Một số ứng dụng của tích phân hàm số một biến

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ———————– Nguyễn Hữu Trí MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khóa luận: TS Hồng Nhật Quy ĐÀ NẴNG, 5/2023 Mục lục MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm tích phân hàm số biến 1.1.1 Dãy chuẩn tắc phép phân hoạch 6 1.1.2 Định nghĩa tích phân xác định Một số tính chất tích phân 7 1.2.1 1.2.2 Các tính chất tích phân Tính chất so sánh tích phân 1.3 1.2.3 Định lý giá trị trung bình Định lý giải tích 1.4 1.5 Đổi biến tích phân xác định Một số dạng tích phân hàm số biến 11 12 1.5.1 Tích phân hàm hữu tỷ 12 1.5.2 1.5.3 Tích phân hàm vơ tỷ Tích phân hàm lượng giác 14 19 1.2 Một số ứng dụng tích phân hàm số biến 2.1 23 Ứng dụng tích phân tính diện tích thể tích 23 2.1.1 2.1.2 Tính diện tích Tính thể tích vật thể 23 25 2.2 2.3 Ứng dụng tính độ dài cung Ứng dụng tính diện tích mặt cong 27 29 2.4 Một số ứng dụng vật lý kỹ thuật 2.4.1 Tính vận tốc từ gia tốc, tính quãng đường từ vận tốc 32 32 2.4.2 2.5 2.6 Lực thủy tĩnh 34 Một số ứng dụng kinh tế sinh học 2.5.1 Ứng dụng kinh tế 36 36 2.5.2 Ứng dụng sinh học Ứng dụng xác suất 41 45 KẾT LUẬN 47 Tài liệu tham khảo 48 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn tri ân sâu sắc thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng, đặc biệt thầy, khoa Tốn tạo điều kiện cho em thực Khóa luận tốt nghiệp Thời gian vừa qua, nhờ có hướng dẫn tận tình hết lịng TS Hồng Nhật Quy, em hiểu thêm nhiều kiến thức không xoay quanh Khóa luận cịn vấn đề thú vị Toán học Một lần em xin chân thành cảm ơn thầy! Với vốn kiến thức hạn hẹp thân thời gian hạn chế, việc hồn thành khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp xây dựng q thầy để Khóa luận tốt nghiệp em hồn thành chu Em xin chân thành cảm ơn MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài Trong chương trình tốn học phổ thơng, tích phân nội dung bắt buộc có nhiều ứng dụng thực tế Trong chương trình tốn cao cấp, tích phân ứng dụng nhiều toán lý thuyết (xem thêm nội dung [2],[3]) Nội dung ứng dụng tích phân hàm số biến số đa dạng tính thể tích, diện tích, ứng dụng kinh tế, kĩ thuật y học Với mong muốn tìm hiểu sâu lý thuyết tích phân hàm số biến số đặc biệt ứng dụng tốn thực tế Dưới hướng dẫn thầy giáo TS Hoàng Nhật Quy, em chọn đề tài nghiên cứu "Một số ứng dụng tích phân hàm số biến" cho khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài nghiên cứu số ứng dụng tích phân hàm số biến để tính tốn diện tích, thể tích vật thể, tính độ dài cung, diện tích mặt cong, ứng dụng sinh học, kinh tế, vật lí kỹ thuật Đối tượng phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài tích phân hàm số biến, tốn ứng dụng tích phân hàm số biến b Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài thuộc lĩnh vực Giải tích thực Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn gồm phần sau đây: • Mở đầu: • Phần nội dung: Nội dung luận văn gồm có chương cụ thể sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm tính chất tích phân hàm số biến số Các kiến thức chương bổ trợ cho phần nghiên cứu Chương Chương 2: Một số ứng dụng tích phân hàm số biến số Chương trình bày ứng dụng tích phân hàm số biến tính diện tích, thể tích, độ dài cung, số ứng dụng vật lý kỹ thuật, kinh tế sinh học • Kết luận • Tài liệu tham khảo Chương Kiến thức chuẩn bị Chương chủ yếu trình bày khái niệm tích phân hàm số biến, số tính chất tích phân hàm số biến số dạng tích phân hàm số biến Các nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1],[2],[3] 1.1 1.1.1 Khái niệm tích phân hàm số biến Dãy chuẩn tắc phép phân hoạch Định nghĩa 1.1.1 Giả sử Y n Q n Q
n dãy phép phân hoạch đoạn [a, b] : a = x0 < x1 < · · · < xpn = b gọi dãy chuẩn tắc lim d Q
n n→∞ Ví dụ 1.1.1 Với số nguyên dương n, gọi Q n = phép chia đoạn [a, b] thành n đoạn ) ( Y (b − a) b−a b−a a+2 , , a + (n − 1) ,b = a, a + n n n n Q n dãy chuẩn tắc d Q
n = b−a → n → ∞ n 1.1.2 Định nghĩa tích phân xác định Giả sử f hàm số xác định đoạn [a, b], a, b ∈ R, a < b Gọi Q n dãy chuẩn tắc phép phân hoạch đoạn [a, b] Y = a = x0 < x1 < < xpn = b n Lấy điểm ξi ∈ [xi−1 , xi ]; i = 1, , pn lập tổng tích phân σn = σ Y n  , ξ1 , , ξpn = pn X f (ξi ) (xi − xi−1 ), n = 1, 2, i=1 Định nghĩa 1.1.2 Nếu tồn số I ∈ R cho với dãy chuẩn Q tắc n phép phân hoạch đoạn [a, b] với cách chọn điểm ξi ∈ [xi−1 , xi ],i = 1, 2, , pn , ta có lim σn = I n→∞ I gọi tích phân xác định hàm số f đoạn [a, b], kí hiệu Z b f (x)dx a Nếu tích phân tồn hàm số f gọi khả tích trên đoạn [a, b] f gọi hàm số dấu tích phân, f (x)dx gọi biểu thức dấu tích phân, a gọi cận dưới, b gọi cận tích phân 1.2 1.2.1 Một số tính chất tích phân Các tính chất tích phân Giả sử f g hàm liên tục Z b Z a Z b Tính chất f (x)dx = − f (x)dx Khi a = b f (x)dx = a Z Tính chất b a b cdx = c(b − a) (c số tùy ý) a Z Tính chất b  f (x) ± g(x) dx = Z a Z b a g(x)dx a f (x)dx (c số tùy ý) a c Z b f (x)dx + a 1.2.2 b b Z cf (x)dx = c Tính chất f (x)dx ± Z a Tính chất Z b Z b f (x)dx = c f (x)dx (với c ∈ [a, b]) a Tính chất so sánh tích phân Tính chất Nếu f khơng âm đoạn [a, b] Z b f (x)dx ≥ a Tính chất Nếu f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a, b] Z b Z b f (x)dx ≥ g(x)dx a a Tính chất Nếu m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b] Z b m(b − a) ≤ f (x)dx ≤ M (b − a) a 1.2.3 Định lý giá trị trung bình Định lý 1.2.1 Giả sử f khả tích [a, b] m ≤ f (x) ≤ M với x ∈ [a, b] Khi đó, tồn µ ∈ [m, M ] cho Z b f (x)dx = µ(b − a) a Chứng minh