Bài giảng Giải tích 2 - Chương 4: Tích phân mặt cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân mặt loại 1, tích phân mặt loại 2. Đây là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên ngành Toán học và những ai quan tâm dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu.
CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT §1 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI §1 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI §1 Tích phân mặt loại Định nghĩa : Cho hàm f(x,y,z) mặt S Chia S thành n phần tùy ý không dẫm lên Gọi tên diện tích mặt ΔSk, k=1, 2, , n Trên mảnh ta lấy điểm Mk tùy ý lập tổng n Sn f (Mk ) Sk k Cho max(dΔSk) → (dΔSk đường kính mảnh Sk), tổng dần đến giới hạn hửu hạn ta gọi mặt loại hàm f(x,y,z) mặt S, kí hiệu n f ( x, y , z )ds S lim max( d Sk ) k f (Mk ) Sk §1 Tích phân mặt loại Tính chất : Diện tích mặt S tính S ds S ( f g )ds S fds S gds S Nếu mặt S chia thành mặt không dẫm lên S1 S2 fds S fds S1 fds S2 §1 Tích phân mặt loại Cách tính: Tìm hình chiếu S xuống mặt phẳng Oxy (Dxy), Oyz (Dyz) Ozx (Dzx) Từ pt mặt S F(x,y,z)=0 ta rút z theo x, y (z=z(x,y)); x theo y, z (x=x(y,z)) y theo x, z (y=y(x,z)) Sau đó, tính ds: ds zx zy 2dxdy ds xy xz 2dydz ds yz2 y x 2dzdx §1 Tích phân mặt loại Cách tính: Tìm h/c mặt S xuống mp Oxy, tính z=z(x,y) từ pt mặt I f x, y , z x, y zx zy 2dxdy Dxy Tìm h/c mặt S xuống mp Oyz, tính x=(y,z) từ pt mặt I f x y, z , y, z xy 2 xz dydz Dyz Tìm h/c mặt S xuống mp Ozx, tính y=y(z,x) từ pt mặt I f x, y z, x , z Dzx y x2 y z 2dzdx §1 Tích phân mặt loại Ví dụ 1: Tính tích phân I1 mặt S phần mặt nón z2=x2+y2 với 0≤z≤1 hàm f(x,y,z)=x+y+z Hình chiếu S xuống mp z=0 Dxy : 0≤x2+y2≤1 zx Pt mặt S (z dương) z x2 y2 → zy Suy ra: ds I1 (x S y 2dxdy Vậy: z )ds (x Dxy y x2 x x2 y2 y x y y ) 2dxdy §1 Tích phân mặt loại Đổi sang tọa độ cực: I1 d I1 cos sin r rdr §1 Tích phân mặt loại Ví dụ 2: Tính tích phân I2 hàm f(x,y,z)=x+2y+3z mặt S mặt xung quanh tứ diện x=0, y=0, z=0, x+2y+3z=6 Mặt S gồm mặt nên I2 chia làm C Vì mặt x=0 nên x’y=x’z=0 → ds=dydz, chiếu xuống mp x=0 ta Dyz: ΔOBC B O A I21 fds ( x 0) (2y OBC 3z )dydz §1 Tích phân mặt loại Tương tự, mặt tọa độ lại C I22 fds ( y 0) (x 3z )dxdz OAC B O I23 A fds ( z 0) (x 2y )dxdy OAB Cuối cùng, mặt x+2y+3z=6 (mp(ABC)) Ta chiếu xuống mp z=0 Dxy ΔOAB : 14 z y x ds dxdy dxdy 3 9 §1 Tích phân mặt loại Do đó: I24 14 dxdy OAB fds ( x y z 6) I2 I21 I22 I23 I24 §2 Tích phân mặt loại – Cơng thức Stokes Ví dụ 6: Tính I6 ydx zdy xdz C Với C giao mặt x+y+z=0 x2+y2+z2=4 theo hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z>0 Cách 1: Áp dụng CT Stokes Vì C giao mp x+y+z=0 x2+y2+z2=4 theo hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z>0 Nên ta chọn S phần mp x+y+z=0 nằm phía mặt cầu, lấy phía Suy pháp vecto S n (1,1,1) §2 Tích phân mặt loại – Công thức Stokes Và ta sử dụng CT Stokes dạng: Pdx Qdy Rdz (Qx Py )cos C (Pz Rx )cos ( Ry Qz )cos ds S Để : I6 ydx C S Vậy zdy xdz [(0 1) (0 1) 3 3.S Trong S diện tích mặt S, ds S I6 (0 1) ]ds §2 Tích phân mặt loại – Cơng thức Stokes Cách 2: Tính trực tiếp cách viết pt tham số C (Xem phần đường loại 2- pt tham số) x cos t y sin t z sin t cos t x y sin t sin t co s t z t tu den 2 sin t t tu den 2 I6 ydx C zdy 12dt xdz co s t co s t §2 Tích phân mặt loại – Cơng thức Stokes Ví dụ 7: Tính I7 ydx zdy dz C Với C giao tuyến x2+y2+z2=4y x=y-2 lấy chiều kim đồng hồ nhìn từ phía x>0 cách : trực tiếp dùng CT Stokes Cách 1: Dùng CT Stokes Chọn S phần mp x=y-2 nằm hình cầu, lấy hướng ngược với nửa dương trục Ox Suy α≥π/2 → cosα≤0 Pt mặt S F(x,y,z)=x-y+2(=0) : F (1, 1,0) Do cosα≤0, nên ta chọn