Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến được biên soạn dành cho sinh viên trong giai đoạn đào tạo cơ bản, gồm 5 chương. Chương 1 và chương 2 giới thiệu các khái niệm cơ bản về giới hạn, liên tục, sự khả vi và vi phân của hàm nhiều biến. Ứng dụng của phép tính vi phân hàm nhiều biến được trình bày trong chương 3. Chương 4 và chương 5 đề cập đến phép tính tích phân hàm nhiều biến bao gồm: tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt.
ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN -O0O - Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến Mã số: GT2013-03 Chủ nhiệm đề tài: PGS TS Phạm Hoàng Quân Thành viên: TS Lê Minh Triết ThS Phan Trung Hiếu ThS Hồng Đức Thắng Tp Hồ Chí Minh, 8/2015 ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN -O0O - Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến Mã số: GT2013-03 Xác nhận Chủ tịch Hội đồng Tp Hồ Chí Minh, 8/2015 Chủ nhiệm đề tài Lời nói đầu Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến biên soạn dành cho sinh viên giai đoạn đào tạo Tuy nhiên, sử dụng tài liệu tham khảo cho sinh viên số nhóm ngành khác, cho học viên cao học cán nghiên cứu khối khoa học Toán lý Kỹ thuật Nội dung giáo trình biên soạn theo đề cương chi tiết học phần Giải tích hàm nhiều biến dùng giảng dạy Khoa Toán - Ứng dụng, trường Đại học Sài Gịn Giáo trình gồm chương Chương chương giới thiệu khái niệm giới hạn, liên tục, khả vi vi phân hàm nhiều biến Ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến trình bày chương Chương chương đề cập đến phép tính tích phân hàm nhiều biến bao gồm: tích phân bội, tích phân đường tích phân mặt Đặc biệt, nhiều toán lĩnh vực vật lý, hóa học, sinh học kinh tế mơ tả mơ hình tốn học Một mơ hình xây dựng, ta thường phải giải phương trình vi phân để dự báo định lượng tính chất đặc trưng tốn Điều cho thấy, phương trình vi phân có nhiều ứng dụng thực tế Chính vậy, chúng tơi biên soạn thêm phần đọc thêm phương trình vi phân, nhằm giúp cho sinh viên có thêm kiến thức phương trình để ứng dụng sau Trong chương, chúng tơi trình bày đầy đủ, ngắn gọn kiến thức với nhiều ví dụ minh hoạ cụ thể, tập chọn lọc nhằm giúp sinh viên rèn luyện kỹ tính tốn vận dụng lý thuyết việc giải toán Mặc dù cố gắng nhiều trình biên soạn, giáo trình khó tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc để giáo trình ngày hồn thiện Tp HCM, tháng năm 2015 CÁC TÁC GIẢ Chương GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Trong chương này, giới thiệu vài nét không gian n , giới hạn liên tục hàm số nhiều biến số §1 KHƠNG GIAN n I Định nghĩa khơng gian n Tích Descartes n tập số thực định nghĩa tích n n hay n ( x1 , x2 , , xn ) x k , k 1,2, , n Vậy, không gian n không gian tất n số thực có thứ tự ( x1 , x2 , , x n ) Ký hiệu x ( x1 , x2 , , x n ) điểm hay vectơ n ; xk tọa độ thứ k x n , với k 1,2, , n Điểm O(0,0, ,0) gọi gốc tọa độ Ví dụ 1.1 Với n , ta có 1 : đường thẳng thực Ví dụ 1.2 Với n , ta có ( x1 , x2 ) x1 , x2 : mặt phẳng với hệ tọa độ Descartes Ví dụ 1.3 Với n , ta có ( x1 , x2 , x3 ) x1 , x2 , x3 : không gian chiều với hệ tọa độ Descartes II Phép toán đại số n 2.1 Hai vectơ Hai vectơ x ( x1 , x2 , , x n ) n , y (y1 , y2 , , yn ) n gọi x k yk , k 1,2, , n 2.2 Các phép toán đại số vectơ Cho hai vectơ x ( x1, x2 , , xn ) n , y (y1 , y2 , , yn ) n , Khi đó, ta định nghĩa x y ( x1 y1 , x2 y2 , , x n yn ) , x y ( x1 y1 , x2 y2 , , xn yn ) x ( x1 , x2 , , x n ) Tính chất 2.1 Cho vectơ x , y, z n , , , ta có (i) x y y x ; (ii) ( x y ) z x ( y z) ; (iii) x x ; 0: vectơ không; (iv) x ( x ) , x (1).x ; (v) ( ).x ( x ) ; (vi) ( ).x x x ; (vii) ( ).x ( x ) ; (viii) 1.x x Ví dụ 2.1 Cho x (2, 3, 1), y (4, 1, 2) Tính x y, y x, 3x, y Giải x y (2, 2, 1), y x (6,4, 3), x (6, 9,3), y (8, 2,4) 2.4 Tích vơ hướng Định nghĩa 2.2 Tích vơ hướng hai vectơ x ( x1 , x2 , , xn ) n , y (y1 , y2 , , yn ) n số, ký hiệu x, y , định nghĩa x , y x1.y1 x2 y2 xn yn Tính chất 2.3 Cho vectơ x , y, z n , ta có (i) x , y y, x ; (ii) x, y z x, y x , z ; (iii) x, y x, y 2.5 Chuẩn Chuẩn (Euclide) x x x12 x22 xn2 Nếu x x x x Nếu x ( x1, x2 ) 2 vectơ x x12 x22 độ dài vectơ x Nếu x ( x1, x2 ) 2 điểm x x12 x22 khoảng cách từ điểm x đến gốc tọa độ O Từ định nghĩa chuẩn tích vơ hướng ta có x x12 x22 xn2 Định lý 2.4 Với x , y, z n , , ta có (i) x 0, x x ; (ii) x x ; (iii) x y x y ; (iv) x y x z z y Chứng minh (i) hiển nhiên (ii) x x , suy x x x, x (iii) n x y ( xk yk )2 k 1 n k n n k 1 k 1 x 2 xk yk yk2 k 1 n xk2 k 1 x y n xk2 k 1 n n k 1 k 1 yk2 yk2 , suy x y x y (iv) (iii), ta thay x x z thay y z y 2.6 Khoảng cách hai điểm Khoảng cách hai điểm x , y n n d ( x, y) x y (x k y k )2 k 1 Trong d ( x , y ) x y Trong n d ( x, y) khoảng cách Euclide hay mêtric Euclide n Tính chất 2.5 Với x , y, z n , , ta có (i) d ( x, y ) 0, d ( x, y) x y ; (ii) d ( x, y) d( y, x) ; (iii) d ( x , y) d ( x, y) ; (iv) d ( x, y) d ( x, z) d (z, y) Chứng minh Dễ dàng chứng minh (i), (ii), (iii) (iv) suy từ Định lý 2.4 (iv) Ví dụ 2.2 Cho hai điểm x (2,3, 1,5), y (3, 2, 1, 4) a) Tính khoảng cách từ x đến gốc tọa độ O ■ b) Tính khoảng cách từ x đến y Giải a) x 25 39 b) x y (2 3)2 (3 2)2 (1 1)2 (5 4)2 III Hội tụ n Một ánh xạ x : n m x (m ) x1 (m), x2 (m), , xn (m) gọi dãy n Ký hiệu x k (m ) tọa độ thứ k x(m) , với k 1,2, , n Dãy ( xk (m))m gọi dãy thành phần dãy ( x(m)) Như vậy, dãy n xác định gồm n dãy số thực Dãy ( x(m)) gọi hội tụ x n 0, m0 : d ( x (m ), x ) , m m0 Khi đó, x gọi giới hạn ( x(m)) ta ký hiệu lim x (m ) x hay m x(m) x m Dễ thấy lim x (m ) x lim x (m ) x Hơn nữa, từ đẳng thức m m n x ( m) x xk ( m) xk , k 1 với x ( x1 , x2 , , x n ) , ta Mệnh đề 3.1 Dãy ( x(m)) n hội tụ tất dãy thành phần ( xk (m))m hội tụ Khi lim x (m) x lim xk (m ) x k , k 1,2, , n m m Ví dụ 3.1 Trong 2 , khảo sát hội tụ dãy sau 1 m a) x(m) , m m b) y (m ) m , m Giải m2 