Giáo trình Lý thuyết mạch: Phần 2 - Phạm Khánh Tùng

Giáo trình Lý thuyết mạch - Phần 2 trang bị cho người học những nội dung kiến thức về: Mạch điện xoay chiều; đáp ứng tần số, lọc và cộng hưởng; mạng hai cửa; hỗ cảm. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm các nội dung chi tiết.

Chương 6: Mạch điện xoay chiều 6.1 Phân tích mạch xoay chiều trạng thái ổn định (điều hòa) Phần đề cập đến trạng thái ổn định (điều hòa) mạch điện xoay chiều có nguồn biến thiên theo hàm sin Đáp ứng mạch (dòng điện) trường hợp hàm sin Đối với mạch tuyến tính, chấp nhận giả thiết nguồn chu kỳ dạng khơng sin phân tích thành tổ hợp tương đương hàm sin (dãy Fourier) 6.1.1 Đáp ứng phần tử Điện áp dòng điện hàm sin cos với đối số ωt, ω tần số dịng, áp đơn vị rad/s dùng nhiều hertz (Hz) Phần ta xét quan hệ dòng điện điện áp xoay chiều Hình 6–1 Xét điện cảm L có dịng điện i  I cos(t  45o ) hình 6–1, điện áp điện cảm: vL  L di  LI [ sin(t  45o )]  LI cos(t  135o ) dt So sánh điện áp dòng điện điện cảm, ta thấy dòng điện chậm điện áp 90o π/2 rad Đồ thị dịng, áp hình 6–1b Trên đồ thị ta thấy hàm dòng điện bên phải hàm điện áp , dịch theo trục hoành ωt, chậm thời gian Hiện tượng gọi dòng điện chậm pha so với điện áp Dich chuyển theo trục hồnh tính theo radian, đơi biễu diễn độ (135o, 180o …) Trong trường hợp đơn vị dịch chuyển hỗn hợp ví dụ ωt + 45o Điều khơng hồn tồn mặt tốn học áp dụng thực tế phân tích mạch Theo trục tung hai đại lượng khác (dòng áp) nên áo thể dùng hai tỉ lệ xích khác Khi xét phác họa đồ thị, hàm sin hoàn toàn xác định biết biên độ (V I), tần số (ω f) góc pha (45o 135o) Trong bảng 6–1 đáp ứng ba phần tử mạch điện biểu diễn dòng điện i  I cost điện áp v  V cost Nếu đồ thị dạng sóng cho biết đáp ứng phần tử, điện trở, điện áp v dòng điện i trùng pha Đối với điện cảm L dòng điện i chậm pha điện áp v góc 90o π/2 rad Cịn điện dung C, dòng điện i sớm pha điện áp v góc 90o π/2 rad Bảng 6–1: Đáp ứng ba phần tử i  I cost v  V cost vR  RI cost vL  LI cos(t  90o ) vC  I cos(t  90o ) C iR  iL  V cost R V cos(t  90o ) L iC  CV cos(t  90o ) Ví dụ 6–1: Mạch RL nối tiếp hình 6–2 có dịng điện i  I sin t Xác định điện áp phần tử mạch vẽ đồ thị điện áp, dịng điện Hình 6–2 Điện áp phần tử: vR  RI sin t ; vL  LI sin(t  90o ) Điện áp mạch: v  vR  vL  RI sin t  LI sin(t  90o ) Do dòng điện hàm sin, nên điện áp: v  V sin(t   )  V sin t cos  V cost sin  Nhưng theo biểu thức điện áp mạch: (6–1) v  RI sin t  LI sin t cos90o  LI cost sin 90o v  RI sin t  LI cost (6–2) Kết hợp phương trình (6–1) (6–2) ta có: V cos  RI V sin   LI Khi : v  I R  (L)2 sin[t  arctan(L / R)] V  I R  (L)   