dấu “-” cho pháp vecto n (1, 1,0) §2 Tích phân mặt loại – Cơng thức Stokes (1, 1,0) n Vậy: I7 ydx zdy dz C 1 [(0 1).0 (0 0) (0 1)( )]ds 2 S S phần mp x=y-2 nằm hình cầu Ta khử x từ pt để hình chiếu S xuống mp x=0 Dyz: 2(y-2)2+z2≤4, ds x y2 Suy I7 2dydz Dyz I7 2 xz2dydz 2dydz §2 Tích phân mặt loại – Công thức Stokes Cách 2: Viết pt tham số C C: x x y y x z 4y C: y z 2( y x cos t 2 cos t 2sin t 2) y z x sin t y sin t z 2cos t t di tu den I7 ydx dz C [(2 zdy cos t )( I7 sin t ) 2 2sin t ( sin t ) 2cost]dt §2 Tích phân mặt loại – Cơng thức Stokes Ví dụ 8: Tính I8 (x y )dx (2x z )dy ydz C Với C giao tuyến x2+y2=1 z=y2 lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z>0 Cách 1: Dùng CT Stokes Vì C giao tuyến mặt trụ, tạm thời ta chưa biết nên chọn S mặt Ta dùng CT Stokes để viết I8 dạng Mặt loại trước I8 ( x y )dx (2 x z )dy ydz C (2 1)dxdy S (0 0)dzdx (1 1)dydz §2 Tích phân mặt loại – Cơng thức Stokes Để tính I8, ta phải tính : theo dxdy dydz Tức ta phải tìm hình chiếu S xuống mp z=0 x=0 Như vậy, ta chọn S cho hình chiếu xuống mặt dễ tìm, chọn xong trụ mặt S phải tính Ta chọn S phần mặt trụ parabol z=y2 nằm trụ tròn xoay x2+y2=1 lấy phía trên, suy γ≤π/2→cosγ≥0 Pt mặt S: F(x,y,z) = y2-z F (0,2y , 1) §2 Tích phân mặt loại – Công thức Stokes Pháp vecto mặt S: I8 (x y )dx n (2x z )dy 4y (0,2y , 1) ydz C (2 1)dxdy (0 0)dzdx (1 1)dydz S Để tính mặt loại trên, ta có cách: tính trực tiếp đưa mặt loại §2 Tích phân mặt loại – Cơng thức Stokes Tính trực tiếp: Vì S mặt trụ song song với Ox (Pt chứa y, z) nên theo dydz Do đó: I8 dxdy Với cosγ>0 hình chiếu Dxy: x2+y2≤1 S Vậy : I8 dxdy Dxy T §2 ích phân mặt loại – Công thức Stokes Đưa I8 thành mặt loại Ta có: n (0,2y , 1) (cos ,cos ,cos ) Suy 4y cos 0, cos 2y 4y (2 1)dxdy (0 I8 , cos = 4y 0)dzdx (1 1)dydz Do đó: S [1.cos 2.cos ]ds S Pt mặt S: z=y2 nên ds I8 4y 2 2 y x y 1 4y 2dxdy 1dxdy I8 Vậy: §2 Tích phân mặt loại – Cơng thức Stokes Ví dụ 8: Tính I8 (x y )dx (2x z )dy ydz C Với C giao tuyến x2+y2=1 z=y2 lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z>0 Cách 2: Tính trực tiếp cách viết pt tham số C x cos t C: x2 y2 z y y sin t z sin t t di tu den 2 I8 [(cos t I8 sin t )( sin t ) (2cos t Vậy: sin2 t )cos t sin t.2sin t cos t ]dt Tích phân mặt loại – Bài tập Tính x I1 S x y ds ; S : x y2 z2 phần ứng với x I2 xy yz x2 zx ds; S : z 4, 0, y 0, z y 2, S phần bị cắt mặt trụ x2+y2=2x I3 x S y z ds; S : z x2 y2 Tích phân mặt loại – Bài tập I4 x2 xdydz, S : z y , lấy phía S I5 zdxdy , S : z x2 y 2, z S I6 zdxdy y y dxdz,S : z 0, z lấy phía ngồi x2 y 2, z 0, z S lấy phía cách: tính trực tiếp công thức Gauss z 2dydz I7 xdzdx 3zdxdy ; S : z y2 S lấy phía phần giới hạn bởi: x=0, x=1, z=0 Tích phân mặt loại – Bài tập 2 I8 x y dx dz x2 zdz;C : y2 z C lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z dương I9 2ydz xdy C xdz;C : z x2 y2 z 2y lấy chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z dương I10 2ydx C zdy 3ydz;C : x2 x y2 z2 4x y lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía x dương ... I2 I21 I 22 I23 I24 §1 Tích phân mặt loại Ví dụ 3: Tính I3 hàm f(x,y,z)=x2+y2+2z mặt S phần hình trụ x2+y2=1 nằm hình cầu x2+y2+z2 =2 Chú ý: Ta khơng thể chiếu S xuống mp z=0 mặt trụ x2+y2=1 có... phần mặt paraboloid y=1-x2-z2 nằm phía mp y=0 Với y≥0, ta hình chiếu xuống mp y=0 paraboloid Dxz : x2+z2≤1 yx 2x Pt mặt S: 2 y x y yz 2z Vậy: S4 4x ds S4 S4 Dxz d 4z 2dxdz r 4r dr 125 2 Tích phân. .. cosβ≥0 → β≤π /2 y≤0: cosβ≤0 → β≥π /2 2 Tích phân mặt loại – Pháp vecto mặt Ví dụ 3: Tính pháp vecto mặt S phía ngồi mặt trụ x2+y2=1 Pt mặt S: F(x,y,z)=x2+y 2-1 (=0) F ( x, y ,0) Rõ ràng, S mặt trụ song