Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Giải tích hàm: Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: toán tử trong không gian banach; không gian hilbert và toán tử trong không gian hilbert. Mời các bạn cùng tham khảo!
Chơng Toán tử không gian Banach Trong chơng nghiên cứu tính chất ánh xạ tuyến tính đặc biệt không gian Banach, đợc gọi chung toán tử tuyến tính, đồng thời, để đơn giản cách viết, A : E F toán tử tuyến tính x A viết Ax thay cho A(x) để ảnh x qua A Đó toán tử liên hợp, toán tử compact, toán tử hữu hạn chiều Đặc biệt, giới thiƯu kh¸i niƯm vỊ phỉ cđa to¸n tư tun tÝnh tính chất tổng quát phổ, đồng thời nghiên cứu đặc trng phổ số toán tử tuyến tính đặc biệt đà giới thiệu Để đơn giản cách viết, A : E F toán tử tuyến tính x A viết Ax thay cho A(x) để ảnh x qua A Toán tử liên hợp Định nghĩa 1.1 Giả sử E không gian định chuẩn Ta gọi không gian liên hợp tôpô E = L(E, K) E không gian liên hợp thứ E Không gian liên hợp E đợc ký hiệu E gọi không gian liên hợp thứ hai E Nh− vËy E = (E ) = L(E ; K) 84 Mệnh đề 1.2 Giả sử E không gian định chuẩn Khi ánh xạ E : E E xác định công thức: E (x)(f) = f(x), x E, f E đơn cấu giữ nguyên chuẩn từ E vào E Nói cách khác E phép nhúng đẳng cự không gian E vào E Chøng minh HiĨn nhiªn víi mäi x ∈ E, phiếm hàm E (x) tuyến tính E vµ |ηE (x)(f)| = |f(x)| x f víi mäi f ∈ E x víi mäi x ∈ E, nghÜa E (x) nên E (x) liên tục E E (x) E Mặt khác, với x E, x = 0, theo hệ định lý Hahn- Banach, tồn f E cho f = vµ f(x) = x Tõ ®ã, theo ®Þnh nghÜa chuÈn ta cã: ηE (x) |ηE (x)(f)| = |f(x)| = x víi mäi x ∈ E VËy ηE (x) = x víi mäi x ∈ E nên E : E E đơn cấu giữ nguyên chuẩn từ E vào E Ví dụ Từ ví dụ Chơng mục 4.3 đà biết cặp không gian đẳng cự sau ®©y: (Kn ) ∼ = Kn , ( ) ∼ = ∞, ( p) ∼ = q 85 víi p, q ∈ R, p, q > 0, 1 + = p q Định nghĩa 1.3 Giả sử E F không gian định chuẩn f L(E; F ) Khi toán tử tuyến tính f : F E xác định f (u) := u f, u F , đợc gọi toán tử liên hợp thứ f To¸n tư f = (f ) : E → F đợc gọi toán tử liên hợp thứ hai f MƯnh ®Ị 1.4 NÕu f ∈ L(E; F ) f L(E ; F ) f = f §ång thêi, ηF ◦ f = f ◦ E , E : E E phép nhúng đẳng cự E vào không gian liên hợp thø hai E cña E Chøng minh Do f (u) = u ◦ f, u ∈ F , nªn dƠ thấy f ánh xạ tuyến tính Ta có: f (u) = u ◦ f Suy f liªn tơc f f Để chứng minh f = f ta phải f Trớc hết ta ηF ◦ f = f ◦ ηE mµ cã thĨ viÕt ng¾n chØ f gän f = f u víi mäi u ∈ F f E nÕu ta ®ång nhÊt E víi ηE (E) ⊂ E Thật vậy, từ định nghĩa E , F f = (f ) nªn víi mäi x ∈ E vµ víi mäi u ∈ F ta cã: f E −−−→ F ⏐ ⏐ ⏐ ⏐η (f ◦ ηE )(x) (u) = f (ηE (x)) (u) = ηE (x) ◦ f (u) ηE = ηE (x) f (u) = [f (u)](x) = u(f(x)) F E ←−−− F = ηF (f(x)) (u) = (ηF ◦ f)(x) (u) f Suy f ◦ ηE = ηF ◦ f f víi f thay f ta có f Bây áp dụng bất đẳng thức f f Mặt khác, từ đẳng thøc f ◦ ηE = ηF ◦ f vµ tõ tính giữ nguyên chuẩn E F ta có f = f(x) = sup x∈E, x sup x∈E, x = ηF ◦ f = f ◦ ηE ηF (f(x)) = ηF f Tõ c¸c chøng minh trªn suy f = f 86 = f (ηF ◦ f)(x) sup x∈E, x f MƯnh ®Ị 1.5 Nếu f, g : E F toán tử tuyến tính liên tục không gian định chuẩn E F với , ∈ K ta cã: (αf + βg) = αf + g Chứng minh Theo định nghĩa ta có (f + βg) (u)(x) = u((αf + βg)x) = u(αf(x) + βg(x) = αu(f(x)) + βu(g(x)) = α(f u)(x) + β(g u)(x) ∀u ∈ F , ∀x ∈ E NghÜa lµ (αf + βg) = αf + βg MƯnh ®Ị 1.6 a) NÕu f ∈ L(E; F ), g ∈ L(F ; G) th× (g ◦ f) = f ◦ g b) (1E ) = 1E Chøng minh a) Từ định nghĩa toán tử liên hợp ta có: (g ◦ f) (v)(x) = [v(g ◦ f)](x) = v(g(f(x))) = (g v)(f(x)) = f (g v)(x) = (f ◦ g )(v)(x) víi mäi v ∈ G vµ víi mäi x ∈ E NghÜa lµ (g ◦ f) = g f b) Xét ánh xạ f ∈ L(E; E) Theo a) ta cã: f = (f ◦ 1E ) = (1E ) ◦ f ∈ L(E ; E ) f = (1E ◦ f) = f ◦ (1E ) ∈ L(E ; E ) ⇒ (1E ) = 1E Mệnh đề 1.7 Giả sử E F không gian Banach f L(E, F ) Khi ®ã f : E → F đẳng cấu f : F E đẳng cấu Khi (f )1 = (f −1 ) 87 Chøng minh Gi¶ sư f : E F đẳng cấu, tồn ánh xạ g : F E thoả mÃn g ◦ f = 1E , f ◦ g = 1F 1E 1F ký hiệu ánh xạ ®ång nhÊt cđa E vµ F Tõ mƯnh ®Ị 1.6 ta cã: f ◦ g = (g ◦ f) = (1E ) = 1E g ◦ f = (f ◦ g) = (1F ) = 1F Suy f : F E đẳng cấu Ngợc lại, giả sử f : F E đẳng cấu Do f = (f ) nªn theo chøng minh ë trªn suy f : E F đẳng cấu Do f E = f nªn f : E → Im F đẳng cấu Suy Im f không gian Banach không gian ®ãng cña F Ta sÏ chøng minh Im f = F ThËt vËy, gi¶ sư Im f = F , theo hệ 3.5, chơng (hệ định lý Hahn-Banach), tồn v F , v = cho v Im f = Suy f (v) = v ◦ f = Do f đơn ánh nên từ f (v) = suy v = Điều trái với giả thiết v = Mâu thuẫn chứng tỏ gi¶ thiÕt ph¶n chøng sai VËy Im f = F f : E F Toán tử compact Trong nghiên cứu số tính chất quan trọng toán tử compact không gian định chuẩn không gian Banach Đó là: đặc trng toán tử compact; phép toán toán tử compact; toán tử nghịch đảo đẳng cấu compact đặc biệt Định lý Schauder toán tử liên hợp toán tử compact Định nghĩa 2.1 Giả sử E F không gian định chuẩn Toán tử tuyến tính f đợc gọi toán tử compact ảnh qua f hình cầu đóng đơn vị E B[0, 1] = {x ∈ E : x 88 1} lµ tËp compact tơng đối F Chú ý tập X F đợc gọi compact tơng đối E bao đóng X X tập compact F Nhận xét Nếu f toán tử compact f(B[0, 1]) bị chặn F nên f liên tục, toán tử compact đợc gọi toán tử hoàn toàn liên tục Mệnh đề 2.2 Giả sử E vào F không gian định chuẩn Khi toán tử tuyến tính f : E F , khẳng định sau tơng đơng: a) f toán tử compact; b) Nếu A tập bị chặn E f(A) tập compact tơng đối F ; c) Với dÃy bị chặn {xn } E, tồn mét d·y {xnk } ®Ĩ {f(xnk )} héi tơ F Chøng minh b) ⇒ a) LÊy n ∈ N∗ cho A ⊂ nB[0, 1] V× f ánh xạ tuyến tính nên f(A) f(nB[0, 1]) nf(B[0, 1]) Lại ánh xạ y ny đẳng cấu nên từ tính compact tơng đối f(B[0, 1]) suy tính compact tơng đối nf(B[0, 1]) Tõ ®ã suy tËp f(A) ⊂ nf(B[0, 1]) tập compact tơng đối F b) ⇒ c) HiĨn nhiªn c) ⇒ a) LÊy d·y (yn )nN f(B[0, 1]) tùy ý, tồn d·y (xn )n∈N∗ ⊂ B[0, 1] cho f(xn ) = yn , (∀n) Theo gi¶ thiÕt, d·y (xn ) cã d·y (xkn ) cho ykn = f(xkn ) → y ∈ F , nghÜa lµ d·y (yn )n cã d·y héi tô F , f(B[0, 1]) compact tơng đối Ví dụ Từ định lý Riesz suy E vô hạn chiều ánh xạ đồng E liên tục nhng toán tử compact Ví dụ Không gian định chuẩn E hữu hạn chiều toán tử đồng E toán tử compact 89 Mệnh đề 2.3 Nếu f, g toán tử compact từ không gian định chuẩn E đến không gian định chuẩn F f + g toán tử compact Chứng minh Thật vậy, cho {xn } E bị chặn Do f compact tồn dÃy {xnk } để f(xnk ) y Cũng g compact tồn tạixnkj ®Ó g(xnkj ) → z Suy αf(xnkj ) + βg(xnkj ) → y + z VËy αf + βg compact Mệnh đề 2.4 Nếu f L(E, F ), g L(F, G) E, F, G không gian định chuẩn, g f : E G compact f g lµ compact Chøng minh Cho {xn } ⊂ E lµ dÃy bị