1 m nên x(m) (0,1) m a) Vì m m 1 b) Vì dãy m dãy phân kỳ nên dãy y(m) phân kỳ Chú ý rằng, để đơn giản ký hiệu, ta viết dãy ( xm ) thay cho ( x(m) ) không gây nhầm lẫn IV Tôpô n 4.1 Quả cầu Với điểm x n số thực r , ta có (i) Quả cầu mở: B( x, r ) y n y x r ; (ii) Quả cầu đóng: B( x,r ) y n y x r ; (iii) Mặt cầu: S ( x ,r ) y n y x r Ví dụ 4.1 Trong 2 , mặt cầu tâm I, bán kính r đường trịn tâm I, bán kính r; cầu mở tâm I bán kính r tất điểm nằm đường tròn tâm I, bán kính r; cầu đóng tâm I bán kính r hình trịn tâm I, bán kính r 4.2 Lân cận n Cho xo n , lân cận điểm x0 tập tất điểm thuộc cầu mở tâm x0 , bán kính nhỏ tùy ý B ( x , ) y n y x0 4.3 Các loại điểm tập hợp n Xét điểm x0 n tập hợp A n Khi (i) Điểm x0 gọi điểm A r : B ( x , r ) A ; (ii) Điểm x0 gọi điểm dính A r : B ( x0 , r ) A ; (iii) Điểm x0 gọi điểm tụ A r : ( B( x , r ) \ {x 0}) A ; (iv) Điểm x0 gọi điểm biên A x0 điểm dính A điểm dính n \ A , nghĩa r : B( x0 , r ) A B ( x0 , r ) ( n \ A) Tập hợp tất điểm biên A ký hiệu A gọi biên tập A Ví dụ 4.2 Trong , cho A (0,1] {2} Tìm điểm trong, điểm dính, điểm tụ, điểm biên A Giải (i) Tập hợp điểm A {x | x 1} (ii) Tập hợp điểm dính A {x | x 1} {2} (iii) Tập hợp điểm tụ A {x | x 1} (iv) Tập hợp điểm biên A {0, 1, 2} Chứng minh (i) x thỏa x điểm A Thật vậy, chọn r min{x0 , x0} , ta dễ dàng chứng minh B( x0 , r ) A x \ A khơng điểm A r , B( x0 , r ) A khơng điểm A r , B(1,r) A Tương tự, ta có khơng điểm A Chứng minh (ii), (iii), (iv) xem tập Nhận xét 4.1 (i) Điểm tụ A khơng thiết phải thuộc A (ii) Điểm A phải thuộc A Chiều ngược lại, nói chung khơng 30) ( x y y ) dx (2 xy x e y ) dy 0, 31) (e x y x ) dx (e x y y ) dy 0, y (0) 32) e x ( y xy 1) dx y ( xe x 6) dy 0, y (0) 33) ( y 2e xy x3 )dx (2 xye xy y )dy 0, y (0) y(1) x 34) (ln y y sin x )dx y cos5 x dy 0, y x 35) (2 xye x ln y )dx e x dy 0, y y (0) e y (0) Bài Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp sau 1) y ' x y 3) y ' y x 2) y ' x y 4) y ' y x2 5) y ' y 14 x 6) y ' y sin x 7) y ' y x 8) y ' 9) y ' sin x 10) y ' y 3e2 x 11) y ' cos x y sin x 12) xy ' y x sin x 13) xy ' y x cos x 14) y ' xy xe x 15) cos x y ' y sin x 16) y ' y sin x sin x.cos x y 2 x x 17) y ' x y x2 ln tan sin x 18) y ' 19) y ' 2y e x x 1 x 1 20) dy 50 y dt 22) dQ Q dt 20 t 21) dN kN , k số dt 319 y 2ln x x 23) y ' xy 0, y ( ) y (0) 25) y ' y e x x, 27) y ' tan x y , cos x 29) y ' xy x , 31) y (0) y (0) dq qy 4cos2t , q(0) dt 24) y ' y x, 1 x2 y (0) 26) y ' y tan 3x sin x, 28) xy ' y e x , y(0) y (1) 30) dv 2v 32, v(0) dt 32) dN N t , N (2) dt t Xem x hàm theo y , giải phương trình 33) (2 xy 3) dy y dx 34) ( y x ) y ' y 35) ( x y ) y ' y 36) ydx ( x x y ) dy 37) ydx ( x y sin y ) dy 38) (1 y )dx ( y sin y xy ) dy Bài Giải phương trình Bernoulli sau 1) y ' y y 2) xy ' y xy 3) y ' y y 3e x 4) y ' xy x y 5) y ' y y y y2 6) y ' x 1 x 7) xy ' y y log x 8) y ' xy e x 3 9) xy ' y e x y 2 10) y ' y 3x y x