Báo cáo bài tập nhóm trình bày một số ứng dụng của đạo hàm,tích phân của hàm một biến số và cực trị của hàm hai biến số

Trang 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘIKHOA KHTN – TOÁN HỌC – TIN HỌC---BÁO CÁO BÀI TẬP NHÓMĐỀ TÀI: Trình bày một số ứng dụng của đạo hàm,tích phân củahàm một biến số và cực trị của hà

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA KHTN – TOÁN HỌC – TIN HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA KHTN – TOÁN HỌC – TIN HỌC

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Phương Thảo

Các sinh viên thực hiện :

1 Trần Tăng Sỹ (Trưởng nhóm) 7 Trần Đức Thắng

2 Hoàng Đức Quang 8 Đặng Minh Quang

3 Hoàng Văn Thái 9 Vũ Xuân Sáng

4 Nguyễn Doãn Thành 10 Trần Thái Phương

5 Nguyễn Khả Sơn 11 Bùi Văn Thái

6 Nguyễn Văn Phương 12 Trương Đức Quý

Hà Nội, 2022

MỤC LỤC

Phần 1: MỞ ĐẦU 4

PHẦN 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ 6

I: ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN 6

II: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN 8

III: TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN 11

PHẦN 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ 21

PHẦN 4:KẾT LUẬN 26

Phần 1: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học bắt nguồn từ thực tiễn và mọi lí thuyết toán học dù trừu tượng đến đâu cũng đều tìm thấy ứng dụng của chúng trong thực tế cuộc sống Trong những năm gần đây, theo xu thế mới trong kỳ thi THPT Quốc gia đối với bộ môn Toán, số lượng các câu hỏi mang tính vận dụng thực tiễn ngày càng nhiều Điều này gây ra những khó khăn nhất định cho các em học sinh khi làm bài thi môn Toán, kể cả những học sinh khá giỏi Bởi lẽ, ngoài việc nắm chắc các kiến thức môn Toán cùng với các môn học khác, học sinh cần phải biết cách mô hình hóa toán học đối với các bài toán thực tế để đưa bài toán thực tiễn về bài toán toán học mà trong chương trình sách giáo khoa hiện hành, số lượng các bài tập mang tính vận dụng thực tiễn đang còn rất hạn chế Hơn nữa, số lượng các câu hỏi thực tế vận dụng kiến thức “Đạo hàm” trong đề thi tương đối nhiều Nhận thấy những cần thiết trong việc trang bị cho các em học sinh, đặc biệt là học sinhlớp 12 chuẩn bị bước vào kỳ thi quan trọng, cũng như cung cấp thêm cho các thầy cô giáo một tài liệu ôn thi THPT QG

Trong khuôn khổ của tài liệu này, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về các

“Ứng dụng của Đạo hàm” không chỉ đối với Toán học mà còn đối với các ngànhkhoa học kỹ thuật khác, bởi lẽ Đạo hàm không chỉ dành riêng cho các nhà Toán học mà Đạo hàm còn được ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống và các ngành khoa học khác Ví dụ như: Một nhà kinh tế muốn biết tốc độ tăng trưởng kinh tế nhằm đưa ra các quyết định đầu tư đúng đắn hay đưa ra các dự báo; một nhà hoạch định chiến lược muốn có những thông tin liên quan đến tốc độ phát triển

và gia tăng dân số của từng vùng miền; một nhà Hóa học muốn xác định tốc độ của các phản ứng hóa học nào đó hay một nhà Vật lí cần làm gì để tính toán vận tốc, gia tốc của một chuyển động ? Và hơn thế nữa, trong thực tiễn đời sống luôn có rất nhiều những bài toán liên quan đến tối ưu hóa nhằm đạt được lợi ích

cao nhất như phải tính toán thế nào để làm cho chi phí sản xuất thấp nhất mà lợi nhuận đạt được là cao nhất, …