chặn E Đầu tiên giả sử f compact Khi có dÃy {xnk } để f(xnk ) y Do g liên tục nên (g◦f)(xnk ) = g(f(xnk )) → g(y) ∈ G VËy gf : E G toán tử compact Tiếp theo, giả sử g compact Do f tuyến tính liên tục tập {xn : n N } E bị chặn nên tập {f(xn )} F bị chặn Vậy, g compact tồn d·y g(f(xnk )) → z ⇔ (g ◦ f)(xnk ) → z Suy g ◦ f lµ compact §Þnh lý 2.5 NÕu {fn } ⊂ L(E, F ) dÃy toán tử compact từ không gian Banach E vào không gian Banach F hội tụ tới f L(E, F ) f toán tử compact Chứng minh Do F đầy, theo đặc trng Hausdorff vỊ tÝnh compact cđa mét tËp kh«ng gian metric đầy, cần chứng minh f(BE ) hoàn toàn bị chặn, với BE = {x E : x 1} Cho ε > 0, chän n0 ®Ĩ f − fn0 < ε ⇒ f(x) − fn0 (x) ε víi mäi x ∈ BE Do fn0 lµ compact, tån t¹i x1, , xn ∈ BE ®Ó ∀x ∈ BE , ∃1 i n : fn0 (x) − fn0 (xi ) < ε 90 Cho x ∈ BE Chän i n tho¶ m·n bÊt đẳng thức Ta có f(x) fn0 (x) + fn0 (x) − fn0 (xi ) < 2ε f(x) − f(xi ) VËy x1 , , xn 2- lới hữu hạn f(BE ) Do f toán tử compact Định lý Shauder dới nêu lên mối liên hệ tính compact toán tử tuyến tính liên tục f L(E, F ) toán tử liên hợp Định lý 2.6 (Schauder) Cho E, F không gian tuyến tính định chuẩn f L(E, F ) Khi đó: a) Nếu f toán tử compact toán tử liên hợp f : F E f toán tử compact b) Nếu F không gian Banach toán tử liên hợp f : F E toán tử compact f toán tư compact Chøng minh Chóng ta ký hiƯu BE lµ hình cầu đóng đơn vị E BF hình cầu đóng đơn vị F a) Giả sử f : E F compact Để chứng minh f toán tử compact, nhờ định nghĩa, chứng minh f (BF ) hoàn toàn bị chặn E : Cho ε > 0, f(BE ) hoàn toàn bị chặn F nên tồn -lới hữu hạn {y1, , yn } cña f(BE ) XÐt tËp L ⊂ Kn cho bëi L = {(v(y1), , v(yn )) : v ∈ BF } Do sup{|v(yj )| : j n, v ∈ F , v 1} = max yj < + j n nên L bị chặn Kn hoàn toàn bị chặn Kn , Kn xét với chuẩn max: (1, , ξn ) = max |ξj | j n 91 Vì L hoàn toàn bị chặn Kn nªn cã thĨ chän cho L mét ε- lới hữu hạn gồm toàn phần tử L: { v1(y1 ), , v1(yn ) ; ; vm (y1 ), , vm (yn ) } Ta sÏ chøng tá tËp hỵp {f (v1), , f (vm )} 3-lới hữu hạn f (BF ) E Cho v ∈ BF , chän k0 m cho max |vk0 (yj ) − v(yj )| < j n Điều có đợc (vk (y1 ), , vk (yn )), TiÕp theo víi mäi x ∈ BE vµ chän jx ∈ N∗ : k jx m lµ ε- l−íi hữu hạn L n cho f(x)yjx < Suy f (v) − f (vk0 ) = sup{|(f (v) − f (vk0 ))(x)| : x = sup{|(v − vk0 )(f(x))| : x + sup{|(v − vk0 )(yjx )| : x sup{ v f(x) − yjx : x + sup{ vk0 VËy {f (vk ), yjx − f(x) : x k 1} 1} sup{|v(f(x) − yjx )| : x 1} + sup{|vk0 (yjx − f(x))| : |x 1} + sup{|v(yjx ) − vk0 (yjx )| : x 1} 1} 1} 1} < ε + ε + ε = m} 3-lới hữu hạn f (BF ), suy f toán tử compact b) Giả sử F không gian Banach f toán tử compact, áp dụng điều vừa chứng minh cho f ta có f toán tử compact Mặt khác, f = f E suy f toán tử compact Toán tử hữu hạn chiều Định nghĩa 3.1 Cho E, F không gian định chuẩn f : E F ánh xạ tuyến tính Ta nói f toán tử hữu hạn chiều Im f không gian hữu hạn chiều F 92 Mệnh đề 3.2 Mọi toán tử tuyến tính liên tục hữu hạn chiều toán tư compact Chøng minh Gi¶ sư f : E → F toán tử tuyến tính liên tục hữu hạn chiều, tức Im f không gian hữu hạn chiều không gian Banach F nên đóng F Do BE [0, 1] = {x ∈ E | x 1} lµ tËp bị chặn E f liên tục nên f(BE [0, 1]) tập bị chặn Im f Ta đà biết, tập bị chặn không gian hữu hạn chiều tập compact tơng đối nên f(BE [0, 