Bài giảng Giải tích 2 – Chương 3 – Tích phân kép (TS.Nguyễn Văn Quang) năm học 2020-2021 – UET

Đổi biến tổng quát Tiếp theo, ta chia miền S trong mặt Ouv thành các hình chữ nhật nhỏ

1 Định nghĩa, cách tính tích phân kép Tọa độ cực TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm Ứng dụng hình học Ứng dụng học Nhắc lại = lim n→∞ Bài toán: Tìm diện tích 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa Cho hình trụ giới hạn trên mặt bậc hai f  f ( x, y )  , giới hạn xung quanh đường thẳng song song Oz, tựa trên biên D, giới hạn miền D = [a,b]x[c,d] (đóng, bị chặn) Bài toán: Tìm thể tích hình trụ 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa Cho hình trụ giới hạn trên mặt bậc hai f ( x, y )  , giới hạn miền D = [a,b]x[c,d] (đóng, bị chặn) giới hạn xung quanh đường thẳng song song Oz, tựa trên biên D Bài toán: Tìm thể tích hình trụ 1) Chia D cách tùy ý thành n hình chữ nhật rời nhau: D1, D2, , Dn Có diện tích tương ứng là S D1 , S D2 , , S Dn 2) Trên miền lấy tùy ý điểm M i ( xi , yi )  Di n 3) Thể tích vật thể: V   f ( M i )  S D  Vn (tổng Riemann) i i 1 4) V  lim Vn n 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa Cho f = f (x,y) xác định trên miền đóng và bị chặn D (tổng quát) Do đó, D có thể bao kín miền chữ nhật C y D Xác định hàm F(x,y) sau:  f ( x, y ) ( x, y )  D F ( x, y )   ( x, y )  D  C x  n  Nếu giới hạn: I  lim   F ( M i )  SCi  tồn hữu hạn, thì ta nói hàm f(x,y) n   i 1  khả tích trên miền D Ký hiệu: I   f ( x, y )dxdy D 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính chất 1) Hàm liên tục trên miền đóng, bị chặn thì khả tích trên miền này 2) S D   dxdy D 3)   f ( x, y ) dxdy   f ( x, y ) dxdy D D 4)   f ( x, y )  g ( x, y )  dxdy   f ( x, y )dxdy   g ( x, y )dxdy D D D 5) Nếu D chia làm hai miền D1 và D2 rời nhau:  f ( x, y )dxdy   f ( x, y )dxdy   f ( x, y )dxdy D D1 D2 6) ( x, y )  D, f ( x, y )  g ( x, y )   fdxdy   gdxdy D 23-Feb-21 D TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 10 Ví dụ Cho vật thể giới hạn trên mặt bậc hai f ( x, y )  16  x  y giới hạn hình vuông: R  [0,2]  [0,2] giới hạn xung quanh đường thẳng song song Oz, tựa trên biên R Ước lượng thể tích vật thể các trường hợp sau: a) Chia R thành phần nhau; b) Chia R thành 16 phần nhau; c) Chia R thành 64 phần nhau; d) Chia R thành 256 phần nhau; e) Tính thể tích vật thể 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 11 V  Vn   f ( M i )  S Di i 1 S Di 1,i 1, ,4 V  f (1,1)  f (1, 2)  f (2,1)  f (2, 2) V  13   10   34 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 12 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 13 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 14 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 15 Cách tính (Định lý Fubini): Cho f liên tục trên miền đóng và bị chặn D tích phân lặp y = y2(x) y = y1(x) a b 1) Giả sử D xác định bởi: a  x  b   y1 ( x)  y  y2 ( x) 23-Feb-21 b y2 ( x ) a y1 ( x ) I   f ( x, y )dxdy   dx D TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN  f ( x, y )dy 16 Định lý Fubini: tích phân lặp a xb  