Giải tích hàm nhiều biến

bộ sách toán học cao cấp - viện toán học Đinh Thế Lục Phạm Huy Điển Tạ Duy Phợng Giải tích hàm nhiều biến Những nguyên lý tính toán thực hành nhà xuất đại học quốc gia hà nội www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Hội Đồng biên tập Hà Huy Khoái (Chủ tịch) Ngô Việt Trung Phạm Huy Điển (Th ký) www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Giải tích hàm nhiều biến Những nguyên lý tính toán thực hành Đinh Thế Lục Phạm Huy Điển Tạ Duy Phợng Bộ sách Toán học cao cấp - Viện Toán học www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Li núi u C un sỏch ny cú th xem l tip theo ca giỏo trỡnh gii tớch cỏc hm s mt bin, ó c Nh xut bn Giỏo dc n hnh nm 1998, vi ta "Gii tớch Toỏn hc: Nhng nguyờn lý c bn v tớnh toỏn thc hnh" Trong giỏo trỡnh ú chỳng ta ó kho sỏt dóy s, chui s, hm s v cỏc phộp tớnh vi tớch phõn khụng gian mt chiu (trc s thc) Trong tip theo ny cỏc i tng trờn s c kho sỏt khụng gian nhiu chiu, v ú chớnh l s khỏc bit c bn gia hai giỏo trỡnh xõy dng cỏc phộp tớnh vi tớch phõn khụng gian nhiu chiu, trc ht phi hiu rừ cu trỳc ca nhng khụng gian ny Chng cp ti hai cu trỳc quan trng nht ca khụng gian nhiu chiu, cu trỳc tuyn tớnh v cu trỳc khong cỏch, thụng qua mt vớ d in hỡnh l khụng gian \ n giỏo trỡnh mang tớnh c lp nht nh, khụng gian ny c xõy dng trc tip, m khụng da vo khỏi nim khụng gian tuyn tớnh tng quỏt giỏo trỡnh i s tuyn tớnh trỏnh cng knh, cỏc khỏi nim v kt qu ca chng ny c chn lc ti mc ti thiu t mụn i s tuyn tớnh, Tụpụ v Gii tớch hm, va s dng cho nhng chng sau, ng thi dn dt ngi hc lm quen vi nhng b mụn quan trng ú Cỏc chng t n khụng ch thit lp khụng gian nhiu chiu nhng gỡ ó bit Gii tớch mt bin m cũn a nhng khỏi nim mi ch xut hin khụng gian nhiu chiu Chng trỡnh by cỏc kin thc c bn v chui Fourier v phộp bin i tớch phõn Fourier Chng cui cựng gii thiu s lc v h phng trỡnh vi phõn v phng trỡnh o hm riờng Hai chng sau ny nhm mc ớch cng c nhng kin thc v vi tớch phõn ó hc nhng chng trc, rốn luyn k nng tớnh toỏn thc hnh v trang b kin thc hc viờn tỡm hiu cỏc mụn hc khỏc nh Vt lý, C hc, Sinh hc, Nu nh cỏc khỏi nim, kt qu chng minh Gii tớch mt bin cú tớnh trc quan cao, d hin th, thỡ sang khụng gian nhiu chiu tớnh tru tng ó tng lờn rừ rt Tuy nhiờn, cỏi p ca Toỏn hc nm s tru tng v cỏi ớch ca Toỏn hc nm s c th hiu rừ hai mt y ca Toỏn hc ng thi nhm rốn luyn phng phỏp suy lun toỏn hc cho sinh viờn, giỏo trỡnh ny hai cỏch tip cn thng c s dng an xen nhau: ú l cỏch i t c th ti tru tng v ngc li, t tru tng ti c th tu theo tng khỏi nim, tng nh lý Mi cỏc kt qu c phỏt biu v chng minh khụng gian tng quỏt n chiu, thỡ ngi c cú th hn ch trng hp n=2 hoc n=3 hiu d dng v thu ỏo hn Trong ti liu ny, chỳng tụi c gng a vo cỏc chng minh y ca nhng nh lý ln v húc bỳa thng b nộ trỏnh cỏc giỏo trỡnh hin hnh Nhng chng minh ny l khú nhng cha ng cỏc phng phỏp suy lun in hỡnh rt cn cho vic rốn luyn t (nht l i vi hc sinh cao hc v nhng mun i sõu hn vo lnh vc Gii tớch Toỏn hc) Ngi c i www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ khụng cn nh chi tit, m ch cn hiu c cỏc chng minh ny ó c xem l t yờu cu Vic minh ho v tớnh toỏn khụng gian nhiu chiu l mt khú vỡ khụng my cú th thc hin c bng th cụng, nht l v cỏc ch : V th khụng gian, tớnh tớch phõn bi, tớnh vi phõn hm n vect nhiu bin, tớnh toỏn cỏc bin i tớch phõn Fourier, gii phng trỡnh o hm riờng, Cỏi khú õy bt u t vic tỡm cho mt vớ d cú th x lý c Chớnh vỡ vy, lnh vc ny luụn luụn l m h i vi hu ht mi hc viờn (t i hc n cao hc) Nhm xoỏ b tỡnh trng ny, chỳng tụi mnh dn a vo giỏo trỡnh phn hng dn tớnh toỏn thc hnh trờn mỏy, sau mi chng lý thuyt Qua õy ngi c s thy rng ngy nay, vi mỏy tớnh v phn mm toỏn hc thụng dng (cú sn trờn th trng v trờn Internet), ch bng nhng dũng lnh n gin tng t nh ngụn ng toỏn hc thụng thng, ngi ta cú th "s thy c" nhng gỡ m trc õy khụng th no hỡnh dung ni Nu cha cú sn cỏc chng trỡnh tớnh toỏn trờn mỏy cỏ nhõn, ngi c cú th truy cp ti mt s trung tõm cung cp dch v tớnh toỏn qua mng (thng l phớ) cú th thc hnh tớnh toỏn c (bn c cú nhu cu xin liờn h vi cỏc tỏc gi bit thờm thụng tin chi tit) i vi ngi hc cha cú iu kin tip xỳc vi mỏy tớnh, vic c phn ny rt cú tỏc dng, vỡ s bit c c ch giao tip gia ngi vi