y 11) y ' y x cos x x2 12) y ' y y 13) y ' y y cos x tan x 14) xy ' y x y ln y y ' 15) y ' x sin y y xy ' 16) y ' x 320 y x9 y , x y(1) 17) y ' y e x y, y (0) 18) y ' y sin x 3sin x y , 19) cos x.dy ( y sin x y ) dx, 20) ( y y x ) y ' x 0, y y (0) y (1) Bài Giải phương trình Riccati sau 1) y ' y y y 1 2) y ' x 1 3) xy ' y 4) x y ' xy x y 0, với y0 ( x) x2 5) y ' y y x3 , với y0 ( x ) x x x y2 y 6) y ' 1, với y0 ( x ) x x x y 1 7) y ' y , với y0 ( x) x x x Bài Giải phương trình dạng x f ( y '), y f ( y ') 1) x 2 y ' 2ln y ' 2) x y '2 y ' 3) x y '3 y ' 4) x y ' ln y ' 5) x y ' e y ' 6) x e y ' (2 y '2 y ' 1) 7) x y ' y' 9) x y '2 11) y y '3 y '2 8) x y y' y' 10) x sin y ' cos y ' 12) y y '4 y '3 321 13) y e y ' ( y ' 1) 14) y y 'ln y ' 15) y y '2 tan y ' 16) y y '2 17) y y ' y ' 18) y y '2 19) y xy ' x 20) y yy ' xy ' y' 1 y ' Bài Giải phương trình Lagrange phương trình Clairaut sau 1) y xy ' y '2 2) y xy '2 y '3 1 3) y xy ' y 'ln y ' 2 y '2 4) y x 2y' 5) y xy '2 y '2 6) xy ' y y '2 x2 7) y xy ' y '2 8) y x (1 y ') y '2 1 9) y x y ' y '2 x 10) y ( y ' 1) xy '2 11) y xy ' 12) y xy ' 13) y xy ' e y ' 14) y xy ' cos y ' 15) y xy ' y ' y '2 16) y xy ' y '2 17) y xy ' y ' y 'ln y ' 18) xy ' y ln y ' 19) y ' ln( xy ' y ) 1 x 20) y y ' y ' 2y' Bài 10 Trong phương trình sau, phương trình phương trình vi phân tuyến tính (thuần nhất, khơng nhất, có hệ số hằng) 1) y '' xy ' y 2) y '' sin xy ' xy 3) y '' y y e3 x 4) y '' yy ' x 322 5) y '' xy ' y xy 6) y '' y ' yy ' x2 7) y '' e x 8) y '' e y Bài 11 Tập hàm số sau độc lập tuyến tính 1) {x,3x} 2) {5, x2} 3) {x, x3} 4) {e x , e2 x } 5) {x,3 x 1} 6) {e2 x , e3 x } 7) {ln x,ln x 2} 8) {sin x, 2cos x} 9) { x , x a } Bài 12 Có thể lập nghiệm tổng quát phương trình vi phân sau, biết hai nghiệm y1 , y2 chúng không ? 1) y '' 16 y 0, y1 si n4x, y2 cos x 2) y '' y ' 0, y1 1, y2 3) y '' y ' 0, y1 e8 x , y2 4) y '' 1 sin x cos x y ' 0, y1 , y2 x 4x x x Bài 13.Tìm nghiệm tổng quát phương trình sau 1) y '' y ' y 2) y '' y ' y 3) y '' y 4) y '' y '12 y 5) y '' y 6) y '' y ' 7) y '' y ' y 8) y '' y ' y 9) y '' y ' y 10) y '' y ' y 11) y '' 25 y ' 12) y '' 25 y 13) y '' 16 y 14) y '' y ' 10 y 15) y '' y ' y 16) y '' y ' 16 y 323 y 17) y '' y ' 20 y 18) y '' y ' 19) y '' y ' y 20) y '' d2y dy 21) 12 y dx dx d 2N dN 5 N 22) dt dt Bài 14 Tìm nghiệm tốn sau 1) y '' 0, y (1) 2, y '(1) 1 2) y '' y 0, y (0) 2, y '(0) 3) y '' y' y 0, y (0) 1, y '(0) 6 4) y ''10 y' 25 y 0, y (0) 0, y '(0) 5) y '' y 0, y (3) 0, y '(3) 6) y '' y ' 0, y (0) 1, y '(0) 7) y '' y ' y 0, y (2) 1, y '(2) 8) y '' y ' y 0, y (0) 1, y '(0) 9) 12 y '' y ' y 0, y (0) 1, y '(0) 1 10) y '' y'142 y 0, y (0) 2, y '(0) 1 11) y '' y ' y 0, y ( ) 1, y '() 12) y '' y 0, y (3) 0, y '(3) 13) y '' y 0, y (3) 0, y '(3) 14) y '' y ' 20 y 0, y ( / 2) 0, y '( / 2) Bài 15 Tìm nghiệm tổng quát phương trình khơng sau 1) y '' y '10 y 3 2) y '' y ' y 3) y '' y '10 y x 