Bảng Tổng điểm đánh giá của các thành viên và qui đổi ra hệ số cá nhânĐôn đốc các thành viên trong nhóm hoàn thành bài báo cáo vàbài thuyết trình, gắn kết , phân công công việc cho các t
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
──────── * ───────
BÁO CÁO NHÓM 2 HỌC PHẦN: ĐSTT BS6001
Sinh viên thực hiện : Phạm Thu Hà
Nguyễn Phúc Anh Đức Nguyễn Trung Đức Bùi Đức Dũng Trần Đắc Dũng
Lưu Văn Dương
Vũ Văn Dương
Nguyễn Văn Duy Nguyễn Văn Giang Phạm Thế Hảo
Giảng viên hướng dẫn : Đỗ Thị Mỹ Linh
Hà Nội, tháng năm
Trang 2Bảng Tổng điểm đánh giá của các thành viên và qui đổi ra hệ số cá nhân
trung bình
Hệ số cá nhân
Phạm Thu Hà
( Nhóm trưởng )
Đôn đốc các thành viên trong nhóm hoàn thành bài báo cáo và bài thuyết trình, gắn kết , phân công công việc cho các thành viên còn lại trong nhóm, tích cực tham gia vào công việc của
nhóm Nguyễn Phúc Anh Đức Đi in báo cáo Hoàn thành công
việc được giao
Nguyễn Trung Đức Nội dung 1 :lấy ví dụ về ma trận
nghịch đảo và một ví dụ về hệ phương trình tuyến tính, hoàn thành công việc được giao
Bùi Đức Dũng Bài: 1,2,3,4 Chưa tích cực tham
gia vào làm bài tập nhóm
Trần Đắc Dũng Bài: 5, 6, 7 Hoàn thành công
việc được giao
Lưu Văn Dương Bài: 8, 9 Hoàn thành công việc
đượ giao
việc được giao
Nguyễn Văn Duy Nội dung 2 : Lấy một ví
dụ về ma trận nghịch đảo và một
ví dụ về hệ phương trình tuyến tính Hoàn thành công việc dược giao
Nguyễn Văn Giang Chỉnh sửa báo cáo Hoàn
thành công việc được giao
Phạm Thế Hảo Viết báo cáo Hoàn thành
tôt công việc được giao
Trang 3MỤC LỤC
NỘI DUNG 1: GIẢI BÀI TẬP ………Trang 2 1: Tìm ma trận X
2: Tìm hạng của ma trận theo m
3: Tính định thức
4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss
5: Bài toán tìm m để hệ trên là Cramer
6: Chứng minh W là một không gian con
7: Xét sự độc lập tuyến tính
8: Ánh xạ
9: Tìm điều kiện của m để B là cơ sở của R3
Biểu thị tuyến tính
10: Tìm tọa độ của véc tơ đối với cơ sở S
TÌM HIỂU MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TRONG CÁC MÔN HỌC KHÁC HOẶC TRONG THỰC TẾ
1: Ứng dụng của ma trận nghịch đảo
2: Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính
PHẦN 2 KẾT LUẬN……….Trang 13
Trang 4PHẦN MỞ ĐẦU
1 MỞ ĐẦU VỀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Ma trận nghịch đảo là thuật ngữ trong đại số tuyến tính Phép nghịch đảo thường được dùng trong giải tích để đơn giản hóa những bài toán khó giải theo những cách khác Chẳng hạn như , việc nhân với nghịch đảo của một số sẽ dễ dàng hơn so với việc trực tiếp chia số đó Đây chính là phép nghịch đảo Tương tự , bởi không hề có dấu phân số dành cho ma trận , bạn sẽ phải nhân với ma trận nghịch đảo của nó việc tính tay ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông cks thể sẽ rất nhàm chán , nhưng
đó là bài toán đáng để chúng ta xem xét
2 MỞ ĐẦU VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Trong toán học (cụ thể là trong đại số tuyến tính ), một hệ phương trình đại số tuyến tính hay đơn giản là hệ phương trình tuyến tính là một tập hợp các phương trình tuyến tính với cùng những biến số Một trong những phương hướng mở rộng toán học phổ thông là tổng quát hóa hệ phương trình bậc nhất Đó là hệ phương trình tuyến tính Sau đây sẽ trình bày lý thuyết tổnv quát về ứng dunng hệ phương trình này Nó có nhiều ứng dụng không những trong nhiều ngành toán học khác như : Đại số , hình học , giải tích , lý thuyết phương trình vi phân , phương trình đạo hàm riêng , quy hoạch tuyến tính , mà còn trong nhiều lĩnh vực khoa học khác và cả trong kinh tế
Trang 5NỘI DUNG BÁO CÁO
NỘI DUNG 1: GIẢI BÀI TẬP
1 Tìm ma trận X thỏa mãn
A .X = B
Bải giải
Det(A) =2 =>
Mà A X = B => X =.B
Ta có =
= det() = = 1
= det() = = 0
Tương tự, ta được: = -1
= 2
= 6
= 2
= -1
= -4
= -1
=
=
Suy ra X = B =
2 Tính hạng theo m:
Bài giải
Với 2 -m = 0 <=> m = 2 => r(A) = 2
Với 2 -m 0 <=> m 2 => r(A) =3
Trang 63 Tính định thức
Bài giải
D =
= 1
= 2.(-3).2 +1.4.1 +(-5).4.3 -3.(-3).1 –(-5).1.2 -4.4.2 = -81