I   f ( x, y )dxdy   dx R: R a  g1 ( x)  y  g ( x) b y g2 ( x )  f ( x, y )dy g1 ( x ) g2(x) g1(x) a 23-Feb-21 b x TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 17 Cách tính (Định lý Fubini): tích phân lặp x = x1(y) d x = x2(y) c 2) Giả sử D xác định bởi: c  y  d   x1 ( y )  x  x2 ( y ) 23-Feb-21 d x2 ( y ) c x1 ( y ) I   f ( x, y )dxdy   dy D TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN  f ( x, y )dx 18 Định lý Fubini: tích phân lặp c yd  R: h1 ( y )  x  h2 ( y ) d h2 ( y ) c h1 ( y ) I   f ( x, y )dxdy   dy R  f ( x, y )dx y d c h1(y) h2(y) x 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 19 Giải câu e) 0  x   0  y  2   2 0   Tính thể tích vật thể: V   16  x  y dxdy   dx  16  x  y dy R 2 2 2 y  16    (16  x ) y   dx    32  x   dx  48 3 0 0 0 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 20 Tính tích phân kép I   xydxdy , đó D là miền phẳng giới hạn bởi: D y   x , y  x 2  x   x  y   x  2 x 2 x I    xy  dxdy   dx  D 2  x 2  y   x  2   x  xy  dy dx  (2  x ) x2    x  x  dx  2  2  23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 21 Tính tích phân kép I   ( x  y )dxdy , đó D là tam giác OAB, với: D O(0,0), A(1,1), B(2,0) 0  x   0  y  ? Cần chia D thành hai miền: D1 và D2 A D1 I       D2 D B D1 D2 x 0    2 x I   dx  ( x  y )dy   dx  ( x  y )dy  Nếu lấy cận x trước, y sau thì không cần chia D 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 22 Tính tích phân kép I   y  x dxdy D D là miền phẳng giới hạn bởi: 1  x  1,0  y  2  y  x dxdy  y  x dxdy I   y  x dxdy   D1 D   D2     y  x dxdy   x  y dxdy D1 23-Feb-21 1 x2   x2 1     dx  y  x dy   dx  x  y dy D1 D2 D2 D2 11 I   15 15 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23 Ví dụ 1 y x2 Tính tích phân kép I   dy  e dx x2 Tích phân  e dx không tính (qua các hàm sơ cấp) y Thay đổi thứ tự lấy tích phân: 1) Xác định miền D 2) Vẽ miền D 3) Thay đổi thứ tự 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 24 Ví dụ 0  y  D: y  x 1 Thay đổi cận: x 0 0  x 1 D: 0  y  x I   dx  e dy   e 23-Feb-21 x x 1 x y dx   xe dx  e x x 2 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN e 1  25 1 Tính tích phân kép I   dy  sin( x3  1)dx y Tích phân sin( x  1)dx không tính (qua các hàm sơ cấp)  y   y  D:  y  x  Thay đổi cận:   x 1 D:  y  x  x2 1 I   dx  sin( x  1)dy   sin( x  1)  y 3 0 x2 dx cos(1)    x sin( x  1)dx  23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 26 Ví dụ y2  y 0 Thay đổi thứ tự lấy tích phân I   dy  f ( x, y )dx   y 1 D:  x  y y  Vẽ miền D: Thay đổi cận: 0 x2   D :  1   x  y 1   I   dx 23-Feb-21  f ( x, y )dy 1 1 x TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 27 Thay đổi thứ tự lấy tích phân I   dy  2 4 y  12 y   3 y D: 2  12  y  x    y Vẽ miền D: Thay đổi cận: Phải chia D làm miền:  3 x  D1 :  2  12  x  y  x  x  3 x  D2 :  2  x  x  y   12  x   I   fdxdy   fdxdy   fdxdy D1 23-Feb-21 D2 D3 f ( x, y )dx D1 D3 D2  3x4 D3 :  2  x  x  y  x  x TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 28 Đổi biến tổng quát Tổng quát, xét phép đổi biến T từ mặt Ouv sang mặt Oxy: 𝑇(𝑢, 