mỏy v bit c nhng gỡ mỏy tớnh cú th thay th ngi quỏ trỡnh tớnh toỏn Quan trng hn, qua cỏc vớ d minh ho v tớnh toỏn trờn mỏy trỡnh by sỏch, ngi hc s nm c kin thc toỏn hc mt cỏch sõu sc hn, tip cn c ti nhng iu m trc õy tng nh l khụng th Khi khụng cũn b mc cm bi nhng bi toỏn húc bỳa, ngi ta s thy toỏn hc khụng cũn l huyn v t tin vic ún nhn nhng bi toỏn khú ny sinh t thc tin sn xut Chỳng tụi hy vng rng cun sỏch ny s l mt cm nang tt cho nhng mun hiu sõu sc v Gii tớch toỏn hc núi chung, v v gii tớch cỏc hm s nhiu bin núi riờng Do ú, nú s l hu ớch i vi cỏc hc sinh cao hc, cng nh thy v trũ cỏc trng Tng hp, S phm, K thut, Tp th tỏc gi xin chõn thnh cm n giỏo s Nguyn Duy Tin (HQG H Ni) v giỏo s on Qunh (HSP H Ni) ó c rt k bn tho v ó cho nhng nhn xột quý bỏu Vic trỡnh by mt ch phc s khụng th trỏnh nhng sai sút, cho nờn chỳng tụi mong tip tc nhn c s phờ bỡnh, gúp ý ca cỏc ng nghip v hc viờn gi v theo a ch: Vin Toỏn hc, Trung tõm Khoa hc T nhiờn v Cụng ngh Quc gia, 18-ng Hong Quc Vit, Qun Cu Giy, H Ni CC TC GI ii www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Chng Khụng gian Rn & Khụng gian metric 1.1 Khụng gian Rn 1.1.1 im khụng gian n-chiu 1.1.2 Vect khụng gian n-chiu 1.1.3 Tớch vụ hng 1.1.4 Chun ca vect 1.1.5 nh x tuyn tớnh 1.2 Khụng gian metric 10 1.2.1 nh ngha v cỏc vớ d 10 1.2.2 Tp úng v m khụng gian metric 12 1.2.3 Hi t khụng gian metric 15 1.2.4 Tớnh y khụng gian metric 17 1.2.5 Tớnh compact khụng gian metric 19 1.2.6 nh x khụng gian metric 24 1.2.7 Khụng gian siờu metric 27 1.1 Khụng gian Rn Trong giỏo trỡnh ny chỳng ta s lm vic trờn khụng gian Rn - mt vớ d rt c bit ca khụng gian n-chiu giỏo trỡnh cú c tớnh c lp nht nh, chỳng tụi s trỡnh by li mt cỏch ngn gn vic xõy dng khụng gian Rn c gi no quan tõm n lý thuyt khụng gian n-chiu núi chung xin xem cỏc giỏo trỡnh i s tuyn tớnh c gi no ó hc qua giỏo trỡnh i s tuyn tớnh cú th b qua phn ny www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Gii tớch cỏc hm nhiu bin 1.1.1 im khụng gian n-chiu Ta ó quen thuc vi cỏch dựng mt s biu din mt im trờn ng thng (khi trờn ng thng ú cho sn n v di) Ta cng ó bit vic dựng mt cp s (x,y) biu din mt im mt phng cú h ta Descartes Tng t nh vy, ngi ta s dng mt b s (x,y,z) biu din mt im khụng gian ng thng cũn c gi l khụng gian 1-chiu, mt phng cũn c gi l khụng gian 2-chiu, v khụng gian vt lý xung quanh ta cũn c gi l khụng gian 3-chiu Nh vy, mt s biu din mt im khụng gian 1-chiu, mt cp s biu din im khụng gian 2-chiu, v mt b s biu din mt im khụng gian 3-chiu Tuy rng, ta khụng th cho c minh hỡnh hc ca cỏch biu din im khụng gian cú s chiu ln hn 3, nhng bng cỏch khỏi quỏt húa, ngi ta cú th dựng mt b n s biu din mt im khụng gian n-chiu Khụng gian n-chiu vi n khụng phi ch l s tng tng v khỏi quỏt húa ca cỏc nh toỏn hc, m chỳng tht s tn ti vt lý, kinh t, xó hi Thớ d biu din nhit ti mt im khụng gian xung quanh ta thỡ ngoi 3-chiu thụng thng ta phi thờm mt chiu thi gian Hoc biu din tỡnh trng sc khe ca mt ngi no ú ta phi dựng b nhiu s: chiu cao, trng lng, vũng ngc, huyt ỏp, thớnh, tm nhỡn Chớnh xỏc hn, vi s t nhiờn n cho trc, ta cú: nh ngha Mt im khụng gian n-chiu l mt b n s cú th t ( x1 , x2 , , xn ) Ngi ta thng ký hiu mt im khụng gian n-chiu bng mt ch m, thớ d nh x, v vit x = ( x1 , x2 , , xn ) S xi b s ny c gi l ta th i ca im x Gi s cú im cựng mt khụng gian n-chiu l a = (a1 , a2 , , an ) v b = (b1 , b2 , , bn ) , ta nh ngha tng ca chỳng (a+b) l mt im khụng gian n-chiu vi cỏc ta l (a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn ) , v ta nh ngha tớch ca im a vi mt s l mt im vi cỏc ta l (a1 , a2 , , an ) Thớ d Trong khụng gian 3-chiu, vi a = (1,3,5), b = (2,0,1), = 7, ta cú a+b = (3,3,6) v a = (7,21,35) Ngi ta ký hiu l im (trong khụng gian n-chiu) cú tt c cỏc ta bng (tc l = (0,0, ,0)) v gi nú l im gc, cũn -a l im (-1)a (tc l im cú cỏc ta ngc du vi cỏc ta im a) Khi y d dng kim tra rng cỏc phộp tớnh trờn tha cỏc lut sau: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Chng Khụng gian Rn v khụng gian metric (1) (a + b) + c = a + (b + c) ; (2) a + b = b + a ; (3) (a + b) = a + b ; (4) ( + à)a = a + àa v (à)a = (àa) , vi mi s , à; (5) + a = a + = a vi mi a ; (6) 1.a = a v a + (-a) = T õy ngi ta cng quy