4 Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss
Bài giải
Từ đề bài ta được ma trận mở rộng:
Ta được hệ =>
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (-15; -48; 29; -8)
5 Cho hệ phương trình Tìm m để hệ trên là hệ Cramer
Bài giải Theo đề bài, ta có ma trận: (*)
Dễ thấy để hệ là hệ Cramer thì (*) có định thức khác 0
<=>
<=>
<=>
Vậy để hệ là hệ Cramer thì
6 Trong cho W có là không gian con của không Vì sao
Bài giải
Trang 7(vì (0,0,0)
Với mọi X, Y W thì
X = () thoả mãn điều kiện
Y = () thoả mãn điều kiện
Ta có X + Y = () + () = ()
Lại có (
=
= 0 + 0 = 0
Nên (X + Y) W (1)
Mặt khác, mọi X W, mọi k W có:
kX = k() = ()
và = k() = k.0 = 0
nên kX W (2)
Từ (1) và (2) => W là không gian con của
Vậy W là không gian con của
Bải giải
Xét biểu thức:
<=>
Từ đó ta có hệ:
Hệ trên có ma trận hệ số:
=>
Mà để hệ S độc lập tuyến tính thì
Vậy không có giá trị m nào thoả mãn để hệ S độc lập tuyến tính
8 Ánh xạ dưới đây có phải là ánh xạ tuyến tính không?( trong đó là không gian các đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng 1 còn là không gian các đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng 2)
Bài giải
Trang 8Ta có
<=> f
Lại có
=> f
=> f
Mặt khác
Và =>
Từ (1), (2) => f là ánh xạ tuyến tính
Vậy f là ánh xạ tuyến tính
9 Trong cho hệ véc tơ Tìm điều kiện của m để B là cơ sở của Hãy biểu thị tuyến
tính theo các véc tơ của B khi m = 5
Bài giải
Theo bài ra, ta có:
X = =
<=> (1)
Ta có ma trận hệ số của hệ (1):
=>
Để hệ độc lập tuyến tính thì <=>
<=>
Lại có dim số vecto của B = 3
Vậy để B là cơ sở của thì
Với m = 5 ta có phương trình hệ số mở rộng của hệ (1) là:
Ta được hệ <=>
Vậy biểu thị tuyến tính x theo các véc tơ của B khi m = 5 ta được:
X =
Trang 910 Trong không gian véc tơ P x cho hệ véc tơ2[ ]
S p x x p x p x x
Chứng minh hệ S là cơ sở của P x2
Tìm tọa độ của véc tơ p14x2 5x đối với3
cơ sở S.
Bài giải
Gọi là toạ độ của p đối với cơ sở S
=>
<=> + + =
<=> (1)
Ta được ma trận hệ số mở rộng của (1):
Ta được hệ <=>
Vậy toạ độ của p đối với cơ sở S là
Trang 10
NỘI DUNG 2 TÌM HIỂU MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN
NGHỊCH ĐẢO VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TRONG CÁC MÔN HỌC KHÁC HOẶC TRONG THỰC TẾ
1
Ứng dụng của ma trận nghịch đảo
VD1:Trong bảo mật , mật hóa thông tin , tin nhắn
- Cho ma trận A=và một sự tương ứng giữa các kí tự và các số như sau :
Một mật vụ muốn gửi dòng tin nhắn cho dồng nghiệp của mình Để đảm bảo thông tin bí mật , anh ta dùng bảng tương ứng trên chuyển tin nhắn của mình thành một dãy số này thành ma trận B Theo nguyên tắc: Lần lượt từ trái qua phải, từ trên xuống dưới mỗi chữ số là một vị trí của dòng B Sau khi tính D=BxA và chuyển D
về dãy số tìm được dãy 13 1 16 14 -4 19 23 -2 31 Hãy giải mã thông tin trên
Bài giải
Theo bài ra ta có :
Mà
=> D có 3 cột, mà dãy số có 9 phần tử nên mỗi cột của D có 3 phần tử
Vậy nên ma trận D cỡ 3
Ta có:
D=; A=
=> =>
Ta có
Trang 11Tương tự ta được = -1 = -1
= 1 = 0
= 1 = 1
Chuyển ma trận B thành dãy số theo nguyên tắc từ trai sang phải, từ trên xuống dưới ta được dãy số 2 4 3 7 1 5 3 6 8
Vậy dòng tin nhắn là:
VD2: Sau buổi hiến máu tại trường Đại học công nghiệp Hà Nội, gọi L1, L2, L3 là
ba loại khả năng dung tích máu sinh viên có thể hiến tương ứng lần lượt với 0.25, 0.35, 0.45 (lít) Có 30 sinh viên đã tình nguyện tham gia hiến máu và 9.5 lít máu đã được hiến Trong đó, tổng số sinh viên hiến máu loại L1 và L3 gấp hai lần số sinh viên hiến máu loại L2 Tìm số sinh viên hiến máu của từng loại
Bài giải
Gọi số sinh viên hiến máu loại L1 là: x
Gọi số sinh viên hiến máu loại L2 là: y
Gọi số sinh viên hiến máu loại L3 là: z
Theo đề bài ta có hệ phương trình:
Đặt A= ; X= ; B=
Hệ phương trình tương đương: AX=B => =
Det(A) = -0.6 =>
Ta có
det(= =3
Trang 12det(= =0
det(= =-3
det(==1.25
det(==-0.2
det(==0.85
det(==-0.1
det(==0.2
det(==-0.1
;
=
Vậy số sinh viên hiến máu loại L1 là: 15
số sinh viên hiến máu loại L2 là: 10
số sinh viên hiến máu loại L3 là: 5
2.
Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính
VD1: Một nhà nông chăn nuôi tổng cộng 100 con gia súc và gia cầm bao gồm 3
loại: lợn, gà và vịt Biết rằng tổng số chân của 3 loại là 220, tổng số gà gấp 2 lần tổng số vịt Hỏi mỗi loại có bao nhiêu con?
Bài giải Gọi số lợn là x, số gà là y và số vịt là z
Theo đề bài ta có hệ phương trình sau:
Từ hệ trên ta được ma trận hệ số mở rộng:
Ta được hệ <=>
Vậy số lợn là 10, gà là 60 và vịt là 30
Trang 13VD2: Cần 3 thành phần khác nhau A, B và C, để sản xuất một lượng hợp chất hóa
học nào đó A, B và C phải được hòa tan trong nước một cách riêng biệt trước khi chúng kết hợp lại để tạo ra hợp chất hóa học Biết rằng nếu kết hợp dung dịch chứa
A với tỉ lệ 1.2 g/cm với dung dịch chứa B với tỉ lệ 3.4 g/cm và dung dịch chứa C với
tỉ lệ 2.5 g/cm thì tạo ra 22.6 g hợp chất hóa học đó Nếu tỉ lệ của A, B, C trong phương án này thay đổi thành tương ứng 1.8, 5.3 và 3.6 g/cm (trong khi thể tích là giống nhau), khi đó 33.9 g chất hóa học sẽ được tạo ra Cuối cùng, nếu tỉ lệ tương ứng là 2.8, 4.2 và 1.5 g/cm, thì sẽ tạo ra 24.2 g hợp chất Thể tích của dung dịch chứa A, B và C là bao nhiêu?
Bài giải Gọi x, y, z tương ứng là thể tích () của phương án chứa A, B và C
+TH 1: Khối lượng của A là: 1.2x, của B là 3.4y và của C là 2.5z, Tổng ba khối lượng này sẽ tạo ra 22.6 g Do đó: 1.2x + 3.4y + 2.5z = 22.6 (1)
+TH 2: Khối lượng của A là: 1.8x, của B là 5.3y và của C là 3.6z, Tổng ba khối lượng này sẽ tạo ra 33.9g Do đó: 1.8x + 5.3y + 3.6z = 33.9 (2)
+TH 3: Khối lượng của A là: 2.8x, của B là 4.2y và của C là 1.5z, Tổng ba khối lượng này sẽ tạo ra 24.2g Do đó: 2.8x + 4.2y + 1.5z = 24.2 (3)
Từ (1)(2) và (3) ta có hệ phương trình tuyến tính:
Ma trận bổ sung của hệ là:
Hệ phương trình tuyến tính tương đương
<=>
Vậy thể tích dung dịch chứa A, B, C lần lượt là 2, 3, 4
KẾT LUẬN
Có thể nói, ứng dụng của ma trận nghịch đảo và hệ số tuyến tính là vô cùng đa dạng , phong phú, gắn liền với đời sống thường ngày của chúng ta mà chúng ta vẫn
Trang 14thường không chú ý đến, và càng không thể phủ nhận những lợi ích của chúng đem lại cho cuộc sống của chúng ta Mặc dù khi học môn học Đại số tuyến tính ,nhiều bạn sinh viên vẫn còn cảm thấy nhàm chán cũng như khó hiểu với môn học này, nhưng hãy mở lòng ra một chút, suy nghĩ thoáng hơn một tí, chúng ta sẽ cảm thấy môn học này vô cùng thú vị Hãy yêu môn học Đại số tuyến tính và cách áp dụng các ứng dụng của môn học này vào thực tiễn, nó sẽ giúp chúng ta giải quyết rất nhiều vấn đề mà chúng ta tưởng chừng như không thể giải quyết!
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Wikipedia: Nhấp vào đây để tới trang