Giáo trình giải tích hàm 1 biến trí dũng

Mục lục TẬP HỢP - MỆNH ĐỀ - ÁNH XẠ 1.1 1.2 1.3 TẬP HỢP 1.1.1 Các khái niệm mở đầu 1.1.2 Các phép toán tập hợp 1.1.3 Các tính chất phép toán 1.1.4 Tích Descartes MỆNH ĐỀ 1.2.1 Khái niệm mệnh đề 1.2.2 Các phép toán logic mệnh đề 1.2.3 Mệnh đề phụ thuộc biến lượng từ ÁNH XẠ 1.3.1 Khái niệm ánh xạ 1.3.2 Ảnh ảnh ngược 1.3.3 Đơn ánh-toàn ánh-song ánh 1.3.4 Ánh xạ ngược 1.3.5 Ánh xạ hợp-Ánh xạ thu hẹp TẬP HỢP SỐ THỰC 2.1 2.2 TIÊN ĐỀ HÓA TẬP HỢP SỐ THỰC 2.1.1 Các tiên đề đại số 2.1.2 Các tiên đề thứ tự 11 2.1.3 Tiên đề tính đầy đủ tập số thực 15 Một số kết quan trọng 17 2.2.1 Các nguyên lý tập số tự nhiên N 17 2.2.2 Các tính chất tập hợp số hữu tỉ Q 19 i MỤC LỤC MỤC LỤC GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 3.1 3.2 3.3 24 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 24 3.1.1 DÃY SỐ 24 3.1.2 DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU 24 3.1.3 DÃY SỐ BỊ CHẶN 25 3.1.4 DÃY SỐ HỘI TỤ 25 3.1.5 DÃY SỐ CĨ GIỚI HẠN VƠ CỰC 26 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN 26 3.2.1 LUẬT GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 27 3.2.2 LUẬT THỨ TỰ 27 3.2.3 LUẬT SỐ HỌC 28 3.2.4 LUẬT NGHỊCH ĐẢO 29 3.2.5 ĐỊNH LÝ HỘI TỤ ĐƠN ĐIỆU 29 3.2.6 MỘT SỐ GIỚI HẠN CƠ BẢN 31 DÃY CON-DÃY CAUCHY 31 3.3.1 DÃY CON 31 3.3.2 DÃY CAUCHY 33 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 4.1 39 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 39 4.1.1 LÂN CẬN 39 4.1.2 ĐIỂM GIỚI HẠN 40 4.1.3 ĐIỂM CÔ LẬP 40 4.1.4 HÀM SỐ 40 4.1.5 ĐỊNH NGHĨA CHUNG VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 40 4.2 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN 42 4.3 GIỚI HẠN MỘT PHÍA 44 4.4 HÀM SỐ LIÊN TỤC 45 4.4.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 45 4.4.2 HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN 46 4.4.3 HÀM SỐ LIÊN TỤC ĐỀU 47 PHÉP TÍNH VI PHÂN 5.1 ii KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM 52 52 GV Trần Trí Dũng MỤC LỤC MỤC LỤC 5.2 ĐẠO HÀM CẤP CAO 54 5.3 CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 54 5.3.1 Định lý Fermat 55 5.3.2 Định lý Rolle 55 5.3.3 Định lý Cauchy 56 5.3.4 Định lý Lagrange 56 5.4 QUY TẮC L’ HÔPITAL 57 5.5 KHAI TRIỂN TAYLOR 58 5.5.1 Khai triển Taylor với phần dư Peano 58 5.5.2 Khai triển Taylor với phần dư Lagrange 58 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 6.1 6.2 TÍCH PHÂN RIEMANN 64 6.1.1 Khái niệm tích phân Riemann 64 6.1.2 Tổng Riemann 66 6.1.3 Các tính chất tích phân xác định 67 6.1.4 Định lý Giải tích 68 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 69 6.2.