Bài giảng Hình học 12 chương 3 bài 1: Hệ trục tọa độ trong không gian

HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Giáo viên soạn: Trần Trọng Tiến Trần Trọng Tiến Đình Lập I Toạ độ điểm véctơ Hệ toạ độ Trong khơng gian, cho ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vng góc với đôi Gọi i , j , k véctơ đơn vị trục x’Ox, y’Oy, z’Oz z −> k −> j Hệ gồm ba trục gọi hệ i trục toạ độ Đề – Các vng góc Oxyz y O không gian, hay đơn giản gọi x hệ toạ độ Oxyz Vì i , j , k đôi vuông Điểm O gọi gốc toạ độ góc nên: −> Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đơi vng góc với gọi mặt phẳng toạ độ Khơng gian toạ độ Oxyz cịn gọi không gian Oxyz −> −> −> −> −> −> i j = 0, j k = 0, k i = −> −> −> i = 1, j = 1, k = Trần Trọng Tiến Đình Lập I Toạ độ điểm véctơ Hệ toạ độ z Hoạt động Trong khơng gian Oxyz cho M3 điểm M Hãy phân tích véctơ OM theo ba M’’’ vectơ không đồng phẳng i , j , k cho −> trục Ox, Oy, Oz k −> −> Giải j i O Dựng hình hộp OM1M’M2.M3M’’’MM’’ x M Khi OM1 , OM2, OM3 phương với vectơ− −−i >, j , k Khi ta có − −−> − −−> OM = OM'+ OM − −−> − −−> − −−> = OM + OM + OM −> −> −> = x i + y j+ zk M’’ M M’ M2 y Trần Trọng Tiến Đình Lập I Toạ độ điểm véctơ Toạ độ điểm z Trong không gian Oxyz cho điểm M tuỳ M3 ý Vì ba vectơ i , j , k không đồng phẳng M2 M’’’ nên có ba số (x; y; z) M −> cho − −−> −> −> −> k −> − > OM = x i + y j + z k j M’’ i y O Ngược lại, với ba số (x; y; z) ta có x M1 M’ điểm M không Từ định nghĩa ta suy toạ độ gian thoả mãn hệ thức hình chiếu điểm M − −−> −> −> −> trục Ox, Oy, Oz mặt OM = x i + y j + z k phẳng toạ độ (0xy) (0yz), (0xz) Ta gọi ba số (x; y; z) toạ độ điểm M hệ toạ độ Oxyz cho điểm M1(x; 0; 0), M2(0; viết: y; 0), M3(0; 0; z), M’(x;y;0) , M’’(0; y; z), M”’(x; 0; z) M= (x; y; z) , M(x; y; z) Trần Trọng Tiến Đình Lập I Toạ độ điểm véctơ Toạ độ điểm − −−> −> −> −> OM = x i + y j + z k  M= (x; y; z) , M(x; y; z) Toạ độ vectơ Trong khơng gian Oxyz cho a Khi tồn ba số (a1; a2; a3) −> −> −> −> a = a1 i + a j + a k Ta gọi ba số (a1; a2; a3) toạ độ vec tơ a hệ toạ độ Oxyz cho trước viết a = (a1; a2; a3) a(a1;a2;a3) x Nhận xét Trong toạ độ Oxyz, toạ độ điểm M toạ độ vec tơ OM Ta có M=(x; y; z)  OM = (x; y; z) z −> a M3 M’’’ M2 −> a −> −> k i M1 O M −> j M’ M’’ y Trần Trọng Tiến Đình Lập I Toạ độ điểm véctơ Toạ độ điểm − −−> −> −> −> OM = x i + y j + z k  M= (x; y; z) , M(x; y; z) 3.− >Toạ độ vectơ −> −> −> −> a = a i + a j + a k ⇔ a = (a ; a ; a ) z Hoạt động Trong toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O, có AB, AD, AA’ theo thứ tự hướng với i , j , k có AB=a, AD = b, AA’ = c Hãy tính toạ độ véctơ AB , AC, AC’ AM với M trung điểm cạnh C’D’ Giải AB = a i ⇔ AB = (a; 0; 0) − −−> −> − −−> − −−> − −−> −> − −−> − −−> − −−> − −−> M D’ C’ B’ c x − −−> −> A’ a B b A C D y − −−> AC = AB + AD = a i + b j ⇔ AC = (a; b; 0) −> −> −> − −−> AC' = AB + AD+ AA' = a i + b j + c k ⇔ AC' = (a; b; c) − −−> −> −> −> −> − −−> − −−> − −−> −> AM = ( AC'+ AD') = (a i + b j + c k + b j + c k ) ⇔ AM = ( a; 2b; 2c ) 2 Trần Trọng Tiến Đình Lập I.