  (1   cos  )   sin   d   12  /2 0 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 30 Tính tích phân I   dxdydz , E vật thể giới hạn bởi: x2  y z  0, x  y  z  4, x  y  ( z  0) E Sử dụng tọa độ cầu, việc tính toán phức tạp nhiều  x  r cos   Đổi sang tọa độ trụ:  y  r sin  z  z  Xác định cận:    2  r 1  z   r2 2 4 r 0 I   d  dr  23-Mar-21   2  3 r dz  r  TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 31 Ví dụ Đổi sang tọa độ cầu tính: I   dx 2 Xác định vật thể E: 0   dy  4 x xdz  4 x  y Vẽ khối E: y z 2  x     x  y0   2   x  y z0  23-Mar-21 x TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 32 Đổi biến sang tọa độ cầu: y z  x    sin   cos    y    sin   sin   z    cos    Xác định cận: x   3    0  2  3 / 2  /2  I   d  d   sin  cos    sin   d   3 / 3 /  I   sin  d   cos  d      d    sin  d   cos  d    /2  /2   23-Mar-21 2 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 33 2 x x2 0 Đổi sang tọa độ trụ tính: I   dx Xác định vật thể E:  dy  z x  y dz Vẽ khối E: z 0  x    y  x  x  0  z   y y x x 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 34 Đổi biến sang tọa độ trụ:  x  r  cos    y  r  sin  z  z  Xác định cận:    z   r  2cos  0 z4  /2 2cos  0  /2 2cos  y I   d  dr  z  r  r  dz z I   d  r dr 0 128 I x 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 35 Ứng dụng hình học tích phân bội ba Từ định nghĩa tích phân bội ba ta có cơng thức tính thể tích vật thể E: VE   dxdydz E Có thể sử dụng tích phân kép để tính thể tích vật thể Tuy nhiên số trường hợp sử dụng tích phân bội ba tính nhanh hơn, tích phân bội ba có cách đổi sang tọa độ trụ tọa độ cầu 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 36 Tính thể tích vật thể E giới hạn bởi: x  y  z  1; x  y  z  4, z  x  y V   dxdydz   E Sử dụng tọa độ cầu:     2 1    /4 2 0 V   d  d   sin   d  (14  2) V Sử dụng tích phân kép, tính tốn phức tạp !!! 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 37 Tính thể tích vật thể E giới hạn bởi: x  y  x; x  z  3, x  z  V   dxdydz  x  r cos   Sử dụng tọa độ trụ:  y  r sin  z  z      2 E z  r  2cos  x r cos    z   r cos   /2 cos 3 r cos   / r cos  3 V   d  dr  y r  dz V  4 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 38 Tính thể tích vật thể E giới hạn bởi: x  y  z  4; x  y  z  z V   dxdydz E Sử dụng tọa độ trụ:    2 0r  y   r2  z   r2 2 V   d  dr 10 V 23-Mar-21 4 r  2 4 r r  dz x Sử dụng tọa độ cầu tính phức tạp nhiều TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 39 Tính thể tích vật thể E giới hạn bởi: y  x , y  z  1, z  1 y 1 1 y  V   dxdydz     dz  dxdy   dx  dy  dz 1 Parabol  E  x2 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 40 ... 23-Mar-21  TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 22  ,  const   const    0, 2     0,cos      0,  4? ??    0,  4? ??    0,cos      0,cos   23-Mar-21 TS Nguyễn. .. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23 Xác định cận:        2    cos   /4 2 cos 0 I   d  d     sin   d  23-Mar-21 1 2     10 80  TS Nguyễn Văn Quang. .. d  r dr 0 128 I x 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 35 Ứng dụng hình học tích phân bội ba Từ định nghĩa tích phân bội ba ta có cơng thức tính thể tích vật thể E: VE 