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn 69 6.2.2 Tích phân suy rộng hàm số không bị chặn 72 CHUỖI SỐ-CHUỖI HÀM 7.1 7.2 64 77 CHUỖI SỐ 77 7.1.1 Các khái niệm 77 7.1.2 Các dấu hiệu hội tụ 79 CHUỖI HÀM 80 7.2.1 Hội tụ điểm - Hội tụ 80 7.2.2 Ứng dụng hội tụ 82 GV Trần Trí Dũng iii MỤC LỤC iv MỤC LỤC GV Trần Trí Dũng Chương TẬP HỢP - MỆNH ĐỀ - ÁNH XẠ 1.1 1.1.1 TẬP HỢP Các khái niệm mở đầu Trong toán học đại, người ta coi tập hợp khái niệm dùng để lớp đối tượng đó, chẳng hạn tập hợp thiên hà vũ trụ, tập hợp sinh viên năm trường đại học, tập hợp khách sạn năm Nha Trang, Các tập hợp thường kí hiệu chữ in hoa A, B, C, , đối tượng tạo nên tập hợp thường kí hiệu chữ in thường a, b, c, gọi phần tử tập hợp Khi a phần tử tập hợp A ta kí hiệu a ∈ A (đọc là: a thuộc A), ngược lại ta kí hiệu a ∈ / A (đọc là: a không thuộc A) Tập hợp không chứa phần tử gọi tập rỗng, kí hiệu ∅ Cho hai tập hợp A B Nếu phần tử A phần tử B ta nói A tập hợp hay tập B, kí hiệu A ⊂ B B ⊃ A (đọc là: A bao hàm B, A chứa B B chứa A) Rõ ràng phép toán bao hàm ⊂ có tính chất sau đây: • A ⊂ A, ∅ ⊂ A • Nếu A ⊂ B B ⊂ C A ⊂ C Hai tập hợp A, B gọi A ⊂ B B ⊂ A Ví dụ 1.1.1 Tập hợp số tự nhiên N = {1; 2; 3; } tập tập hợp số nguyên Z = {0; ±1; ±2; } Cả hai tập hợp N Z tập tập hợp số hữu tỉ Q, Q = m n : m ∈ Z, n ∈ Z, n = 1.1 TẬP HỢP 1.1.2 CHƯƠNG TẬP HỢP - MỆNH ĐỀ - ÁNH XẠ Các phép toán tập hợp Từ tập hợp A B, ta tạo tập hợp phép toán đây: a) Phép giao: Giao hai tập hợp A B, kí hiệu A ∩ B (đọc: A giao B), tập hợp gồm tất phần tử thuộc đồng thời hai tập hợp Trong trường hợp A ∩ B = ∅, ta nói A B hai tập rời b) Phép hợp: Hợp hai tập hợp A B, kí hiệu A ∪ B (đọc: A hợp B), tập hợp gồm tất phần tử thuộc hai tập Chú ý: Tổng quát hơn, ta xét họ tập hợp {Ai } số i chạy tập I Khi hợp giao tập hợp Ai định nghĩa tương tự kí hiệu ∪ Ai ∩ Ai Đặc biệt, I ≡ N i∈I i∈I ∞ ∞ i=1 i=1 ta thường kí hiệu hợp giao tập hợp Ai ∪ Ai ∩ Ai c) Phép lấy hiệu: Hiệu hai tập hợp A B, kí hiệu A\B (đọc: A trừ B), tập hợp gồm tất phần tử thuộc A không thuộc B Thông thường tập hợp xét tập tập tồn thể X Khi hiệu X\A gọi phần bù A (trong X) kí hiệu lại Ac Trong trường hợp này, rõ ràng ta có A\B = A ∩ B c Ví dụ 1.1.2 Cho tập hợp A = {1, 3, 4, 6, 8} , B = {2, 4, 6, 8, 10} Khi A∪B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}, A ∩ B = {4, 6, 8}, A\B = {1, 3} B\A = {2, 10} 1.1.3 Các tính chất phép toán Với tập hợp A, B, C họ tập hợp {Ai } tùy ý, ta ln có tính chất sau: a) Tính giao hốn: A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A b) Tính kết hợp: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C); (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) c) Tính phân phối: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C); GV Trần Trí Dũng CHƯƠNG TẬP HỢP - MỆNH ĐỀ - ÁNH XẠ 1.2 MỆNH ĐỀ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) d) Tính chất đối ngẫu De Morgan: (∪ Ai )c = ∩ (Ai )c ; i i (∩ Ai )c = ∪ (Ai )c i i Tính chất phát biểu sau: Phần bù hợp giao phần bù; phần bù giao hợp phần bù 1.1.4 Tích Descartes Cho hai tập hợp A B Ta gọi tích Descartes hai tập hợp A, B theo thứ tự tập hợp, kí hiệu A × B, gồm tất cặp có thứ tự (a, b), a ∈ A b ∈ B Như A × B := {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} Tổng quát, tích Descartes n tập hợp A1 , A2 , , An theo thứ tự tập hợp, kí hiệu A1 × A2 × × An , gồm tất có thứ tự (a1 , a2 , , an ), ak ∈ Ak , ≤ k ≤ n Đặc biệt, tất