𝑣) = (𝑥, 𝑦) với x và y liên hệ với u và v bởi: 𝑥 = 𝑔 𝑢, 𝑣 ; 𝑦 = ℎ(𝑢, 𝑣) Có thể viết: 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣) Giả sử T là phép biến thỏa mãn: g và h có đạo hàm riêng bậc liên tục Nếu 𝑇(𝑢1, 𝑣1) = (𝑥1, 𝑦1), thì (𝑥1, 𝑦1) gọi là ảnh điểm (𝑢1, 𝑣1) Nếu không có điểm nào có cùng chung ảnh và ngược lại, thì ta gọi T là đổi biến 1-1 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 29 Đổi biến tổng quát Nếu T là đổi biến 1-1, nó có phép biến đổi ngược 𝑇 −1 từ mặt Oxy sang mặt Ouv Do đó, ta có thể tìm u và v theo x và y : 𝑢 = 𝐺(𝑥, 𝑦), 𝑣 = 𝐻(𝑥, 𝑦) 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 30 Đổi biến tổng quát Xét hình chữ nhật nhỏ S mặt Ouv: ảnh S là miền R mặt Oxy Một điểm trên cạnh biên nó là: (𝑥0, 𝑦0) = 𝑇(𝑢0, 𝑣0) 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 31 Đổi biến tổng quát Ta có vector vị trí điểm (u, v): 𝒓(𝑢, 𝑣) = 𝑥 𝒊 + 𝑦 𝒋 = 𝑔(𝑢, 𝑣) 𝒊 + ℎ(𝑢, 𝑣) 𝒋 Phương trình cạnh S là: 𝑣 = 𝑣0 Ảnh nó cho hàm vector 𝒓(𝑢, 𝑣0) 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 32 Đổi biến tổng quát Nếu đường cong mặt phẳng cho hàm vector: 𝒓(𝑡) = 𝑥(𝑡) 𝒊 + 𝑦(𝑡) 𝒋 với 𝑡 là tham số thì vector tiếp tuyến 𝑡0 đường cong không gian x y này là: rt  xt0 i  yt0 j  i  j t t 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 33 Đổi biến tổng quát Do đó vector tiếp tuyến (𝑥0, 𝑦0) đường cong ảnh này là: x y ru  gu (u0 , v0 ) i  hu (u0 , v0 ) j  i j u u 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 34 Đổi biến tổng quát Tương tự, vector tiếp tuyến (𝑥0, 𝑦0) đường cong ảnh cạnh trái (𝑢 = 𝑢0) là: x y rv  g v (u0 , v0 ) i  hv (u0 , v0 ) j  i  j v v 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 35 Đổi biến tổng quát Ta có thể xấp xỉ miền ảnh 𝑅 = 𝑇(𝑆) hình bình hành xác định các vector cát tuyến: a  r (u0  u , v0 )  r (u0 , v0 ) b  r (u0 , v0  v)  r (u0 , v0 ) 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 36 Đổi biến tổng quát Tuy nhiên, r (u0  u , v0 )  r (u0 , v0 ) ru  lim u  u Nên, r (u0  u , v0 )  r (u0 , v0 )  u ru Tương tự, r (u0 , v0  v)  r (u0 , v0 )  v rv 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 37 Đổi biến tổng quát Điều này có nghĩa là ta có thể xấp xỉ R hình bình hành xác định vector ∆𝑢 𝒓𝑢 và ∆𝑣 𝒓𝑣 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 38 Đổi biến tổng quát Vậy, có thể xấp xỉ diện tích R diện tích hình bình hành này: |(∆𝑢 𝒓𝑢) × (∆𝑣 𝒓𝑣)| = |𝒓𝑢 × 𝒓𝑣| ∆𝑢 ∆𝑣 Tích có hướng vector: i x ru  rv  u x v 23-Feb-21 j x u  x v k y u y v y u k y v TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN x u y u x v k y v 39 Đổi biến tổng quát Jacobian biến đổi T cho 𝑥 = 𝑔(𝑢, 𝑣) và 𝑦 = ℎ(𝑢, 𝑣) là: x  ( x, y ) u   (u , v) y u x v x y x y   y u v v u v Với ký hiệu này ta có thể xấp xỉ diện tích ∆A R:  ( x, y ) A  u v  (u , v) 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN đây Jacobian tính (u0, v0) 40 Đổi biến tổng quát Tiếp theo, ta chia miền S mặt Ouv thành các hình chữ nhật nhỏ 𝑆𝑖𝑗 và gọi ảnh nó mặt Oxy là 𝑅𝑖𝑗 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 41 Đổi biến tổng quát Áp dụng công thức xấp xỉ 𝑅𝑖𝑗 trên, ta