Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 4 - Nguyễn Văn Tiến (2017)

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Tích phân hàm một biến và ứng dụng cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa nguyên hàm, tính chất, sự lan truyền tin đồn, tính chất cơ bản, định lý giátrị trung bình,... Mời các bạn cùng tham khảo.

18/10/2017 Định nghĩa nguyên hàm CHƯƠNG • Định nghĩa: Cho hàm f(x) liên tục (a,b) Ta nói F(x) nguyên hàm f(x) (a,b) nếu: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN & ỨNG DỤNG Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến F  x   f x ,  x  a , b  • Ví dụ:  Bài giảng Tốn Cao cấp Tích phân bất định • Tích phân bất định hàm f(x) ký hiệu:  f x dx • Được xác định sau:  f x dx   tan x nguyên hàm  tan x     treân R \  2n  1          a x nguyên hàm a x ln a R Nguyễn Văn Tiến Tính chất  i )   f x dx   f x    ii )  k f x dx  k  f x dx iii )   f x   g x  dx   f x dx     g x dx  F x   C • F(x) nguyên hàm f(x) • C: số tùy ý Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Công thức nguyên hàm  k dx  3. dx  x 5. a x dx  Bài giảng Toán Cao cấp 2. x  dx  4. dx  x 6. e x dx  Nguyễn Văn Tiến Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính tích phân sau a  c  2x  dx x x  1   b  e x e x 1  dx x  3x  dx x Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 18/10/2017 Ví dụ Ví dụ • Tính tích phân sau  • Tính tích phân sau  a  x cos x  dx c  b  2x  1dx  x x dx c ) Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến a)   x dx x dx 1 x2 d ) dx dx 1 x2 Bài giảng Toán Cao cấp Ví dụ b)  Nguyễn Văn Tiến Tích phân hàm mũ i   e dx  e  C ii   e dx  a e iii   e du  e  C x • Tính tích phân sau • Cơng thức: c )  x cos xdx d )  x arctan xdx x ax b b )  2x  1 sin xdx a )  x ln xdx x x2 1 ax b u C u • Ví dụ Tính tích phân sau: a)A   3e x dx c )C   xe  x dx b) B  e x4 x 3dx I0 d ) D  a  e Tx dx Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ • Tìm phương trình đường cong y=y(x) biết qua điểm (1;0) và: Tìm phương trình đường cong y=y(x) qua điểm (2;5) có hệ số góc dy/dx=2x điểm Giả sử hàm chi phí biên để sản xuất x đơn vị sản phẩm cho bởi: C’(x)=0,3x2+2x Biết chi phí cố định 2000$ Hãy tìm hàm chi phí C(x) tính chi phí để sản xuất 20 sản phẩm dy  dx e x 3 • Đáp án: y 2 Bài giảng Toán Cao cấp  e x 3  e  Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 18/10/2017 Ví dụ Ví dụ • Một đài phát vệ tinh đưa chiến dịch quảng cáo tích cực để tăng số lượng người nghe hàng ngày • Hiện đài phát có 27.000 người nghe ngày nhà quản lý mong muốn số lượng người nghe, S(t), tăng lên với tốc độ tăng trưởng là: S’(t)=60t1/2 người ngày • Trong t số lượng ngày kể từ bắt đầu chiến dịch • Chiến dịch kết thúc biết đài phát muốn số lượng người nghe hàng ngày tăng lên đến 41.000 người Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Phương trình vi phân • Tăng trưởng giới hạn • Tăng trưởng không giới hạn • Bộ phận nghiên cứu thị trường chuỗi siêu thị xác định rằng, cửa hàng, giá biên tế p’(x) ứng với nhu cầu x tuýp kem đánh tuần cho bởi: p ' x    0, 015e  0,01x • Hãy tìm phương trình đường cầu biết giá 4,35$/tuýp nhu cầu hàng tuần 50 tuýp • Hãy xác định nhu cầu giá tuýp 3,89$ • Đáp số:  0,01x p x   1, 5e Bài giảng Toán Cao cấp  3, 44 Nguyễn Văn Tiến Phương trình vi phân • Khái niệm dy  6x  x y '   400e  0,01x dx dy dy  ky y " xy ' x   2xy dx dx • Nghiệm PTVP hàm số??? Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Phương trình vi phân Bài tốn lãi kép liên tục Gọi P số tiền đầu tư ban đầu A số tiền có sau thời gian t Giả sử tốc độ tăng trưởng số tiền A thời điểm t tỷ lệ thuận với số tiền khoảng thời gian • Ta có mơ hình: • • • • dA  r A A 0   P dt • R: số phù hợp Bài giảng Tốn Cao cấp A, P  Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Phương trình vi phân • Ta có mơ hình: dA dA dA  r A  r   dt   rdt dt A dt A dt   dA  rt  ln A  rt  C  A t   e rt e C A • Mặt khác: A 0   e r e C  P  A t   P e rt • Ta có cơng thức tính lãi kép liên tục với lãi suất r t thời gian đầu tư Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 18/10/2017 Luật tăng trưởng theo hàm mũ • Định lý Nếu • • • • • • = (0) = = Trong đó: Q0: khối lượng t=0 r>0: tốc độ tăng trưởng tương đối t: thời gian Q: khối lượng thời điểm t Chú ý Nếu r 0; = =− , >0 = Bài giảng Toán Cao cấp = Tăng trưởng mũ Ứng dụng Đặc điểm Tăng trưởng ngắn hạn (người, vi khuẩn) Tăng trưởng tiền tính lãi liên tục Tăng trưởng giới hạn Tốc độ tăng trưởng tỷ lệ với hiệu lượng giá trị cố định Cạn kiệt tài nguyên thiên nhiên Phân rã phóng xạ Hấp thụ ánh sáng (trong nước) Áp suất khí (t chiều cao) Nguyễn Văn Tiến • • • • Gọi t thời gian tính theo phút A) Tìm cơng thức x(t) B) Sau phút có người nghe tin đồn C) Tìm giới hạn: lim x t  Bài giảng Toán Cao cấp t   Nguyễn Văn Tiến Mơ hình Tăng trưởng Logistic Tốc độ phân rã tỷ lệ với lượng hiệu lượng giá trị cố định = ( PT − ) Ứng dụng = (1 − , > 0; = = ( − ) = ) Bán hàng thời trang Khấu hao thiết bị Tăng trưởng công ty Học tập 1+ , >0 = 1+ Bài giảng Toán Cao cấp Sự lan truyền tin đồn • Nhà xã hội học phát tin đồn có xu hướng lan truyền với tốc độ tỷ lệ với số người nghe tin đồn x số người chưa nghe tin đồn (P-x) Trong P tổng số người Một sinh viên kí túc xá có 400 sinh viên nghe tin đồn có bệnh lao trường P=400 và: dx  0, 001x 400  x  x 0   dt Nguyễn Văn Tiến Tăng trưởng dân số dài hạn Bán hàng Sự lan truyền tin đồn Tăng trưởng công ty Bệnh dịch Nguyễn Văn Tiến Sự lan truyền tin đồn dx  0, 001x 400  x  dt 400 x t    399e  0,4 t x 0   400  7, 272889  399e  0,4*5 400 x 20    352, 7805  399e  0,4*20 lim x t   400 x 5   t • Sau phút nửa số sinh viên KTX nghe tin đồn? Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 18/10/2017 Tích phân xác định Diện tích đường cong • Tổng bên trái - Left Sum • Tổng bên phải – Right Sum • Diện tích đường cong • Diện tích phần hình tơ màu bao nhiêu? • Tính xấp xỉ tổng diện tích hình chữ nhật • Ta có: 11,5=L4