Ak tập A ta viết A × A × × A An 1.2 1.2.1 MỆNH ĐỀ Khái niệm mệnh đề Trong toán học, mệnh đề, thường kí hiệu chữ in thường p, q, r, , khẳng định nhận hai giá trị logic: sai Nếu mệnh đề p nhận giá trị đúng, ta viết p ≡ 1; mệnh đề p nhận giá trị sai, ta viết p ≡ Nếu hai mệnh đề p q có giá trị logic ta viết p ≡ q Ví dụ 1.2.1 Cho p mệnh đề: 17 số nguyên tố, q mệnh đề: tỷ Khi p ≡ q ≡ 1.2.2 √ số hữu Các phép toán logic mệnh đề Cho mệnh đề p, q Khi ta có phép tốn logic sau đây: a) Phép hội: Hội p q, kí hiệu p ∧ q đọc p q, mệnh đề p, q Nói cách khác p ∧ q ≡ ⇐⇒ p ≡ q ≡ GV Trần Trí Dũng 1.2 MỆNH ĐỀ CHƯƠNG TẬP HỢP - MỆNH ĐỀ - ÁNH XẠ b) Phép tuyển: Tuyển p q, kí hiệu p ∨ q đọc p q, mệnh đề sai p, q sai Nói cách khác p ∨ q ≡ ⇐⇒ p ≡ q ≡ c) Phép suy ra: Mệnh đề p suy q, kí hiệu p ⇒ q đọc p q, mệnh đề sai p q sai Nói cách khác p ⇒ q ≡ ⇐⇒ p ≡ 1, q ≡ Chú ý: với mệnh đề p ⇒ q, ta nói p đủ để có q q cần để có p d) Phép tương đương: Mệnh đề p tương đương q, kí hiệu p ⇐⇒ q đọc p q, mệnh đề p, q sai e) Phép phủ định: Phủ định p, kí hiệu p¯ đọc không p, mệnh đề p sai Nói cách khác p¯ ≡ ⇐⇒ p ≡ Chú ý: Khi phát biểu chứng minh khẳng định toán học, ta thường dùng quy tắc tương đương logic mệnh đề đây: Mệnh đề 1.2.2 Cho mệnh đề p, q Khi ta có: • p ⇒ q ≡ q¯ ⇒ p¯ ≡ p¯ ∨ q • p ∧ q ≡ p¯ ∨ q¯, p ∨ q ≡ p¯ ∧ q¯ • p ⇒ q ≡ p ∧ q¯ 1.2.3 Mệnh đề phụ thuộc biến lượng từ Trong toán học, ta thường làm việc với điều kiện P (x) phụ thuộc vào phần tử x khơng gian X Nếu với phần tử cố định x ∈ X, P (x) mệnh đề ta gọi P (x) mệnh đề phụ thuộc biến x Tập phần tử x ∈ X thỏa mãn điều kiện P (x) (tức P(x) nhận giá trị đúng) thường kí hiệu {x ∈ X : P (x)} {x ∈ X|P (x)} Khi cho mệnh đề P (x) phụ thuộc biến x ∈ X, ta hay gặp hai trường hợp quan trọng đây: • Có phần tử x ∈ X thỏa mãn P (x) Khi ta viết ∃x ∈ X : P (x) đọc là: tồn x cho P (x) • Mọi phần tử x ∈ X thỏa mãn P (x) Khi ta viết ∀x ∈ X : P (x) đọc là: với x có P (x) GV Trần Trí Dũng CHƯƠNG TẬP HỢP - MỆNH ĐỀ - ÁNH XẠ 1.3 ÁNH XẠ Các kí hiệu ∃, ∀ tương ứng gọi lượng từ tồn tại, lượng từ phổ dụng Khi đặt lượng từ trước mệnh đề phụ thuộc biến, ta thu mệnh đề sai Ngoài ra, lượng từ có liên hệ sau đây: • ∃x : P (x) ⇐⇒ ∀x : P (x) Nghĩa là, phủ định mệnh đề: “Tồn x cho P (x)" mệnh đề “Với x khơng có P (x)" • ∀x : P (x) ⇐⇒ ∃x : P (x) Nghĩa là, phủ định mệnh đề: “Với x có P (x)" mệnh đề “Tồn x không thỏa P (x)" Mệnh đề phụ thuộc nhiều biến nghiên cứu tương tự trường hợp biến Để minh họa, ta xét mệnh đề P (x, y) phụ thuộc hai biến x y Khi đặt hai lượng từ theo hai biến x, y trước P (x, y), ta thu mệnh đề sai Chú ý thêm thứ tự lượng từ quan trọng mệnh đề có nhiều biến Ví dụ 1.2.3 Xét điều kiện P (x, y) x = y, x, y ∈ Q Khi ta có • Mệnh đề (∀x ∈ Q)(∃y ∈ Q): x = y • Mệnh đề (∃y ∈ Q)(∀x ∈ Q): x = y sai Ta dùng dấu phẩy thay cho dấu ngoặc mệnh đề có nhiều lượng từ, chẳng hạn mệnh đề (∀x ∈ Q)(∃y ∈ Q): x = y viết thành ∀x ∈ Q, ∃y ∈ Q: x = y Để minh họa cho quy tắc phủ định tổng quát, ta thử tìm phủ định mệnh đề sau: ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y : P (x, y) Rõ ràng ta có ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y : P (x, y) ≡ ∃x ∈ X, ∃y ∈ Y : P (x, y) ≡ ∃x ∈ X, ∀y ∈ Y : P (x, y) Tổng quát ta có quy tắc: Quy tắc phủ định mệnh đề có nhiều lượng từ: Ta thay lượng từ ∃ lượng từ ∀ ngược lại, đồng thời phủ định điều kiện ràng buộc cho biến 1.3 1.3.1 ÁNH XẠ Khái niệm ánh xạ Một ánh xạ f từ tập hợp X vào tập hợp Y quy tắc cho tương ứng phần tử x X với phần tử gọi f (x) Y Ánh xạ kí hiệu f : X → Y Tập X gọi tập nguồn hay tập xác định, tập Y gọi tập đích hay tập giá trị ánh xạ f Với x ∈ X, phần tử f (x) gọi ảnh x qua ánh xạ f giá trị f x Cho hai ánh xạ f : X → Y g : X → Y Ta nói hai ánh xạ nhau, kí hiệu f = g, f (x) = g(x) với x ∈ X GV Trần Trí Dũng 1.3 ÁNH XẠ CHƯƠNG TẬP HỢP - MỆNH ĐỀ - ÁNH XẠ Ví dụ 1.3.1 Phép bình phương số tự nhiên f1 ánh xạ từ N vào N Cho trước số nguyên tố p Quy tắc f2 cho tương ứng số nguyên với tổng p số nguyên ánh xạ từ Z vào Z Quy tắc f3 cho tương ứng số tự nhiên với số ước số nguyên dương ánh xạ từ N vào N Quy tắc cho tương ứng số tự nhiên với ước số ngun dương khơng phải ánh xạ vi phạm tính ảnh định nghĩa ánh xạ 1.3.2 Ảnh ảnh ngược Cho ánh xạ f : X → Y , A tập X, B tập Y Ta định nghĩa • f (A) := {f (x) : x ∈ A} = {y ∈ Y : ∃x ∈ A, y = f (x)} ảnh A f • f −1 (B) := {x ∈ X : f (x) ∈ B} ảnh ngược B f Nếu tập B có phần tử, chẳng hạn B = {b} ta viết f −1 (b) thay cho f −1 ({b}) gọi f −1 (b) ảnh ngược b f Rõ ràng f −1 (b) = {x ∈ X : f (x) = b} Ví dụ 1.3.2 Xét ánh xạ f1 Ví dụ 1.3.1 Cho A = {1, 2, 3, 4}, B = {5} Khi f1 (A) = {1, 4, 9, 16} f1−1 (B) = ∅ Ví dụ 1.3.3 Cho ánh xạ f : X → Y , B, C tập tùy ý Y Chứng minh rằng: f −1 (B\C) = f −1 (B)\f −1 (C) Lời giải: Ta có x ∈ f −1 (B\C) ⇐⇒ f (x) ∈ (B\C) ⇐⇒ f (x) ∈ B ∧ f (x) ∈ / C ⇐⇒ x ∈ f −1 (B) ∧ x ∈ / f −1 (C) ⇐⇒ x ∈ f −1 (B)\f −1 (C) Vậy f −1 (B\C) = f −1 (B)\f −1 (C) ✷ 1.3.3 Đơn ánh-toàn ánh-song ánh Cho ánh xạ f : X → Y • Ánh xạ f gọi đơn ánh ∀x, x ∈ X, x = x ⇒ f (x) = f (x ) (hoặc tương đương f (x) = f (x ) ⇒ x = x ) • Ánh xạ f gọi toàn ánh f (X) = Y , tức ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X : y = f (x) • Ánh xạ f gọi song ánh vừa đơn ánh vừa tồn ánh GV Trần Trí Dũng 6.2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG CHƯƠNG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN c → +∞ suy từ tiêu chuẩn Cauchy tồn giới hạn hữu hạn hàm số Định lý 6.2.7 Giả sử f ∈ Rloc ([a; +∞)) Khi +∞ f (x)dx hội tụ a > 0, tồn A>0 cho với c2 > c1 > A ta ln có với c2 |F (c2 ) − F (c1 )| = | f (x)dx| < c1 Ta có hệ sau Định lý 6.2.8 Giả sử f ∈ Rloc ([a; +∞)) Khi +∞ +∞ |f (x)|dx hội tụ a f (x)dx a hội tụ +∞ |f (x)|dx ý Chứng minh: Áp dụng Định lý 6.2.7 cho tích phân a c2 | c2 f (x)dx| ≤ c1 |f (x)|dx c1 ✷ Chú ý chiều ngược lại định lý không Do người ta phân biệt hai trường hợp sau +∞ +∞ |f (x)|dx hội tụ ta nói • Nếu f (x)dx hội tụ tuyệt đối a a +∞ • Nếu tụ 6.2.2 +∞ |f (x)|dx phân kỳ mà a +∞ f (x)dx hội tụ ta nói a f (x)dx bán hội a Tích phân suy rộng hàm số không bị chặn Gọi Rloc ([a; b)) tập hợp hàm số xác định [a; b) khả tích đoạn [a; c], a ≤ c < b Khi f ∈ Rloc ([a; b)) hàm số c F (c) = f (x)dx a xác định [a; b) Nếu f không bị chặn [c; b) với a ≤ c < b ta gọi b điểm bất thường 72 GV Trần Trí Dũng CHƯƠNG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 6.2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG Định nghĩa 6.2.9 Cho f ∈ Rloc ([a; b)) Giới hạn (nếu có) hàm số F (c) = c f (x)dx c → b− gọi tích phân suy rộng f [a; b), ký hiệu a b b f (x)dx Vậy a c f (x)dx = lim c→b− a a f (x)dx c Nếu giới hạn lim c→b− a b f (x)dx hữu hạn ta nói tích phân suy rộng f (x)dx hội tụ (hoặc a b f khả tích [a; b)) Ngược lại ta nói tích phân suy rộng f (x)dx phân kỳ a Tương tự ta định nghĩa tích phân suy rộng (a; b] sau: b b f (x)dx = lim f (x)dx c→a+ a c Nhận xét 6.2.10 Nếu hàm số f bị chặn khả tích Riemann [a; b] khả tích [a; b) theo nghĩa suy rộng Ngồi tích phân suy rộng tích phân xác định f trùng Thật vậy, gọi M = sup |f (x)|, ta có a≤x≤b c b f (x)dx − b f (x)dx ≤ f (x)dx = a a b c |f (x)|dx ≤ M (b − c) c Cho c → b− ta có nhận xét Ví dụ 6.2.11 √ dx 1−x2 c = lim c→1− √ dx 1−x2 = lim arcsin c = π2 c→1− Ví dụ quan trọng sau sử dụng nhiều thực hành Ví dụ 6.2.12 Cho b > a Khi tích phân b b dx, (x − a)p a dx (b − x)p a hội tụ p < Tương tự trường hợp tích phân suy rộng với cận vơ hạn, tích phân suy rộng hàm số khơng bị chặn ta có kết tương tự hội tụ Chẳng hạn ta có kết sau cho trường hợp cận b điểm bất thường GV Trần Trí Dũng 73 6.2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG CHƯƠNG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN Định lý 6.2.13 Giả sử f, g ∈ Rloc ([a; b)) cho ≤ f (x) ≤ g(x) với x ∈ [a; b) Khi b b 0≤ f (x)dx ≤ a g(x)dx a Đặc biệt ta có kết luận sau b b g(x)dx hội tụ a) Nếu a b f (x)dx hội tụ a b f (x)dx phân kỳ b) Nếu a f (x)dx phân kỳ a Định lý 6.2.14 Giả sử f, g ∈ Rloc ([a; b)) cho ≤ f (x) ≤ g(x) với x ∈ [a; b) f (x) = k (0 ≤ k ≤ +∞) lim − x→b g(x) Khi ta có kết luận sau b a) Nếu k > b g(x)dx a b f (x)dx hội tụ phân kỳ a b g(x)dx hội tụ kéo theo b) Nếu k = a f (x)dx hội tụ a b b g(x)dx phân kỳ kéo theo c) Nếu k = +∞ a f (x)dx phân kỳ a Định lý 6.2.15 Giả sử f ∈ Rloc ([a; b)) Khi b b |f (x)|dx hội tụ a f (x)dx a hội tụ 74 GV Trần Trí Dũng CHƯƠNG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 6.2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 1) Tính tích phân suy rộng +∞ a) +∞ b) +∞ c) dx x2 −3x+2 xe−x dx e−ax cos xdx (a > 0) +∞ d) arctan x (1+x2 ) dx 2) Tính tích phân suy rộng a) b) x+1 √ dx x ln xdx c) d) dx √ (2−x) 1−x x ln2 xdx 3) Xét hội tụ tích phân sau +∞ a) +∞ b) +∞ c) +∞ d) x+1 √ dx x −3x+2 (1 − cos x2 )dx 1 x x (e − cos x1 )dx ln(x+1) dx x2 4) Xét hội tụ tích phân sau a) b) x dx sin2 x √x dx 1−x4 GV Trần Trí Dũng 75 6.2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG +∞ c) +∞ d) π e) CHƯƠNG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN −x e√ dx x 1−cos x dx x2 ln(sin x) √ dx x 5) Tìm p ∈ R cho tích phân sau hội tụ +∞ a) +∞ b) xp 1+x dx ln(1+x) xp