có xấp xỉ tích phân lớp f trên miền R sau  f ( x, y) dxdy R   f ( xi , y j ) A   ( x, y ) f ( g (ui , v j ), h(ui , v j )) u v  (u , v) đây Jacobian tính (𝑢𝑖 , 𝑣𝑗 ) Chú ý đây chính là tổng Riemann tích phân:  S 23-Feb-21  ( x, y ) f ( g (u , v), h(u , v)) du dv  (u , v) TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 42 Đổi biến tổng quát Định lý: Giả sử có phép đổi biến: 𝑥 = 𝑥 𝑢, 𝑣 , 𝑦 = 𝑦 𝑢, 𝑣 ; cho phép đổi biến này là 1-1 (có thể trừ trên biên), và 𝐽 ≠ (có thể 𝐽 = số điểm hữu hạn), đó: 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐷𝑥𝑦 𝑓(𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣)) 𝐽 𝑑𝑢𝑑𝑣 𝐷𝑢𝑣 Trong đó: 𝜕(𝑥, 𝑦) 𝑥 ′𝑢 𝐽= = ′ 𝑦𝑢 𝜕(𝑢, 𝑣 ) 23-Feb-21 𝑥′𝑣 𝑦′𝑣 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 43 Định nghĩa y Mối liên hệ tọa độ cực và tọa độ Descartes:  x  r cos  ,    2   y  r sin   M ( x, y ) y r Chú ý: x2  y  r  x x Ví dụ Phương trình đường tròn tâm 0, bán kính 2: x  y  Phương trình đường tròn này tọa độ cực là: r  23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 44 Ví dụ • Phương trình đường tròn tâm (1,0), bán kính 1: x  y  x Phương trình đường tròn này tọa độ cực là: r  2r cos   r  2cos  • Phương trình đường tròn tâm (0,1), bán kính 1: x  y  y Phương trình đường tròn này tọa độ cực là: r  2r sin   r  2sin  • Phương trình đường thẳng x = 2 Phương trình đường thẳng này tọa độ cực là: r cos    r  cos  23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 45 Ví dụ 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 46 I   f ( x, y )dxdy R Qua phép đổi biến:  x  r cos    y  r sin  Chia [a,b] thành m phần Chia [ , ] thành n phần 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 47  ri 1  r  ri Miền Rij :   j 1     j Trên Rij lấy điểm (ri* , *j ) ri* 1 *  (ri 1  ri );i  (i 1  i ) 2 Diện tích miền Rij là: 2 Aij  ri    ri 1   ; 2   ( j   j 1 )   1 2 Aij    ri  ri 1     ri  ri 1    ri  ri 1   ri*  r   2 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 48 Tọa độ cực điểm Rij là: (ri*  cos *j , ri*  sin  *j ) m n Tổng Riemann: Vmn    f (ri*  cos  *j , ri*  sin  *j )  Aij i 1 j 1 m n    f (ri*  cos  *j , ri*  sin  *j )  ri*  r   i 1 j 1 Đặt g (r , )  r  f (r  cos  , r  sin  ) m n Vmn    g (ri* , *j )  r   i 1 j 1 m n  * * * * *  f ( x, y )dxdy  lim    f (ri  cos  j , ri  sin  j )  ri  Aij  m ,n  i 1 j 1 R  b m n   lim    g (ri* , *j )  r       g (r , )drd m,n  i 1 j 1  a  b  a  f ( x, y )dxdy   d  f (r  cos  , r  sin  )  r  dr R 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 49 Ví dụ Tính tích phân kép I   ( x  y )dxdy , đó D là miền phẳng giới hạn bởi: D x  y  1, x  y  4, y  0, y  x  x  r cos    y  r sin    0    Dr :    r  23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 50 Ví dụ I   ( x  y )dxdy D  /4  /4 1  d  cos   sin   r   dr I   d   r cos   r sin    r  dr    /4 r I    cos   sin    d  /4 8 1 I    cos   sin       d 3 3 I 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 51 Tính I    x  y dxdy , đó D là miền phẳng giới hạn D x  y  4, y  x, y  x (y  x)  x  r cos    y  r sin       Dr :    r   /3  /4 I   d   r  r  dr 2 