c vit a - b thay cho a +(- b) Chng minh cỏc ng thc trờn l d dng, ngi c cú th t lm nh cỏc bi lm thớ d, chỳng ta chng minh ng thc (3) Theo nh ngha a + b = (a1 + b1 , , an + bn ) , nờn (a + b) = ( (a1 + b1 ), , (an + bn )) = (a1 + b1 , , an + bn ) = a + b 1.1.2 Vect khụng gian n-chiu Ngi ta gi mi cp im a, b khụng gian n-chiu l mt vect buc (hay vect nh v) khụng gian n-chiu b Vect xỏc nh bi cp im a, b c ký hiu l ab Ngi ta gi a l im u, b l im cui, v cũn gi ab l vect nh v ti a Hai vect ab v cd c gi l tng ng nu chỳng tha iu kin ba = d c a b-a Hỡnh 1.1 Theo nh ngha ú, vect ab l tng ng vi vect nh v ti gc v cú im cui l b-a Rừ rng, ch cú nht mt vect nh v ti gc tng ng vi mt vect cho trc (vỡ d thy rng nu vect tng ng m cựng nh v ti gc thỡ im cui ca chỳng cng trựng nhau) iu ny c minh trng hp 2-chiu nh hỡnh v bờn Vect nh v ti gc c xỏc nh hon ton bi im cui ca nú, cho nờn khụng gian n-chiu ta cú mi tng quan 1-1 gia im v vect nh v ti gc Nh vy mt b n s cú th c xem l ta ca mt im a hay ca mt vect nh v ti gc 0a , v cho thun tin ngi ta vit vect ny mt cỏch n gin l a hay thm l a, trng hp khụng s xy nhm ln Hai vect ab v cd c gi l song song nu tn ti s cho b a = (d c ) Khi s l dng thỡ ta núi rng chỳng cựng hng (hay cựng chiu), v trng hp ngc li ta núi rng chỳng ngc hng (hay ngc chiu) www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Gii tớch cỏc hm nhiu bin Nh vy, hai vect l song song vi v ch cỏc vect nh v ti gc tng ng vi chỳng sai khỏc mt h s (khỏc 0) Ngha l, khỏi nim song song õy hon ton phự hp vi nhng gỡ bit trng hp khụng gian 2-chiu hoc 3-chiu (trong giỏo trỡnh Hỡnh hc gii tớch) 1.1.3 Tớch vụ hng nh ngha Tớch vụ hng ca vect a = (a1 , a2 , , an ) v b = (b1 , b2 , , bn ) l mt s (ký hiu l a.b ) xỏc nh nh sau: a.b := a1b1 + a2b2 + + an bn (Trong mt s giỏo trỡnh, phõn bit tớch vụ hng ca vect vi tớch thụng thng ca s, ngi ta cũn ký hiu tớch vụ hng ca vect a v b l (a,b) hay a , b Tuy nhiờn, giỏo trỡnh ny, cn phõn nh rừ s khỏc bit gia cỏc vect vi cỏc s thụng thng, chỳng ta s dựng phụng ch m biu din vect, cho nờn s khụng xy s ln ln gia khỏi nim ó núi Vỡ vy, chỳng ta s s dng cỏch ký hiu n gin nh ó trỡnh by trờn, nh rt nhiu ti liu nc ngoi hin nay, v s ch s dng ký hiu no thy cn thit) Tớnh cht T nh ngha trờn ta thy tớch vụ hng ca vect cú nhng tớnh cht sau: 1) a.b = b.a ; 2) a.(b + c ) = a.b + a.c = (b + c ).a ; 3) (.a ).b = .(a.b) , vi mi s ; 4) a.a , v a.a = v ch a = Chng minh Vic kim tra cỏc Tớnh cht v l d dng v dnh li cho ngi c Ta kim tra cỏc tớnh cht cũn li ng thc u Tớnh cht suy t nhn xột sau a.( b + c) = a1 (b1 + c1 ) + a2 (b2 + c2 ) + + an (bn + cn ) = = (a1b1 + a2b2 + + an bn ) + (a1c1 + a2 c2 + + an cn ) = a.b + a c v ng thc sau suy t Tớnh cht Phn xuụi ca Tớnh cht cú t nh ngha, cũn phn ngc li thỡ rỳt t nhn xột rng nu b s (a1 , a2 , , an ) cú mt phn t no ú khỏc 0, thớ d l , thỡ a.a = a12 + a22 + + an2 ai2 > Cỏc tớnh cht ó c kim tra xong www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Chng Khụng gian Rn v khụng gian metric cho thun tin ngi ta hay vit a thay cho a.a Lu ý rng õy ch l quy c mang tớnh hỡnh thc v khụng cú liờn quan gỡ n phộp ly tha (hon ton vụ ngha vit a ) Tuy nhiờn ngi c cú th d dng kim tra cỏc hng ng thc tng t sau õy: (a + b) = a + 2a.b + b , (a b) = a 2a.b + b Hai vect a v b c gi l vuụng gúc vi nu a.b = Trong trng hp khụng gian 2-chiu v 3-chiu khỏi nim vuụng gúc õy hon ton trựng hp vi khỏi nim vuụng gúc thụng thng 1.1.4 Chun ca vect B sau õy cú tờn l bt ng thc Schwarz v s úng vai trũ quan trng lý thuyt vect B (Schwarz) Vi vect a, b ta luụn cú (a.b) (a.a ).(b.b) Chng minh Vi a = thỡ bt ng thc trờn l hin nhiờn Khi a t Tớnh cht ta cú (t a + b, t a + b) , vi mi s t Suy a 2t + 2abt + b , vi mi t Theo nh lý v du ca tam thc bc (bin t) ta cú: (ab) a b õy chớnh l iu cn chng minh nh ngha Chun (hay di) ca vect a, ký hiu l ||a||, l mt s xỏc nh nh sau: ||a|| = a.a Di dng ta thỡ cụng thc trờn cú ngha l ||a|| = a12 + a22 + + an2 , v trng hp khụng gian 2-chiu hoc 3-chiu thỡ nú hon ton trựng hp vi cụng thc tớnh di theo nh lý Pythagoras Rừ rng vect cú chun bng v ch tt c cỏc ta ca nú bng T b Schwarz, sau ly cn v, ta thu c cụng thc rt hay c s dng sau ny l |(a.b)| ||a||.