Theo hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay, ngày càng có nhiều bài toán ứng dụng thực tế được đưa vào đề thi THPT Quốc Gia, trong đó có phần ứng dụng của Đạo hàm Tài liệu này cũng giúp cho các em học sinh lớp 12 chuẩn bị bước vào kì thi THPT Quốc Gia làm quen với các bài toán ứng dụng thực tế ở mức độ vận dụng và vận dụng cao

Chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu, khám phá và mở mang thêm cho mình những hiểu biết về ứng dụng của đạo hàm thông qua bố cục trình bày như sau:Tóm tắt lí thuyết và các kiến thức liên quan đến đạo hàm

Các bài toán thực tế ứng dụng đạo hàm

Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tác giả đã tham khảo nhiều tài liệu của nhiều tác giả Nhân đây, tác giả xin được trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô và các tác giả nói trên

Mặc dù đã rất cẩn thận, nghiêm túc trong tính toán và cách trình bày của mình nhưng chắc chắn tài liệu không tránh khỏi những thiếu sót nhất định Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô, các em học sinh và bạn đọc để tài liệu được hoàn thiện hơn

2 Mục đích

Mục đính đề tài : Tìm hiểu về một số ứng dụng của đạo hàm, tích phân của hàm một biến số và cực trị của hàm hai biến số

PHẦN 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN

1.1.1: Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm.

Bài toán 1 Bài toán tìm vận tốc tức thời

Một chất điểm M chuyển động trên trục s0 Os (hình 1.1)

Hình 1.1

Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t

s = s(t)

Hãy tìm một đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của

chuyển động tại thời điểm t0 ?

Giải Trong khoảng thời gian từ t0 đến t, chất điểm đi được quãngđường là:

s − = -Nếu chất điểm chuyển động đều thì tỉ số:

là một hằng số với mọi t Đó chính là vận tốc của chuyển động tại mọi thời điểm

-Nếu chất điểm chuyển động không đều thì tỉ số:

là vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian ||

Khi t càng gần , tức là || càng nhỏ thì vận tốc trung bình càng thể hiện được chính xác hơn mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm

-Từ nhận xét trên, người ta đưa ra định nghĩa sau đây

Giới hạn hữu hạn (nếu có) được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm

-Đó là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển độngtại thời điểm

Bài toán 2 Bài toán tìm cường độ tức thời.

-Điện lượng Q chuyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t :

Q = Q(t)

-Cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian |t − | là :

-Nếu |t − | càng nhỏ thì tỉ số này càng biểu thị chính xác hơn cường độ dòng điệntại thời điểm Người ta đưa ra định nghĩa sau đây:

Giới hạn (nếu có) được gọi là cường độ tức thờicủa dòng điện tại thời điểm

Nhận xét 1.1 Nhiều bài toán Vật lí, Hóa học, đưa đến việc tìm giới hạn dạng

trong đó y = f(x) là một hàm số đã cho Giới hạn trên dẫn tới một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó là khái niệm đạo hàm

II: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN

2.1: Ứng dụng trong sản xuất kinh doanh.

2.1.1 Đạo hàm và giá trị biên tế trong kinh tế

-Cho mô hình hàm số y=f(x), x và y là các biến kinh tế

x: biến độc lập hay biến đầu vào

y: biến phụ thuộc hay biến đầu ra

-Trong quản trị kinh doanh, chúng ta quan tâm đến xu hướng thay đổi của y, khi

x thay đổi một lượng nhỏ

-Với định nghĩa đạo hàm trong toán cơ bản, ta có:

a Với hàm doanh thu: TR=p.Q thì được gọi là doanh thu biên tế

b Với hàm chi phí: TC=f(x), x: sản lượng thì : chi phí biên tế

c Với hàm sản xuất: Q=f(L), L: lao động thì sản lượng biên tế

2.1.2: Bài toán ứng dụng trong sản xuất kinh doanh

a Bài toán giá trị biên

-Sản lượng biên (Marginal quantity), kí hiệu MQ:

Là số đo đại lượng thay đổi của sản lượng khi lao động ha vốn tăn lên 1 đơn vi

VD1: Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp là:

Điều này có nghĩa là: khi sản xuất tăng them 1 đơn vị sản lượng (từ 50 đến 51) thì chi phí tăng thêm 3.75 đơn vị tiền tệ.