I 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 52 Tính I   x  y dxdy , đó D là miền phẳng giới hạn bởi: D x  y  x, y   x  x  r cos    y  r sin        Dr :    r  2cos   / 2cos   / I   d  r  r  dr  /4 cos3  d  16  10  /2 I  23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 53 Tính I   ( x  1)dxdy , đó D là miền phẳng giới hạn bởi: D x  y  x; x  y  x; y   x; y  x  x  r cos    y  r sin        Dr :   2cos   r  4cos   /3 4cos   / 2cos  I   d  (r cos   1)  r  dr 37  35 67   24 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 54 Tính I   ( x  y )dxdy , đó D là miền phẳng giới hạn D x  y  x; x  y  y  x  r cos    y  r sin    0    D:  0r  ?   0    D1 :  0  r  2sin  D2 D1      D2 :    r  2cos   1  1 I              2  2 D1 D2 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 55 Tọa độ cực suy rộng 2 Trường hợp Miền phẳng D là hình tròn: ( x  x0 )  ( y  y0 )  a Dùng phép đổi biến:  x  x0  r cos    y  y0  r sin  Khi đó định thức Jacobi: xr J yr x cos  r.sin   r sin  r.cos  y Khi lấy cận r , ta coi gốc tọa độ dời tâm hình tròn 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 56 Tọa độ cực suy rộng x2 y Trường hợp Miền phẳng D là Ellipse:   1; a  0, b  a b x  a  r cos    y  r sin   b Khi đó định thức Jacobi: Dùng phép đổi biến: xr J yr x a.cos  ar.sin    a.b.r  b.sin  br.cos  y 0    2 Khi đó cận r , :    r 1 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 57 Tính I   (2 x  y )dxdy , đó D là miền phẳng giới hạn D ( x  1)  ( y  2)  4; x  Gốc tọa độ dời đây  x   r cos    y   r sin        Dr :  2   r   /2  I   d   2(1  r cos  )  (2  r sin  )   r  dr  / 32   8 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 58 Tính I   ( x  1)dxdy , đó D là miền phẳng giới hạn D x2 y   1; y  0; x  x   r cos    y  r sin     0    Dr :    r   /2  3 I   d    r cos   1    r  dr   0 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 59 Tính I   xdxdy , đó D là miền phẳng giới hạn D x2  y  1; y  0; y  x   x  r cos     y  r sin   0    Dr :  0  r 1 y/r sin   tg  cos  x /( r 3) Vì đường y = x nên tg     /3   3 I   d   r cos   1  r  dr  0 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 60 Diện tích miền D: S D   dxdy Dxy Tính diện tích miền D giới hạn bởi: x  y  y; x  y  y; y  x 3; x  Diện tích miền D là:  /2 6sin   /3 2sin  S D   dxdy   d  rdr D 6sin   /2 r SD    /3 2sin   /2 d   16sin  d  /3 SD    3 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 61 Tính thể tích Để tính thể tích khối  : 1) Xác định mặt giới hạn bên trên: z  z2 ( x, y ) 2) Xác định mặt giới hạn bên dưới: z  z1 ( x, y ) 3) Xác định hình chiếu  xuống Oxy: Dxy  PrOxy  V    z2  x, y   z1  x, y   dxdy Dxy Chú ý: 1) Có thể chiếu Ω xuống Oxz, Oyz Khi đó mặt phía trên, mặt phía phải theo hướng chiếu xuống 2) Để tìm hình chiếu Ω xuống Oxy, ta khử z các phương trình Ω 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 62 2 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: z  ( x  1)  y ; x  z  Mặt phía trên: z  z2 ( x, y )   x 2 z  z ( x , y )  ( x  1)  y Mặt phía dưới: Hình chiếu: khử z phương trình: ( x  1)  y   x  x  