Giáo trình Lý thuyết mạch: Phần 2 - Nguyễn Trung Tập

Giáo trình Lý thuyết mạch: Phần 2 tiếp tục trình bày các nội dung chính sau: Mạch điện bậc hai; Trạng thái thường trực AC; Tần số phức; Đáp ứng tần số; Tứ cực; Phép biến đổi Laplace. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm nội dung chi tiết.

_ Chương5 Mạch điện bậc hai - Ò CHƯƠNG MẠCH ĐIỆN BẬC HAI Ò MẠCH ĐIỆN VỚI HAI PHẦN TỬ TÍCH TRỬ NĂNG LƯỢNG (L&C) Ị LỜI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC HAI Ô Đáp ứng tự nhiên Ô Đáp ứng ép Ô Đáp ứng đầy đủ Ô Điều kiện đầu điều kiện cuối Ị TÍNH CHẤT VÀ Ý NGHĨA VẬT LÝ CỦA CÁC ĐÁP ỨNG Ô Đáp ứng tự nhiên Ô Đáp ứng ép Ò ĐÁP ỨNG ÉP ĐỐI VỚI est Trong chương trước xét mạch đơn giản , chứa phần tử tích trữ lượng (L C), để giải mạch phải dùng phương trình vi phân bậc Chương xét đến dạng mạch phức tạp hơn, mạch chứa hai phần tử tích trữ lượng để giải mạch phải dùng phương trình vi phân bậc hai Tổng quát, mạch chứa n phần tử L C diễn tả phương trình vi phân bậc n Tuy nhiên để giải mạch phức tạp này, người ta thường dùng phương pháp khác: Phép biến đổi Laplace mà ta bàn đến chương sau 5.1 MẠCH ĐIỆN VỚI HAI PHẦN TỬ TÍCH TRỮ NĂNG LƯỢNG (L&C) Thí dụ 5.1: Xác định i2 mạch (H 5.1) Viết phương trình vịng cho mạch di (1) + 12i − 4i = vg dt di (2) − 4i + + 4i = dt di (3) Từ (2): i = ( + 4i ) dt Lấy đạo hàm (3) (H 5.1) d i 1 d 2i di = ( + 2) (4) dt dt dt Thay (3) (4) vào (1) ta phương trình để xác định i2 d 2i di + 10 + 16i = 2vg (5) dt dt Phương trình để xác định i2 phương trình vi phân bậc mạch (H 5.1), có chứa phần tử L C, gọi mạch bậc Cũng có ngoại lệ cho mạch chứa phần tử tích trữ lượng diễn tả phương trình vi phân bậc Mạch (H 5.2) _ Nguyễn Trung Lập MẠCH (H 5.2) LÝ THUYẾT _ Chương5 Mạch điện bậc hai Chọn O làm chuẩn, viết KCL cho nút v1 v2: d v1 (6) + v1 = vg dt d v2 (7) + 2v2 = 2vg dt (6) (7) phương trình vi phân bậc 1, phương trình chứa ẩn số không phụ thuộc lẫn Ở mạch (H 5.2) nguồn vg tác động lên hai mạch RC nên ta thay mạch hai mạch, mạch gồm nguồn vg nhánh RC, mạch bậc , phương trình cho mạch khơng phải phương trình bậc 5.2 LỜI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC HAI Dạng tổng quát phương trình vi phân bậc với hệ số số d 2y dy + a1 + a0y = F(t) (5.1) dt dt a1, a0 số thực, dương, y thay cho dòng điện hiệu F(t) hàm tùy vào nguồn kích thích Ap dụng cho mạch (H 5.1) a1 = 10, a0 = 16, y = i2 F(t) =2vg Nghiệm phương trình (5.1) gồm thành phần: - Nghiệm tổng quát phương trình khơng vế 2, đáp ứng tự nhiên yn - Nghiệm riêng phương trình có vế 2, đáp ứng ép yf: y=yn+yf (5.2) * Đáp ứng tự nhiên yn nghiệm phương trình: d 2y n dy + a1 n + a0 y n = (5.3) dt dt * Đáp ứng ép yf nghiệm phương trình: d 2y f dy + a1 f + a0 y f = F(t) (5.4) dt dt Cộng vế với vế (5.3) (5.4): d (y n + y f ) d(y n + y f ) + a1 + a0 (y n + y f ) = F(t) (5.5) dt dt (5.5) kết hợp với (5.2) cho thấy nghiệm phương trình (5.1) y=yn+yf 5.2.1 Đáp ứng tự nhiên Đáp ứng tự nhiên lời giải phương trình (5.3) yn có dạng hàm mũ: yn=Aest Lấy đạo hàm (5.6), thay vào (5.10), ta As2est+Aa1sest+Aa0est=0 Aest(s2+a1s+a0)=0 st Vì Ae khơng thể =0 nên s2+a1s+a0=0 (5.7) gọi phương trình đặc trưng, có nghiệm là: (5.6) (5.7) s1,2 = − a1 ± a1 − 4a0 (5.8) Ứng với trị s ta có đáp ứng tự nhiên: _ Nguyễn Trung Lập MẠCH LÝ THUYẾT _ Chương5 Mạch điện bậc hai y n1 = A 1es1t y n2 = A 2es2 t y n = y n1 + y n = A 1es1t + A 2es2 t Trở lại thí dụ 5.1, đáp ứng tự nhiên mạch: d 2i di + 10 + 16i = dt dt s +10s+16=0 ⇒ s1=-2 ; s2=-8 -2t -8t i = A 1e + A 2e Ô (5.9) Các loại tần số tự nhiên 2 − a1 ± a1 − 4a0 “ a1 - 4a0>0 ⇒ s1,2 = “ a12-4a00 i 1dt + R1(i − i ) = A C∫ di − R1(i − i ) + R2i + L = dt (1) (2) Từ (2) di = [R1i − ( R1 + R2 )i ] dt L ⎤ A di 1⎡ A (0+ ) = ⎢ R1 − 0⎥ = dt L ⎣ R1 ⎦ L Đạo hàm theo t phương trình (1) i1 di di + R1 − R1 = dt dt C di ⎤ di1 ⎡ i1 = − + R1 ⎥ ⎢ dt ⎦ dt R1 ⎣ C A⎤ A A ⎡ A di (0+ ) = + R1 ⎥ = − ⎢− L ⎦ L CR12 R1 ⎣ C R1 dt Thí dụ 5.7 Trở lại thí dụ 5.3 dùng điều kiện đầu để xác định A1 A2 kết in(t)=A1e-t+A2e-2t i(t)=in(t)=A1e-t+A2e-2t (1) Ở t=0 , cuộn dây tương đương với mạch hở, i(0+)=0 ⇒ A1+A2 = (2) Và tụ điện tương đương với mạch nối tắt (3) vC (0+ ) = ∫ i dt = C -∞ Ngoài Ri(0+)=0 (4) _ Nguyễn Trung Lập MẠCH LÝ THUYẾT _ Chương5 Mạch điện bậc hai Thay (3) (4) vào phương trình mạch: vg di di (0+ ) = =1 L (0+) = vg hay dt L dt Lấy đạo hàm (1) , thay trị số vào: di (0+ ) = −A − 2A = dt Giải hệ thống (2) (5): A1=1 A2=-1 Và (5) i(t)=e-t- e-2t Thí dụ 5.8 Khóa K mạch (H 5.9a) đóng lâu để mạch đạt trạng thái thường trực Mở khóa K thời điểm t=0, Tính vK, hiệu ngang qua khóa K t=0+ (a) i (0− ) = i L (0− ) = (H 5.9) (b) 10 = 5A Viết phương trình cho mạch t>0 (H 5.9b) di L + 3i L = dt iL(0+) = iL(0-) = Ở t>0 t=0+ ⇒ ⇒ i L = Ae − t A=5 ⇒ − t i L = 5e − t v K = 10 + R3 i L = 10 + 15e vK=10+15=25V Kết cho thấy: Do có mặt cuộn dây mạch nên mở khóa K, hiệu lớn phát sinh đầu khóa K, tạo tia lửa điện Để giảm hiệu ta phải mắc song song với cuộn dây điện trở đủ nhỏ, thực tế, người ta thường mắc Diod 5.3 TÍNH CHẤT VÀ Ý NGHĨA VẬT LÝ CỦA CÁC ĐÁP ỨNG 5.3.1 Đáp ứng tự nhiên Đáp ứng tự nhiên nghiệm phương trình vi phân bậc nhất, tương ứng với trường hợp khơng có tín hiệu vào (nguồn ngồi) Dạng đáp ứng tự nhiên tùy thuộc vào _ Nguyễn Trung Lập MẠCH LÝ THUYẾT 10 _ Chương5 Mạch điện bậc hai nghiệm phương trình đặc trưng, tức tùy thuộc thơng số mạch Tính chất đáp ứng tự nhiên xác định dễ dàng nhờ vị trí nghiệm phương trình đặc trưng mặt phẳng phức Gọi α β số thực, cho biết khoảng cách từ nghiệm đến trục