1]) tập compact tơng đối Im f compact tơng đối F , tức f toán tử compact Ví dụ Nếu E F hữu hạn chiều ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F toán tử compact Thật vậy, E không gian định chuẩn hữu hạn chiều f : E F toán tử tuyến tính liên tục, ®ã dƠ thÊy dim Im f dim f nªn Im f không gian hữu hạn chiều F nên f toán tử hữu hạn chiều Theo mệnh đề 3.2, f toán tử compact Trờng hợp F hữu hạn chiều toán tử tuyến tính liên tục từ E đến F toán tử hữu hạn chiều, dó toán tử compact Mệnh đề 3.3 Cho f ∈ L(E, F ) víi E, F không gian Banach Khi f toán tử hữu hạn chiều tồn u1, , un ∈ E vµ y1, , yn ∈ F ®Ĩ n uj (x)yj , x ∈ E f(x) = j=1 Chøng minh Điều kiện đủ hiển nhiên Im f không gian không gian hữu hạn chiỊu sinh bëi y1, , yn nªn dim Im f n Ngợc lại, giả sử f hữu hạn chiều Chọn y1 , , yn sở Im f Khi y Im f biểu diễn đợc d−íi d¹ng: n y= fj (y)yj j=1 93 TiÕp theo, theo chứng minh ta thấy l1 l2, nữa, l1 không gian vector l2 chuẩn sinh tích vô hớng l1 trùng với chuẩn không gian Banach l2 Vì vậy, với tích vô hớng trên, l1 không gian Hilbert, thân không gian Banach l2 nên không gian đóng l2 Nhng l1 không gian đóng l2, vËy kh«ng thĨ kh«ng gian Hilbert ThËt vËy, chän d·y (xk )kN l1 xác định bởi: xk = (xkn ) n=1 với xkn = Rõ ràng, chuỗi Riemann ∞ sè n=1 1+ n k n=1 ns n +∞ 1+ n k kh¸c, d·y (xk )∞ k=1 ⊂ l1 , n = 1, +∞ , k = 1, 2, héi tô s > nên, với k N , chuỗi hội tụ, nghĩa xk = Vì r»ng, nÕu d·y l1 1+ k1 n=1 ∈ l1 víi mäi k = 1, 2, Nãi cách yk = (kn ) n=1 hội tụ đến phÇn tư y = (ξn )n=1 ∈ l1 , k → ∞, theo chn sinh bëi tÝch v« h−íng l1 (tức chuẩn không gian Banach l2) hội tụ hội tụ theo thành phần, nghĩa lim kn = n , ∀n = 1, 2, nªn nÕu d·y (xk )kN l1 xác định hội tụ k đến phần tử x = (n ) l2 th× lim k→∞ 1+ k1 n = , n n = 1, 2, ta suy x = Nhng lại chuỗi số dơng n=1 n không hội tụ nên x = n ∞ n=1 ∞ n n=1 ∈ l2 / l1 Điều chứng tỏ l1 không gian đóng l2 theo chuẩn sinh tích vô hớng xét Bài Nếu chuẩn sup đà cho sinh tích vô hớng C[0; 2] bất đẳng thức hình bình hành sau phải thoả mÃn với f, g ∈ C[0; 2π]: f +g + f −g 200 = 2( f + g 2) (1) B»ng c¸ch chän f(t) = max(sin t; 0), g(t) = max(− sin t; 0), t ∈ [0; 2π] ta thÊy f + g = f − g = f = g = Nh vậy, với hàm f, g vừa chọn bất đẳng thức hình bình hành (1) thoả mÃn Chứng tỏ chuẩn đà cho đợc sinh tích vô hớng C[0; 2] Bài Bằng định nghĩa tích vô hớng, dễ dàng kiểm tra đợc công thức f(x)g(x)dx f, g := (1) xác định tích vô hớng C[1; 1] nên C[1; 1] không gian tiền Hilbert chuẩn C[1; 1] sinh tích vô hớng nµy lµ: |f(x)|2dx f = , f ∈ C[0; 1] (2) −1 Ta chøng minh C[−1; 1] với chuẩn (2) không gian Banach, tức C[1; 1] với tích vô hớng (1) không gian Hilbert Xét dÃy hàm số liên tục {fn }n Khi dÃy ({fn }n xác định bëi: ⎧ ⎪ ⎨0 fn (t) = nt ⎪ ⎩ nÕu − t nÕu t n1 n1 t dÃy Cauchy ⎨0 |fm (t) − fn (t)| = |fm (t) − fn (t)| ⎪ ⎩ 201 − t 1 t max{ m ; n} 1 max{ m ; n } t fm − fn = −1 1 max{ m ;n } + |fm (t) − fn (t)|2dt = −1 |fm (t) − fn (t)|2dt + |fm (t) − fn (t)|2dt + 1 max{ m ;n} |fm (t) − fn (t)|2dt 1 1 ; } + = max{ ; } → m, n → ∞ m n m n Từ đó, f hàm liên tục trªn [−1; 1] cho + max{ lim fn − f n→∞ = lim n→∞ −1 |fn (t) f(t)|2dt = phải có giới hạn điểm lim |fn (t) f(t)| = 0, t ∈ [−1; 1], tõ ®ã suy ra: n→∞ f(t) = lim fn (t) = n→∞ − t t Điều trái với tính liên tục f Bài Vì F không gian vector thực E nên tồn t¹i = a ∈ E \ F XÐt kh«ng gian vector mét chiỊu L sinh bëi a: L = {λa, λ ∈ C} Gäi H = L⊥ F Khi đó, H siêu phẳng đóng F phần tử b F \ {0} không trực giao với H, b trùc giao víi H th× b = λa, λ = nên a F , mâu thuẫn ! 