Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 5b - Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 5b: Quy hoạch tuyến tính hai biến cung cấp cho người học các kiến thức: Dạng ma trận của bài toán quy hoạch tuyến tính, đưa bài toán về dạng chính tắc, tính chất của tập phương án,... Mời các bạn cùng tham khảo.

16/04/2017 Ví dụ CHƯƠNG 5b • Vậy ta có mơ hình tốn: f  x   f  x1 , x2 , x3   3x1  x2  2,5 x3  max QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH HAI BIẾN 0,04 x1  0,06 x2  0,05 x3  500  0,07 x1  0,02 x3  300  x  j  1, 2,3    j • Đây tốn quy hoạch tuyến tính biến, tìm giá trị lớn hàm mục tiêu Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp Ví dụ Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Một xí nghiệp cần sản xuất loại bánh: bánh đậu xanh, bánh thập cẩm bánh dẻo Lượng nguyên liệu đường, đậu cho bánh loại, lượng dự trữ nguyên liệu, tiền lãi cho bánh loại cho bảng sau: • Giả sử yêu cầu tối thiểu ngày chất dinh dưỡng đạm, đường, khoáng cho loại gia súc tương ứng 90g, 130g, 10g Cho biết hàm lượng chất dinh dưỡng có 1g thức ăn A, B, C giá mua 1kg thức ăn loại cho bảng sau: • Hãy lập mơ hình tốn tìm số lượng loại bánh cần sản xuất cho không bị động nguyên liệu mà lãi đạt cao • Hãy lập mơ hình tốn học toán xác định khối lượng thức ăn loại phải mua để tổng số tiền chi cho mua thức ăn đáp ứng nhu cầu dinh dưỡng ngày Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp Ví dụ Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Gọi x1,x2,x3 số bánh đậu xanh, bánh thập cẩm, bánh dẻo cần phải sản xuất • Điều kiện: xj ≥ = 1,2,3 • Tiền lãi thu (ngàn đồng) • Một sở sản xuất đồ gỗ dự định sản xuất ba loại sản phẩm bàn, ghế tủ Định mức sử dụng lao động, chi phí sản xuất giá bán sản phẩm loại ước tính bảng sau: f  x   f  x1 , x2 , x3   3x1  x2  2,5 x3 • Lượng đường sử dụng điều kiện: 0,04 x1  0,06 x2  0,05 x3  500 • Lượng đậu sử dụng điều kiện: 0,07 x1  0,02 x3  300 Bài giảng Tốn Cao cấp Nguyễn Văn Tiến • Hãy lập mơ hình tốn học tốn xác định số sản phẩm loại cần phải sản xuất cho không bị động sản xuất tổng doanh thu đạt cao nhất, biết sở có số lao động tương đương với 500 ngày công, số tiền dành cho chi phí sản xuất 40 triệu đồng số bàn, ghế phải theo tỉ lệ 1/6 Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 16/04/2017 Ví dụ Ví dụ • Bài tốn lập kế hoạch sản xuất • Một trại cưa khúc gỗ thành ván Có hai loại ván: ván thành phẩm ván sử dụng xây dựng Giả sử, đối với: • Ván thành phẩm cần để cưa để bào 10m ván • Ván xây dựng cần để cưa để bào 10m ván • Máy cưa làm việc tối đa ngày máy bào làm việc tối đa 15 ngày Nếu lợi nhuận 10m ván thành phẩm 120 (ngàn đồng) lợi nhuận 10m ván xây dựng 100 (ngàn đồng) Trong ngày, trại cưa phải cưa ván loại để lợi nhuận lớn Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến • Bài tốn sau có dạng tắc: 260 x1  120 x2  600 x3  max 2 x1  x2  x3  500 100 x  40 x  250 x  40000   x  x   x1 , x2 , x3  Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài toán QHTT tổng quát Dạng ma trận toán QHTT 1 f  x   c1 x1  c2 x2   cn xn  (max) • Xét tốn QHTT dạng: 2   ai1 x1  x2   ain xn   bi  i  1, 2, , m      3  x j  tuy f  x   c1 x1  c2 x2   cn xn  (max)  a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1  a x  a x   a x  b  21 22 2n n    am1 x1  am x2   amn xn  bm   j  1, 2, , n  y  xj  (1) Hàm f(x) gọi hàm mục tiêu (2) hệ ràng buộc (3) hệ ràng buộc dấu (2) Và (3) gọi chung hệ ràng buộc toán Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài tốn dạng tắc n f  x    c jx j  (max) j1 n   aijx j  bi (i  1,m)  j1 x  (j  1,n)  j • Các ràng buộc phương trình • Các ẩn khơng âm Bài giảng Toán Cao cấp Dạng ma trận