Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘIKHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN──────── * ───────BÁO CÁO NHÓM 1HỌC PHẦN: ĐSTTBS6001 GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MA TRẬNĐỊNH THỨC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾNTÍ
lOMoARcPSD|39269578 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ──────── * ─────── BÁO CÁO NHÓM 1 HỌC PHẦN: ĐSTTBS6001 GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MA TRẬN ĐỊNH THỨC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Sinh viên thực hiện: Ngụy Thị Thúy Cải Lê Anh Đức Nguyễn Trung Kiên Nguyễn Trọng Lâm Doãn Quốc Vượng(NT) Trần Hữu Tuấn Hoàng Ngọc Vũ Trần Bảo lâm Đinh Bảo Lộc Nguyễn Bá Thắng Nguyễn Thị Thu Thủy Hồ Quang Trung Tên lớp: 2023DHDTTT03 Giáo viên hướng dẫn : Nguyễn Thị Minh Nguyệt Hà Nam, ngày 23 tháng 11 năm 2023 P a g e 1 | 21 Downloaded by SAU SAU (saudinh1@gmail.com) lOMoARcPSD|39269578 BẢNG BÁO CÁO TIÊU CHÍ LÀM VIỆC NHÓM Tiêu chí Sự Đưa ra Giao tiếp Tổ Hoàn Tổng Tên nhiệt ý kiến và phối chức thành điểm thành viên tình và ý hợp tốt và công được tham tưởng với thành hướn việc đánh giá gia làm viên khác g dẫn hiệu quả cho từng công bài cùng giải cả thành việc quyết vấn nhóm viên đề chung Ngụy Thị Thúy Cải Lê Anh Đức Nguyễn Trung Kiên Nguyễn Trọng Lâm Trần Bảo Lâm Đinh Bảo Lộc Nguyễn Bá Thắng Nguyễn Thị Thu Thủy Hồ Quang Trung P a g e 2 | 21 Downloaded by SAU SAU (saudinh1@gmail.com) lOMoARcPSD|39269578 Trần Hữu Tuấn Hoàng Ngọc Vũ Doãn Quốc Vượng BẢNG QUY ĐỔI HỆ SỐ CÁ NHÂN Tên thành viên TĐ = Tổng điểm được Điểm trung Hệ số cá đánh giá bởi tất cả các bình nhân thành viên trong nhóm = TĐ/(5xsố (dựa vào thành viên) bảng qui đổi) Nguyễn Trung Kiên Ngụy Thị Thúy Cải Lê Anh Đức Nguyễn Trọng Lâm Trần Bảo Lâm Đinh Bảo Lộc Nguyễn Bá Thắng Nguyễn Thị Thu Thủy Hồ Quang Trung Trần Hữu Tuấn Hoàng Ngọc Vũ Doãn Quốc Vượng Bảng quy đổi ra hệ số cá nhân P a g e 3 | 21 Downloaded by SAU SAU (saudinh1@gmail.com) lOMoARcPSD|39269578 Điểm trung bình [ 9 ; 10] [8;9¿ [7;8¿ [6-7) [0-6) Hệ số cá nhân 1.1 1 0.9 0.6 0.4 MỤC LỤC Bảng tiêu chí làm việc nhóm Phần mở đầu Nội dung báo cáo: - Phần I: Giải 15 bài tập Bài 1: Thực hiện phép tính Bài 2: Tính An Bài 3: Tìm ma trận X biết X =A B Bài 4: Tìm ma trận X thỏa mãn :X.A = At Bài 5: Tìm ma trận X biết X =A At+B Bài 6: Tìm ma trận X biết X.A – 2B = I Bài 7: Tìm ma trận để ma