||b|| www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ 323 Chng H phng trỡnh vi phõn U U U + + X n +f =0 x1 xn z X1 (4) õy l phng trỡnh tuyn tớnh thun nht i vi hm s U cn tỡm Gi s h phng trỡnh i xng tng ng ca phng trỡnh trờn dx dx1 dx2 = = = n = dz X1 X2 Xn f cú n tớch phõn c lp ( x1 , x2 , , xn , z ) , ( x1 , x2 , , xn , z ) , , n ( x1 , x2 , , xn , z ) Khi y hm s U = (1 , , n ) chớnh l nghim tng quỏt ca h phng trỡnh (4), ú nghim tng quỏt ca phng trỡnh (3) cú dng U = (1 , , n ) = Thớ d Mun gii phng trỡnh x u u u +y +z = xyz ta lu ý rng h x y z dy dz phng trỡnh i xng dx = = = du cú ba tớch phõn c lp l x y z xyz y = , = z , 3= xyz 3u Vy h ó cho cú nghim tng quỏt l x x y ( , z , xyz 3u ) = x x 9.2.4 Phng trỡnh vi phõn o hm riờng tuyn tớnh cp hai Phng trỡnh o hm riờng tuyn tớnh cp ca hai bin c lp (x,y) cú dng a 2z 2z 2z z z b c + + + F ( x, y , z , , ) = , 2 x y x y x y ú a,b,c l nhng hm kh vi liờn tc ti cp hai theo hai bin (x,y) v a2 + b2 + c2 > Mt s dng c bit Dng 1) 2z = F ( x, y ) ; x2 2) 2z = F ( x, y ) ; y2 3) 2z = F ( x, y ) x y www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ 324 Gii tớch cỏc hm nhiu bin Thớ d Ta gii phng trỡnh 2z = x y bng cỏch tớch phõn hai v ca nú x y z = xy y + ( x) Tớch phõn hai v ca phng trỡnh ny x theo x ta c nghim ca phng trỡnh ó cho l z = x y y x + ( x)dx + ( y ) , 2 ú ( x) v ( y ) l nhng hm bt kỡ theo y v thu c Dng 1) a 2z z +d = F ( x, y ) ; x x 2) b 2z z +d = F ( x, y ) ; x y x 3) b 2z z +e = F ( x, y ) ; y x y 4) c 2z z +e = F ( x, y ) y y õy l nhng phng trỡnh bc nht i vi bin ph thuc l p = z x (hoc q = z ) y z 2z z l +2 = (9 x + 6)e3 x+2 y ta coi p = x x x bin ph thuc, x l bin c lp, y l hng s, v phng trỡnh tr thnh phng p trỡnh vi phõn cp mt: x + p = (9 x + 6)e3 x+2 y Nhõn hai v ca phng trỡnh x p + xp = (9 x + x)e3 x+2 y Tớch phõn v theo x ta ny vi x ta c x x c: Thớ d gii phng trỡnh x x p = (9 x + x)e3 x+2 y dx = x e3 x+2 y + 1( y ) Suy p= z = 3e3 x+2 y + 12 1( y ) x x Vy nghim ca phng trỡnh ó cho l z = e3 x+2 y 1( y ) + ( y ) x Dng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ 325 Chng H phng trỡnh vi phõn 1) a 2) b 2z 2z z + b +d = F ( x, y ) ; x y x x2 2z 2z z +c +e = F ( x, y ) x y y y õy cng l nhng phng trỡnh o hm riờng tuyn tớnh bc nht i vi p (hoc q) v x, y l nhng bin c lp Thớ d Ta gii phng trỡnh x 2z 2z z y +2 = xy bng cỏch t x y x x2 z , v phng trỡnh ny cú th c coi nh l phng trỡnh o hm riờng x p p tuyn tớnh cp khụng thun nht: x y = xy p gii nú theo x y phng phỏp ca Mc 9.1.3 ta lp h phng trỡnh vi phõn thng p= dp dx = dy = x y xy p D dng kim tra, h ny cú hai tớch phõn c lp l 1= xy v 2= Do ú nghim tng quỏt ca phng trỡnh cp mt l p= p 2x y2 p x = ( xy ) Suy y2 z = xy + y ( xy ) x v z = x y + y ( xy )dx + ( y ) = x y + 1( xy ) + ( y ) Dng 1) a 2z z +d + mz = F ( x, y ) ; x x 2) c 2z z +e + nz = F ( x, y ) y y õy l nhng phng trỡnh vi phõn thng tuyn tớnh cp hai i vi p (hoc q) v x (hoc y) l nhng bin c lp 2z z 2x + x z = ( x 2)e3 x+2 y l phng trỡnh vi phõn y y thng tuyn tớnh cp hai khụng thun nht Nú cú nghim l Thớ d Phng trỡnh x+2 y z = e xy 1( x) + xe xy ( x) + e x2 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ 326 Gii tớch cỏc hm nhiu bin Phõn loi phng trỡnh o hm riờng tuyn tớnh cp hai Xột phng trỡnh tuyn tớnh cp hai n 2u n u aij ( x) xi x j + bi ( x) xi + c( x)u = f ( x) , i , j =1 (*) i=1 ú aij ( x) = a ji ( x) Dng ton phng n aij ( x)i j i , j =1 c gi l a thc c trng ca phng trỡnh (*) C nh im x = ( x10 , , xn0 ) v gi s cỏc hm s aij ( x), bi ( x), c( x) v f ( x) n c xỏc nh lõn cn ti im ny Dựng phộp bin i j = sj s , s=1 j=1, ,n, ta cú th a a thc c trng v dng n aij i j = i , j =1 n a*sl s l s ,l =1 Hn na, t giỏo trỡnh i s tuyn tớnh ta ó bit rng, tn ti mt phộp bin i n tuyn tớnh thc, khụng suy bin a dng ton phng aij ( x0 )i j v dng i , j =1 n al* l2 vi al* = hoc S cỏc s hng mang du dng, õm, hoc bng l =1 l bt bin i vi cỏc phộp bin i khụng suy bin Vi phộp bin i ny thỡ phng trỡnh (*) tr thnh n al* l =1 2u u u = F ( y1 , , yn , u , , , ) y1 yn y 2l (**) vi al* = hoc Dng (**) c gi l dng chớnh tc ca phng trỡnh (*) ti im x Da trờn dng chớnh tc ny ngi ta phõn loi phng trỡnh tuyn tớnh cp hai cỏc dng c bn sau: 1) Phng trỡnh (*) ti im x c gi l elliptic nu