y  Hình chiếu  D : x2  y  V  x  y 1 23-Feb-21  z2  z1  dxdy TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 63 Ví dụ V  (2  x)  ( x  x   y )  dxdy     x  y 1 V x  y 1   x  y dxdy Đổi sang tọa độ cực: 2 0  V   d   r V 23-Feb-21  x  r cos    y  r sin    r  dr 2  r r       d 4  2  TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 64 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: z  x  y ; y  x ; y  1; z  Mặt trên: z  x  y Mặt phía dưới: z  Hình chiếu: D D 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 65   V   x  y  dxdy D  1  x  D: x  y  1 1 x2   V   dx  x  y dy  y  V    x y   dx  1  x    x   88 V    x     x    dx  105 3    1   23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 66 2 z  x  y  1, x  y  và các mặt tọa độ Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: Mặt phía trên: z  x  y  2 Mặt phía dưới: z  Hình chiếu: là tam giác màu đỏ A 0 B   V   x  y   dxdy  OAB 23-Feb-21 2 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Mặt 67 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: z   y ; z  y  2; x  1; x  Có thể chiếu xuống Oxy tương tự các ví dụ trước z Chiếu vật thể xuống Oyz: Mặt phía trên: x  Mặt phía dưới: x  1 y x 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 68 Thể tích vật thể cần tính: z V    x2 ( y, z )  x1 ( y, z )  dydz D yz D 4 y 1 2 y V   dy  V   3z 1   (1) dz 4 y 2 y dy y   V    y   y dy 1 V  23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 69 Diện tích mặt cong Mặt S cho phương trình 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦), D là hình chiếu S xuống Oxy Chia miền D thành n miền D1, D2, , Dn Khi đó tương ứng, S chia thành các mặt S1, S2, , Sn Diện tích tương ứng: ∆𝑆1 , ∆𝑆2 , ⋯ , ∆𝑆𝑛 Lấy điểm tùy ỳ Pi ( xi , yi ,0)  Di Tương ứng với điểm M i ( xi , yi , zi )  Si Gọi Ti là mặt tiếp diện với Si Mi Và Ti là mảnh có hình chiếu xuống Oxy là Di 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 70 Diện tích mặt cong Với Di nhỏ, ta coi diện tích Ti là diện tích gần đúng mảnh Si : n n i 1 i 1 S   Si   S (Ti ) Gọi  i là góc hai mảnh Di và Ti : S ( Di )  S (Ti )  cos  i Ta có  i là góc pháp tuyến Mi với mặt S và trục Oz   Véctơ pháp S Mi : n  M i    zx ( xi , yi ),  z y ( xi , yi ),1 cos  i  23-Feb-21  zx ( xi , yi ) 2   zy ( xi , yi )   TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 71 n n i 1 i 1  zx ( xi , yi )  S   S (Ti )   n S  lim   n  i 1  zx    z y ( xi , yi )    S ( Di )    zy 2    S ( Di )   Diện tích mặt cong có phương trình 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦), có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là Dxy tính công thức: S     zx    zy  dxdy 2 Dxy 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 72 Tính diện tích phần mặt paraboloid z   x  y nằm hình trụ: x2  y  Hình chiếu S xuống Oxy: D : x2  y  2 Phương trình mặt S: z   x  y zx  2 x; zy  2 y Diện tích phần mặt paraboloid:   S     zx   zy dxdy D S  x  y 1 23-Feb-21 2 0  x  y dxdy   d   4r  r  dr  2 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN (5  1) 73 23-Feb-21 74 23-Feb-21 75 23-Feb-21 76