trận khả đảo Bài 8: Tính định thức Bài 9: Sử dụng tính chất định thức, chứng minh định thức bằng 0 Bài 10: Giải phương trình Bài 11: Tính hạng của các ma trận Bài 12: Tính hạng của ma trận theo m Bài 13: Tìm m để hạng ma trận bằng 3 Bài 14: Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss Bài 15: Tìm m để phương trình có vô số nghiệm P a g e 4 | 21 Downloaded by SAU SAU (saudinh1@gmail.com) lOMoARcPSD|39269578 - Phần 2: Một số ứng dụng về chủ đề ma trận, ma trận nghịch đảo, định thức, hệ phương trình tuyến tính Phần kết luận PHẦN MỞ ĐẦU 1 Quyển báo cáo này trình bày một số nội dung cơ bản của đại số tuyến tính bao gồm: - Tập hợp và các phép toán trên tập hợp - Ma trận – định thức và các phép toán trên ma trận - Hệ phương trình tuyến tính - Ứng dụng thực tế 2 Mục tiêu của quyển báo cáo - Hiểu được các khái niệm cơ bản của đại số tuyến tính chẳng hạn như tập hợp, ma trận – định thức, hệ phương trình tuyến tính - Giải các bài tập liên quan đến tập hợp, ma trận – định thức, hệ phương trình tuyến tính - Có thể áp dụng các kiến thức đại số tuyến tính để giải quyết các bài toán thực tế 3 Cấu trúc của quyển báo cáo - Quyển báo cáo được chia thành 2 phần: + Phần I: Giải 15 bài tập về ma trận – định thức, hệ phương trình + Phần II: Các bài tập ứng dụng 4 Phương pháp trình bày: P a g e 5 | 21 Downloaded by SAU SAU (saudinh1@gmail.com) lOMoARcPSD|39269578 - Quyển báo cáo được trình bày cụ thể và ngắn gọn dễ hiểu và có những bài tập áp dụng vào thực tế đơn giản giúp mọi người hiểu Lời cảm ơn: bài hơn - Nhóm 1 chúng em cảm ơn cô giáo đã giảng dạy cho chúng em những kiến thức mới và luôn giúp đỡ chúng em trong quá trình học tập Chúng mình cũng xin chân thành cảm ơn các bạn bè đã giúp đỡ nhóm mình trong quá trình thực hiện và hoàn thành quyển báo cáo này NỘI DUNG BÁO CÁO Phần I: Giải 15 bài tập Bài 1: Thực hiện phép tính ( A+2 B−Ct)2 Giải [ Biết A = 1 32] B= [ 5 21] C= [ 9 17] 4 4 4 [ ] Ta có: Ct= 9 4 7 1 +) A+2 B−Ct = (3 4 1 2) + 2.(4 −2 5 1 ) + (7 1 9 4 ) = (3 4 1 2) + ( 8 −4 10 2 ) + (7 1 9 4) = (19 0 20 8) t 2 20 8 2 20 8 20 8 552 160 +) ( A+2 B−C ) = (19 0) = (19 0).(19 0) = (380 152) [ ] Bài 2: Cho ma trận A = 1 2 0 1 Tính An Giải Ta có: A2 = (1 2 0 1) (1 2 0 1) = (1 4 0 1 ) P a g e 6 | 21 Downloaded by SAU SAU (saudinh1@gmail.com) lOMoARcPSD|39269578 [ ] A3 = A A2 = (1 2 0 1) (1 4 0 1) = (1 6 0 1) B = [3 5 7 2 4 6] 123 Bài 3: Tìm X, sao cho X.A=B biết: A = 4 1 2 258 Giải +) det(A) = -4 ≠ 0 ∃ A−1 [ ] A11 A21 A31 +) A¿= A12 A22 A 32 A13 A23 A 33 | | A11=(−1)1+1 1 2 5 8 = 1.