Ta có m(b − a) = Z a b mdx ≤ Z b f (x)dx ≤ a b M dx = M (b − a) a Do m≤ b−a Z Z b f (x)dx ≤ M a Đặt µ = b−a Z b f (x)dx ta thấy thỏa mãn kết luận định lí a Hệ 1.2.2 Nếu f hàm số liên tục [a, b] tồn điểm c ∈ [a, b] cho Z b f (x)dx = f (c)(b − a) a Chứng minh Z b Đặt m = f (x), M = max f (x) Khi µ = f (x)dx ∈ x∈[a,b] x∈[a,b] b−a a [m, M ] nên theo định lí Bolzano-Cauchy, tồn số thực c ∈ [a, b] cho f (c) = µ Định lí giá trị trung bình có vai trị quan trọng việc chứng minh định lí giải tích cổ điển, từ dẫn đến cơng thức Newton-Leibnitz, cơng cụ để tính tích phân xác định 1.3 Định lý giải tích Cho f hàm số xác định bị chặn [a, b] Xét hàm Z x F (x) = f (t)dt, x ∈ [a, b] a Kết sau gọi định lý giải tích cổ điển Định lý 1.3.1 (Định lí giải tích) (i) Nếu f khả tích đoạn [a, b] F liên tục đoạn (ii) Nếu f liên tục đoạn [a, b] F nguyên hàm f (a, b) Chứng minh (i) Giả sử f bị chặn [a, b] M > Lấy x ∈ [a, b] h ∈ R cho x + h ∈ [a, b] Ta có F (x + h) − F (x) = Z x+h f (t)dt − a Z Z f (t)dt = a x x+h f (t)dt x = sin − sin =   Z0 1 1 dx = − − (−1) = = − x 2 x 1.4 Đổi biến tích phân xác định Định lý 1.4.1 Giả sử (i) u : [α, β] → U khả vi liên tục, với U ⊂ R; (ii) f : U → R hàm liên tục Khi Z u(β) Z β f (x)dx = u(α) f (u(t))u′ (t)dt α Chứng minh Giả sử F nguyên hàm f U Khi (F ◦ u)′ (t) = F ′ (u(t))u′ (t), t ∈ (α, β) Nói cách khác, F ◦ u nguyên hàm f (u(·))u′ (·) Theo công thức Newton-Leibnitz, ta có Z u(β) Z f (x)dx = F (u(β)) − F (u(α)) = u(α) β f (u(t))u′ (t)dt α Định lí chứng minh Tích phân phần Giả sử u v hai hàm số có đạo hàm liên tục khoảng I Khi Z Z u(x)v ′ (x)dx = u(x)v(x) − v(x)u′ (x)dx Để dễ nhớ, người ta thường viết công thức dạng Z Z udv = uv − vdu 11 Từ công thức công thức Newton-Leibnitz suy Giả sử u v hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a, b] Khi b Z ′ u(x)v (x)dx = u(b)v(b) − u(a)v(a) − Z a b v(x)u′ (x)dx a Người ta thường viết công thức dạng Z b b Z b udv = uv − vdu a a 1.5 a Một số dạng tích phân hàm số biến 1.5.1 Tích phân hàm hữu tỷ Ta xét tích phân sau: Z P (x) dx Q(x) P (x), Q(x) đa thức với hệ số thực Nếu deg P ≥ deg Q ta có: Z P (x) dx = Q(x) deg P ∗ < deg Q # ∗ P (x) dx Q(x) Z Z ∗ P (x) = U (x)dx + dx, với deg P ∗ < deg Q Q(x) Z Do việc tính Z " U (x) + P ∗ (x) với U (x)dx dễ dàng nên ta xét tích phân Q(x) Định lí tổng quát phân tích đa thức Mọi đa thức không đồng không với hệ số thực có cách phân tích thành nhân tử (khơng tính theo thứ tự xếp nhân 12 tử) gồm nhị thức bậc tam thức bậc hai vơ nghiệm, tức ta có r1 rn Q(x) = A(x − x1 ) (x − xn )  x + p1 x + q s1  sm x + pm x + qm A ̸= 0; x1 , , xn nghiệm thực phân biệt Q(x); p2i − 4qi < 0; deg Q = r1 + + rn + 2(s1 + + sm ) Chú ý 1.5.1 Một hàm số hữu tỉ biểu diễn dạng tổng đa thức số hữu hạn phân thức