§1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN I- TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ 1- Hệ tọa độ Đề-các vng góc khơng gian Trongr khơng r r gian cho ba trục Ox, Oy, Oz đơi vng góc gốc O Gọi i, j , k vectơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz z k O i j x y r trục r Ox, Oy, Oz gọi hệ trục tọa độ Đề - vng Hệ gồmrba Vì Oxyz i, j, ktrong cá c vectơ đơn đôtrục i mộ t vuô g gógian c nê n: góc khơng gian, gọi tắt vò hệ Oxyz hay n khơng Oxyz r2 r r rr r r rr i = j = k = i j = j.k = k i = §1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN 2- Tọa độ điểm uuuu r OM Δ1 Trong cho r điểm theo uuuu r rkhơngrgian Oxyz, r r r M Hãy phân tích vectơ ba vectơ khơng phẳng choy; trục Ox,i Oy, OM = x.i + y.đồng j + z.k ⇔ ibộ sốđã(x; z)các đượ c gọ Oz , jba ,k z tọa độ điểm M Ta viết M(x; y; z) hay M=(x; y; z) x: hoành độ; y: tung Mđo ä; z: cao độ M k i M1 uuuu r M2 O j uuuuu r uuuuuur uuM' uuu r uuuuu r uuuuu r x Ta có OM = OM ' + M ' M = OM + OM + OM r r r = x.i + y j + z.k y §1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN z 3-Tọa độ vectơ: r ?2 Trong khôkhô ng gian Oxyz,Oxyz cho hình p ABCD.A'B'C'D' đỉnh vớitgốc O, Trong ng gian cho hộ vectơ a , luôcó n tồ n tạAi trù duyngnhấ A' Gi a û i uuu uruuruuur u r r r uuur rrr r r r r ruuu có AB, thứ tựAB cù ng(a; hướ n0) g =vớai i,.i + j, ka cóa AB = a, AD = b, AA' = c D' bộAD, số ; a ) cho: a j + k • AB =ba a.iAA' + 0(a theo j 1+; 0a.k ⇒ = 0; u1uuur M uuur uuur uuur r 3uuu rr uuurr uuuur r C' Hãy•tín h to độ+cá c vectơ AC = ïaAB AD = a.i + AB, b j +AC, 0.k AC' AMB' với M trung điểm cạnh C'D' Ta uuurgọi ba số (a1; a ; a3 ) tọa độ vectơ a r 0) r ⇒ AC = (a; b; k u uur viế uutu u uu u ; ar ; a r); hoặ r c a(a ; a ; a ) Ta : = ( • AC' = AC + AA' 1= a.i2 + b.3 j + c.k A r r r r r uuur ⇒Như AC' =vậ (a;y:b;•c)a = a1 i + a j + a3 k ⇔ a = (a1; a ; a3 ) i u r uuuu r uuuu r uuuuur uuuu r uuur uuu u u u r • AM = AD' +•D'M(x; M = AA' + AD + AB y; z)B y; z) ⇔ OM = (x; x r r r r uuur uuur uuuu = AB + AD + AA' = a.i + b j + c.k 2 uuuu r ⇒ AM = ( a; b, c) D y j C §1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TỐN VECTƠ 1- Định lí: r r x = x' r r r r Trong không gian cho hai vectơ a(x;= y; (x;z)y;vàz)bvà b =y'; (x',z')y'; z') Ta có : y = y' r r r Ví dụ: a) Cho hai vectơ a = = (x'; ta có a = b ⇔ 2Hệ quả: r minh: Các em nhà xem SGKr vàr tự chứng minh hai trường rChứng Trong ng gian Oxyz, cho a = (2;• -3; 1); b(x=-(1; 3; -2) c = (-2;0;z =1) z' •hợp a + bkhô = r(x+x'; y+y'; z+z') a − b = x'; y y'; z z') lại r r r r r r r b) Tính: b −z)=( c ;=k(0; 2) 2a − b − 3c • k a =1)k.a(x;+ y; x; k0;y;0)k z), k ∈ ¡ x = k.x' r r r r c) Với b ≠ , a phương b ⇔ y = k.y' ; (k ∈ ¡ ) z = k.z' d) Nếu A(x A ; y A ; z A ), B(x B ; y B ; z B ) uuur • AB = (x B - x A ; y B - y A ; z B -z A ) xA + xB x = M y + yB • M(x M ; y M ; z M ) trung điểm AB thì: yM = A zA + zB z = M §1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CÁC CỦA CÁC PHÉP TỐN VECTƠ Ví dụ: r điểm A(1; 5;r 2), B(3; -4;r 7), C(0; 2; -1) 2) Trong không gian Oxyz, cho ba 1) Trong không gian Oxyz, cho a = (2; -4; 1), b = ( x; 5; 2), c = (3; y; z) a) Chứng minh r rằr ngr3 điểm A, B, C không thẳng hàng Tính x, y, tọ z để bm + cD để ABCD hình bình hành b) Tìm a độa = điể Giai û r r Ta có : b + c = ( x + 3; + y; z + 2) r a = (2; − 4; 1) x + = x = −1 r r r Vậy a = b + c ⇔ 5 + y = −4 ⇔ y = −9 z + = z = −1 CỦNG CỐ: Về nhà em cần học kỷ mục sau: - Hệ tọa đọ Đề - các, -Tọa độ điểm, tọa độ vêctơ -Biểu thức tọa độ phép tốn vectơ, điều kiện để hai vectơ nhau, phương HƯỚNG DẪN: Bài tập 3/ T68 uuur uuu r DC = AB → C uuuu r uuur CC' = BB' → B' uuuu r uuuu r DD' = CC' → D' uuur uuuu r AA' = DD' → A' A' B' C'(4; 5; -5) D(1; -1; 1) A( 1; 0; 1) B( 2; 1; 2) Bài tập VN: 1, 2, 3/ T68 D' C