toán QHTT • Đặt:  a11 a12 a1n    a a a2 n  A   21 22    a a a  mn   m1 m Nguyễn Văn Tiến  b1    b b       bm   x1    x x 2      xn   c1    c c 2      cn  • Ta có dạng ma trận tốn QHTT: f  cT x   max  Mọi tốn quy hoạch tuyến tính quy tốn dạng tắc tương đương theo nghĩa trị tối ưu hàm mục tiêu hai toán trùng từ phương án tối ưu toán suy phương án tối ưu toán Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến  Ax  b  x  Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 16/04/2017 Các loại phương án • Định nghĩa Vec tơ ∈ thỏa tất ràng buộc tốn quy hoạch tuyến tính gọi phương án chấp nhận Đưa tốn dạng tắc • Bước Kiểm tra điều kiện dấu ẩn số • Nếu có ẩn dạng: xi  ta đổi biến: xi   xi • Nếu ẩn xi có dấu tùy ý ta đổi biến: • Định nghĩa Phương án chấp nhận làm cho hàm mục tiêu có giá trị lớn (nếu tốn max) hay nhỏ (nếu tốn min) gọi phương án tối ưu (PATU) Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến • • • • Chú ý: Các ẩn ẩn phụ không âm Hệ số ẩn phụ hàm mục tiêu Khi tìm PATU tốn dạng tắc ta cần tính giá trị ẩn ban đầu bỏ ẩn phụ PATU tốn dạng tổng quát cho Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ • Cho tốn QHTT: • Đưa tốn sau dạng tắc: f  x   120 x1  100 x2  max f  x   x1  x2  x3   x1  3x2   5 x1  3x2  15  x  0, x   4 x1  x2  x3  12  7 x1  x3   2 x1  x2  x3  6  x1  0, x2  • Trong phương án sau phương án phương án chấp nhận 1  u1     2 xi  xi  xi  2 u2     2 Bài giảng Toán Cao cấp 1  u3     3  2 u4    1  Nguyễn Văn Tiến Đưa toán dạng tắc • Bước Kiểm tra ràng buộc • Ràng buộc dạng nhỏ hơn: ai1 x1  x2   ain xn  bi • • Ta cộng thêm ẩn phụ: ai1 x1  x2   ain xn  xn k  bi • Ràng buộc dạng lớn hơn: ai1 x1  x2   ain xn  bi • Ta trừ ẩn phụ: Bài giảng Tốn Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Tính chất tập phương án • Định nghĩa Đoạn thẳng nối hai điểm x1 x2 định nghĩa: x  R n  x   x1  1    x2 ,    • Nhận xét • Nếu = có x2, = có x1 • Những điểm thuộc đoạn thẳng với < < gọi điểm đoạn thẳng • x1, x2 gọi điểm biên đoạn thẳng ai1 x1  x2   ain xn  xn  k  bi Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 16/04/2017 Tính chất tập phương án • Định lý Cho x1 x2 hai phương án chấp nhận toán QHTT Điểm = + − với ≤ ≤ thuộc đoạn thẳng nối hai điểm x1 x2 • Khi đó: • i) x phương án chấp nhận • ii) Nếu f(x1)=f(x2) f(x)=f(x1)=f(x2) • iii) Nếu f(x1)0} Aj vectơ cột ma trận hệ số A • Chứng minh vectơ T tạo thành hệ vectơ độc lập tuyến tính S   x Ax  b, x  0 • Nghiệm hệ phương trình tuyến tính A.x=b thỏa mãn điều kiện dấu x≥0 gọi phương án toán QHTT Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ • Tìm tất phương án toán QHTT: • Chứng minh x=(1,2,3,0) PACB toán QHTT sau: f  x1  3x2  max • Với điều kiện: Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 16/04/2017 Ví dụ • Tìm tất phương án cực biên toán QHTT: f  x1  3x2  max • Với điều kiện: Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Nghiệm Phương án cực biên Giá trị hàm mục tiêu X1=(3/2; 5/2;0;0) X2=(3;0;1;0) X3=4;0;0;-5) X4=(0;5;-1;0) X5=(0;4;0;3) X6=(0;0;4;15) Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến ... tiêu Bài giảng Toán Cao cấp Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến • Điểm x tập lồi S gọi điểm cực biên biểu diễn dạng tổ hợp lồi thật hai điểm phân biệt S Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến. .. kiện: Bài giảng Tốn Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 16/04/2017 Ví dụ • Tìm tất phương án cực biên toán QHTT: f  x1  3x2  max • Với điều kiện: Bài giảng Toán Cao cấp. .. x≥0 gọi phương án toán QHTT Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ • Tìm tất phương án toán QHTT: • Chứng minh x=(1,2,3,0) PACB toán QHTT sau: