chương 5 phép tính vi phân hàm nhiều biến

Đạo hàm riêng cấp cao : Đạo hàm riêng cấp hai là đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một... Tìm vi phân cấp 2.. Điểm Moxo, yo gọi là điểm cực đại hoặc điểm cực tiểu nếu fM ≤ fM0 hoặc fM

CHƯƠNG 5 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

5.1 Hàm nhiều biến :

5.1.1 Khái niệm

1 Định nghĩa : Cho D ⊂ Rn, ánh xạ f : D Æ R là một hàm nhiều biến xác định trên D

f: D Æ R

M a u = f(M) với M (x1,x2,…, xn ) ∈ D

• D : miền xác định của f

• f(D) ⊂ R : miền giá trị của f

2 Ví dụ : Tìm miền xác định

a) f : D Æ R ( D ⊂ R 2 ) (x,y ) au = f(x,y) = 4−x2 − y2

b)f : D Æ R ( D ⊂ R2 )

(x,y ) a u = f(x,y) với u = ln ( 6 - 6x2 – 3y2)

5.1.2 Giới hạn – Liên tục :

1 Giới hạn :

Cho hàm số f : D Æ R với D ⊂ Rn, Mo∈ D

M af(M) M (x1, x2,…,xn) ∈ D

• Số L được gọi là giới hạn của hàm f(M) khi M Æ Mo nếu :

∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 sao cho M − M o < δ ⇒ f(M)− L <ε

Ký hiệu f M L

o

M

lim

• Số L được gọi là giới hạn của hàm f(M) khi M Æ Mo nếu :

Mọi dãy { Mn } : { Mn }ÆMo ⇒{ f(Mn) }ÆL

Ghi chú :

• Khoảng cách giữa 2 điểm M(x1,x2,…,xn) và N(y1,y2,…,yn) trong Rn :

2 2

2 1

(x −y + x −y + + x n − y n

• M Æ Mo ⇔ M −M o Æ 0

2 Liên tục :

• f(M) liên tục tại Mo ⇔ lim ( ) ( o)

M

o

=

→ (1)

• f(M) liên tục trên D nếu f(M) liên tục tại mọi điểm của D

Ví dụ 1 : Cho hàm số f : D Æ R (D ⊂ R2 )

(x,y ) a f(x,y) = 2x y2 2

x +y

Tìm

0 0

lim ( , )

x y

f x y

→

→

Ví dụ 2 : Cho hàm số f : D Æ R (D ⊂ R2 )

(x,y ) a f(x,y) = 2xy 2

CMR

0 0

lim ( , )

x y

f x y

→

→

không tồn tại

Ví dụ 3 : Cho hàm số f : D Æ R (D ⊂ R2 )

f(x,y) =

2

x y

khi x y

x y

khi x y

⎧

≠

⎨

⎩ Xét tính liên tục của hàm số f tại (0,0)

5.2 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần :

5.2.1 Đạo hàm riêng :

Cho hàm số u = f (x,y) xác định trên miền D ⊂ R2, Mo(xo,yo)∈ D

0

lim

x

x

Δ →

Δ tồn tại hữu hạn thì giới hạn này được

gọi là đạo hàm riêng theo biến x của hàm f(x,y) tại điểm (xo,yo) , ký hiệu : f’x(xo,yo) hoặc (x0,y0)

x

f

∂

∂ Tương tự ,ta có đạo hàm riêng theo biến y của hàm f(x,y) là :

f’y(xo,yo) hoặc (x0,y0)

y

f

∂

∂

Ghi Chú : Tính đạo hàm riêng của hàm nhiều biến thực chất là tính đạo

hàm theo một biến còn các biến kia không đổi

Ví dụ 1 : Cho f(x,y) = x2 + 3xy + 2y2 + 4x -5y +10 Tìm

y

f x

f

∂

∂

∂

∂ ,

Ví dụ 2 : Cho z =excosy Tìm

y

z x

z

∂

∂

∂

∂ ,

Ví dụ 3 : Cho f(x,y,z) = xsin(yz+z3) Tìm f

x

∂

∂ , f

y

∂

∂ , f

z

∂

∂ .

