Bài giảng Giải tích 12 chương 3 bài 2: Tích phân

TRƯỜNG THPT HỒNG ĐỨC Chào mừng quý thầy, cô giáo đến dự thăm lớ Gv: NGUYỄN THANH SƠN ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN Giả sử f(x) hàm số liên tục K, a b phần tử K, F(x) nguyên hàm f(x) K Hiệu số: F(b)-F(a) được gọi tích phân từ a đến b hàm số f(x) Kí hiệu là: b ∫ b f ( x ) dx a f ( x ) dx = F ( x ) ∫ b a = F (b) − F (a) a Cơng thức (1) gọi cơng thức Niutơn-Lepnít (1) Định nghĩa b cận dấu tích phân cận ∫ f ( x ) dx a biểu thức dấu tích phân hàm số dấu tích phân Tích phân khơng phụ thuộc vào biến số lấy tích phân b b b a a a ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( u ) du = ∫ f ( t ) dt = = F ( b ) − F ( a ) Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN Nếu hàm số f(x) liên tục không âm đoạn [a,b] tích phân diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y=f(x), trục Ox hai đường đường thẳng x=a x=b b ∫ f ( x)dx a EM HÃY CHỌN ĐÁP ÁN ĐÚNG TRONG CÁC ĐÁP ÁN SAU : Kết tích phân A là: C Khơng tồn B D dx ∫−-11 x HÃY TÍNH TÍCH PHÂN SAU I = ∫ (2 x + 3)dx −2 J = ∫ | x | dx −1 Lời giải I = ∫ (2 x + 3)dx = ( x + 3x) −2 = (16 + 12) − (4 − 6) = 30 −2 ∫ 2) Tính tích phân J = | x | dx −1 XÐt hµm sè f(x) = |x| x nÕu x ≥ = - x nÕu x < ⇒Hàm số f(x) = |x| liên y=|x| tục R f(x) ≥ Đồ thị hàm số f(x) =2 |x| hình vẽ đó: J = | x | dxlà diện ∫ −1 tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = |x|, trục 0x đường thẳng x = -1; x=2 y D A B -1 C O x ⇒J tổng diện tích tam giác OAB ∆OCD Mà S ∆ OAB= S ∆ OCD= 2 J = ∫ | x | dx = + = 2 −1 y y=|x| D A B -1 C O x Tính chất 2: b b b a a a [ f ( x ) ± g ( x )] dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx ∫ ∫ ∫ Chứng minh Giả sử F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K G(x) nguyên hàm hàm số g(x) K Ta có: F(x)+G(x) nguyên hàm hàm số f(x)+g(x) K vì: [F(x)+G(x)]'=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x) b ⇒ ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = [ F ( x) + G ( x) ] b a a = [ F (b) + G (b)] − [ F (a) + G (a)] b b = [ F (b) − F (a)] + [G (b) − G (a)] = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx Vậy b b a a a a b [ f ( x ) + g ( x )] dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx ∫ ∫ ∫ Tương tự: b b a b [ f ( x ) − g ( x )] dx = f ( x ) dx − g ( x ) dx ∫ ∫ ∫ a a a ∫ Cho g ( x ) dx = ∫ f ( x)dx = −2 a, Hãy tính: VÍ DỤ 3 I = ∫ [3 f ( x) + g ( x)]dx Bài giải 3 1 I = ∫ [3 f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx 1 = 3∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx = 3(−2) − = −9 VÍ DỤ Cho ∫ f ( x)dx = −2 b, Hãy tính: Bài giải g ( x ) dx = ∫ 1 J = ∫ [4 f ( x) − 5]dx 3 3 1 J = ∫ [4 f ( x) − 5]dx = ∫ [5 − f ( x)]dx = ∫ 5dx − ∫ f ( x)dx 3 1 = 5∫ dx − 4∫ f ( x)dx = 5.x − 4(−2) = 5(3 − 1) + = 18 VÍ DỤ Em tìm đáp án toán sau: Cho biết ∫ f ( x)dx = Kết qủa tích phân A 17 C 16 ∫ g ( x)dx = là: [ f ( x ) − g ( x )] dx ∫ B 14 D 18 VÍ DỤ Tính tích phân Lời giải I = ( x + ) dx ∫ −2 4 −2 −2 −2 I = ∫ (2 x + 3)dx = ∫ xdx + ∫ 3dx =x + x −2 = 16 − + 3[4 − (−2)] = 30 −2 Tính chất 3: c b c ∫ f ( x)dx =∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx Cm a a b Giả sử F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K Ta có c f ( x ) dx = F ( x ) ∫ c f ( x ) dx = F ( x ) ∫ b a b = F ( c ) − F ( a ) ; a = F ( b ) − F ( a ) a a c ∫ b f ( x)dx = F ( x) c b = F (c) − F (b) c ∫ Khi f ( x)dx = F ( x) c a = F (c ) − F ( a ) a = [ F (b) − F (a)] + [ F (c) − F (b)] b = ∫ c Vậy a ∫ a c f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx b b c f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx a b VÍ DỤ I = Tính tích phân | x | dx ∫ −1 Lời giải 2 −1 −1 −1 I = ∫ | x | dx = ∫ | x | dx + ∫ | x | dx = ∫ (− x)dx + ∫ xdx x =− 2 x + −1 2 = − ( − ) + ( − 0) = 2 VÍ DỤ ∫ Cho biết: Hãy tính: f ( x)dx = −4và I = ∫ f ( x) dx ∫ f ( x )dx = Lời giải 5 I = ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx 2 = − ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x ) dx 1 ⇒ I = −(−4) + = 10 VÍ DỤ Cho biết: ∫ Hãy tính: ∫ f ( x)dx = f ( z )dz = I = ∫ f (t )dt Lời giải 3 0 I = ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt = − ∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt Mà 4 f ( t ) dt = f ( z ) dz = ; f ( t ) dt = f ( x ) dx = ∫ ∫ ∫ ∫ 0 ⇒ I = −3 + = CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Giả sử sử cáchàm hàmsốsốf(x), f(x),g(x) g(x)liên liêntục tụctrên khoảng a, c Giả khoảng K,K, và a, b, b, 3c điểm đbất iểmkỳ bất thuộc kỳ thuộc K Ta K có:Ta có: T/c 1: T/c 2: b b a a (với K € R) R) kf ( x ) dx = k f ( x ) dx ∫ ∫ b b b a a a ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx =∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx c T/c 3: ∫ a b c a b f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx BÀI TẬP b Bài 1: 1: Tìm b, biết rằng: Bài 2: Tính: I= 2π ∫ e2 Bài 3: Tính: ( x − ) dx = ∫ − cos x dx I = ∫ (2 x + − 7)dx x Cảm ơn quý thầy, cô giáo dự thăm lớp