(-2) = -2 | | A 1+2 4 2 12=(−1) = -1.28 = -28 28 | | A13=(−1)1+3 4 1 2 5 =1 18 = 18 Tương tự ta có: A22= 2 A23= -1 A32= 10 A33= -7 A21= -1 [ ] A31= 1 −2 −1 1 A¿ = −28 2 10 18 −1 −7 [ ] +) A−1 = 1 A¿ = 1 −2 −1 1 −28 2 10 det ( A) −4 18 −1 −7 Ta có: [ ] ] [ ] 6 1 −2 −1 1 −28 2 10 = 2 0 0 [ X.A= B X = B A−1 = 2 4 3 5 7 (−4) 18 −1 −7 5 0 −1 [2 5 ]−1 Bài 4: Cho ma trận A= 6 −1 2 Tìm ma trận X thỏa mãn X.A=AT 64 2 Giải [ ] 2 6 6 Ta có: AT = 5 −1 4 −1 2 2 P a g e 7 | 21 Downloaded by SAU SAU (saudinh1@gmail.com) lOMoARcPSD|39269578 X.A= AT X.A A−1 = AT A−1 X= AT A−1 +) det(A) = -50 ≠ 0 ∃ A−1 [ ] A11 A21 A31 +) +) A¿= A12 A22 A32 A 13 A23 A33 Ta có: | | A 1+1 −1 2 11= (−1) = -10 42 | | A12= (−1)1+2 6 2 6 2 = 0 | | A13= (−1)1+3 6 −1 = 30 64 Tương tự ta có: A21= -14 A22= 10 A23= 22 A31= 9 A32= -10 A33= -32 [ ] −10 −14 9 → A¿ = 0 10 −10 30 22 −32 [ ] [ ]1 7 −9 5 25 50 1 ¿ 1 −10 −14 9 0 −1 1 +) A−1 = det ( A) A = −50 0 10 −10 = 55 30 22 −32 −3 −11 16 5 25 25 [ ][ ]1 7 −9 2 6 6 5 25 50 → X = AT A−1 = 5 −1 4 0 −1 1 −1 2 2 5 5 −3 −11 16 5 25 25 [ ] −3.2 −3.28 4.68 = −1.4 −0.16 1.46 −1.4 −1.56 1.86 P a g e 8 | 21 Downloaded by SAU SAU (saudinh1@gmail.com) lOMoARcPSD|39269578 Bài 5 Tìm ma trận X biết X =A At+ B, trong đó : [ ] [ ] 1 3 1 0 −3 A= 2 1 ,B= 2 1 1 −1 1 3 2 −2 Giải AT = A.AT = = X = A.AT + B = + = Bài 6: Tìm ma trận X biết X.A – 2B = I, trong đó: Bài làm 5 3 15[ ]1 1 −22 A−1= −1 1 −13 5 3 15 10 1 5 5 XA −2 B=I ⇔ XA =I +2 B ⇔ X A A−1=( I +2 B) A−1 ⇔ X =( I +2 B) A−1 ([ ] [ ]) [ ]1 1 −22 1 0 0 2 6 −4 5 3 15 −1 1 −13 X = 0 1 0 + −2 4 0 x 5 3 15 0 0 1 6 −2 8 1 1 0 5 5 P a g e 9 | 21 Downloaded by SAU SAU (saudinh1@gmail.com) lOMoARcPSD|39269578 [ ] [ ]1 1 −22 3 6 −4 5 3 15 −1 1 −13 X = −2 5 0 x 5 3 15 6 −2 9 1 1 0 5 5 [ ]−7 3 −5255 X = −7 1 −7 5 15 17 4 −79 5 3 15 [ ] 1 3 5 2 Bài 7: Tìm điều kiện để ma trận sau khả đảo A = −1 m 2 1 1 02 2 2 1 0 −1 Giải [ ] 1 3 5 2 det ( A )=¿ −1 m 2 1 ¿ 1 02 2 2 1 0 −1 Để ma trận khả đảo thì det (A) ≠ 0 15m – 15 ≠ 0 m ≠ 1 Bài 8: Tính các định thức sau: | | 1 2 1 −1 a) D ¿ 0 2 1 3 310 1 014 2 Giải: P a g e 10 | 21 Downloaded by SAU SAU (saudinh1@gmail.com) lOMoARcPSD|39269578 ¿1׿ | | 0 x y z b) D = x 0 z y y z0x z yx0 Bài 9 Sử dụng tính chất của định thức,chứng