dx +∞ 6) Chứng minh sin x x dx +∞ hội tụ a 7) a) Chứng minh I(a) = dx√ ln x x sin x x dx phân kỳ hội tụ khi a < b) Tính lim I(a) ln a a→0+ +∞ 8)* a) Chứng minh xp−1 e−x dx hội tụ p > 0 +∞ b) Đặt Γ(p) = n ∈ N 76 xp−1 e−x dx với p > Chứng minh Γ(n) = (n − 1)! với GV Trần Trí Dũng Chương CHUỖI SỐ-CHUỖI HÀM 7.1 7.1.1 CHUỖI SỐ Các khái niệm Cho dãy số (an ) Ta gọi tổng vô hạn ∞ a1 + a2 + · · · + an + · · · = an n=1 chuỗi số có số hạng tổng quát an Ta gọi tổng riêng thứ n chuỗi số tổng hữu hạn sau n Sn = a1 + a2 + · · · + an = ak k=1 Định nghĩa 7.1.1 Nếu dãy tổng riêng (Sn ) có giới hạn S ta gọi S tổng ∞ ∞ an = S an viết chuỗi số n=1 n=1 ∞ Nếu S ∈ R ta nói chuỗi số an hội tụ S Trong trường hợp khác n=1 ∞ an phân kỳ ta nói chuỗi số n=1 Từ định nghĩa tổng chuỗi số ta có nhận xét sau ∞ ∞ an = A Nhận xét 7.1.2 a) Nếu n=1 an = B n=1 ∞ (αan + βbn ) = αA + βB n=1 77 7.1 CHUỖI SỐ CHƯƠNG CHUỖI SỐ-CHUỖI HÀM vế phải xác định ∞ ∞ ak phần dư an hội tụ S Ta gọi Rn = b) Giả sử chuỗi số n=1 k=n+1 chuỗi sau số hạng thứ n Rõ ràng Sn + Rn = S lim Sn = S nên lim Rn = ∞ an không phụ thuộc vào hữu hạn số hạng đầu c) Sự hội tụ chuỗi số n=1 ∞ ∞ ak an hội tụ chuỗi phần dư Rn = tiên Nói cách khác chuỗi số n=1 k=n+1 hội tụ với n ∈ N Kết bên cho ta điều kiện cần để kiểm tra chuỗi số hội tụ ∞ an hội tụ lim an = Nói cách khác dãy Định lý 7.1.3 Nếu chuỗi số n=1 ∞ an phân kỳ (an ) khơng hội tụ chuỗi n=1 ∞ an hội tụ nên lim Sn = S ∈ R Khi lim Sn−1 = S Chứng minh: Do chuỗi số n=1 lim an = lim(Sn − Sn−1 ) = ✷ ∞ q n hội tụ |q| < Ví dụ 7.1.4 Chuỗi số n=1 Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy hội tụ cho dãy số (Sn ) ta có khẳng định sau ∞ an hội tụ với Định lý 7.1.5 Chuỗi số > 0, tồn N ∈ N n=1 cho ∀n ≥ N, ∀p ∈ N ta có |Sn+p − Sn | = |an+1 + an+2 + · · · + an+p | < ∞ ∞ |an | hội tụ chuỗi số Định lý 7.1.6 Nếu chuỗi số n=1 an hội tụ n=1 ∞ ∞ |an | Chứng minh: Áp dụng Định lý 7.1.5 cho chuỗi n=1 an , với ý n=1 |an+1 + an+2 + · · · + an+p | ≤ |an+1 | + |an+2 | + · · · + |an+p | ✷ Chú ý chiều ngược lại Định lý 7.1.6 khơng Do người ta chia thành hai trường hợp sau 78 GV Trần Trí Dũng CHƯƠNG CHUỖI SỐ-CHUỖI HÀM 7.1 CHUỖI SỐ ∞ • Nếu chuỗi số ∞ |an | hội tụ ta nói chuỗi số n=1 ∞ • Nếu chuỗi số an hội tụ tuyệt đối n=1 ∞ ∞ |an | phân kỳ chuỗi số n=1 an hội tụ ta nói an bán n=1 n=1 hội tụ Trong trường hợp chuỗi số có số hạng khơng âm ta có kết sau hội tụ chuỗi số ∞ an (an ≥ với n ∈ N) hội tụ dãy Định lý 7.1.7 Chuỗi n=1 tổng riêng (Sn ) bị chặn Chứng minh: Chú ý an ≥ với n ∈ N nên (Sn ) dãy tăng Do (Sn ) hội tụ (Sn ) bị chặn ✷ 7.1.2 Các dấu hiệu hội tụ ∞ Định lý 7.1.8 (Dấu hiệu so sánh): Nếu |an | ≤ bn với n ≥ N bn hội n=1 ∞ an hội tụ (tuyệt đối) tụ n=1 Định lý 7.1.9 (Dấu hiệu so sánh dạng giới hạn): Giả sử an ≥ bn ≥ với n ≥ N lim abnn = k Khi ta có khẳng định sau ∞ • Nếu < k < +∞ chuỗi số ∞ an hội tụ n=1 ∞ bn hội tụ n=1 ∞ • Nếu k = chuỗi số bn hội tụ kéo theo n=1 an hội tụ n=1 ∞ • Nếu k = +∞ chuỗi số ∞ bn phân kỳ kéo theo n=1 an phân kỳ n=1 ∞ an lim Định lý 7.1.10 (Dấu