Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Phép tính tích phân hàm một biến cung cấp cho người học các kiến thức: Tính chất, ông thức nguyên hàm cơ bản, các phương pháp tính, đổi biến số dạng 2, tích phân từng phần,... Mời các bạn cùng tham khảo.
17/04/2017 Tính chất CHƯƠNG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến i ) f x dx f x ii ) k f x dx k f x dx iii ) f x g x dx f x dx Bài giảng Toán Cao cấp Định nghĩa nguyên hàm g x dx Nguyễn Văn Tiến Công thức nguyên hàm • Định nghĩa: Cho hàm f(x) liên tục (a,b) Ta nói F(x) nguyên hàm f(x) (a,b) nếu: k dx F x f x , x a , b 3. dx x 2. x dx 4. dx x • Ví dụ: 5. a x dx tan x nguyên hàm tan x treân R \ 2n 1 x a nguyên hàm a x ln a R Bài giảng Tốn Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Tích phân bất định • Tích phân bất định hàm f(x) ký hiệu: f x dx • Được xác định sau: f x dx 6. e x dx Nguyễn Văn Tiến Các phương pháp tính • • • • Phân tích, biến đổi Đổi biến dạng Đổi biến dạng Tích phân phần F x C • F(x) nguyên hàm f(x) • C: số tùy ý Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 17/04/2017 Phương pháp phân tích • • • • Ví dụ Chia đa thức Nhân liên hợp Áp dụng công thức biến đổi hàm số Sử dụng công thức Bài giảng Tốn Cao cấp • Tính tích phân sau c Nguyễn Văn Tiến x 3x dx x x dt e lim x t t 1 c b e x e x 1 dx 2x 1dx x x dx Nguyễn Văn Tiến • Đặt: x=u(t) • Biến đổi biểu thức tính tích phân dạng: f x dx f u t .u t dt d x x dx Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Đổi biến số dạng • Đặt t=u(x) • Ta đưa tích phân dạng: f u x u' x dx Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính tích phân sau f t dt • Phải tìm u’ biến đổi u’ xuất trước • Thường đặt u thức, mũ e, mẫu số hay biểu thức ngoặc Bài giảng Toán Cao cấp b Đổi biến số dạng (tham khảo) • Tính tích phân sau 2x dx x x 1 Bài giảng Tốn Cao cấp Ví dụ a a x cos x dx Nguyễn Văn Tiến a) c ) x dx dx 1 x2 Bài giảng Toán Cao cấp b) d ) x dx 1 x2 dx x x2 1 Nguyễn Văn Tiến 17/04/2017 Tích phân phần Ví dụ • Đưa biểu thức tính tích phân dạng: f x dx • Đặt: • Tính tích phân sau h x .g x dx h x .g x dx Bài giảng Toán Cao cấp uv c ) x cos xdx d ) x arctan xdx • Khi đó: b ) 2x 1 sin xdx a ) x ln xdx du h ' x u h x dv g x dx v g x dx f x dx e v du Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Tích phân phần • Đưa biểu thức dạng tích • Chọn hàm để đặt u dv • Chú ý: chọn cho việc tính đạo hàm tích phân dễ tính • Áp dụng cơng thức: Nguyễn Văn Tiến Cơng thức Tanzalin • Tính tích phân sau: 2x 3x dx udv uv v du 2x 3x Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Pn x sin ax dx Pn x ln x dx Pn x .e ax dx Đạo hàm Tích phân x sinx -cosx -sinx Pn x arctan x dx Pn x arcsin x dx Luong giac nguoc Lo garit Da thuc Luong giac M u Nguyễn Văn Tiến Nguyễn Văn Tiến Cơng thức Tanzalin • Tính tích phân sau: Pn x cos ax dx Bài giảng Toán Cao cấp 2x 3x 252 3x 2 C 21 Bài giảng Toán Cao cấp Các dạng cần nhớ dx x sin x dx Dấu Tích + - -xcosx sinx x sin x dx x cosx sinx C Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 17/04/2017 Cơng thức Tanzalin Diện tích đường cong • Tính tích phân bất định: x • Ví dụ Một tòa nhà có cổng dạng parabol Ta cần gắn kính cho cổng nhà Hỏi diện tích kính cần gắn bao nhiêu? x 1.dx • Đáp số: Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp Tích phân hàm mũ Diện tích đường cong i e dx e C ii e dx a e iii e du e C x • Cơng thức: x