minh rằng định thức sau bằng 0: [ ] 4 5 9 D= 25 34 48 425 534 948 P a g e 11 | 21 Downloaded by SAU SAU (saudinh1@gmail.com) lOMoARcPSD|39269578 Giải −25 d1+ 4 d2→ d2 −d2+d3→ d3 −425 d1+ 4 d3→ d3 → D= → Vì ma trận có cả hàng 3 bằng 0 →Ma trận bằng 0 (tính chất 5) | | 1 1 1 Bài 10 Giải phương trình x 2 3 =0 x2 4 9 Giải Ta có: (1.2.9) + (1.3.x2) + (1.x.4) – (x2.2.1) – (4.3.1) – (9.x.1) = 0 [ x2 - 5x + 6 = 0 x=3 x=2 Bài 11: Tính hạng của các ma trận sau: Giải −2 d1+ d2 → d2 −7 d1+ d3 → d3 d3 ↔d 4 −5 d1+d4 → d4 → → −2d2+d3 → d3 → −2 d2+ d4 → d4 r(A) = 3 → P a g e 12 | 21 Downloaded by SAU SAU (saudinh1@gmail.com) lOMoARcPSD|39269578 −2 d1+ d2 → d2 −5 d1+d4 → d4 → 2 d2+ d3 → d3 10 d3+ 9 d4 → d4 −6 d2+d4 → d4 → → → r ( A)=4 Bài 12: Tính hạng của các ma trận sau tùy theo m b) A = Giải c1↔ c3 d2 ↔d3 → → d1+d4 ↔d4 −2 d3+d4 ↔ d4 → → +) Với m – 1 = 0 m =1 → r(A) = 3 +) Với m – 1 ≠ 0 m ≠1 → r(A) = 4 ❑ → b) A = ❑ → P a g e 13 | 21 Downloaded by SAU SAU (saudinh1@gmail.com) lOMoARcPSD|39269578 => Hạng của ma trận luôn bằng 3 với mọi m Bài 13 Tìm m để hạng của ma trận sau bằng 3 Giải P a g e 14 | 21 A= d1+d3 → d3 a, −d1+d4 → d4 → c 3↔c 4 −d2+d3 →d3 → → Để hạng của ma trận bằng 3 thì → m – 2 ≠0 →m ≠2 c3 ↔c4 → b, B = 2d1+d2 → d2 −4 d1+d3→ d3 → → −d2+d3 →d3 +) Với m = 1 → Với m =1 thì hạng ma trận bằng 3 → +) Với m = -1 Với m = -1 thì hạng ma trận bằng 2 Vậy để hạng của ma trận bằng 3 thì m ≠ -1 Downloaded by SAU SAU (saudinh1@gmail.com) lOMoARcPSD|39269578 Bài 14 Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss Giải ( | ) 1 −2 3 −4 5 Ta có ma trận hệ số mở rộng: A = 1 3 0 −3 2 0 1 −1 1 −1 −7 0 3 1 −4 ( | ) ( | ) 1 −2 3 −4 5 A = 0 1 −1 1 −1 −d1+ d3 → d3 1 −2 3 −4 5 1 3 0 −3 2 7 d1+ d4 →d 4 0 1 −1 1 −1 −7 0 3 1 −4 0 5 −3 1 −3 → 0−14 24 −27 31 ( | ) ( | ) −5d2+d3→d3 14.d2+d 4→ d4 → 1−2 3 −4 5 1−2 3 −4 5 0 1 −1 1 −1 0 1 −1 1 −1 −5 d3+d4 → d4 0 0 2 −4 2 0 0 2 −4 2 → 00 0 7 7 0 0 10 −13 17 Hệ phương trình đã cho tương đương {x1−2 x2+3 x3−4 x4=5 {x1=2 x2−x3+ x4=−1 2 x3−4 x4=2 → x2=1 x3=3 7 x4=7 x4=1 { x+ y−2 z=1 Bài 15 Tìm m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm 2 x+3 y+mz=4 4 x+5 y−z=2m Giải Ta có hệ số ma trận mở rộng: ( | ) ( | ) 11−2 1 A = 23 m 4 −2d1+d2→d2 11 −2 1 01m+4 2 4 5−1 2m −4 d1+d3 → d3 01 7 2 m−4 → ( | ) −d2+d3→d3 → 1 1 −2 1 01 m+4 2 0 0 3−m 2 m−6 { { Để hệ phương trình có vô số nghiệm 3−m=0 2m−6=0 m=3 m=3 