tt c cỏc h s (**) khỏc khụng v mang cựng mt du, tc l al* = hoc al* = vi mi l = 1, ,n www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Chng H phng trỡnh vi phõn 327 2) Phng trỡnh (*) ti im x c gi l hyperbolic nu tt c cỏc h s (**) khỏc khụng v cú mt s hng trỏi du vi n s hng cũn li 3) Phng trỡnh (2.1) ti im x c gi l parabolic nu cú mt h s al*0 no ú (2.3) bng khụng, tt c cỏc s hng cũn li cựng du v h s ca s u khỏc khụng hng yi0 Nh vy nghiờn cu phng trỡnh (*) ngi ta ch cn trung nghiờn cu cỏc lp phng trỡnh elliptic, hyperbolic v parabolic www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Bi v tớnh toỏn thc hnh Chng H phng trỡnh vi phõn thng 327 1.1 Khỏi nim 327 1.2 H phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh 328 1.3 H phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh khụng thun nht 328 1.4 H phng trỡnh vi phõn vi h s khụng i 328 Phng trỡnh o hm riờng 328 Thc hnh tớnh toỏn trờn mỏy 329 3.1 Gii h phng trỡnh vi phõn thụng thng 329 3.2 Tỡm nghim di cỏc dng khỏc v bng cỏc phng phỏp tu chn 330 3.3 Gii phng trỡnh vi phõn o hm riờng 332 3.4 V th nghim phng trỡnh vi phõn 334 H phng trỡnh vi phõn thng 1.1 Khỏi nim Bi Hóy tỡm cỏc tớch phõn c lp ca nhng h phng trỡnh sau: dy dz 1) dx = = ; x y z dy dz 3) dx = ; = cos x cos x cos x cos y dy 2) dx = = dz ; x y x+ y dy 4) dx = = dz z( x + z) y( y + z) Bi Gii bi toỏn Cauchy cho cỏc h phng trỡnh sau: dx = x y x = dt vi iu kin ban u 1) t = dy y=0 xy = dt dx = e x cos y x = dt vi iu kin ban u t = 2) y = dy x = e sin y dt www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ 328 Gii tớch cỏc hm nhiu bin 1.2 H phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh Gii cỏc h phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh thun nht sau: dx = x + y dt 1) dy = 3x + y dt dx = y x dt 2) dy dt = y x dx = 2x y z dt dy 3) = 12 x y 12 z dt dz = x + y + z dt dx = x y + z dt dy 4) = x + y z dt dz dt = x y 1.3 H phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh khụng thun nht Gii cỏc h phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh khụng thun nht sau: dx = x y + 2e3t dy = y + z + cos x dt dx 1) 2) dy dz = y z + sin x = x + y + 5et dt dx 1.4 H phng trỡnh vi phõn vi h s khụng i Gii cỏc h phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh thun nht sau bng phng phỏp bin i ma trn: dx = x + y dx = x y dt dt 1) 2) dy dy = 3x y = 4x y dt dt dx = x y z dx = x y dt dt dy dy 3) 4) = 3x y z = 3x + y z dt dt dz = dz = x y x+z dt dt Phng trỡnh o hm riờng Bi Gii cỏc phng trỡnh tuyn tớnh cp mt thun nht sau: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ 329 Bi v tớnh toỏn thc hnh Chng z z +x =0; x y u u u 3) x +y +z =0; x y z z z 5) x z =0; x y 1) y z z + ( y + x2 ) =0; x y u ( x, y , z ) u ( x y.z ) 4) x + yz =0; x y u u u + y3 + y2 z =0 6) ( x3 + xy ) x y z 2) x Bi Gii cỏc phng trỡnh tuyn tớnh cp mt khụng thun nht sau: z z x2 = yz ; x y u u 3) +3 = sin( xy ) ; x y 1) xy z z + 2y = x2 y + z ; x y z z 4) ( z y ) + xz = xy x y 2) x Bi Gii cỏc phng trỡnh o hm riờng cp hai v cp cao sau: 1) u 2u +7 = xy ; x x y 2) 2u 2u =0; x2 y2 3) 5u =0; x2 y3 4) 5u = sin( xy ) x2 y3 Thc hnh tớnh toỏn trờn mỏy 3.1 Gii h phng trỡnh vi phõn thụng thng Gii phng trỡnh vi phõn thng trờn chng trỡnh Maple bng lnh dsolve, ó c trỡnh by giỏo trỡnh gii tớch mt bin Di õy chỳng ta nhc li v b xung thờm mt s bi mi Cỏc bc gii phng trỡnh h vi phõn tng t nh gii phng trỡnh vi phõn bc nht Nghim tng quỏt ca h phng trỡnh vi phõn bc nht ph thuc vo tham s t Thớ d Gii h phng trỡnh vi phõn dy =z dx dz = y dx vi iu kin ban u: y (0) = 0, z (0) = Bc Gỏn tờn sys (vit tt ca ch system - h) cho h phng trỡnh: [> sys:={diff(y(x),x)=z(x),diff(z(x),x)=y(x),y(0)=0,z(0)=2}; { } sys := y ( x) = z ( x), z ( x) = y ( x), y (0) = 0, z (0) = x x Bc Gỏn tờn cho nghim: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ 330 Gii tớch cỏc hm nhiu bin [> fcns:={y(x),z(x)}; fcns := { y ( x), z ( x)} Bc Gii h phng trỡnh vi phõn: [> dsolve(sys,fcns); { y ( x) = e x e x , z ( x) = e x + e x } Thớ d Gii h phng trỡnh vi phõn thng cp (khụng cú iu kin ban u) sau: y '' = z z '' = y Chỳ ý rng nu a phng trỡnh ny v h bc nht thỡ ta cú h phng trỡnh Bc Gỏn tờn sys cho h phng trỡnh cn