5.2.2 Vi phân toàn phần :

Cho hàm số u = f (x,y) xác định trên miền D ⊂ R2, Mo(xo,yo)∈ D

Vi phân tòan phần của f(x,y) tại (xo,yo) :

df(xo,yo) = f’x(xo,yo) dx + f’y(xo,yo)dy

df(x,y) = f’x(x,y) dx + f’y(x,y)dy hay

df = f’x dx + f’ydy Tổng quát : u = f(x1, x2,…, xn)

1

f dx x

∂

2

f dx x

∂

n

f dx x

∂

∂

Ví dụ : Tìm vi phân toàn phần của hàm số :

a) f(x,y) = x4 + 3xy + 2y2 + arctgx

b) f(x,y) = arctg

y x

y x

− +

Đạo hàm và vi phân cấp cao :

1 Đạo hàm riêng cấp cao :

Đạo hàm riêng cấp hai là đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một Hàm hai biến z = f(x,y)có các đạo hàm riêng cấp hai sau :

'' '' 2

2

2

)

x

f x

f

∂

∂

=

∂

∂

∂

∂

( ) 2 f xy''

y x

f x

f

∂

∂

∂

=

∂

∂

∂

∂

''

2 )

x y

f y

f

∂

∂

∂

=

∂

∂

∂

2

2

2

)

y

f y

f

∂

∂

=

∂

∂

∂

∂

Ví dụ : Tìm đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm

a) f(x,y) = xlny

b) f(x,y) = ln(x2 + y2)

Ghi chú : f(x,y) là hàm xác định trên D ⊂ R2 và có các đạo hàm riêng cấp 2

) ,

(

2

y

x

y

x

f

∂

∂

∂

và 2f ( , )x y

y x

∂

∂ ∂ trong lân cận của (xo,yo) ∈ D Nếu chúng liên tục tại (xo,yo) thì ( 0, 0)

2

y x y x

f

∂

∂

∂

= 2f ( , )x y0 0

y x

∂

∂ ∂

2 Vi phân cấp cao :

y

f dx x

f

∂

∂ +

∂

∂

d2f = d(df) = ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂ +

∂

∂

dy y

f dx x

f d

= 2

2

2

dx x

f

∂

∂

+ dydx

x y

f

∂

∂

∂ 2

+ dxdy

y x

f

∂

∂

∂ 2

2

2

dy y

f

∂

∂ Nếu đạo hàm hỗn hợp bằng nhau thì ta có :

d2f = 2

2

2

dx x

f

∂

∂

+ 2 dxdy

y x

f

∂

∂

∂ 2

2

2

dy y

f

∂

∂

Ví dụ : Cho f(x,y) = x2ey Tìm vi phân cấp 2

5.3 CỰC TRỊ :

5.3.1 Cực trị tự do:

1/ Định nghĩa :

Cho hàm f(x,y) xác định trên D ⊂ R2 Điểm Mo(xo, yo) gọi là điểm cực đại (hoặc điểm cực tiểu) nếu f(M) ≤ f(M0) (hoặc f(M) ≥ f(M0) ) với mọi M(x,y) trong lân cận Mo

2/ Định lý 1 (điều kiện cần)

Nếu hàm f(x,y) đạt cực trị tại Mo(xo, yo) mà tại đó hàm có các đạo hàm riêng

y

f

x

f

∂

∂

∂

∂

, tồn tại thì

x

f

∂

∂ (xo, yo) = 0 và

y

f

∂

∂ (xo, yo)= 0

3/ Định nghĩa : Nếu

x

f

∂

∂ (xo, yo) = 0 và

y

f

∂

∂ (xo, yo) = 0 thì Mo (xo, yo) được

gọi là điểm dừng của hàm f(x, y)