Chúng ta tính MC ở 1 số mức sản lượng khác nhau:

Nhận xét:

-Chi phí biên là một hàm tăng

-Sản lượng sản xuất càng lớn thì chi phí biên càng lớn

III: TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN

3.1 Khái niệm tích phân

Tích phân là một khái niệm toán học và cùng với nghịch đảo của nó vi

phân (differentiation) đóng vai trò là 2 phép tính cơ bản và chủ chốt trong lĩnh vực giải tích (calculus) Có thể hiểu đơn giản tích phân như là diện tích hoặc diện tích tổng quát hóa Giả sử cần tính diện tích một hình phẳng được bao bởi các đoạn thẳng, ta chỉ việc chia hình đó thành các hình nhỏ đơn giản hơn và đã biết cách tính diện tích như hình tam giác, hình vuông, hình thang, hình chữ nhật Tiếp theo, xét một hình phức tạp hơn mà nó được bao bởi cả đoạn thẳng lẫn đường cong, ta cũng chia nó thành các hình nhỏ hơn, nhưng bây giờ kết quả

có thêm các hình thang cong Tích phân giúp ta tính được diện tích của hình thang cong đó Hoặc giải thích bằng toán học như sau: Cho một hàm f của một

MC

20

Q

biến thực x và một miền giá trị thực [a, b] Như vậy một tích phân xác định (definite integral) từ a đến b của f(x), ký hiệu là:

Tích phân xác định được định nghĩa như diện tích S được giới hạn bởi đường cong y=f(x) và trục hoành, với x chạy từ a đến b

được định nghĩa là diện tích của một vùng trong không gian phẳng xy được bao bởi đồ thị của hàm f, trục hoành, và các đường thẳng x = a và x = b, sao cho các vùng trên trục hoành sẽ được tính vào tổng diện tích, còn dưới trục hoành sẽ bị trừ vào tổng diện tích

Ta gọi a là cận dưới của tích phân, còn b là cận trên của tích phân.

Cho F(x) là nguyên hàm của f(x) trong (a, b) Khi đó, tích phân bất

định (indefinite integral) được viết như sau:

Nhiều định nghĩa tích phân có thể được xây dựng dựa vào lý thuyết độ

đo (measure) Ví dụ, tích phân Riemann dựa trên độ đo Jordan, còn tích phân Lebesgue dựa trên độ đo Lebesgue Tích phân Riemann là định nghĩa đơn giản nhất của tích phân và thường xuyên được sử dụng trong vật lý và giải tích cơ bản

Các dạng tích phân thường gặp:

3.2 Ứng dụng của tích phân trong hàm một biến

3.2.1 Ứng dụng tính vận tốc quãng đường của mộ vật thể chuyển động

3.2.2 Ứng dụng của tích phân trong việc đo chiều dài

Để đo chiều dài của một cung đường, ta có thể dùng tích phân đơn hặc tích phânđường loại một bằng các công thức sau:

Trong lĩnh vực may mặc, việc đo đạc chính xác chiều dài của một đường cong như đường cổ áo, nách áo, đường đũng quần là rất quan trọng để có thể lắp ghép các chi tiết như viền cổ, tra tay áo vào thân áo, ghép đũng trước và đũng sau một cách ăn khớp, đảm bảo tính thẩm mỹ, tiết kiệm nguyên phụ liệu nhất

là khi may trên dây chuyền với số lượng lớn Để giải quyết vấn đề này, chúng ta

có thể tính toán chính xác chiều dài của các đường cong trên mẫu ban đầu bằng ứng dụng của tích phân, rồi tiến hành cắt, ráp mẫu với số lượng lớn