4) y '' y ' y x 5) y '' y ' y x2 6) y '' y ' y x 1 7) y '' y x x 1 8) y '' y ' y x2 x 9) y '' y ' x3 10) y '' y e x 324 11) y '' y ' y 3e2 x 12) y '' y ' y 12e x 13) y '' y ' y eix 14) y '' y ' y e x 15) y '' y ' y 10e x 16) y '' y ' y e2 x 17) y '' y ' y xe x 18) y '' y ' 16 y xe4 x 19) y '' y ' y 3xe x 20) y '' y ' y e x ( x 1) 21) y '' y ' y (4 12 x)e x 22) y '' y ' y x 2e2 x 23) y '' y ' sin x 24) y '' y ' cos3 x 25) y '' y ' y 20cos x 26) y '' y ' y 6sin x 27) y '' y x sin x 28) y '' y x sin x 29) y '' y ' y x cos x 30) y '' y ( x 2)cos x 31) y '' y x sin x 32) y '' y ' 10 y x 2e x cos3x 33) y '' y ' y xe x sin x 34) y '' y ' y e x (2cos x x sin x) Bài 16 Tìm nghiệm tổng quát phương trình sau 1) y '' y e x x 2) y '' y x 3e x 3) y '' y ' y x e2 x 4) y '' y ' e3 x 12 x 5) y '' y ' x e x 6) y '' y ' y e2 x x 7) y '' y ' y e x e2 x 8) y '' y xe2 x 9) y '' y ' y e x e2 x x 10) y '' y sin x ex 11) y '' y ' y e x 7cos x 12) y '' y sin x cos x 13) y '' y cos x cos x 14) y '' y sin x 15) y '' y sin x sin x 16) y '' y cos2 x 17) y '' y cos2 x 18) y '' y sin x cos3 x 325 Bài 17 Tìm nghiệm tổng quát phương trình sau x2 2x 2) y '' y ' y x3 1) y '' y x 3) y '' y x x x 5) y '' y ' 2x 7) y '' y ' y 4) y '' y ' y 3e x x 6) y '' y ' y e x ex x 8) y '' y ' y ex 9) y '' y x e 1 11) y '' y ' y 10) y '' y ' e 1 x ex x5 2 x x e x3 12) y '' y ' y e x log x 13) y '' y ' y e2 log x 14) y '' y ' y cos(ex ) 15) y '' y tan x 16) y '' y cot x 17) y '' y sin x 18) y '' y 19) y '' y cos x 21) y '' y cos x sin x 20) y '' y tan x 22) y '' y sin x sin x Bài 18 Tìm nghiệm tổng quát phương trình sau 1) x y '' xy '12 y 0, x 2) x y '' xy ' y 0, x 3) x y '' 5xy ' 13 y 0, x 4) x y '' 3xy ' y 0, x 5) x y '' xy ' y 0, x 6) x y '' xy ' y 0, x 7) x y '' y 0, x 8) y '' 326 y' y , x x x2 x Bài 19 Giải toán sau 1) y '' y ' y e3 x , y(0) 2, y '(0) 2) y '' y ' y e x (2 x 3), y(0) 1, y '(0) 3) y '' y x, y (1) 0, y '(1) 4) y '' y sin 2 x, y() 0, y '() 5) y '' y ' y 2sin x cos x, y (0) 0, y '(0) 6) y '' y ' 3x e x , y(0) 1, y '(0) 7) y '' y ' y 4e x cos x, y() e , y '() e 8) x y '' xy ' y 0, y(1) 0, y(2) 9) x y '' 3xy ' y 1/ x, y(1) 1, y '(1) 327 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] James Stewart, Calculus Early Transcendentals, Edition, 2008 [2] Robert A Adams, Christopher Essex, Calculus Several Variables, edition, Pearson Education Canada, 2009 [3] Angus E Taylor, W Robert Mann, Advanced Calculus, Wiley Inc., 1982 [4] Jean-Marie Monier, Giải tích 2, NXB Giáo dục, 1999 [5] Y.Y Liaskô, A.C Bôiatruc, IA.G Gai, G.P Gơlơvac, Giải tích tốn học-Các ví dụ toán, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội, 1979 [6] Tom M Apostol, Mathematical Analysis, Addison-Wesley Publishing Company, 1971 [7] Wilfred Kaplan, Advanced Calculus, Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1993 [8] William R Parzynski, Philip W Zipse, Introduction to Mathematical