ảo trục thực Ta có trường hợp sau: Ị Phương trình đặc trưng có nghiệm thực, phân biệt s1,2= α1, α2 Với trị thực α, đáp ứng có dạng mũ (H 5.10) Tùy theo α>0, α=0 hay α0 i(t)=-13e-t+20e-2t- 3e-3t A = Thí dụ 10.13 Xác định v(t) mạch (H 10.10a) Cho i(0)=1A v(0)=4V (a) (b) (H 10.10) Viết phương trình nút cho mạch biến đổi (H 10.10b) V V sV + + + − =0 3s s 24 24 _ Nguyễn Trung Lập MẠCH LÝ THUYẾT _Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 14 4s − 24 16 20 =− + (s + 2)(s + 4) s+ s+ ⇒ V(s)= v(t)=-16e-2t+20e-4t V 10.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP TRIỂN KHAI HÀM P(s)/Q(s) Trong phân giải mạch điện phép biến đổi Laplace, kết đạt hàm theo s có dạng P(s)/Q(s) , P(s) Q(s) đa thức Nếu P(s)/Q(s) có dạng bảng ta có kết biến đổi Laplace ngược Trong nhiều trường hợp ta phải triển khai P(s)/Q(s) thành tổng hàm đơn giản có bảng Gọi m n bậc P(s) Q(s) Có trường hợp * m≤n, triển khai P(s)/Q(s) * m>n, ta phải thực phép chia để P(s) P (s) = A + A 1s + .+ A m − n sm − n + Q(s) Q (s) P1(s) Q1(s) có bậc ta triển khai P1(s)/Q1(s) (10.18) 10.5.1 Triển khai phần Ò Trường hợp Q(s)=0 có nghiệm thực phân biệt s1 , s2, sn P(s) K K2 Kn = + + + Q(s) s - s1 s - s2 s - sn Ki (i= 1, 2, ., n) số xác định bởi: P(s) K i = (s − si ) Q(s) s=s (10.19) (10.20) i Thí dụ 10.14 L s− , xác định i(t)= -1[I(s)] s + 3s + Phương trình s2+3s+2=0 có nghiệm s1=-2 s2=-1 K K s− I(s)= = + s + 3s + s + s + P(s) K = (s + 2) =3 Q(s) s=-2 Triển khai hàm I(s)= K = (s + 1) P(s) = -2 Q(s) s=-1 − s+ s+ _ I(s)= Nguyễn Trung Lập MẠCH LÝ THUYẾT _Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 15 ⇒ i(t)= 3e-2t-2e-t Ò Trường hợp Q(s)=0 có nghiệm đa trùng bậc r P(s) P(s) K K2 Kr = = + + + r Q(s) (s - si ) s - si (s - si ) (s - si ) r Để xác định K1, K2, Kr, ta xét thí dụ sau: (10.21) Thí dụ 10.15 P(s) s+ = Q(s) (s + 1)2 P(s) K K2 = + (1) Q(s) s + (s + 1)2 Nhân vế phương trình (1) với (s+1)2 s+2=(s+1)K1+K2 (2) Cho s=-1, ta K2=1 Nếu ta làm để xác định K1 xuất lượng vô định Để xác định K1, lấy đạo hàm theo s phương trình (2) 1+0=K1+0 ⇒ K1=1 Tóm lại P(s) 1 = + Q(s) s + (s + 1)2 Và i(t) = e-t + te-t Với Q(s)=0 có nghiệm kép, số xác định nhờ đạo hàm bậc Suy rộng ra, Q(s)=0 có nghiệm đa trùng bậc r, ta cần đạo hàm từ bậc đến bậc r-1 Triển khai Ò Trường hợp Q(s)=0 có nghiệm phức liên hợp s=α ± jω P(s) P(s) = Q(s) (s - α - jω)(s - α + jω) P(s) K K* = + Q(s) (s - α - jω) (s - α + jω) Các số K xác định P(s) K = (s − α + jω) = Ae − jθ , Q(s) s=α− jω Và K* = (s − α − jω) P(s) = Ae + jθ Q(s) s=α+ jω (10.22) (10.23) (10.24) Thí dụ 10.16 P(s) = Q(s) s + 4s + Q(s)=0 có nghiệm -2 ± j Triển khai I(s)= _ Nguyễn Trung Lập MẠCH LÝ THUYẾT _Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 16 I(s)= P(s) K K* = + Q(s) (s + + j) (s - - j) K = (s + + j) 1 P(s) = j = ej90° 2 Q(s) s= −2− j K* = (s + − j) I(s)= P(s) 1 = − j = e− j90° Q(s) s= −2+ j 2 j1/2 j1/2 − s+ + j s+ - j ⇒ ejt − e− jt i(t)= j [e ( −2− j )t − e( −2+ j )t ] = e− 2t [ ] 2j Hay i(t)=e-2tsint A 10.5.2 Cơng thức Heaviside Tổng qt hóa tốn triển khai hàm I(s)=P(s)/Q(s), Heaviside đưa công thức cho ta xác định hàm i(t), biến đổi ngươc I(s) 10.5.2.1 Q(s)=0 có n nghiệm phân biệt L i(t)= -1 [I(s)] = L -1 [ n P(s) P(s)e st ] = ∑ (s − s j ) Q(s) Q(s) s =s j =1 j (10.25) Hoặc P(sj ) sj t e j = Q' (sj ) n i(t) = ∑ (10.26) Trong sj nghiệm thứ j Q(s)=0 Thí dụ 10.17 Giải lại thí dụ 10.14 công thức Heaviside s− I(s)= , xác định i(t)= -1[I(s)] s + 3s + Phương trình s2+3s+2=0 có nghiệm s1=-2 s2=-1 Q(s)= s2+3s+2 ⇒ Q’(s) = 2s+3 Ap dụng công thức (10.26) n P(s ) P(−2) − 2t P(−1) − t st j + e e ej = i(t) = ∑ Q' (−1) Q' (−2) j = Q' (sj ) L ⇒ i(t)= 3e-2t-2e-t A 10.5.2.2 Q(s)=0 có nghiệm đa trùng bậc r L i(t)= -1 [I(s)] = L -1 r -n r P(s) t n − d R(sj ) s jt [ ]=e ∑ Q(s) dsr - n s = sj n = (r - n)! (n − 1)! (10.27) _ Nguyễn Trung Lập MẠCH LÝ THUYẾT _Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 17 sj nghiệm đa trùng bậc r P(s) R(sj ) = (s − sj ) r Q(s) (10.28) Thí dụ 10.18 Giải lại thí dụ 10.15 cơng thức Heaviside P(s) s+ = I(s)= Q(s) (s + 1)2 Q(s)=0 có nghiệm kép, r=2, sj=-1 Ap dụng cơng thức (10.27) s+ Với R(sj ) = (s + 1)2 = s + 2 (s + 1) t d(s + 2) t i (t) = e [ + (s + 2)] 1! 0! ds 0! 1! i(t) = e-t + te-t A −t Và ; s = −1 Thí dụ 10.19 Cho mạch điện (H 10.11), tụ C tích điện đến V0=1V khóa K đóng t=0 Xác định dịng i(t) t di Ri + L + ∫ i dt = −∞ dt Lấy biến đổi Laplace L[sI(s)-i(0+)]+RI(s)+ [I(s)+q(0+)]=0 Cs Dòng điện qua cuộn dây liên tục nên i(0+)= i(0-)=0 q(0+): điện tích ban đầu tụ: q(0+ ) Vo = =− Cs s s (Để ý dấu điện tích đầu tụ ngược chiều điện tích nạp dòng i(t) chạy qua mạch) Thay giá trị đầu vào, xếp lại 1 I(s) = = s + 2s + (s + 1)2 + ⇒ L i(t)= -1 [I(s)]=e-tsint.u(t) Thí dụ 10.20 Cho mạch (H 10.12), khóa K đóng t=0 mạch khơng tích trữ lượng ban đầu Xác định i2(t) Viết pt vòng cho mạch di + 20i − 10i = 100u(t) (1) dt di + 20i − 10i = (2) dt _ Nguyễn Trung Lập MẠCH LÝ THUYẾT _Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 18 Lấy biến đổi Laplace, để ý mạch khơng tích trử lượng ban đầu: (s+20)I1(s)-10I2(s)= 100 s (3) -10 I1(s)+ (s+20)I2(s)=0 (4) Giải hệ (3) (4) 100 s − 10 1000 I2(s)= = s + 20 − 10 s(s + 40s+ 300) − 10 s + 20 Triển khai I2(s) 3,33 1,67 I (s) = + + s s + 10 s + 30 s + 20 ⇒ i2(t)= 3,33-5e-10t+1,67e-30t 10.6 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ ĐẦU VÀ GIÁ TRỊ CUỐI 10.6.1 Định lý giá trị đầu Từ phép biến đổi đạo hàm: = sF(s)-f(0+) L df(t) dt Lấy giới hạn s→ ∞ lim ] = lim L df(t) dt s→∞ s→∞ mà lim s→∞ Vậy