202 Bài a) Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, với mäi n ∈ N∗ ta cã: | xn , yn | | xn , yn | xn yn xn yn xn yn 1 ⇒ | xn , yn | | xn , yn | xn yn 1 Theo giả thiết, lim = nên (1) cho n ta đợc lim xn n n (1) = 1, lim yn = n→∞ b) Víi mäi n ∈ N∗ ta cã: xn − yn = xn − yn , xn − yn = xn + yn − xn , yn − xn , yn (2) Do lim xn , yn = suy lim xn , yn = LÊy giíi h¹n hai vÕ cđa (2) n→∞ n→∞ n ta đợc lim xn yn n = 0, suy lim xn − yn = n→∞ Bài Cách 1: Do E không gian Hilbert, tức với chuẩn sinh tích vô hớng E không gian Banach, nên để chứng minh ánh xạ A : E E liên tục, áp dụng kết tập chơng 2, ta cần chứng minh A f liên tục với f ∈ E ThËt vËy, v× f ∈ E nên theo Định lý Riesz biểu diễn phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Hilbert, tồn t¹i a ∈ E cho f(y) = y, a víi mäi y =∈ E Do ®ã (u ◦ A)(x) = u(Ax) Ax, a = x, Aa , ∀x ∈ E Suy (u ◦ A)(x) = | x, Aa | Aa x víi mäi x ∈ E BÊt đẳng thức chứng tỏ u A liên tục u A Aa Cách 2: Với chuẩn sinh tích vô hớng, E không gian Banach Để chứng minh toán tử tuyến tính A : E E liên tục, áp dụng định lý đồ thị đóng, ta cần chứng minh A có đồ thị đóng Thật vậy, giả sử {xn }nN dÃy phÇn tư bÊt kú cđa E cho (xn , Axn ) → (x, y) ∈ E × E, xn x, Axn y Lại hàm E ì E (x, y) x, y hàm liªn tơc nªn ta cã (∀u ∈ E) lim Axn , u = y, u n→∞ 203 (1) KÕt hỵp víi gi¶ thiÕt ta suy ra: (∀u ∈ E) lim Axn , u = lim xn , Au = x, Au = Ax, u n→∞ n→∞ (2) Tõ (1) vµ (2), tÝnh nhÊt cđa giíi h¹n C ta suy ra: (∀u ∈ E) Ax, u = y, u ⇔ (∀u ∈ E) Ax − y, u = (3) Tõ (3) ta suy Ax − y = hay lµ Ax = y, chøng tá A có đồ thị đóng Bài 10 Tơng tự nh Bài 10, ta chứng minh A có đồ thị đóng Thật vậy, giả sử {xn }nN dÃy phần tử bất kú cña E cho (xn , Axn ) → (x, y) E ì E, xn x, Axn y Khi đó, tính liên tục cđa tÝch v« h−íng ta suy ra: (∀u ∈ E) lim Axn , u = y, u n→∞ (4) Tõ giả thiết tính liên tục phiếm hàm x → Ax, u , (∀u ∈ E), ta suy (∀u ∈ E) lim Axn , u = Ax, u n→∞ (5) Tõ (4) vµ (5), tÝnh nhÊt cđa giíi h¹n C ta suy ra: (∀u ∈ E) Ax, u = y, u ⇔ (∀u ∈ E) Ax − y, u = (6) Tõ (6) ta suy Ax − y = hay Ax = y, chứng tỏ A có đồ thị đóng Bài 11 Do L không gian đóng E nên E = L L Khi đó, phần tử x E biểu diễn đợc d−íi d¹ng x = u + v víi u ∈ L, v ∈ L⊥ Ngoµi ra, theo chøng minh Định lý 3.9, Chơng tồn phép chiÕu trùc giao ta cã: v = x − u = dist(x, L) x − y víi mäi y ∈ L () Do x L u = x = v Kết hợp với bất đẳng thức () ta suy ra: x x − y víi mäi y ∈ L 204 M = sup |λn | < +∞ víi mäi n ∈ N∗ nên theo bất Bài 12 Theo giả thiết |n | nN đẳng thức Bessel ta có: |n x, en | M n=1 Suy Ax | x, en |2 M x 2, (∀x ∈ E) n=1 ∞ = Ax, Ax = A liªn tơc vµ A n=1 |λn |2| x, en |2 M x 2, (∀x ∈ E) Chøng tá M = sup |n | Hơn nữa, đợc A = M nN Bài 13 Với n N xét ánh xạ An : E E xác định bëi n An x := λk x, ek ek , x ∈ E k=1 Do dim R(An ) < +∞ nên An toán tử hữu hạn chiều, An toán tử compact Mặt khác, với > tån t¹i n0 cho |λn | < ε víi mäi n víi n n0 vµ n0 ta cã: ∞ A − An = sup Ax − An x = sup x x 1 λk x, ek ek < k=n+1 