Analysis, McGraw-Hill International Editions, 1987 [9] Ya S Bugrov, S M Nikolsky, A collection of problems, Mir Publishers, 1984 [10] M Spivak (Hoàng Hữu Đường dịch), Giải tích Tốn học đa tạp, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, 1985 [11] Richard Bronson, Gabriel Costa, Schaum's Outline of Differential Equations, 4th Edition, McGraw-Hill Education, 2014 [12] Đặng Đức Trọng, Đinh Ngọc Thanh, Phạm Hoàng Quân, Giáo trình Giải tích 2, NXB ĐHQG TP.HCM, 2008 [13] Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Cơng Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến, NXB ĐHQG TP.HCM, 2008 [14] PGS TS Tô Văn Ban, Giáo trình Giải tích II, NXB Giáo dục, 2012 [15] Phạm Hồng Danh, Giáo trình Tốn cao cấp-Giải tích, NXB ĐHQG TP.HCM, 2007 [16] Lê Đình Thúy, Giáo trình Tốn cao cấp cho nhà kinh tế, NXB ĐH Kinh tế quốc dân, 2012 [17] Đỗ Cơng Khanh, Giải tích nhiều biến, Tủ sách trường ĐH Khoa học Tự Nhiên 328 [18] Nguyễn Đình Trí, Lê Trọng Vinh, Dương Thụy Vỹ, Giáo trình Tốn học cao cấp, tập 1, 2, NXB Giáo dục, 1999 [19] Đậu Thế Cấp, Nguyễn Huỳnh Phán, Nguyễn Thái Sơn, Trần Đình Thanh, Giải tích Tốn học, NXB Giáo dục, 2007 [20] Lê Trọng Vinh, Tống Đình Quỳ, Ơn tập Tốn cao cấp, NXB Bách Khoa Hà Nội, 2011 [21] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập Toán cao cấp, NXB Giáo dục, 2008 [22] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp, tập 3, NXB Giáo dục, 2003 [23] Trần Bình, Giải tích II+III, NXB Khoa học & Kỹ thuật, 2000 [24] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích vectơ, NXB Giáo dục, 2012 [25] Đặng Đình Áng, Nhập mơn Giải tích, NXB Giáo dục, 1998 [26] Đặng Đình Áng, Lý thuyết tích phân, NXB Giáo dục, 1998 [27] Nguyễn Đình Trí, Trần Việt Dũng, Trần Xn Hiển, Nguyễn Xuân Thảo, Toán học cao cấp (tập 3)-Chuỗi phương trình vi phân, NXB Giáo dục, 2015 [28] Nguyễn Thanh Vũ, Phương trình vi phân, NXB ĐHQG TP.HCM, 2001 [29] Nguyễn Cơng Tâm, Phương trình vật lý tốn nâng cao, NXB ĐH Quốc gia TP HCM, 2002 [30] Đỗ Cơng Khanh, Nguyễn Minh Hằng, Ngơ Thu Lương, Tốn cao cấp-Chuỗi phương trình vi phân, NXB ĐH Quốc gia TP HCM, 2008 [31] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục, 2009 [32] Phan Huy Thiện, Tuyển tập tập phương trình vi phân, NXB Giáo dục, 2010 329 MỤC LỤC Trang CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN.… ….3 §1 KHƠNG GIAN n ……………………………………………………………………… …3 I Định nghĩa không gian n ………………………………………………………………… II Phép toán đại số n ……………………………………………………………………3 III Hội tụ n ……………………………………………………………………………7 IV Tơpơ n ……………………………………………………………………… ……8 §2 HÀM NHIỀU BIẾN SỐ………………………………………………………………… …13 I Định nghĩa …………………… ………………………………………………………… 13 II Đồ thị hàm nhiều biến …………………… …………………………………….……16 III Đường mức hàm hai biến …………………… …………………………………… 17 §3 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC……………………………………………………………….…19 I Giới hạn hàm hai biến …………………… …………………………………………….