gii: [> sys:=(D@@2)(y)(x)=z(x),(D@@2)(z)(x)= y(x); sys := ( D )( y )( x) = z ( x), ( D )( z )( x) = y ( x) Bc Gii h phng trỡnh vi phõn bng lnh [> dsolve({sys},{y(x),z(x)}); { y ( x) = _ C1e( x ) + _ C1e x + _ C1cos( x) _ C e x + _ C e x + _ C 2sin( x) 4 4 + _ C e x + _ C e x _ C 3cos( x) _ C 4sin( x) + _ C e x _ C e x , 4 2 4 z ( x) = _ C1e x + _ C1e x _ C1cos( x) _ C 2sin( x) + _ C 2e x _ C 2e x + 4 2 4 1 1 1 x x x x + _ C 3e + _ C 3e + _ C 3cos( x) _ C 4e + _ C 4e + _ C 4sin( x)} 4 4 3.2 Tỡm nghim di cỏc dng khỏc v bng cỏc phng phỏp tu chn Trong trng hp tng quỏt, lnh gii phng trỡnh vi phõn cú cỳ phỏp l: [> dsolve(deqns,vars,keyword); Trong ú deqns l cỏc phng trỡnh vi phõn, vars l cỏc bin nghim, phn keyword cho phộp ta xỏc nh phng phỏp gii v dng biu din nghim Cỏch biu din mc nh l "chớnh xỏc " (exact) Nu chn cỏch biu din nghim nh vy ta s khụng phi cho giỏ tr phn keyword Nu cỏch biu din y khụng thnh (nh ta thy vớ d trờn õy), hoc khụng phi l ý ta mun, thỡ ta cú th yờu cu mỏy cho ta mt cỏc cỏch biu din sau õy: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ 331 Bi v tớnh toỏn thc hnh Chng Vi keyword c cho di dng type=series thỡ mỏy s cho ta nghim di dng chui Vi keyword c cho di dng type=numeric thỡ mỏy s s dng cỏc phng phỏp s (cú mt lng ln cỏc phng phỏp ny MAPLE gii phng trỡnh vi phõn) Kt qu mỏy cho ta nghim di dng mt hm tng trng m cú th ỏnh giỏ c giỏ tr s ca nú ti bt k im no Vi keyword c cho di dng ouput=basic thỡ mỏy s cho ta hm c s m nghim c cng trờn ú (nh mt bao tuyn tớnh) Nu phng trỡnh khụng phi l thun nht thỡ mỏy s cho ta thờm mt nghim riờng, mi nghim bt k u cú th biu din qua nghim c s v nghim riờng ny Thụng thng, nghim cú th c cho di dng mt hm n (tc l mt phng trỡnh hay h phng trỡnh to bi cỏc tớch phõn u), hoc di dng cỏc bin ph thuc tham s Nu ta mun bt nú phi cho ta nghim di dng hin (tc l mt hm s ca y theo x ) thỡ ta cho keyword l explicit=true (Vỡ kh nng ny thng khú xy nờn giỏ tr mc nh l explicit=false ) Mun cú c nghim biu din thụng qua cỏc hm c bit kiu Dirac(.), Heaviside(.), thỡ ta phi cho keyword l method=laplace dy = z yx vi giỏ tr ban u y (0) = 0, z (0) = Thớ d Gii h dx dz = y dx 1) Theo phng phỏp mc nh sn mỏy, ta dựng cỏc lnh: [> sys:=diff(y(x),x)=z(x)-y(x)-x,diff(z(x),x)=y(x): fcns:={y(x),z(x)}: [> dsolve({sys,y(0)=0,z(0)=1},fcns); z ( x) = e( ( ( ( 5e 10 +1) x +1) x )1 )+ 10 ( 12 ( 5e ( 12 ( 5e 1) x 1) x ) + x + 1, y( x) = ) + 1 e( 12 ( 1) x ) (12 ( e +1) x ) 2) Mun tỡm nghim di dng chui, ta dựng lnh [> dsolve({sys,y(0)=0,z(0)=1},fcns,type=series); { y ( x) = x x + x3 x + x5 + O ( x ), 24 15 1 z ( x) = + x x + x x5 + O ( x )} 24 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ 332 Gii tớch cỏc hm nhiu bin 3) Tỡm nghim di dng mt li im s ta dựng cỏc lnh: [> F:=dsolve({sys,y(0)=0,z(0)=1},fcns,type=numeric); F := proc(rkf45_x) end v, tip theo, bit giỏ tr ca nghim ti mt im no ú ta dựng lnh [> F(1); [x = 1, y(x) = 343731408276753914, z(x) = 1.25897207653682308] [> F(1.5); [x = 1.5, y(x) = 237649509495644756, z(x) = 1.40935827136441327] [> F(1.7); [x = 1.7, y(x) = 163416733680997378, z(x) = 1.44974926864546538] Thớ d Tỡm nghim phng trỡnh vi phõn cp hai y " = x y (vi iu kin ban u y (0) = , y '(0) = ) di dng li im s, bng chng trỡnh mang tờn dverk78, v cho giỏ tr ca nghim v o hm ca nú ti cỏc im x = 1, x = 1.5, x = 1.7 di dng bng s liu: [> deq3:={(D@@2)(y)(x)=2*x^3*y(x),y(0)=1,D(y)(0)=1}; [> s:=dsolve(deq3,{y(x)},type=numeric,method=dverk78, value=array([1.0,1.5,1.7])); s := x, y(x), y(x) x 2.17013243525314170 1.50000000000000000 4.26826796627041372 1.69999999999999996 6.71039854665199442 1.93603788311791480 8.36391691654069902 17.2757972122874470 Thớ d Gii phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh cp khụng thun nht xy "+ y '+ y = x v cho bit h c s (basis) ca nghim cựng vi mt nghim riờng: [> solve(2*x*diff(y(x),x$2)+diff(y(x),x)+3*y(x)=x,y(x), output=basis); 14 x cos( x ) , x sin( x ) , + x x x 3.3 Gii phng trỡnh vi phõn o hm riờng Mun gii phng trỡnh vi phõn o hm riờng ta dựng lnh pdesolve vi cỳ phỏp: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Bi v tớnh toỏn thc hnh Chng 333 [> pdesolve(pt,s); ú pt l phng trỡnh o hm riờng cn gii, s l nghim (hm nhiu bin) cn tỡm i vi rt nhiu phng trỡnh vi phõn o hm riờng, lnh pdesolve cho ta nghim di dng hin Hm tựy ý thng c kớ hiu l _F1,_F2,v.v Di õy l mt s vớ d gii phng trỡnh o hm riờng trờn Maple Phng trỡnh o hm riờng cp mt Thớ d Gii phng trỡnh y z z +x =0 x y [>pdesolve(y*diff(z(x,y),x)+x*diff(z(x,y),y)=0,z(x,y)); z ( x, y ) = F1 (x + y ) Thớ d Gii phng trỡnh x z z + ( y + x2 ) =0 x y [>pdesolve(x*diff(z(x,y),x)+(y+x^2)*diff(z(x,y),y)=0,z(x,y)); y x z ( x, y ) = F1 x Phng trỡnh tuyn tớnh cp mt khụng thun nht Thớ d Gii phng trỡnh y z =z x [>pdesolve(y*diff(z(x,y),x)=z(x,y),z(x,y)); x z ( x, y ) = e y F1 ( y ) Thớ d Gii phng trỡnh z = z x [>pdesolve(diff(z(x,y),x)=z(x,y),z(x,y)); z ( x, y ) = e x F1 ( y ) Chỳ ý rng õy l mt phng trỡnh o hm riờng (trong lnh pdesolve hm z ph thuc vo hai bin x, y ) ch khụng phi phng trỡnh vi phõn thng dz = z dx ( z l hm ca mt bin x ) Vỡ vy nghim tng quỏt ph thuc vo mt hm F1 ( y ) , ch khụng phi l mt hng s nh trng hp phng trỡnh vi phõn thng Thớ d Gii phng trỡnh u u +3 = sin( xy ) x y www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ 334 Gii tớch cỏc hm nhiu bin [>pdesolve(diff(u(x,y),x)+3*diff(u(x,y),y)=sin(x*y),u(x,y)); Nghim c vit thụng qua cỏc hm c bit Phng trỡnh o hm riờng cp hai Thớ d Gii phng trỡnh u 2u +7 = xy x x y [>pdesolve(3*diff(g(x,y),x)+7*diff(g(x,y),x,y)=x*y,g(x,y)); y g ( x, y ) = x y x + F1 ( y ) + e F2 ( x) 18 Thớ d Gii phng trỡnh 2u 2u =0 x2 y2 [>pdesolve(diff(u(x,y),x,x)-diff(u(x,y),y,y)=0,u(x,y)); u ( x, y ) = F1 ( y + x) + F2 ( y x) Phng trỡnh o hm riờng cp cao Thớ d Gii phng trỡnh 5u =0 x2 y3 [>pde:=D[1,1,2,2,2](U)(x,y)=0; pde := D[1,1, 2, 2, 2](U )( x, y ) = [>pdesolve(pde,U(x,y)); U ( x, y ) = F1 ( y ) + F2 ( y ) x + F3 ( x) + F4 ( x) y + F5 ( x) y 3.4 V th nghim phng trỡnh vi phõn V th nghim ca h phng trỡnh vi phõn thng v th nghim ca h phng trỡnh vi phõn, ta cn gi gúi cụng c : [> with(DEtools): V tin hnh v th nghim ca h phng trỡnh vi phõn bng lnh: [>DEplot(deqns,vars,trange,inits,eqns); hoc lnh [>DEplot(deqns,vars,trange,inits,xrange,yrange,eqns); Trong ú: deqns vars - bng cỏc phng trỡnh vi phõn bc nht hoc mt phng trỡnh vi phõn cp cao - bin ph thuc hoc bng cỏc bin ph thuc www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Bi v tớnh toỏn thc hnh Chng trange inits yrange xrange eqns 335 - thay i ca bin c lp - iu kin ban u xỏc nh ng cong nghim cn v - thay i ca bin ph thuc th nht - thay i ca bin ph thuc th hai - cỏc tu chn (mu, tiờu , m nht ca th, ) x ' = x(1 y ) Thớ d V th ca nghim ca h phng trỡnh vi phõn vi y ' = 0,3 y ( x 1) bin c lp t thay i on [-2,2], bin ph thuc x thay i on [1,2], bin ph thuc y thay i on [-1,2], v thờm tiờu (tu chn) l: Lotka-Volterra model (Mụ hỡnh Lotka-Volterra) [> DEplot({diff(x(t),t)=x(t)*(1-y(t)), diff(y(t),t)=.3*y(t)* (x(t)-1)},[x(t),y(t)],t=2 2,x=-1 2,y=-1 2, title=`Lotka-Volterra model`); Hỡnh 9.1 V th nghim ca phng trỡnh vi phõn thng khụng gian ba chiu v th nghim ca phng trỡnh vi phõn khụng gian ba chiu ta phi dựng lnh DEplot3d thay cho DEplot trờn: [> DEplot3d(deqns,vars,trange,inits,xrange,yrange,eqns); x ' = y vi iu Thớ d V th nghim ca h phng trỡnh vi phõn y ' = sin x y 10 kin ban u l [x(0)=0, y(0)=1]; t thay i on [-10,10] [> DEplot3d({diff(x(t),t)=y(t),diff(y(t),t)=-sin(x(t))y(t)/10},{x(t),y(t)},t=-10 10,stepsize=.1, [[x(0)=1,y(0)=1]],linecolor=t); www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ 336 Gii tớch cỏc hm nhiu bin Hỡnh 9.2 Ta cú th v th hai hoc nhiu nghim ca mt phng trỡnh vi phõn (vi cỏc iu kin ban u khỏc nhau) trờn cựng mt hỡnh V th nghim phng trỡnh vi phõn o hm riờng V th nghim ca phng trỡnh o hm riờng bng lnh PDEplot(.) Thớ d V th nghim phng trỡnh u u + cos x = sin y x y [>PDEplot(D[1](u)(x,y)+cos(2*x)*D[2 ](u)(x,y)=-sin(y),u(x,y), [0,s,1+s^2],s=-2 2); Hỡnh 9.3 Thớ d V th nghim phng trỡnh ( y + z ( x, y ) + x ) z ( x, y ) z ( x, y ) xy + z ( x, y ) x = x y [>PDEplot((y^2+z(x,y)^2+x^2)*diff(z(x,y),x)-2*x*y* diff(z(x,y),y)+2*z(x,y)*x=0,z(x,y),[t,t, sin(Pi*t/0.1)/10],t=0 0.1); Hỡnh 9.4 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ [...]