Chứng tỏ A giới hạn L(E) dÃy toán tử compact nên theo Định lý 2.5 Chơng 3, A toán tử compact Bài 14 Giả sử p : E L toán tö compact Do p L = idL : L → L toán tử compact nên dim L < + Ngợc lại, dim L < + p : E L toán tử hữu hạn chiều nên p toán tử compact Bài 15 Với n xét ánh xạ An : E F xác định bëi n An x = x, ek Aek (1) k=1 Dễ thấy An toán tử tuyến tính theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, với x E ta cã n n n | x, ek | Aek An x k=1 x ek | Aek = k=1 205 Aek k=1 x n nªn An liªn tơc An k=1 Aek Nhờ định nghĩa (1) ta có Im An không gian không gian sinh bëi hÖ {Ae1; ; Aen } nên dim An < +, nghĩa An toán tử hữu hạn chiều toán tử compact Hơn nữa, {en }nN sở trực chuẩn E nên với x E ta cã x = ∞ ∞ n=1 x, en en nên Ax = với n N với mäi x ∈ E ta cã: ∞ (A − An )x = n=1 x, en Aen Tõ ®ã ta cã, ∞ | x, ek | Aek x, ek Aek k=n+1 k=n+1 ∞ ∞ | x, ek |2 k=n+1 Aek k=n+1 ∞ ∞ k=n+1 ∞ | x, ek |2 = Aek k=1 Aek x k=n+1 Suy ∞ An − A Aek víi mäi n ∈ N∗ k=n+1 Cho n → ∞, theo gi¶ thiết chuỗi n=1 Aen hội tụ nên lim n→∞ k=n+1 Aek = 0, suy lim An − A = chøng tá A lµ giíi hạn dÃy toán tử compact n L(E; F ) nên A toán tử compact Bài 16 Điều kiện cần Nếu M tập compact tơng đối M tập bị chặn Đặt n sn (x) = k=1 x, ek ek th× {sn }n∈N∗ ⊂ L(E; E) vµ lim sn (x) = idE (x), x ∈ E n Theo hệ 1.7 chơng 2, dÃy {sn }nN hội tụ M đến idE Điều kiện ®đ Víi ε > cho tr−íc, tån t¹i n0 cho n > n0 víi mäi x ∈ n x, ek ek < Cố định n1 > n0 vµ xÐt L = span{e1; ; en1 } M : x− k=1 Gi¶ sư f : E L ánh xạ cho f(x) = n1 k=1 x, ek ek DÔ thÊy f ánh xạ tuyến tính liên tục Do f(M) tập bị chặn L Vì dim L < + nên 206 f(M) hoàn toàn bị chặn L tồn x1 , , xp ∈ M cho víi ε x ∈ M : x − f(xi0 ) < víi mét xi0 đó, i0 p Khi đó, x M th× n1 n1 x− x − xi0 x, ek ek − x, ek ek + k=1 k=1 n1 xi0 , ek ek − xi0 < + n1 k=1 xi0 , ek ek k=1 ε ε ε + + = ε 3 Nh− vËy M lµ tËp hoàn toàn bị chặn E tập compact tơng đối E Bài 17 Gọi B hình cầu đóng đơn vị E Ta cần chứng minh {An }nN hội tụ B đến A Từ giả thiết ta có A(B) tập compact tơng đối E nên áp dụng kết 16 ta thu đợc kết cần chứng minh Bài 18 Trớc hết ta nhắc lại khái niệm hội tụ yếu: DÃy {xn }nN không gian Hilbert E đợc gọi hội tụ yếu ®Õn phÇn tư x0 ∈ E nÕu lim x, xn = x, x0 víi mäi x ∈ E KÝ hiƯu xn nvc x0 Bây giờ, giả sử dÃy {en }nN hệ trực chuẩn không gian Hilbert E, theo bất đẳng thức Bessel ta có: | x, en |2 x víi mäi x ∈ E n=1 Chứng tỏ chuỗi n=1 | x, en |2 hội tụ có lim | x, en | = = x, víi mäi x ∈ E Chøng tá en n→∞ ®ã en = nên en Bài 19 Ta cã | xn , yn − x, y | | xn , yn − x, yn | + | x, yn − x, y | = | xn − x, yn | + | x, yn − x, y | xn − x yn + | x, yn − x, y | 207 Do yn y nên theo định lý Banach - Steinhaux ta cã sup yn < +∞ Lại theo n giả thiết xn x nên từ đánh giá ta có | xn , yn − x, y | → n → ∞ Chøng tá lim xn , yn = x, y n Trờng hợp xn y không suy đợc xn , yn x, y Thật x vµ yn vËy, nÕu {en }n∈N∗ lµ hƯ trùc chuẩn E với n N có thĨ chän xn = yn vµ x = y = Khi ®ã xn , yn = víi mäi n ∈ N∗ nªn xn , yn x, y = Bµi 20 Víi mäi n ∈ N∗ ta cã: xn − x = xn − x, xn − x = xn Theo gi¶ thiÕt, xn x, x = − xn , x − x, xn + x x x nªn lim xn x nªn lim xn , x = x, x = n→∞ x 2, ®ång thêi lim xn = n→∞ n→∞ (1) vµ lim x, xn = = n→∞ x Tõ đó, chuyển qua giới hạn bất đẳng thức (1) ta ®−ỵc lim xn − x = 0, chøng tá d·y n {xn }nN hội tụ mạnh đến x E Bµi 21 Ta sÏ chøng minh Aen → b»ng phản chứng: Giả sử ngợc lại, Aen n Khi tồn > tån t¹i d·y {Aekn }n∈N∗ cđa d·y {Aen}n∈N∗ cho Aekn ε0 víi mäi n ∈ N∗ (1) Vì A L(E) toán tử compact dÃy {ekn }nN bị chặn E nên dÃy {Aekn }nN cã Ýt nhÊt mét d·y {Aejkn }n∈N∗ héi tô đến phần tử x0 E Khi râ rµng Aejkn 18 ta cã: en 0, suy Aen x0 vµ tõ (1) ta cã x0 vµ Aejkn Mặt khác theo tập Do tính giới hạn yếu không gian Hilbert suy x0 = Nh− vËy ta gặp mâu thuẫn với khẳng định x0 > Chøng tá gi¶ thiÕt ph¶n chøng sai, vËy lim Aen = n Bài 22 a) b): Hiển nhiên nhờ tính liên tục tích vô hớng b) c): Với n N, xét sn = n k=1 xk Theo giả thiết chuỗi n=1 xn hội tụ yếu E nên với x E d·y sè { sn , x }n∈N∗ héi tô nên bị chặn Suy 208 dÃy { sn , x }nN bị chặn điểm E Theo nguyên lý Banach-Steinhaux, d·y M víi mäi n ∈ N∗ Tõ ta có: bị chặn theo chuẩn, nghĩa sn n sn = xk n = k=1 n=1 M víi mäi n ∈ N∗ k=1 Chứng tỏ chuỗi số xk xk hội tơ c) ⇒ a): Víi mäi n, p ∈ N∗, theo đẳng thức Pythagore ta có: n+p sn+p sn = xk n+p = k=n+1 ∞ Theo gi¶ thiết c) chuỗi số n=1 xn xk k=n+1 héi tơ nªn víi mäi p ∈ N∗ ta cã n+p xk lim n→∞ = k=n+1 Suy lim sn+p sn = dÃy tổng riêng {sn }nN chuỗi n n=1 xn dÃy Cauchy không gian Hilbert E nên hội tụ Theo định nghĩa chuỗi n=1 xn hội tụ E Bài 23 Dễ thấy A toán tử tun tÝnh Víi x ∈ L2 [0; 1], ¸p dơng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakovski ta có: x(s)ds |x(s)|ds x(s) ds = x suy ra, víi mäi x ∈ L2 [0; 1] ta cã: t (Ax(t))2dt = Ax = x(s)ds 0 dt 209 x(s)ds dt = x VËy A liªn tơc Gọi A toán tử liên hợp cuả A Khi ®ã Ax, y = x, A∗y , víi mäi x, y ∈ L2[0; 1] Ta cã: t (Ax)(t)y(t)dt = Ax, y = x(s)ds y(t)dt 0 t 1 = x(s)y(t)dsdt = x(s) y(t)dt ds s 1 x, A∗y = x(t)(A∗y)(t)dt = x(s)(A∗y)(s)ds Tõ ®ã ta cã: ∗ y(t)dt, y ∈ L2 [0; 1], x ∈ [0; 1] (A y)(s) = s Bµi 24 Víi mäi t ∈ [0; 1] ta cã: |(Ax)(t)| = tx(s)ds =t x(s)ds t |x(s)|2ds = t2 x (1) Tõ ®ã, víi mäi x ∈ L2 [0; 1] ta cã: 1 |(Ax)(t)| dt = 2 tx(s)ds dt x t2dt = x chứng tỏ Ax L2 [0; 1] Mặt khác, dễ dàng kiểm tra thấy A toán tử tuyến tính từ (1) suy A liên tục Bây giê, víi mäi x, y ∈ L2 [0; 1] ta cã Ax, y = x; A∗ y Do Ax, y = 1 (Ax)(t)y(t)dt = tx(s)ds y(t)dt = 0 x, A∗ y = x(s)(A∗y)(s)ds 210 x(s) x(t)(A∗y)(t)dt = ty(t)dt ds suy ∗ ty(t)dt víi mäi y ∈ L2[0; 1], s ∈ [0; 1] (A y)(s) = Bài 25 Dễ thấy A toán tử tuyến tÝnh vµ x, u v = | x, u | v Ax = ( u v ) x với x E nên A liên tục Bây ta tìm toán tử liên hợp A A Víi x, y ∈ E ta cã: x, u v, y = x, u v, y = x, y, v u = x, A∗y Ax, y = suy A∗x = x, v u, x ∈ E Bµi 26 Với x L2 [0; 1] nhờ đánh giá dới suy Ax L2 [0; 1]: 1 |tx(t)|2dt |x(t)|2dt = x DÔ thÊy A toán tử tuyến tính nhờ đánh giá suy A liên tục Với mäi x, y ∈ L2 [0; 1] ta cã: ⎧ ⎪ ⎪ tx(t)y(t)dt, Ax, y = ⎨ A ⎪ ⎪ ⎩ x, Ay = x(t)ty(t)dt = ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ tx(t)y(t)dt ⎪ ⇒ Ax, y = x, Ay VËy A∗ = A A toán tử tự liên hợp Với (0, 1) dễ dàng kiểm tra đợc hàm x dới thuộc L2 [0; 1] x = ε: √ xε (t) = ε víi t − ε víi − ε < t Suy Axε t2x2ε (t)dt = εt2dt = ε2 (1 − ε)2 = xε (1 − ε)2 = 1−ε 211 Nh− vËy, víi mäi ε ∈ (0; 1) ta cã: Axε xε A Cho ta đợc A (1 ) Kết hợp với chứng minh ta có A = Tìm tập hợp phổ (A) A: Với λ ∈ K ta thÊy λ ∈ / σ(A) với y L2 [0; 1] phơng trình x Ax = y có nghiệm x L2 [0; 1] Phơng trình ( t)x(t) = y(t) h.k.n [0; 1] với ®é ®o Lebesgue, y(t) cã nghiÖm nhÊt x(t) = vµ chØ λ − t = víi t [0; 1] t Điều xảy vµ chØ λ ∈ / [0; 1] Suy (A) = [0; 1] Tìm tập giá trị riêng A: Vì giá trị riêng giá trị phổ nên giá trị riêng A [0; 1] tồn x ∈ L2 [0; 1], x = cho (λ t)x(t) = h.k.n [0; 1] Điều xảy với x = h.k.n [0; 1] Vậy tập giá trị riêng A lµ tËp trèng Bµi 27 Víi A ∈ L(A) ta lu«n cã: ⎫ sup A Ax ⎪ ⎬ x A2 = sup A2x = sup A(Ax) x x 1 ⎪ ⎭ = A sup Ax = A A = A x Ng−ỵc l¹i, víi mäi x ∈ E, x Ax ⇒ A2 A ta cã: = Ax, Ax = x, A∗ Ax = x, A2x x A2x A2 x A2 Suy A = sup Ax x = sup Ax sup Ax = sup Ax x x 1 x A2 VËy ta cã A2 = A Bµi 28 Nếu giá trị quy A A đẳng cấu nên tồn sè C > cho (λ − A)−1 (y) C y víi mäi y ∈ E V× λ − A đẳng cấu 212 nên bất đẳng thức tơng đơng với x C ( A)(x) với x E Đặt m = 1/C ta có điều cần chứng minh Ngợc lại, đặt A = A, từ điều kiện đà cho suy A đơn cấu Do A = A nên R(A) = R(Aλ ), ®ã R(Aλ ) = E VËy víi u E tồn dÃy {xn }n∈N∗ ⊂ E cho lim Aλxn = u Víi n, p ∈ N∗ ta cã: n→∞ Aλxn+p − Aλ xn = Aλ(xn+p − xn ) m xn+p − xn → Suy tån t¹i giíi h¹n lim xn = x E A liên tục suy Aλ x = u Nh− n→∞ vËy Aλ : E E song ánh tuyến tính liên tục đẳng cấu, nghĩa giá trị quy A Bài 29 Giả sủ F không gian đóng E p : E → F lµ phÕp chiÕu trùc giao từ E lên F Khi đó, với x ∈ E nÕu y = p(x) th× y = x − z, víi z ⊥ F Do ®ã p(x), x = y, y + z = y, y + z, y = y, y Theo định nghĩa, p toán tử dơng Bài 30 Giả sử A toán tử dơng giá trị riêng khác không E, tồn x E, x = cho Ax = λx Do Ax, x = λ x, x suy λ > Ngợc lại, A toán tử compact nên tập phổ, tập giá trị riêng A, đếm đợc Gọi {n } dÃy tất giá trị riêng khác không A Khi đó, tồn hệ trực chuẩn {en } E cho vector en vector riêng tơng ứng với giá trị riêng n n | x, en |2 λn x, en en suy Ax, x = Ax = n n chøng tá A toán tử dơng 213 Tài liệu tham khảo [1] Phan Đức Chính Giải tích hàm NXBĐH& THCN, Hà nội 1978 [2] Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc, Đỗ Đức Thái Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm (Tập 1), NXBGD, Hà nội 2001 [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Đỗ Đức Thái Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm (Tập 2), NXBGD, Hà nội 2002 [4] Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc Không gian tôpô - Độ đo lý thuyết tích phân Trờng đại học s phạm - Đại học Quốc gia Hà nội, 1996 [5] Hoàng Tụy Giải tích đại NXBGD, Hà nội 1979 [6] Nguyễn Xuân Liêm Giải tích hàm NXBGD, Hà nội 1998 [7] Nguyễn Xuân Liêm Bài tập Giải tích hàm NXBGD, Hà nội 1998 [8] Phạm Minh Thông Không gian tôpô - Độ đo- Tích phân NXB Giáo dục Hà nội, 2006 214 ... i=1 Chøng minh Chóng ta ®ång thêi chøng minh hai khẳng định mệnh đề cách chứng minh khẳng định b) quy nạp: +) Với n = 2, giả sử x1 x2, x1 , x2 = x2 , x1 = nªn x1 + x2 = x1 + x2 , x1 + x2 = x1 ,... ∈ L2 (X, Σ, μ) f, g) = X xác định tích vô hớng L2(X, , ) Vì L2 (X, , ) không gian Banach với chuẩn sinh tích vô hớng này: f = X |f|2dμ = nªn L2 (X, , ) không gian Hilbert 123 f, f), f ∈ L2 (X,... )n∈N∗ , y = (yn )n∈N∗ ∈ l2 x, y = (2. 3) n=1 xác định tích vô hớng l2 Hơn nữa, chuẩn sinh tích vô hớng ®ã lµ: ∞ x = |xn |2, x, x = x = (xn )n∈N∗ ∈ l2 n=1 vµ víi chuẩn l2 không gian Banach (xem