−Toạ độ điểm véctơ −−> −> −> −> −> −> −>  −>  k a = k  a1 i + a j + a k   −> − > −> = ka1 i + ka j + ka k OM = −x> i + y− > j + z− >k − >M= (x; y; z) −> a = a i + a j + a k ⇔ a = (a ; a ; a ) −> II BTTĐ phép toán vectơ ⇔ k a = (ka1 ; ka ; ka ) Trong không gian Oxyz cho hai vectơ −> −> a = (a1 ; a ; a ), b = (b ; b ; b ) −> −> a ) a ± b = (a ± b ; a ± b ; a ± b ) −> b ) k a = (ka1 ; ka ; ka ), k ∈ R Chứng minh −> −> −> −> a = a1 i + a j + a k −> −> −> −> b = b1 i + b j + b k −> −> −> −> −> −> −> a ± b = (a ± b ) i + (a ± b ) j + (a ± b ) k ⇔ a ± b = (a ± b ; a ± b ; a ± b ) Trần Trọng Tiến Đình Lập I.−Toạ độ điểm véctơ −−> −> −> −> Ví dụ Cho A(1; 3; 2), B(3;-2;1) C(4;-1;3) Tìm toạ độ điểm D cho ABCD hình bình hành Giải II BTTĐ phép tốn vectơ Do ABCD hình bình hành ta có: B C Trong khơng gian Oxyz cho hai vectơ OM = −x> i + y− > j + z− >k − >M= (x; y; z) −> a = a i + a j + a k ⇔ a = (a ; a ; a ) −> −> a = (a1 ; a ; a ), b = (b ; b ; b ) − −−> − −−> CD = BA D A a = b x D − xC = x A − x B −> −> −>  a ) a = b = a = b ; b ) = ( 0; 0; 0) ⇔  y − y = y − y  D C A B a = b z − z = z − z  3  D C A B c) a b phương x D = x A − x B + xC = − + = a1=kb1 , a2 = kb2 , a3 = ka3 − −−>  ⇔ y D − y C = y A − y B + y C = + − = d ) AB = ( x B − x A ; y B − y A ; z B − z A ) z − z = z − z + z = − + =  D C A B C e) M trung điểm AB  x A + xB y A + y B z A + z B  Vậy D = (2; 4; 4) M= ; ;  2   Trần Trọng Tiến I.−Toạ độ điểm véctơ −−> −> −> −> OM = −x> i + y− > j + z− >k − >M= (x; y; z) −> a = a i + a j + a k ⇔ a = (a ; a ; a ) Đình Lập Ví dụ Cho A(1; 1; 1), B(0;7/3;2/3) C(7/4; 0; 5/4) Chứng minh A, B, C thẳng hàng Giải II BTTĐ phép toán vectơ − −−>   AB =  − 1; − 1; −  Trong không gian Oxyz cho hai vectơ 3   −> −> a = (a1 ; a ; a ), b = (b ; b ; b ) 1  =  − 1; ; −  3  a = b −> −> −>  − −−> a ) a = b = a = b ; b ) = ( 0; 0; 0)  7 AC = − ; − ; − 1  a = b  4  3 1 3 c) a b phương =  ; −1;  a1=kb1 , a2 = kb2 , a3 = ka3 4 4 − −−> − −−> − −−> d ) AB = ( x B − x A ; y B − y A ; z B − z A ) ⇒ AB = − AC e) M trung điểm AB => AB , AC phương hay A,  x A + xB y A + y B z A + z B  M= ; ;  B, C thẳng hàng 2   Trần Trọng Tiến Đình Lập I.−Toạ độ điểm véctơ Ví dụ Cho A(1; 3; 2), M(3;−−> −> −> −> OM = −x> i + y− > j + z− >k − >M= (x; y; z) −> a = a i + a j + a k ⇔ a = (a ; a ; a ) 2;1) Tìm toạ độ điểm B cho A, B đối xứng qua điểm M II BTTĐ phép tốn vectơ Trong khơng gian Oxyz cho hai vectơ −> −> a = (a1 ; a ; a ), b = (b ; b ; b ) Giải Do A B đối xứng qua M nên M trung điểm AB, nên ta có a = b −>  x A + xB y A + y B z A + z B   ; ;  a ) a = b = a = b ; b ) = ( 0; 0; 0) M =  2   a = b  3  x B = 2x M − x A = 2.3 − = c) a b phương  ⇔  y B = 2y M − y A = 2.( −2) − = −7 a1=kb1 , a2 = kb2 , a3 = ka3 − −−>  z = 2z − z = 2.1 − =  B d ) AB = ( x B − x A ; y B − y A ; z B − z A ) M A −> −> e) M trung điểm AB  x A + xB y A + y B z A + z B  M= ; ;  2   Vậy toạ độ điểm B = (5; -7; 0) CỦNG CỐ Qua học học sinh cần nắm Hệ toạ độ không gian Toạ độ vectơ Toạ độ điểm, toạ độ hình chiếu điểm trục toạ độ mặt phẳng toạ độ Các phép toán vectơ Điều kiện ba điểm thẳng hàng, phương pháp tìm toạ độ điểm qua phép đối xứng tâm