ax b ax b u C u • Ví dụ Tính tích phân sau: a)A 3e dx c )C xe x dx 4x b) B e x4 x dx I0 Nguyễn Văn Tiến d ) D a e Tx dx • Ta chia hình cần tính thành nhiều hình chữ nhật nhỏ • Cộng hết diện tích hình chữ nhật nhỏ lại • Ta diện tích tương đối hình cần tính • Độ cao hình chữ nhật xác định thơng qua giá trị hàm số Ví dụ Tại điểm c hình chữ nhật có độ cao f(c) Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Diện tích đường cong • Tìm phương trình đường cong y=y(x) biết qua điểm (1;0) và: • Tìm diện tích đường cong y=1-x2 x0,5 x=1 • Sử dụng cơng thức tổng diện tích hình chữ nhật để tính xấp xỉ (giả sử n=5) dy dx e x 3 • Đáp án: y 2 Bài giảng Toán Cao cấp e x 3 e Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 17/04/2017 Diện tích đường cong • Với n=5 ta có chiều rộng hcn là: 0,1 • Ta tính tổng hcn sau: Cách Xấp xỉ tổng hình chữ nhật ngồi A i 1 • Với n=5 ta có chiều rộng hcn là: 0,1 • Ta tính tổng hcn sau: Cách Xấp xỉ tổng hình chữ nhật S Diện tích đường cong A i S i 1 0, 75.0, 0, 64.0, 0, 51.0, 0.36.0, 0, 19.0, 0, 245 Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến i 0, 6975 0, 5775 0, 4375 0, 2775 0, 0975 0, 0, 20875 Bài giảng Tốn Cao cấp Diện tích đường cong • Với n=5 ta có chiều rộng hcn là: 0,1 • Ta tính tổng hcn sau: Cách Xấp xỉ tổng hình chữ nhật Nhận xét • Nếu ta chia thành 10 hình chữ nhật với n=10 kết tìm xấp xỉ tốt • Tính theo cách ta có kết sau: A 10 S i 1 10 S i 1 S i 1 0, 75 0, 6975 0, 19 0, 0975 0, 05 0, 226875 i • Theo cách ta có: A A Nguyễn Văn Tiến i 0, 6975 0, 19 0, 0975 0, 05 0, 189375 • Theo cách ta có: i 0, 64.0, 0, 51.0, 0, 36.0, 0, 19.0, 0, 0, 17 Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Diện tích đường cong • Để có giá trị xấp xỉ tốt ta lấy giá trị trung bình cách tính • Ta được: A 0, 245 0, 17 0, 2075 A 10 S i 1 i Trung bình cộng cách 1,2: 0, 208438 A 10 S i 1 Bài giảng Toán Cao cấp i 0, 208125 Nguyễn Văn Tiến Tích phân xác định • Định nghĩa: Nếu f hàm số xác định [a;b] Chia đoạn [a , b ] thàn h n phần bằn g nhau, b a có chiều rộn g x n Giả sử a x , x 1, x , , x n b điểm biên nhữn g đoạn Ta có : x i a i. x Goïi x 1* , x 2* , , x n* điểm mẫu nhữn g đoạn x i* x i 1 ; x i Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 17/04/2017 Tích phân xác định Ý nghĩa hình học • Định nghĩa: Nếu f hàm số xác định [a;b] f x x ; x * i i 1 x i 1 x i Bài giảng Tốn Cao cấp • Cho hàm số ( ) ≥ 0, liên tục [a;b] tích phân xác định f(x) [a;b] diện tích hình giới hạn bởi: f x ; x a ; x b b a Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Tích phân xác định Chú ý • Định nghĩa: Nếu f hàm số xác định [a;b] f x : hàm lấy tích phân : dấu tích phân a, b : cận lấy tích phân dx : biến độc lập x b n f x x i 1 * i Tích phân f x dx a b a x n b f x dx a Toång Riemann: Nguyễn Văn Tiến b f x dx a lim n n f x x i 1 * i (nếu giới hạn tồn tại) • Khi ta nói hàm f khả tích [a,b] n Nguyễn Văn Tiến b f r dr a f x x * i Nguyễn Văn Tiến Tích phân xác định • Cơng thức: b f x dx a b F x F b F a a • Trong F(x) ngun hàm (tích phân bất định) f(x) f x dx Bài giảng Toán Cao cấp f t dt Bài giảng Tốn Cao cấp Tích phân xác định • Tích phân xác định hàm f từ a đến b là: b a i 1 Bài giảng Toán Cao cấp số, không phụ thuộc vào x Bài giảng Toán Cao cấp F x C; F ' x f x Nguyễn Văn Tiến 17/04/2017 Ví dụ Tính chất • Tính xác diện tích đường cong y=1x2, x=0,5 x=1 trục Ox • Giải • Ta có: d) Với a