…19 II Tính liên tục hàm hai biến …………………… ………………………………… …25 III Giới hạn liên tục hàm nhiều biến …………………… ……………………… …30 BÀI TẬP CHƯƠNG 1.…………………………………………………………… ………31 CHƯƠNG SỰ KHẢ VI VÀ VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN.… …………… 39 §1 ĐẠO HÀM RIÊNG…………………………………………………………………… … 39 I Đạo hàm riêng …………………… …………………………………………….…………39 II Ý nghĩa hình học đạo hàm riêng …………………… ………………………………43 §2 SỰ KHẢ VI VÀ VI PHÂN………………………………………………………………….44 I Sự khả vi …………………… …………………………………………….………………44 II Vi phân hàm nhiều biến …………………… …………………………………………….52 §3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO………………………………………………………53 I Đạo hàm riêng cấp cao …………………… …………………………………………… 53 II Vi phân cấp cao …………………… ………………………………………………….…56 §4 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ HỢP……………………………………………58 I Đạo hàm riêng hàm số hợp …………………… …………………………………… 58 II Vi phân hàm hợp …………………… ……………………………………………….62 330 §5 HÀM ẨN…………………………………………………………………………………….63 I Khái niệm hàm ẩn …………………… ………………………………………………… 63 II Hệ phương trình hàm ẩn …………………… …………………………………… …71 §6 CƠNG THỨC TAYLOR CỦA HÀM NHIỀU BIẾN……………………………………….76 I Công thức Taylor hàm biến …………………… …………………………… …77 II Công thức Taylor hàm n biến …………………… ……………………… …… …77 BÀI TẬP CHƯƠNG 2.…………………………………………………………… ………84 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN.……………………………………………………………………………………… …99 §1 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN…………………………………………………… …99 I Cực trị tự …………………… …………………………………………………………99 II Điểm dừng, điểm tới hạn, điểm yên ngựa …………………… ……………………… 100 III Cực trị có điều kiện …………………… …………………………………………… 111 IV Cách tìm cực trị có điều kiện …………………… …………………………………….113 §2 GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT……………………………………… 122 I Định nghĩa …………………… …………………………………………………………122 II Bài tốn tìm giá trị lớn nhỏ miền đóng bị chặn ……………………123 §3 ĐƯỜNG CONG TRONG MẶT PHẲNG………………………………………………….129 I Hệ tọa độ cực …………………… ………………………………………………………129 II Đường cong mặt phẳng …………………… …………………………………… 131 §4 HÀM VECTƠ VÀ ĐƯỜNG CONG TRONG KHÔNG GIAN……………………………137 I Hàm vectơ biến …………………… ……………………………………………… 137 II Giới hạn tính liên tục hàm vectơ …………………… ………………………… 139 III Đường cong không gian …………………… ………………………………… 141 IV Đạo hàm hàm vectơ …………………… ………………………………………….145 V Tiếp tuyến mặt phẳng pháp tuyến đường cong khơng gian ……………….146 §5 MẶT CONG TRONG KHƠNG GIAN………………………………………………….…148 I Hệ tọa độ trụ …………………… …………………………………………………….…148 II Hệ tọa độ cầu …………………… ………………………………………………… …149 III Mặt cong không gian…………………… …………………………………….…151 IV Một số mặt bậc hai quan trọng …………………… …………………………153 V Tiếp diện pháp tuyến mặt cong không gian…………………… …………157 331 §6 TRƯỜNG VECTƠ VÀ TRƯỜNG VÔ HƯỚNG……………………………………….