Ví dụ 1: Để viền cổ áo đẹp, không bị bai dão hay dúm, chúng ta cần phải

tính chính xác được chiều dài đường cổ áo

Mẫu cổ áo hình tim có hình dạng của parabol Ví dụ khi hạ cổ áo hìnhtim với chiều cao là 16cm, chiều rộng là 4cm thì đường cổ áo chính là

parabol với đơn vị hệ Oxy trục là cm

Để viền cổ chiếc áo này, ta sẽ tính chiều dài cung đường cổ áo từ điểm Atới điểm B

Vậy chiều dài cổ áo xấp xỉ bằng 27,8 cm.

Tương tự, ta có thể tính được chiều dài cổ áo các dạng khác bằng các bước sau: Bước 1: Xác định đường cổ áo Với áo cổ tim đường cổ là Parabol, cổ tròn là nửa dưới đường tròn, cổ elip là nửa dưới đường elip,…

Bước 2: Dùng một trong hai công thức ở trên để tính chiều dài đường cổ áo

3.2.3 Ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích

Trong thực tiễn cuộc sống cũng như trong khoa học kĩ thuật, người ta cần phải tính diện tích của những hình phẳng cũng như diện tích xung quanh của những vật thể phức tạp Chẳng hạn khi xây dựng một nhà máy thủy điện, để tính lưu lượng của dòng sông ta phải tính diện tích thiết diện ngang của dòng sông Thiếtdiện đó thường là một hình khá phức tạp Trong may mặc cũng vậy, việc tính chính xác được diện tích một sản phẩm hay một chi tiết giúp chúng ta ước lượng

được số mét vải cần sử dụng, từ đó tiết kiệm được chi phí sảnxuất.

Trước khi phép tính tích phân ra đời, với mỗi hình và mỗi vật thể như vậy người

ta lại phải nghĩ ra một cách để tính Sự ra đời của tích phân cho chúng ta một phương pháp tổng quát để giải hàng loạt những bài toán tính diện tích và thể tíchnói trên

Để tính diện tích hình phẳng, ta sử dụng tích phân đơn hoặc tích phân bội 2

Ví dụ 2: Chiếc dù lớn cho hội nghị ngoài trời có dạng mái tròn vòm cong với

bán kính là 4m và chiều cao từ mặt phẳng chứa bán kính tới đỉnh dù là 2m

Ta có thể coi chiếc dù là vật thể tròn xoay được tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi

các đường và y=0 quay quanh trục Oy với đơn vị hệ trục Oxy là mét.a) Tính diện tích hình phẳng trên

b) Tính diện tích vải cần thiết để may một chiếc dù

b) Diện tích xung quanh của chiếc dù khi quay nửa phải hình phẳng quanh trục

Oy là:

Vậy diện tích vải cần thiết để may chiếc dù là 61,3m2

Như vậy, để tính được diện tích hình phẳng hay diện tích xung quanh của vật thểtròn xoay ta cần tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Đối với hình phẳng, ta cần phân tích hình dạng của nó, 2 cận trái phải, đường trên, đường dưới giới hạn hình phẳng Đối với vật thể, ta cần xác định nó được tạo bởi hình phẳng nào, cận trên, cận dưới, đường cong giới hạn khi quay quanh trục Oy

Bước 2: Sử dụng các công thức ở trên để tính

3.2.4 Ứng dụng của tích phân trong việc tính thể tích

Thể tích là gì? Có thể hiểu một cách đơn giản, thể tích của một vật thể là lượng không gian mà vật đó chiếm Để tính thể tích, ta sử dụng tích phân đơn, bội 2 hoặc bội 3

Việc tính thể tích có rất nhiều ý nghĩa trong cuộc sống, minh họa như ví dụ dưới đây

Ví dụ 3: Một chiếc kinh khí cầu có hình dạng được tạo bởi nửa trên mặt

cầu

Người ta dùng kinh khí cầu để vận chuyển người hoặc hàng hóa dưới khoang

chứa Để biết trọng lượng mà kinh khí cầu có thể chở, chúng ta cần tính được

thể tích không khí chứa trong kinh khí cầu

Vậy thể tích không khí trong chiếc kinh khí cầu là 3,9m3.