arctan(L / R) Dạng sóng hàm i v vẽ hình 6–3 Góc θ góc chậm pha dịng điện so với điện áp, nằm khoảng 0o    90o , giá trị giới hạn đạt tương ứng ωL > R Nếu mạch điện cấp nguồn áp v  V sin t dịng điện mạch bằng: i V R  (L) sin(t   ) với   arctan(L / R) Hình 6–3 Ví dụ 6–2: Nếu mạch RC nối tiếp cấp dòng điện i  I sin t , xác điện áp hai phần tử vR  RI sin t ; vC  I sin(t  90 o ) C Điện áp mạch v  vR  vC  V sin(t   ) Trong đó: V  I R  (1 / C )   arctan(1 / CR) Góc pha âm dịch đồ thị điện áp sang bên phải dòng điện Tương ứng dòng điện sớm pha so với điện áp mạch RC nối tiếp Góc lệch pha nằm khoảng 0o    90o Đối với 1/ωC > R, góc lệch pha   90o , xem hình 6–4 Hình 6–4 6.1.2 Véc tơ biểu diễn đại lượng sin Nếu quan sát biểu thức hàm sin dòng điện điện áp ví dụ phần trên, ta thấy biên độ góc pha hàm sin có qui luật khác Một đoạn thẳng có hướng (véc tơ) quay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ khơng đổi ω (rad/s) hình 6–5, có hình chiếu lên phương ngang với độ dài giá trị hàm cos Độ lớn véc tơ biên độ giá trị cực đại hàm cos Góc hai vị trí véc tơ góc pha khác biệt tương ứng hai điểm hàm cos Hình 6–5 Véc tơ biểu diễn đại lượng sin giáo trình dùng với hàm cosin Nếu dòng áp biểu diễn theo hàm sin cần trừ góc pha góc 90o Các ví dụ tương ứng chuyển đổi hàm sin → cos trình bày bảng 6–2 Ta thấy véc tơ biểu diễn tín hiệu sin đoạn thẳng có hướng kí hiệu chữ in hoa (ví dụ V, I) Véc tơ biểu diễn tín hiệu sin vị trí tức thời véc tơ quay ngược chiểu kim đồng hồ thời điểm t = Đại lượng tần số f (Hz) ω (rad/s) thường không xuất giản đồ véc tơ, nhiên cần nhớ đến chùng tính tốn đại lượng sin Bảng 6–2: Biểu diễn véc tơ Hàm tín hiệu v  150 cos(500t  45o ) i  3sin( 2000t  30o ) i  cos(2000t  60o ) Ví dụ 6–3: Mạch RL nối tiếp có R = 10Ω L = 20 mH có dịng điện i  cos(500t  10o ) A Xác định điện áp v V, dòng điện I , véc tơ biển diễn đồ thị véc tơ Sử dụng phương pháp ví dụ 6–1 vR  50 cos(500t  10o ) ; vL  L di  50 cos(500t  100o ) dt v  vR  vL  70,7 cos(500t  55o ) Véc tơ biểu diễn đại lương tương ứng I  510o A V  70,755o V Góc 45o thấy đồ thị miền thời gian đồ thị véc tơ dòng điện điện áp hình 6–6 Hình 6–6 Véc tơ biểu diễn dịng, áp dạng số phức Nếu thay trục hoành trục số thực trục tung trục số ảo hệ trục tọa độ phức, véc tơ biểu diễn viết chữ số tuân theo qui luật veefsoos phức Theo cơng thức Euler, có ba dạng tương đương số phức cho véc tơ biểu diễn đại lượng sin Dạng góc V  V o Dạng đại số V  V (cos o  j sin  o ) Dạng số mũ V  Ve j o Hàm cosin viết theo dạng sau: v  V cos(t   o )  Re[Ve j (t  ) ]  Re[ Ve jt ] o Nhân, chia véc tơ biểu diễn thực dạng số mũ: (V1e j )(V2 e j )  (V1V2 )e j (  2 ) → (V11 )(V2  )  (V1V2 )(1   ) (V1e j ) /(V2e j )  (V1 / V2 )e j (  2 ) → (V11 ) /(V2 )  (V1 / V2 )(1   ) Cộng, trừ véc tơ biểu diễn thực dạng đại số Ví dụ 6–4: Cho hai véc tơ biểu diễn điện áp V1  25143,13o V2  11,226,57o tính tỉ số điện áp V1 25143,13o   2,23116,56 o  1,0  j1,99 o V2 11,226,57 V1  V2  (20  j15)  (10  j5)  10  j 20  23,36116,57 o 6.1.3 Trở kháng dẫn nạp Nguồn điện áp dòng điện xoay chiều sin cấp cho mạch thụ động RLC có đáp ứng dạng hàm sin Nếu hàm có đối số thời gian, v(t) i(t), mạch điện hi miền thời gian (hình 6–7a), phân tích mạch sử dụng véc tơ phức gọi miền tần số (hình 6–7b) Điện áp dịng điện viết tương ứng theo biểu thức: v(t )  V cos(t   )  Re[ Ve jt ] V  V i(t )  I cos(t   )  Re[ Ie jt ] I  I Tỉ số véc tơ điện áp phức V dòng điện phức I định nghĩa trở kháng Z , Z = V / I Đại lượng nghịch đảo trở kháng gọi dẫn nạp Y, Y = / Z (S), S = 1Ω–1 = 1Ʊ (mho) Các đại lượng Z Y số phức Hình 6–7 Khi trở kháng viết dạng đề phần thực điện trở R phần ảo điện kháng X Dấu phần ảo dương âm, dấu dương, X gọi cảm kháng dấu âm X gọi dung kháng Khi dẫn nạp viết dạng đề các, phần thực gọi điện dẫn tác dụng G phần ảo gọi điện dẫn phản kháng B Nếu dấu dương B điện dẫn dung dấu âm điện dẫn cảm Z  R  jX L Z  R  jX C Y  G  jBL Y  G  jBC Quan hệ hai đại lượng theo biểu thức Z = / Y , đó qui đổi đại lượng tính theo biểu thức sau: R G G  B2 X B G  B2 G R R2  X B X R2  X 2 Các biểu thức qui đổi nhiều không cần dùng đến khối lượng tính tốn nhiều, bên cạnh ta phối hợp cách tính tốn đại lượng phức khác để đoen giản hóa, ví dụ: mạch hình 6–7b, đại lượng dịng áp I  515o V  10045o , trở kháng dẫn nạp mạch RLC: V 10045o Z   2030o  17,3  j10 Ω o I 515 I 515o Y    0,05  30o  (4,33  j 2,5)10 Ʊ o Z V 10045 Từ suy ra: R = 17,3Ω; XL = 10Ω; G = 4,33.10 –2Ʊ BL = 2,5.10–2Ʊ Phối hợp trở kháng Biểu thức quan hệ V = I Z (trong miền tần số) định luật ôm v(t)=i.R mạch điện trở (trong miền thời gian) Do phối hợp trở kháng hoàn toàn tương tự phối hợp điện trở: Trở kháng nối tiếp: Ztđ  Z1  Z2  Trở kháng song song: 1    Ztđ Z1 Z Trường hợp đặc biệt có hai trở kháng song song: Ztđ  Z1Z Z1  Z Đồ thị véc tơ trở kháng Trong đồ thị véc tơ, trở kháng biểu diễn điểm nửa bên phải hệ trục tọa độ phức Hình 6–8, mơ tả hai trở kháng: Z1 góc phần tư thứ nhất, trở kháng cảm Z2 góc phần tư thứ bốn, trở kháng dung Trở kháng tương đương chúng nói tiếp xác định cách cộng véc tơ Lưu ý, “véc tơ” trường hợp khơng có ký hiệu mũi tên đầu để phân biệt só phức từ véc tơ biểu diễn đại lượng sin Hình 6–8 Phối hợp dẫn nạp Nếu thay Z Y vào biểu thức trở kháng tương đương ta được: Dẫn nạp nối