m=3 Vậy với m=3 thì hệ phương trình vô số nghiệm P a g e 15 | 21 Downloaded by SAU SAU (saudinh1@gmail.com) lOMoARcPSD|39269578 Phần II: Một số ứng dụng: ỨNG DỤNG MA TRẬN Bài 1: 12345 HN E DA [ ]121 6 7 8 9 10 Cho ma trận A= 22−1 O I MT K 101 Bạn Lan muốn gửi dòng mật khẩu WiFi cho bạn Mai Để đảm bảo bí mật bạn Lan dùng bảng tương ứng trên chuyển dòng mật khẩu này thành các dãy số thì được dãy số sau 16 20 13 6 6 3 15 20 6 Hãy giải dòng thông tin trên Giải ta có: C=B.A => B=C.A-1 cỡ 3x3 [ ]162013 Suy ra C cỡ 3x3 => C= 6 6 3 15 203 Det (A)= -6 ≠ 0 =>Ta có ma trận nghịch đảo [ ] [ ] [ ] => A-1 =−1 −303 2−2−4 => B=C.A-1 = 663 162013 (−1 ¿ −303 2−2−4 6 −2 2−2 15 203 6 −2 2−2 [ ]915 = 212 => Dãy số ma trận : 9 1 5 2 1 2 7 3 2 732 => Dãy kí tự là : THANH NIEN Bài 2 Nhà bạn Hải nuôi tổng 100 con gia súc và gia cầm bao gồm 3 loại lợn, gà và vịt Biết rằng tổng số chân của cả 3 loại là 220, tổng số gà gắp 2 lần tổng số vịt hỏi mỗi loại có bao nhiêu con? P a g e 16 | 21 Downloaded by SAU SAU (saudinh1@gmail.com) lOMoARcPSD|39269578 Giải Gọi số lợn là x, gà là y, vịt là 2 { x+ y+2=100 Theo đề bài ra, ta có hệ phương trình 4 x +2 y +2 z=220 (1) y=2 z Từ (1), ta có: [ ] [ ] [ ] 111 x A= 4 2 2 ; X= y 100 0 1−2 z ; B= 220 0 =>(1) trở thành : A.X=B (2) Det (A) =B ≠0 => Tồn tại A-1 A-1 = Det ( A) 1 C* [ ] [ ] C11C 12C13 112 C = C 21C 22C 23 => C= 4 2 2 0 1−2 C 31C 32C 33 [ ] C11 =(-1)1+1 Det (M11)= 1−2 22 = -6 [ ] C12=(-1)1+2 Det (M12)=− 4 2 0−2 = 8 [ ] C13=(-1)1+3 Det (M13)= 0 1 4 2 = 4 Tương tự: C21=3 C22= -2 C23= -1 C31=0 C32=2 C33= -2 [ ]−630 =>C* = 8−22 4 −1− 2 ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH - Các bài toán tìm lượng trong hóa học, trong kinh tế… - Áp dụng vào thiết kế mạch điện, tính cường độ dòng điện, tụ điện Bài toán 1: Cho mạch điện như hình vẽ, tìm dòng điện i1, i2i3 ,i4 Biết E1= 24V, E2 = 12V, E3 = 12V, R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 2Ω P a g e 17 | 21 Downloaded by SAU SAU (saudinh1@gmail.com) lOMoARcPSD|39269578 Giải Áp dụng định luật Kirchoff 1 và Kirchoff 2: { R1i1+R2(i1−i2)=E1 { 4a−2b=24 → R2(i1−i2)−R3(i2−i3)=E2 → 2 a−4 b+2 c=12 −2 b+4 b−2d =12 (*) −R3(i2−i3)+ R4(i3−i4)= E2 R4(i3−i4)−R5 i4=E3 2c −4 d=12 ( | ) Từ (*) có thể viết thành ma trận hệ số mở rộng: A = 4 −2 0 0 24 2−4 2 0 12 0−2 4 −2 12 0 0 2−4 12 Biến đổi ma trận hệ số mở rộng: ( | ) ( | ) 4−20 0 24 A = 0−2 4 −2 12 → 2−4 2 0 12 d1−2 d2 →d2 0 0 2−4 12 4 −2 0 0 24 0 6 −4 0 0 0−2 4 −2 12 0 0 2 −4 12 ( ) ( ) 4 −2 0 0 24 d2+3d3→d3 0 6 −4 0 0 d3−4 d 4→ d4 4 −2 0 0 24 0 0 8 −6 36 0 6 −4 0 0 → → 0 0 8 −6 36 0 0 0 10 −12 0 0 2 −4 12 { 4a - 2b = 24 { a=i1=36 5 → 6b - 4c = 0 8c - 6d = 36 b=i2= 12 10d = - 12 → 5 c =i3= 18 5 d =i 4 =−12 10 Vậy ta thu được nghiệm của hệ là: (i1, i2 ,i3 ,i4 ¿=( 36 A , 12 A , 18 A , 12 A) 5 5 5 10 P a g e 18 | 21 Downloaded by SAU SAU (saudinh1@gmail.com) lOMoARcPSD|39269578 Bài toán 2: Một nhà hoá học có ba dung dịch cùng một loại acid nhưng với nồng độ khác nhau là 10%, 20% và 40% Trong một thí nghiệm, đề tạo ra 100 ml dung dịch nồng độ 18%, nhà hoá học đã sử dụng lượng dung dịch nồng độ 10% gấp bốn lần lượng dung dịch nồng độ 40% Tính số ml dung dịch mỗi loại mà nhà hoá học đó đã sử dụng trong thí nghiệm này Giải: Gọi lượng dung dịch mỗi loại acid 10%, 20% và 40% mà nhà hoá học sử dụng lần lượt là x, y, z (ml) Theo đề bài ta có: x + y + z = 100 (1) – Dung dịch mới có nồng độ 18%, => ( 10% x + 20% y + 40% z ) = 18% 100 => x + 2y + 4z = 180 (2) – Lượng dung dịch nồng độ 10% gấp bốn lần lượng dung dịch nồng độ 40%, suy ra x = 4z hay x – 4z = 0 (3) { x+ y+ z=100 Từ ( 1), (2), (3), ta có hệ phương trình : x+2 y +4 z=180 (*) x−4 z=0 ( | ) 11 1 100 Từ (*) có thể viết thành ma trận hệ số mở rộng : A= 1 2 4 180 1 0−4 0 ( | ) ( | ) ( | ) 12 4 180 11 1 100 d1−d2→d2 1−1−3 −80 d2+d3→d3 1−1−3 −80 1 1 1 100 1 1 1 100 1 0−4 0 d1−d3 → d3 1 1 5 100 → 0 0 2 20 → { { x+ y+z=100 x = 40 y=50 → − y−3 z=−80 → 2 z=20 z=10 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN: - Giải hệ phương trình tuyến tính, tính khả đảo của ma trận… - Các bài toán tính diện tích, thể tích, khối lượng của các đối tượng không gian P a g e 19 | 21 Downloaded by SAU SAU (saudinh1@gmail.com) lOMoARcPSD|39269578 Bài toán 1: Giả sử chúng ta có một hình chóp có đáy là một hình vuông với cạnh bằng a, chiều cao của hình chóp bằng h Chúng ta muốn tính thể tích của hình chóp này bằng cách sử dụng định thức ma trận Để áp dụng định thức vào giải toán thể tích, ta có thể sử dụng ma trận 3x3 với các hàng lần lượt là vector cơ sở của các trục: { Ox (a , 0,0 ) Oy(0 , a , 0) Oz (0,0 , h) Khi đó, định thức của ma trận này sẽ cho chúng ta 1 V của hình chóp 3 | |a 0 0 Vậy ta có thể tính V c hó p = 1 0 a 0 = 1 a2 h 30 0 h 3 P a g e 20 | 21 Downloaded by SAU SAU (saudinh1@gmail.com)