hiệu D’ Alembert) Cho chuỗi n=1 an+1 an = D ∞ • Nếu D < chuỗi an hội tụ tuyệt đối n=1 ∞ • Nếu D > chuỗi an phân kỳ n=1 GV Trần Trí Dũng 79 7.2 CHUỖI HÀM CHƯƠNG CHUỖI SỐ-CHUỖI HÀM ∞ n an lim Định lý 7.1.11 (Dấu hiệu Cauchy) Cho chuỗi |an | = C n=1 ∞ • Nếu C < chuỗi an hội tụ tuyệt đối n=1 ∞ • Nếu C > chuỗi an phân kỳ n=1 ∞ Ví dụ 7.1.12 a) Chuỗi n=1 ∞ n=1 hội tụ theo dấu hiệu D’ Alembert ta có nn an+1 = lim − = lim n an (n + 1) n+1 D = lim b) Chuỗi n! nn nn e2n n = < e phân kỳ theo dấu hiệu Cauchy ta có C = lim n |an | = lim n = +∞ e2 Định lý 7.1.13 (Dấu hiệu tích phân) Cho hàm số đơn điệu f : [1; +∞) → +∞ ∞ [0; +∞) Khi ta có chuỗi số f (n) hội tụ n=1 f (x)dx hội tụ ∞ Ví dụ 7.1.14 Chứng minh chuỗi n=1 np hội tụ p > ∞ Định lý 7.1.15 (Dấu hiệu Leibniz) Cho chuỗi đan dấu ∞ (an ) dãy giảm tiến Khi chuỗi (−1)n an , n=1 (−1)n an hội tụ n=1 ∞ Ví dụ 7.1.16 Chuỗi n=1 (−1)n n hội tụ theo dấu hiệu Leibniz dãy số ( n1 ) dãy giảm tiến 7.2 7.2.1 CHUỖI HÀM Hội tụ điểm - Hội tụ Cho dãy hàm số (fn (x)) xác định tập hợp X ⊂ R Khi ta gọi biểu thức ∞ f1 (x) + f2 (x) + · · · + fn (x) + · · · = fn (x) n=1 80 GV Trần Trí Dũng CHƯƠNG CHUỖI SỐ-CHUỖI HÀM 7.2 CHUỖI HÀM chuỗi hàm X Tổng hữu hạn n Sn (x) = f1 (x) + f2 (x) + · · · + fn (x) = fk (x) k=1 ∞ với x ∈ X gọi tổng riêng thứ n chuỗi hàm fn (x) X n=1 ∞ • Nếu x0 ∈ X chuỗi số fn (x0 ) hội tụ (tương ứng, phân kỳ) ta gọi x0 n=1 ∞ điểm hội tụ (tương ứng, điểm phân kỳ) chuỗi hàm fn (x) n=1 ∞ • Tập hợp điểm hội tụ chuỗi hàm fn (x) gọi miền hội tụ n=1 ∞ chuỗi hàm Như gọi D miền hội tụ chuỗi hàm ∞ với x ∈ D, chuỗi số fn (x) hội tụ số S(x) Khi ta nói n=1 ∞ chuỗi hàm fn (x) n=1 fn (x) hội tụ điểm hàm số S(x) D, ký hiệu n=1 ∞ fn (x) = S(x), ∀x ∈ D n=1 Nói cách khác ∞ fn (x) = S(x), ∀x ∈ D ⇐⇒ ∀x ∈ D, ∀ > 0, ∃N ∈ N, n ≥ N ⇒ |Sn (x)−S(x)| < n=1 ∞ • Ta nói chuỗi hàm ∞ fn (x) hội tụ hàm số S(x) D, ký hiệu n=1 u fn (x) = S(x), ∀x ∈ D n=1 ∀ > 0, ∃N ∈ N, n ≥ N ⇒ |Sn (x) − S(x)| < , ∀x ∈ D Một cách tương đương, ta có ∞ u fn (x) = S(x), ∀x ∈ D ⇐⇒ lim sup |Sn (x) − S(x)| = x∈D n=1 ∞ Rõ ràng chuỗi hàm fn (x) hội tụ hàm số S(x) D chuỗi n=1 hàm hội tụ điểm S(x) D chiều ngược lại không GV Trần Trí Dũng 81 7.2 CHUỖI HÀM CHƯƠNG CHUỖI SỐ-CHUỖI HÀM ∞ fn (x) hội tụ hàm S(x) D Định lý 7.2.1 Chuỗi hàm n=1 ∀ > 0, ∃N ∈ N, ∀m, n ∈ N, m ≥ N, n ≥ N ⇒ |Sm (x) − Sn (x)| < , ∀x ∈ D Định lý 7.2.2 (Dấu hiệu Weierstrass hội tụ đều) ∞ Giả sử |fn (x)| ≤ an với n ∈ N với x ∈ D Khi chuỗi số an n=1 ∞ fn (x) hội tụ D hội tụ chuỗi hàm n=1 ∞ Ví dụ 7.2.3 Tìm miền hội tụ, hội tụ tuyệt đối chuỗi hàm n=1 ∞ Ví dụ 7.2.4 Xét chuỗi hàm n=1 cos(nx) n2 n 2n x Ta có cos(nx) ≤ , ∀n ∈ N, ∀x ∈ R n n ∞ Mà chuỗi số ∞ n=1 n=1 cos(nx) n2 n2 hội tụ nên theo dấu hiệu Weierstrass ta suy chuỗi hàm hội tụ R ∞ Ví dụ 7.2.5 Chứng minh chuỗi hàm x3 e−nx hội tụ [0; +∞) n=1 ∞ xn hội tụ đoạn [0; c] với ≤ c < Ví dụ 7.2.6 Chuỗi lũy thừa n=1 xn ≤ cn , ∀n ∈ N, ∀x ∈ [0; c] ∞ chuỗi số cn hội tụ n=1 ∞ xn không hội tụ [0; 1) Tuy nhiên chuỗi lũy thừa n=1 7.2.2 Ứng dụng hội tụ Sự hội tụ bảo