tiếp: 1    Ytđ Y1 Y2 Dẫn nạp song song: Ytđ  Y1  Y2  Đồ thị véc tơ dẫn nạp Đồ thị véc tơ dẫn nạp hình 6–9, tương tự đồ thị véc tơ trở kháng (hình 6–8) Điện dẫn dung Y1 điện dẫn cảm Y2 biểu diễn hệ tọa độ phức, véc tơ tổng Y1 + Y2, dẫn nạp tương đương Y1 Y2 song song Hình 6–9 Phân áp phân dòng miền tần số Trở kháng miền tần số điện trở miền thời gian tương tự nên phân áp phân dòng miền tần số dựa phân áp dòng điện trở miền thời gian Các trở kháng nối tiếp phân chia điện áp theo tỉ lệ trở kháng: Vr Z r  Vs Z s → Vr  Zr VT Ztđ Các trở kháng song song phân chia dòng điện theo tỉ lệ trở kháng: I r Z s Yr   I s Z r Ys → Ir  Ztđ Y IT  r IT Zr Ytđ Hình 6–10 6.1.4 Phương pháp dịng mắt lưới Xét mạch điện hình 6–11 miền tần số, áp dụng định luật Kirchhoff áp dạng ma trận ta tìm phương trình ma trận sau:  Z11 Z12 Z13  I1  V1  Z Z 22 Z 23  I   V2   21  Z31 Z32 Z33  I  V3  Trong đó: Ẩn số dịng mắt lưới I1; I2; I3 Trở kháng Z11 ≡ ZA + ZB, trở kháng riêng vòng 1, tổng trở kháng mà dòng I1 qua Tương tự, Z22 ≡ ZB + ZC + ZD Z33 ≡ ZD + ZE trở kháng riêng vòng Hình 6–11 Phần tử Z12 ma trận trở kháng xác định theo: Z12    (các trở kháng chung dòng I1 I2) Trong dấu (+) hai dịng mắt lưới trở kháng chiều dấu (–) hai dòng ngược chiều Các phần tử đối xứng qua đường chéo ma trận có chung hai dịng mắt lưới chúng nhau, Z21  Z12 Trong hình 6–11, hai dịng I1 I2 có chung trở kháng ZB có chiều ngược ZB, nên: Z 21  Z12  Z B Tương tự: Z13  Z31    (các trở kháng chung dòng I1 I3) = Z23  Z32   (các trở kháng chung dòng I2 I3) = –ZD Ma trận cột V vế phải phương trình nguồn áp Vk (k = 1, 2, 3) xác định tổng nguồn áp vòng Vk    (các nguồn áp vòng k) Dấu (+) biểu thức tương ứng với nguồn áp chiều dòng điện Ik, dấu (–) ngược chiều Trong hình 6–11, ta có V1 = +Va; V2 = 0; V3 = –Vb Thay sử dụng khái niệm mắt lưới “cửa sổ” mạch phẳng, đơi cịn dùng khái niệm vịng, bao gồm nhiều mắt lưới Trong trường hợp dịng vịng chiều trở kháng ngược chiều trở kháng khác Tuy nhiên quy tắc lập ma trận Z ma trận V giữ nguyên trường hợp mắt lưới ... theo biểu thức: Hình 8– 12 Z11  Z11, a  Z11,b Z 12  Z 12, a  Z 12, b (8–31a) Z 21  Z 21 , a  Z 21 ,b Z 22  Z 22 , a  Z 22 ,b Hoặc dạng ma trận Z  Za   Zb  (8–31b) 8 .2. 2 Kết nối song song Trong... biểu thức: Y11  Y11, a  Y11,b Y 12  Y 12, a  Y 12, b (8–32a) Y21  Y21, a  Y21,b Y 22  Y 22, a  Y 22, b Hoặc dạng ma trận Y  Ya   Yb  (8–32b) Hình 8–13 8 .2. 3 Kết nối xâu chuỗi Kết nối xâu... diễn điện áp V1  25 143,13o V2  11 ,2? ? ?26 ,57o tính tỉ số điện áp V1 25 143,13o   2, 23116,56 o  1,0  j1,99 o V2 11 ,2? ? ?26 ,57 V1  V2  (? ?20  j15)  (10  j5)  10  j 20  23 ,36116,57 o 6.1.3