Bài giảng hình học 12 chương 3 bài 2 phương trình mặt phẳng

TRƯỜNG THPT HIỆP HỒ SỐ TỔ TỐN - TIN Bài PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ƠN TẬP KIẾN THỨC C 1.Biểu thức toạ độ tích vô hớng hai vect¬ r r rr a = ( a1 ; a2 ; a3 ) , b = (b1 ; b2 ; b3 ) ⇒ a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 r r rr a ⊥ b ⇔ a.b = Để chứng minh đường thẳng d vng góc với mp (P) ta chứng minh d vng góc với đường thẳng cắt nằm (P) ĐÞnh thøc cÊp Ta co D = a1 a2 b1 b2 = a1b2 − a2b1 Bài PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Tiết 29 Một số hình ảnh thực tế Vectơ pháp tuyến mặt phẳng r n (α) Vectơ r r n≠0 gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng (α) giá vng góc với mặt phẳng (α) r n r n (α) Chú ý : Nếu r n r vectơ pháp tuyến (α) kn vectơ pháp tuyến (α) k ≠0 a) Bài tốn: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α ) hai vectơ không phương r r a = (a1; a2 ; a3 ); b = (b1; b2 ; b3 ), có giá song song nằm mặt phẳng (α ) Chứng minh mp(α ), nhận vecctơ r n = (a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) làm vectơ pháp tuyến r r Trong Oxyz cho : a = (a1; a2 ; a3 ); b = (b1; b2 ; b3 ), có giá song song nằm mặt phẳng (α ) Chứng minh mp(α ), nhận vecctơ r n = (a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) laøm VTPT r b r a α r n Giải : ru r Tacó : a.n = a1 (a2b3 − a3b2 ) + a2 (a3b1 − a1b3 ) + a3 (a1b2 − a2b1 ) = a1a2b3 − a1a3b2 + a2a3b1 − a2a1b3 + a3a1b2 − a3a2b1 = ru r Tương tự, b n = c b) Định nghĩa: u r u r r r • Cho véctơ a =(a1 ; a2 ; a3 ); b =(b1 ; b2 ; b3 ) Tích có hướng hai vectơ avà b u r r r u ru r u r kí hiệu n = a ∧ b n = a, b  xác định biểu thức sau:   u r r  a2 a3 a3 a1 a1 a2  r n = a, b  =  ; ; ÷ = ( a2 b3 − a3 b2 ;a3 b1 − a1b3 ;a1b2 − a2 b1 )   b b b b b b ÷  3 1 2 u r • ectơ n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( α ) V Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3) Hãy tìm tọa độ vtpt mp(ABC) B Giaûi : α uu ur A B = ( ;1; − ) ,   Ta coù: u u ur  A C = ( −12 ; ; )   A C u u u u u  − −2 2  r ur ur ⇒ n =  AB ,AC  =    ; − 12 ; −12 ÷   u r V ậy vectơ pháp tuyến mp(A BC) laø n = ( 1; ; ) II- PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA MẶT PHẲNG Bài toán1: Trong không gian Oxyz cho mp ( α ) qua điểm M ( x ; y ; z ) u r nhận vectơ n = ( A ; B ;C ) làm vtpt Chứn g minh điều kiện cần đủ để điểm M(x; y; z) thuộc mp ( α ) : A (x - x ) + B( y − y ) + C ( z − z ) = r n Giaûi : M α u u ur uuu Ta coù M M = (x − x ; y − y ; z − z ) u u u ur r uuu u u u ur r uuu M ∈ (α ) ⇔ M M ⊂ (α ) ⇔ n ⊥ M M ⇔ n M M = ⇔ A (x − x ) + B ( y − y ) + c (z − z ) = M0 Bài toán : Trong không gian Oxyz, chứng minh rằn g tập hợp điểm M(x; y; z) thỏa mãn phương trình Ax + By + Cz + D = ( với A +B2 +C2 ≠ 0) r mặt phẳng nhận vectơ n = (A ; B ;C ) làm vectơ pháp tuyến Giải Lấy điểm M (x ;y ;z )sao cho Ax + By +Cz + D = r Goïi (α )là mp qua điểm M nhận n=(A;B;C) làm VTPT Ta có : M ∈ (α ) ⇔ A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C (z − z0 ) = ⇔ Ax + By + Cz − ( Ax0 + By0 + Cz0 ) = ⇔ Ax + By + Cz + D = 0, với D = −( Ax0 + By0 + Cz0 ) Từ đó, ta có định nghĩa sau 1- Định nghĩa Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0, A, B, C không đồng thời 0, gọi phương trình tổng quát mặt phẳng Nhận xét a)Nếu mặt phẳng (α ) có PTTQ Ax + By +Cz + D = r có VTPT n = (A; B; C) r r b) PT mặt phẳng qua điểm M (x 0; y 0; z ) nhận vectơ n = (A; B; C) ≠ làm VTPT có pt là: A(x − x ) + B( y − y ) + C(z − z ) = 2 Hãy tìm VTPT mp (α): 4x – 2y – 6z + = ? r n = (2; − 1; − 3) Ví dụ : Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(-1; 2; -3) nhân vectơ r n = (1 ; ; − 2) làm vectơ pháp tuyến x + y − 2z − = Các trường hợp riêng Cho mặt phẳng (α ) có PTTQ Ax + By +Cz + D = a Trường hợp z D=0 α O x Ax + By + Cz = ( α ) qua gốc tọa độ y b Nếu hệ số A, B, C z A=0 O α By + Cz + D = (α) song song chứa trục Ox x z i y z B=0 α E O J C=0 α y k x O Ax + Cz + D = (α) song song chứa trục Oy x y Ax + By + D = (α) song song chứa trục Oz c Nếu hệ số A, B, C z A= B = C≠0 - D C B≠0 α α O O y x Cz + D = (α) song song trùng với mp (Oxy) z x By + D = A≠0 α  D A O D B y (α) song song trùng với mp (Oxz) B=C=0 - z A= C = y Ax + D = x (α) song song hoaëc truứng vụựi mp (Oyz) Vị trí mặt so với yếu tố cúa hệ toạ Dạng phơng trỡnh độ Ax + By + Cz = Đi qua gèc toạ độ O Ax + By + D = Song song víi trơc Oz hc chøa trơc Oz Ax + Cz + D = Song song víi trơc Oy hc chøa trơc Oy By + Cz + D = Song song víi trơc Ox hc chøa trơc Ox Ax + D = Song song víi mp Oyz hc trïng víi mp Oyz By + D = Song song víi mp Oxz hc trïng víi mp Oxz Song song víi mp Oxyhc trïng víi mp d)Nếu bốn hệ số A, B, C, D khác 0, ta có (α) cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz điểm A(a; 0; 0), B( 0; b; 0), C( 0; 0; c) Ta goïi pt ( α) pt theo đoạn chắn z C c O a Minh hoa y b A x B x y z (α ) : + + = a b c Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm M(2; 0; 0), N(0; 3; 0), P(0; 0; 4) Hãy viết phương trình mp (MNP) ? Giải Theo pt mặt phẳng theo đoạn chắn ta có pt mp (MNP) là: x y z + + = ⇔ x + y + 3z −12 = Củng cố Các kiến thức trọng tâm: - Vectơ pháp tuyến mặt phẳng, cách xác định vectơ pháp tuyến mặt phẳng - Tích có hướng hai vectơ - Phương trình tổng quat mặt phẳng - Các trường hợp riêng phương trình mặt phẳng, hình vẽ Ví dụ: Lập phương trình tổng quát mặt phẳng (MNP) biết M(1;1;1), N(4;3;2), P(5;2;1) Bài tập nhà - Làm tập 1, 2, 3, SGK trang 80 - Ôn tập lại kiến thức học đọc phần III ... (a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) laøm VTPT r b r a α r n Giaûi : ru r Tacoù : a.n = a1 (a2b3 − a3b2 ) + a2 (a3b1 − a1b3 ) + a3 (a1b2 − a2b1 ) = a1a2b3 − a1a3b2 + a2a3b1 − a2a1b3 + a3a1b2... a1 a2 b1 b2 = a1b2 − a2b1 Bài PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Tiết 29 Một số hình ảnh thực tế Vectơ pháp tuyến mặt phẳng r n (α) Vectơ r r n≠0 gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng (α) giá vng góc với mặt phẳng. .. thức sau:   u r r  a2 a3 a3 a1 a1 a2  r n = a, b  =  ; ; ÷ = ( a2 b3 − a3 b2 ;a3 b1 − a1b3 ;a1b2 − a2 b1 )   b b b b b b ÷  3 1 2? ?? u r • ectơ n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( α ) V Trong