đơn giản, tức phân thức có dạng Ax + B A ; ; n nguyên dương, (x − a)n (x2 + px + q)n A, B, a, p, q số p2 − 4q < Vì việc tìm nguyên hàm hàm số hữu tỉ quy việc tìm nguyên hàm phân thức đơn giản Tích phân phân thức đơn giản a) Với n ̸= 1, Z Z A (x − a)−n+1 −n dx = A (x − a) d(x − a) = A · +C (x − a)n −n + 1 A =− · + C n − (x − a)n−1 Với n = 1, Z A dx = A ln |x − a| + C x−a b) Để tìm Z trước hết ta tính Ax + B dx (x2 + px + q)n Z In = dx ,a > (x2 + a2 )n 13 (1.2) Áp dụng cơng thức tích phân phần, ta Z Z Z 1 2x x + a2 − x2 dx x In = dx = − · dx a (x2 + a2 )n a2 (x2 + a2 )n (x2 + a2 )n−1 a2 " # Z 1 x d − = In−1 − a a (n − 1) (x2 + a2 )n−1 x In = In−1 + − In−1 n−1 a 2(n − 1)a2 2(n − 1)a2 (x2 + a2 ) Hay x 2n − · In−1 (1.3) + 2(n − 1)a2 (x2 + a2 )n−1 2(n − 1)a2 x Ta biết I1 = arctan + C Nhờ công thức truy hồi (1.3) ta tính a a I2 , I3 , Trở lại tích phân (1.2) Ta có In =  p x + px + q = x + 2 2 4q − p2 + t 4q − p2 Đặt t = x + , a = , ta   p Z Z A t− +B Ax + B dx = dt (x2 + px + q)n (t2 + a2 )n
 Z Z A d t + a2 Ap dt + B − (1.4) = n (t2 + a2 ) (t2 + a2 )n Cả hai tích phân vế phải (1.4) ta biết cách tính 1.5.2 Tích phân hàm vơ tỷ Ta xét tích phân dạng Z m r R(x, x n , , x s )dx R(u, v, , w) hàm phân thức hữu tỷ biến số u, v, , w;m, n, , r, s số nguyên dương 14 Giả sử k bội số chung nhỏ số n, , s Khi đó, ta có m m1 r r1 = , , = n k s k Đặt x = tk Ta có: Z Z Z m r k m r k−1 R(x, x n , , x s )dx = R(t , t , , t )kt dt = R1 (t)dt R1 (t) hàm phân thức hữu tỷ theo t Tương tự, xét tích phân dạng "   mn  rs #  Z Z ax + b ax + b R x, , , dx = R1 (t)dt cx + d cx + d R1 (t) hàm phân thức hữu tỉ t Đặc biệt, tích phân chứa bậc hai có dạng Z  R x, √ ax2  + bx + c dx (1.5) a, b, c số, a ̸= tính theo cách sau Xét tam thức bậc hai dấu ax2 + bx + c = a " b x+ 2a 2 b2 − 4ac − 4a2 # b du = dx 2a √ Trường hợp 1: Nếu ∆ = b2 − 4ac ≥ a > ax2 + bx + c = √ √ √ √ √ a u − α2 a < ax2 + bx + c = −a −u2 + α2 , b2 − 4ac α = 4a2 √ √ √ Trường hợp 2: Nếu ∆ = b2 −4ac < ax2 + bx + c = a u2 + α2 b2 − 4ac a > 0, α = − a < tam thức bậc hai 4a2 dấu luôn âm Như vậy, ta đưa tích phân (1.5) ba dạng tích phân sau Z Z Z  √   p   p  2 2 2 R1 u, α + u du, R2 u, α − u du, R3 u, u − α du Đặt u = x + 15 R1 , R2 , R3 hàm phân thức hữu tỉ Để tính tích phân này, người ta thường đặt biến phụ: u = α tan t α tích phân thứ nhất, u = α sin t tích phân thứ hai u = cos t tích phân thứ ba Nhận xét 1.5.2 Đối với tích phân dạng Z  √  R x, ax2 + bx + c dx a) Nếu a > 0, ta thực phép đổi biến số √ √ ax2 + bx + c = (t − x) a Khi đó, ax2 + bx + c = at2 − 2atx + ax2 , x= at2 − c = φ(t) 2at + b Z