lim [sF(s)-f(0+)] [ ]= lim L df(t) dt [ s→∞ ∫ ∞ df(t) −st e dt =0 dt [sF(s)-f(0+)]=0 s→∞ f(0+) số nên f(0+)= lim sF(s) (10.29) s→∞ (10.29) nội dung định lý giá trị đầu Lấy trường hợp thí dụ 10.10, ta có: V − q /C I(s)= R s + 1/RC V − q /C i(0+)= lim sI(s)= R s→∞ 10.6.2 Định lý giá trị cuối _ Nguyễn Trung Lập MẠCH LÝ THUYẾT _Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 19 = sF(s)-f(0+) L df(t) dt Từ phép biến đổi đạo hàm: Lấy giới hạn s→ lim s→0 mà Vậy ] = lim L df(t) dt [ s→0 ∫ ∞ df(t) −st e dt = lim [sF(s)-f(0+)] dt s→0 ∞ df(t) −st e dt lim = = ∫0 dt ∫ df(t) = f(∞) - f(0+) s→0 s→0 f(∞)-f(0+)= lim [sF(s)-f(0+)] ∞ lim s→0 Hay f(∞)= lim sF(s) (10.30) s→0 (10.30) nội dung định lý giá trị cuối, cho phép xác định giá trị hàm f(t) trạng thái thường trực Tuy nhiên, (10.30) xác định nghiệm mẫu số sF(s) có phần thực âm, khơng f(∞)= lim f(t) khơng hữu t →∞ Thí dụ, với f(t)=sint sin∞ khơng có giá trị xác định (tương tự cho e∞ ) Vì (10.30) khơng áp dụng cho trường hợp kích kích hàm sin Lấy lại thí dụ 10.13, xác định dòng điện mạch trạng thái thường trực V 1 I(s)= ( − ) R s s + R/L V s V i(∞)= lim sI(s)= (1 − )= R s + R/L R s→0 V i(∞)= R BÀI TẬP ÒÒ Ò 10.1 Mạch (H P10.1) Khóa K đóng t=0 mạch khơng tích trữ lượng ban đầu Xác định i(t) t> 10.2 Mạch (H P10.2) Xác định v(t) t> Cho v(0)=10V (H P10.1) (H P10.2) 10.3 Mạch (H P10.3) Xác định vo(t) _ Nguyễn Trung Lập MẠCH LÝ THUYẾT _Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 20 ⎧4V, t < vi(t) = ⎨ − t ⎩ 4e , t > 10.4 Mạch (H P10.4) Xác định vo(t) Cho vo(0)=4V i(0)=3A Cho (H P10.3) (H P10.4) 10.5 Mạch (H P10.5) Xác định io(t) 10.6 Mạch (H P10.6) Dùng định lý kết hợp xác định vo(t) (H P10.5) (H P10.6) 10.7 Mạch (H P10.7) đạt trạng thái thường trực t=0- với khóa K vị trí Chuyển K sang vị trí 2, thời điểm t=0 Xác định i t>0 (H P10.7) 10.8 Mạch (H P10.8) đạt trạng thái thường trực t=0 Xác định v t>0 (H P10.8) 10.9 Mạch (H P10.9) đạt trạng thái thường trực t=0- Xác định i t>0 _ Nguyễn Trung Lập MẠCH LÝ THUYẾT _Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 21 (H P10.9) 10.10 Mạch (H P10.10) Xác định i(t) t>0 Cho v(0) = V i(0) = A (H P10.10) _ Nguyễn Trung Lập MẠCH LÝ THUYẾT ... vào (5): (-2 A+4B)cos2000t+ (-4 A-2B)sin2000t= -2 0 cos2000t Cân hệ số -2 A+4B =20 -4 A-2B=0 ⇒ A =2 B =-4 v=e-1000t(A1cos1000t+A2sin1000t) +2cos2000t-4sin2000t (4) (5) (6) (7) (8) (9) Xác định A1 A2: Thay... (3) thay vào (1) 6Ae-2t+16B=12e-2t+64 ⇒ A =2 & B=4 -2 t i2f=2te +4 i2= i 2n + i 2f = A e-2t + A e-8t +2te-2t+4 _ Nguyễn Trung Lập MẠCH LÝ THUYẾT ... s1 ,2= -2 , -5 ⇒ vn=A1e-2t+A2e-5t β R=5Ω, s1 ,2= -3 , -3 ⇒ vn=(A1+A2t)e-3t β R=1Ω, s1 ,2= -1 ± j2 ⇒ vn=e-t(B1cos2t+B2sin2t) Thí dụ 5.3 Xác định dịng i(t) mạch (H 5.4) Cho vg = V nguồn DC Phương trình