tồn tính chất khả tích, liên tục hay khả vi chuyển từ ∞ hàm (fn (x)) sang chuỗi fn (x) Hơn ta lấy đạo hàm hay lấy n=1 tích phân số hạng chuỗi hàm chuỗi hội tụ 82 GV Trần Trí Dũng CHƯƠNG CHUỖI SỐ-CHUỖI HÀM 7.2 CHUỖI HÀM ∞ fn (x) hội tụ f (x) D Khi với Định lý 7.2.7 Cho chuỗi hàm n=1 n ∈ N hàm fn liên tục D f liên tục D ∞ fn (x) hội tụ f (x) đoạn [a; b] Khi Định lý 7.2.8 Cho chuỗi hàm n=1 với n ∈ N hàm fn khả tích [a; b] f khả tích [a; b] Hơn ta có b b ∞ ∞ f (x)dx = a fn (x) dx = n=1 a b fn (x)dx n=1 a Định lý 7.2.9 Giả sử (fn (x)) dãy hàm số khả vi [a; b] thỏa mãn điều kiện sau: ∞ (i) Tồn x0 ∈ [a; b] cho fn (x0 ) hội tụ n=1 ∞ (ii) Chuỗi n=1 fn (x) hội tụ hàm g(x) [a; b] ∞ fn (x) hội tụ hàm f (x) đoạn [a; b] f (x) = g(x) với Khi n=1 x ∈ [a; b], tức ∞ ∞ fn (x) n=1 GV Trần Trí Dũng = fn (x) n=1 83 7.2 CHUỖI HÀM CHƯƠNG CHUỖI SỐ-CHUỖI HÀM BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 1) Tìm tổng chuỗi số sau ∞ a) n=1 ∞ b) n=1 ∞ c) n=1 ∞ d) n=1 (−1)n−1 2n−1 2n +3n 6n 2n−1 2n n(n+1)(n+2) ∞ 2) Chứng minh chuỗi số n=1 a2n ∞ n=1 b2n hội tụ chuỗi số sau hội tụ ∞ |an bn | a) n=1 ∞ b) n=1 |an | n ∞ 3) Chứng minh chuỗi số dương ∞ an hội tụ n=1 n=1 a2n hội tụ Chiều ngược lại có khơng? ∞ 4)* Cho (an ) dãy số dương giảm, tiến cho an hội tụ Chứng minh n=1 lim nan = 5) Xét hội tụ chuỗi số sau ∞ √ a) n2 + n − n n=1 ∞ b) n=1 ∞ c) n=1 ∞ d) n=1 n π sin 2√ n arctan nn3 −1 +1 ln + tan n√ n 6) Xét hội tụ chuỗi số sau ∞ a) n=1 84 (n!)2 (2n)! GV Trần Trí Dũng CHƯƠNG CHUỖI SỐ-CHUỖI HÀM ∞ b) n=1 ∞ c) n=1 ∞ 7.2 CHUỖI HÀM 2n (n!) nn n(n−1) n−1 n+1 (n+1)n n n2 n=1 n ∞ e) n(ln n)p n=1 ∞ f) ln(n!) n=1 d) với p ∈ R 7) Xét hội tụ chuỗi đan dấu sau ∞ a) n=1 ∞ b) n=1 ∞ c) n=1 ∞ d) n=2 n+1 (−1)n n+2 (−1)n n2n+1 +n+2 (−1)n np , với p ∈ R (−1)n [n+(−1)n ]p , với p ∈ R 8) Tìm miền hội tụ, hội tụ tuyệt đối bán hội tụ chuỗi hàm sau ∞ a) n=1 ∞ b) n=1 ∞ c) n=2 ∞ d) nxn ne−nx (−1)n 2n−1 1−x 1+x n xn n2 n=1 (1+ n ) 9) Dùng dấu hiệu Weierstrass chứng minh chuỗi hàm sau hội tụ miền cho ∞ a) n=1 ∞ b) n=1 ∞ c) n=1 ∞ d) , x2 +n3 x∈R sin(nx) √ , 4 x +n5 x , 1+x2 n4 x∈R x ∈ [0; +∞) x3 e−nx , x ∈ [0; +∞) n=1 GV Trần Trí Dũng 85 7.2 CHUỖI HÀM CHƯƠNG CHUỖI SỐ-CHUỖI HÀM 10) Dùng phương pháp đạo hàm tích phân số hạng, tính tổng sau x3 x5 + + x − x3 + x5 − x7 x + x2! + x4! + x2 x3 x 1.2 + 2.3 + 3.4 + x + 2x2 + 3x3 + a) x + b) c) d) e) f) 1.2x + 2.3x2 + 3.4x3 + 86 GV Trần Trí Dũng ... + np )1] [(nq )1] 1 = (m1)(n1) 1 + (p1)(q1) 1 ⇐⇒ (mq + np )1 = (m1)(n1) 1 (nq )1 + (p1)(q1) 1 (nq )1 ⇐⇒ (mq + np )1 = (m1)(q1) + (p1)(n1) (do phần a) Nhận xét 2 .1. 10) ⇐⇒ (mq + np )1 = (mq )1 + (np )1 =... q = (m1)(n1) tức quy tắc f ánh xạ Thật vậy, ta có (m1)(n1) 1 = (p1)(q1) 1 ⇐⇒ (m1)(n1) 1 (n1)(q1) = (p1)(q1) 1 (n1)(q1) ⇐⇒ (m1)(q1) = (p1)(n1) ⇐⇒ (mq )1 = (np )1 (đúng mq = np) Mệnh đề 2 .1. 11 Ánh... nhiên Mặt khác < n1 < q1 nên f (r) < f (s) ⇐⇒ (m1)(n1) 1 < (p1)(q1) 1 ⇐⇒ (m1)(n1) 1 (n1)(q1) < (p1)(q1) 1 (n1)(q1) ⇐⇒ (m1)(q1) < (n1)(p1) ⇐⇒ (mq )1 < (np )1 ⇐⇒ (mq )1 < (mq + k )1 ⇐⇒ < k1 Chú ý bất đẳng