... và các dạng tổng quát của nó được nghiên cứu kỹ trong lý thuyết Tôpô và là một phần rất quan trọng của giáo trình Giải tích hàm Tuy nhiên, không gian metric cũng là một công cụ tiện lợi trong www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ 10 Giải tích các hàm nhiều biến nghiên cứu hàm nhiều biến, cho nên chúng ta cần biết một số khái niệm cơ bản về nó 1.2 Không gian metric 1.2.1 Định nghĩa và các ví dụ... điểm) trên cơ sở các bộ n số và trang bị trên đó các phép tính cộng, nhân với số, tích vô hướng và khái niệm khoảng cách Không gian này có tên gọi là không gian Euclid n-chiều và được ký hiệu là Rn Đây là một không gian có nhiều tính chất thú vị và sẽ đóng vai trò nền tảng trong suốt giáo trình Giải tích các hàm nhiều biến Sau này, khi đã làm việc quen với không gian Rn và không còn sự nhầm lẫn giữa... làm trong trường hợp hàm số Cụ thể là www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ 26 Giải tích các hàm nhiều biến Điểm q ∈ E ' được gọi là giới hạn của ánh xạ f tại điểm tụ p0 ∈ E nếu, với mỗi ε > 0 cho trước, tồn tại số δ > 0 sao cho nếu p ∈ E \ p0 và d ( p0 , p) < δ thì d '(q, f ( p)) < ε Tính duy nhất của giới hạn (nếu tồn tại) được chứng minh hoàn toàn tương tự như trường hợp hàm số trước đây,... xạ và tính ổn định trong nhiều lĩnh vực quan trọng của Toán học ứng dụng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ 30 Giải tích các hàm nhiều biến Chương 1 1 Kh“ng gian Rn & 1 Kh“ng gian metric 1 1.1 Không gian Rn 1 1.1.1 Điểm trong không gian n-chiều 2 1.1.2 Vectơ trong không gian n-chiều 3 1.1.3 Tích vô hướng ... phép biến đổi trong Rn ) Ta nói ánh xạ tuyến tính là không suy biến nếu như ma trận tương ứng với nó là không suy biến, tức là có định thức khác 0 Từ giáo trình Đại số tuyến tính ta biết rằng một ma trận vuông không suy biến có ma trận nghịch đảo, và dễ dàng kiểm tra rằng ánh xạ tuyến tính tương ứng với ma trận nghịch đảo này là ánh xạ ngược của ánh xạ ban đầu Cho nên, mỗi phép biến đổi không suy biến. .. viết lại thành d ( p1 , p3 ) − d ( p2 , p3 ) ≤ d ( p1 , p2 ) và d ( p2 , p3 ) − d ( p1 , p3 ) ≤ d ( p1 , p2 ) , chính là điều cần chứng minh www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ 12 Giải tích các hàm nhiều biến 1.2.2 Tập đóng và tập mở trong không gian metric Ta đã biết khái niệm về tập đóng và tập mở trong R Một cách tương tự, ta có thể định nghĩa khái niệm này trong không gian metric (nói chung)... đó) nằm gọn trong B(p,r) Thật vậy, do q nằm trong B(p,r) nên d(p,q) < r Lấy số dương s < r − d ( p, q) ta có B (q, s ) ⊂ B ( p, r ) , vì rằng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ 14 Giải tích các hàm nhiều biến d ( q, x ) < s ⇒ d ( p, x ) ≤ d ( p, q ) + d ( q , x ) < d ( p, q ) + s < r Mệnh đề đã được chứng minh xong Như vậy đối với quả cầu thì 2 khái niệm mở thực chất chỉ là một Nhận xét Từ... metric E được gọi là hội tụ đến điểm p ∈ E nếu, với mỗi số ε > 0 , tìm được số tự nhiên N để mọi pn với n > N đều nằm trong ε-lân cận của p www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ 16 Giải tích các hàm nhiều biến Lưu ý Trong định nghĩa trên số tự nhiên N được tìm sau khi đã cho ε, nên nói chung nó phụ thuộc vào ε và sẽ chính xác hơn nếu viết N(ε) thay vì N Tuy nhiên, để cho thuận tiện, và cũng... ε Vì số ε có thể cho bé bao nhiêu tuỳ ý, cho nên dãy Cauchy có một đặc trưng hình học rất cơ bản là các điểm càng về cuối thì càng gần nhau www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ 18 Giải tích các hàm nhiều biến Mệnh đề Dãy hội tụ là dãy Cauchy Chứng minh Nếu dãy p1 , p2 , p3 , hội tụ đến điểm p thì, với mỗi số ε > 0, tìm được số tự nhiên N sao cho khi n > N ta có d ( p, pn ) < ε / 2 Suy ra,... niệm này hoàn toàn có thể mở rộng cho không gian metric, tương tự như ta đã làm với tập mở, tập đóng, Để tiện tra cứu, chúng ta nhắc lại: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ 20 Giải tích các hàm nhiều biến Một họ các tập mở (trong một không gian metric) được gọi là phủ mở của một tập S nếu như hợp của chúng chứa toàn bộ S Nếu có một họ con (trong họ các tập mở này) là phủ mở của S thì ta ... tịch) Ngô Việt Trung Phạm Huy Điển (Th ký) www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Giải tích hàm nhiều biến Những nguyên lý tính toán thực hành Đinh Thế Lục Phạm Huy Điển Tạ Duy Phợng Bộ sách