R φ(t), t φ′ (t)dt 2  4ac − b2 b + b) Giả sử a < Ta có ax + bx + c = a x + 2a 4a Ta xét trường hợp 4ac − b2 < khơng tam thức lấy giá trị 4ac − b2 âm với x Khi λ = > Ta thực phép đổi biến số 4a   √ √ b ax + bx + c = x + t− λ 2a Tích phân cho trở thành Khi đó,  b a x+ 2a 2    b 2 b +λ= x+ t − 2λ x + t + λ, 2a 2a √ λt b x= − = φ(t) t − a 2a  Tích phân cho trở thành tích phân hàm số hữu tỉ Hai phép đổi biến số nói gọi phép Euler Z dx √ Ví dụ 1.5.1 Tính I = x x2 − 2x 16 Lời giải Ta có ax2 + bx + c = x2 − 2x Vì a = > nên ta sử dụng phép đổi biến số a) Đặt p x2 − 2x = t − x t2 t2 − 2t 2 Khi x − 2x = t − 2tx + x ; x = · ; dx = · dt; t−1 (t − 1)2 p x2 t2 t2 − 2t = · − 2x = t − · t−1 Z t−1 2 √ I= dt = − + C = − +C − 2x t2 t x + x √ x2 − 2x I= + C x □ Z Ví dụ 1.5.2 Tính I = − x2 √ dx 4x − x2 Lời giải Ta có ax2 + bx + c = −x2 + 4x, a = −1 < Ta sử dụng phép đổi biến số b) Ta có −x2 + 4x = −(x − 2)2 + Đặt p −x2 + 4x = (x − 2)t − Khi đó, − (x − 2)2 + = (x − 2)2 t2 − 4(x − 2)t + 4;
− t2 4t x= + 2; dx = dt; t +1 (t2 + 1)2
2 p t − 4t 4x − x2 = −2= t +1 t +1 Z " # 16 16t −2 − · dt + t2 (1 + t2 ) + t2
Z Z Z d + t2 dt t +1−1 = −4 + 16 + 32 dt 2 1+t (1 + t2 ) (1 + t2 )3 ! Z Z 16 dt dt = −4 arctan t − + 32 − + t2 (1 + t2 )2 (1 + t2 )3 I= 2− 17 Áp dụng công thức (1.3) 1.5.1 ta 4t − 16 8t + C với t = I= − + t2 (1 + t2 )2   √ Vậy I = x+3 4x − x2 + C √ 4x − x2 + x−2 □ Nhận xét 1.5.3 Giả sử tam thức ax2 + bx + c có hai nghiệm thực phân biệt λ µ Ta có ax2 + bx + c = a(x − λ)(x − µ) Để hữu tỉ hóa tích phân, ta sử dụng phép đổi biến số sau: √ ax2 + bx + c = (x − λ)t Khi đó, √ λt2 − aµ a(x−λ)(x−µ) = (x−λ) t ; x = = φ(t); ax2 + bx + c = (φ(t)−λ)t t −a 2 Tích phân cho trở thành Z
R φ(t), (φ(t) − λ) φ′ (t)dt √ P (x) , ax2 + bx + c P (x) đa thức tính tích phân cho gọn nhờ nhận xét sau: Nếu P (x) đa thức bậc n tồn đa thức Q(x) bậc n − số K cho: Z Z √ P (x) dx √ dx = Q(x) ax2 + bx + c + K √ (1.6) ax2 + bx + c ax2 + bx + c  Nhận xét 1.5.4 Nếu R x, ax2  + bx + c có dạng √ Các hệ số đa thức Q(x) số K tính phương pháp hệ số bất định sau lấy đạo hàm Z hai vế (1.6) − x2 √ dx Xét lại ví dụ 1.5.2 Tính I = 4x − x2 18 Ta có: Z p − x2 √ dx = (Ax + B) 4x − x2 + K 4x − x2 Z dx 4x − x2 Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức trên, ta p (Ax + B)(2 − x) K − x2 √ √ = A 4x − x2 + +√ ; 2 4x − x2 4x − x 4x − x   − x2 = A 4x − x2 + (Ax + B)(2 − x) + K; −x2 + = −2Ax2 + (6A − B)x + 2B + K Từ đó, A = , B = 3, K = 0,   √ Vậy I = x+3 4x − x2 + C 1.5.3 Tích phân hàm số hữu tỉ hàm số lượng giác Z Xét tích phân dạng R(sin x, cos x)dx x Đặt t = tan Khi đó: 2dt 2t − t2 x = arctan t; dx = ; sin x = ; cos x = + t2 + t2 + t2 Tích phân cho trở thành Z R Z Ví dụ 1.5.3 Tính I = 2t − t2 , + t2 + t2 ! · dt + t2 dx sin x + cos x Lời giải
− t2 x 6t −4t2 + 6t + Đặt t = tan , ta được: sin x+4 cos x = + = + t2 + t2 + t2 ! Z Z Z + t2 dt 1 I= · dt = = − dt −4t2 + 6t + + t2 −2t2 + 3t + t + 12 t − 19