Ghi chú : Điểm cực trị là điểm dừng nhưng ngược lại chưa chắc đúng

Phản ví dụ : Cho f (x, y) = x2 - y2 xác định trên R2

Ta thấy p = q = 0 tại Mo (0,0) nhưng Mo (0,0) không phải là điểm cực trị vì f(x, 0) = x2 ≥ 0 = f (0,0) còn f (0, y) = - y2 ≤ 0 = f(0,0)

4/ Định lý 2 (điều kiện đủ)

Giả sử điểm Mo (xo, yo) là điểm dừng của hàm số f(x,y)

Đặt A = 22

x

f

∂

∂ (xo, yo) , B =

y x

f

∂

∂

∂ 2 (xo, yo) , C = 22

y

f

∂

∂ (xo, yo)

• A > 0 : Mo(xo, yo) là điểm cực tiểu

• A < 0 : Mo(xo, yo) là điểm cực đại

* AC – B 2 < 0 : M0 (xo, yo) không phải là điểm cực trị

* AC – B 2 = 0 : Chưa kết luận được

Tìm cực trị :

Ví dụ 1: Cho hàm f(x, y) = x3 + y3 + 3xy

HD : Hàm f(x, y) có hai điểm dừng là Mo (0, 0) và M1 ( - 1, - 1)

* Tại M o (0,0) : AC – B2 = - 9 < 0 : Mo (0, 0) không phải là điểm

cực trị

* Tại M 1 (-1, -1) : AC – B2 = 27 > 0 : M1 (-1, -1) là điểm cực trị

Ví dụ 2: Cho hàm g(x, y) = x2 + xy + y2 – 3x – 6y

Ví dụ 3 : Cho hàm f(x, y) = x2 + y4

HD : Ta thấy AC – B2 = 0 nên không kết luận được , cần xét cụ thể f(x,y)

Ví dụ 4 : Cho hàm f(x, y) = x3 + y4

5.3.2 Cực trị có điều kiện :

* Cho hàm 2 biến u = f(x,y) Cực trị của hàm f(x,y) thỏa điều kiện

φ(x,y) = 0 được gọi là cực trị có điều kiện

* Phương pháp tìm cực trị có điều kiện :

1.Trường hợp 1 : Nếu từ điều kiện φ(x,y) = 0 ta suy ra được y = y(x) thì thay vào hàm u=f(x,y) ta được hàm một biến u=f(x,y(x)) Từ đó ,ta tìm cực trị của hàm một biến thông thường

Ví dụ : Tìm cực trị của hàm z = f(x,y) = 1−x2 −y2 với điều kiện

x + y – 1 = 0

2.Trường hợp 2 : Nếu từ điều kiện φ(x,y) = 0 ta không suy ra được y

= y(x) thì ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange như sau :

• Tìm các điểm dừng Mo(xo,yo) bằng cách giải hệ phương trình :

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=

=

∂

∂ +

∂

∂

=

∂

∂ +

∂

∂

0 ) , (

0 0

y

y

x f

ϕ

ϕ λ

ϕ λ

( λ : nhân tử Lagrange)

• Lập hàm Lagrange : L(x,y,λ) = f(x,y) +λφ(x,y)

Xét vi phân toàn phần cấp 2 của hàm Lagrange :

d2L = 22

x

L

∂

∂

dx2 + 2

y x

L

∂

∂

∂ 2 dxdy + 22

y

L

∂

∂

dy2 tại các điểm dừng Mo(xo,yo)

Chú ý điều kiện :

x

∂

∂ϕ (xo,yo) = 0

ƒ d2L ≥ 0 : Mo(xo,yo) là điểm cực tiểu

ƒ d2L ≤ 0 : Mo(xo,yo) là điểm cực đại

Ví dụ : Tìm cực trị của hàm f(x,y) = x + 2y với điều kiện

φ(x,y) = x2 + y2 - 5 = 0