…160 I Trường vectơ trường vô hướng …………………… …………………………………160 II Trường Gradient …………………… ……………………………………………… …163 III Đạo hàm theo hướng …………………… ………………………………………… …163 IV Divergence trường vectơ …………………… ………………………………….…165 V Vectơ rot trường vectơ …………………… ………………………………………167 VI Trường trường solenoidal …………………… …………………………… …168 BÀI TẬP CHƯƠNG 3.……………………………………………………………………170 CHƯƠNG TÍCH PHÂN BỘI.…………………………………………………….…180 §1 TÍCH PHÂN BỘI HAI………………………………………………………………… …180 §2 TÍCH PHÂN BỘI BA………………………………………………………………………202 §3 ĐỘ DÀI, DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH…………………………………………………………208 BÀI TẬP CHƯƠNG 4.……………………………………………………………………219 CHƯƠNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG - TÍCH PHÂN MẶT.………………… …224 §1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG………………………………………………………………… ….225 I Định nghĩa tích phân đường loại …………………… ……………………… ……225 II Định nghĩa tích phân đường loại hai …………………… ……………………… ……227 III Bài tốn tìm F từ F …………………… ……………………… …………………232 IV Định lý Green…………………… ……………………… ……………………… …238 §2 TÍCH PHÂN MẶT………………………………………………………………… …… 242 I Định nghĩa tích phân mặt loại …………………… ……………………… ………242 II Định nghĩa tích phân mặt loại hai …….……………… ……………………… …245 III Định lý Divergence …….……………… ……………………… .…247 IV Định lý Stokes …….……………… ……………………… .…249 V Một chứng minh cho công thức đổi biến …….……………… …………………… …250 BÀI TẬP CHƯƠNG 5.……………………………………………………………………253 PHẦN ĐỌC THÊM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN.……………… ………… …260 §1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN……………………………………………………………….260 I Định nghĩa phương trình vi phân …………………… ……………………… …… …260 II Nghiệm phương trình vi phân …………………… ……………………… ………261 §2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT………………………………………………… 262 I Phương trình vi phân cấp …………………… ……………………… …… …262 332 II Đường cong tích phân …………………… ……………………… ……………… …264 III Một số dạng phương trình vi phân cấp ………………………… ……………… …264 §3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI……………………………… …295 I Đại cương phương trình vi phân tuyến tính cấp hai …………………… ……… …295 II Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số …………………… ……….…302 BÀI TẬP PHẦN ĐỌC THÊM.…………………………………………………………315 TÀI LIỆU THAM KHẢO.………………………………………………………………328 MỤC LỤC.………………………………………………………………………………… 330 333 ... MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN -O0O - Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến Mã số: GT201 3-0 3 Xác nhận Chủ tịch Hội đồng Tp Hồ Chí Minh, 8/2015 Chủ nhiệm đề tài Lời nói đầu Giáo trình Giải. .. vi phân hàm nhiều biến Ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến trình bày chương Chương chương đề cập đến phép tính tích phân hàm nhiều biến bao gồm: tích phân bội, tích phân đường tích phân... Toán lý Kỹ thuật Nội dung giáo trình biên soạn theo đề cương chi tiết học phần Giải tích hàm nhiều biến dùng giảng dạy Khoa Toán - Ứng dụng, trường Đại học Sài Gịn Giáo trình gồm chương Chương