Việc tính toán lượng không khí chứa trong chiếc kinh khí cầu sẽ giúp chúng ta tính được lực cản không khí, từ đó tính được trọng lượng tối đa mà chiếc kinh khí cầu có thể mang để đảm bảo người và hang hóa trong khoang chứa được an toàn

PHẦN 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN

CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ

1 Định nghĩa

Xét tập hợp � ⊆ R � ; � = { � = (�1, �2, , ��)|�� ∈ R, � = 1, �} = ̸ ∅ và tập hợp � ⊆ R

Trong trường hợp � = 2 hay � = 3 ta thường ký hiệu � = �(�, �) hay � = �(�,

�, �) tương ứng Ở đây ta chỉ xét đối với hàm số hai biến độc lập, số biến > 2 được suy ra tương tự

1.1 Cực trị địa phương của hàm hai biến

 Định nghĩa

Cho hàm số f(x, y) xác định trong miền , M0(x0, y0) Î D

+ Hàm f(x, y) đạt cực đại địa phương tại M0 nếu tồn tại tập

sao cho f(x, y) £ f(x0, y0),

+ Hàm f(x, y) đạt cực tiểu địa phương tại M0 nếu tồn tại tập

sao cho: f(x0, y0) £ f(x, y),

 Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương

Một số ứng dụng của hàm hai biến trong bài toán tính chi phí, doanh thu

Ứng dụng cực trị của hàm hai biến trong kinh tế

Ví dụ 1:

Một công ty sản xuất hai loại tai nghe mỗi năm: x ngàn cái cho loại A và y ngàn cái cho loại B Nếu phương trình doanh thu và chi phí hàng năm là (ngàn USD) R(x, y) = 2x + 3y

Ví dụ 2: Bài toán xác định mức thế để thu được tổng thuế tối đa

Giả sử một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền một loại hàng hóa biết hàm cầu của doanh nghiệp về loại hàng trên là

Qd=D(P) và hàm tổng chi phí C = C(Q)

Hãy xác định mức thuế trên một đơn vị sản phẩm ñể thu được của doanh nghiệp nhiều thuế nhất

Phương pháp giải:

Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị sản phẩm

Q là mức sản lượng doanh nghiệp sản xuất để lợi nhuận của doanh nghiệp đạtcực đại

Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì

Q = QD => Q = D(P) (Q là hàm số theo biến P)

=> P = P(Q) ( P là hàm số theo biến Q)

Doanh thu của doanh nghiệp

R = P.Q = P(Q).Q (Doanh thu là hàm số theo biến Q)

PHẦN 4: KẾT LUẬN

Trên đây là những thông tin về đạo hàm và ứng dụng của chúng Qua đó

có thể thấy được chương đạo hàm này khá thú vị, tuy hơi khó nhưng tính ứngdụng cao nên chắc chắn chúng em có thể nghiên cứu sâu hơn để giúp ích đượcnhiều cho việc học tập và tương lai sau này

Do những hạn chế của bản thân về kiến thức chuyên môn cũng như kinhnghiệm đánh giá, nhận xét nên báo cáo này còn nhiều điểm thiếu sót Em mongrằng sẽ nhận được sự góp ý từ cô để chúng em có thể hoàn thiện báo cáo này tốtnhất Em xin chân thành cảm ơn cô giáo Nguyễn Phương Thảo đã hỗ trợ và giúp

đỡ em để hoàn thành báo cáo nhóm này

Chúng em xin chân thành cảm ơn!