(Sáng kiến kinh nghiệm) rèn luyện kĩ năng cho học sinh giải các bài toán cực trị trong số phức bằng việc khai thác các bài toán cực trị trong hình học phẳng

A PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Đất nước ta đường đổi cần có người phát triển toàn diện, động sáng tạo Muốn phải nghiệp giáo dục đào tạo, đòi hỏi nghiệp giáo dục đào tạo phải đổi để đáp ứng nhu cầu xã hội Đổi nghiệp giáo dục đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, yếu tố quan trọng đổi phương pháp dạy học, bao gồm phương pháp dạy học môn Tốn Mục tiêu Giáo dục phổ thơng rõ “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.” Từ năm học 2016-2017, kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, đề thi mơn Tốn thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan Chính điều tạo chuyển biến lớn dạy học nhà trường Để đạt điểm số cao kỳ thi này, học sinh không cần nắm vững kiến thức bản, làm thục dạng tốn quan trọng mà cần có khả logic cao để tiếp cận vấn đề cách nhanh nhất, chọn cách giải nhanh đến đáp án Đây thực thách thức lớn Trong năm trước đây, kể từ đưa vào chương trình mới, tốn số phức xuất thường xuyên đề thi tốt nghiệp THPT, tuyển sinh ĐH – CĐ, cấu trúc chung đề thi giai đoạn toán số phức thường nằm mức độ “nhận biết, thông hiểu”, hầu hết học sinh cần nắm kiến thức lấy điểm phần Tuy nhiên, kể từ thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan, phần dành cho toán số phức đề xuất thêm nhiều tốn khó mức độ “vận dụng, vận dụng cao”, có lẽ lớp tốn “cực trị số phức” gây khơng khó khăn cho người dạy lẫn người học Bởi vậy, tìm nguồn tốn góp phần giúp cho giáo viên, học sinh tiếp cận toán cách linh hoạt hơn, từ làm tăng tính hiệu việc giảng dạy, ơn tập mơn Tốn nói chung chủ đề số phức nói riêng Trong q trình giảng dạy, ôn thi, làm đề phát rằng: nhiều tốn khó số phức xây dựng sở số toán cực trị hình học mặt phẳng, học sinh tiếp cận theo hướng đại số túy tính tốn cồng kềnh, phức tạp nên khó để giải vấn đề khoảng thời gian ngắn Đây phải hướng tiếp cận khoa học triệt để hơn? Áp dụng phương pháp có giúp học sinh giải vấn đề thời gian giải tốn? Có thể giúp giáo viên tự tạo toán tương tự để phục vụ cho cơng tác giảng dạy mình? Những câu hỏi thơi thúc tơi tìm hiểu thơng qua tài liêu; đề thi thử, thức năm 2017 2018 Từ tơi mạnh dạn đưa đề tài “ Rèn Luyện Kĩ Năng Cho Học Sinh Giải Các Bài Toán Cực Trị Trong Số Phức Bằng Việc Khai Thác Các Bài Toán Cực Trị Trong Hình Học Phẳng” II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu đề tài chủ yếu tập trung vào mối quan hệ kiến thức số phức với kiến thức hình học tọa độ mặt phẳng, qua chọn lọc số tốn cực trị đặc trưng hình học chuyển hóa thành toán cực trị tập số phức Phạm vi nghiên cứu: Để thực đề tài này, nghiên cứu dựa tài liệu viết số phức, dạng toán cực trị số phức, cực trị hình học phẳng (đã giảng dạy chương trình hình học lớp 10) dạng tốn có liên quan thường xuất đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ, đề thi THPT quốc gia Có nhiều phương pháp để giải tốn cực trị số phức biến đổi đại số sử dụng kiến thức hàm số, kiến thức BĐT, kiến thức vectơ, nhiên phạm vi nghiên cứu đề tài tập trung vào vấn đề sau:  Tiếp cận số toán “cực trị số phức” theo hướng hình học   Đưa phương pháp xây dựng toán tương tự để làm tài liệu giảng dạy cho GV Đưa ví dụ minh họa cho lập luận III MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: Mục tiêu nghiên cứu: Mục tiêu nghiên cứu đề tài giúp học sinh lớp 12 tiếp cận toán “cực trị số phức” cách nhẹ nhàng, có hệ thống từ cung cấp, rèn luyện cho em kỹ giải trình bày dạng tốn Góp phần nâng cao chất lượng dạy học chủ đề số phức thuộc mơn Tốn trường trung học Phổ thơng Nhiệm vụ nghiên cứu: Tìm hiểu nghiên cứu tài liệu liên quan, đúc rút kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy từ xây dựng trình bày cách có hệ thống kiến thức, phương pháp giải toán tập điển hình tốn “cực trị số phức” Ghi chép tổng hợp kết thực nghiệm thu từ việc áp dụng đề tài vào giảng dạy IV GIẢ THIẾT KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI: Trong thực tiễn giảng dạy chủ đề số phức, ta bắt gặp toán “cực trị số phức”, người giáo viên hệ thống cách ngắn gọn đầy đủ lý thuyết, đồng thời xây dựng hợp lý phương pháp áp dụng lý thuyết vào việc giải tập điển hình giúp học sinh chủ động, tự tin tiếp cận giải tốt tập dạng Từ phát huy, khơi dậy khả vận dụng sáng tạo kiến thức học học sinh vào việc giải toán đồng thời gây hứng thú học tập cho em V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Trong trình nghiên cứu, đề tài sử dụng phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm Trên sở phân tích kỹ nội dung chương trình Bộ giáo dục Đào tạo, phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…) Bước đầu mạnh dạn thay đổi tiết học, sau nội dung có rút kinh nghiệm kết thu (nhận thức học sinh, hứng thú nghe giảng, kết kiểm tra,…) đến kết luận Lựa chọn ví dụ tập cụ thể phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh để từ đưa lời giải cho toán VI DỰ BÁO NHỮNG ĐĨNG GĨP MỚI CỦA ĐỀ TÀI: Trong q trình giảng dạy, thân áp dụng đề tài bước đầu thu kết khả quan, hầu hết sau em chủ động tự tin đối mặt với tốn “cực trị số phức” nói chung Qua phát huy tính tích cực, tư độc lập sáng tạo việc giải tốn Đề tài làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh việc bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi THPT quốc gia B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI: I.1 Cơ sở lý thuyết đề tài: a Kiến thức số phức: = −1 z z = a + bi , a , b ∈ , a gọi  Số i gọi đơn vị ảo có  Dạng đại số số phức i phần thực số phức z , b gọi phần ảo số phức z z = a + bi kí hiệu z z = a − bi  Số phức liên hợp số phức z = a2 + b2,  Hai số phức nhau: Cho z1 = a1 + b1i , z1 = z2  •  z1 + z = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 z1 − z = ( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 = z1 z a1a2 kz1 = ka1 + kb1i , với k số • z1 = )i = ( a1 + b1i )( a2 + b2 i ) = • + b1i , z = a2 + b2 i Các phép toán cộng, trừ, nhân hai số số phức: a1 )i • b=b  i ⇔ a = a + a1b2 i + b1a2 i + b1b2 i )i ( a1a2 −b1b2 ) + ( a1b2 + a2 b1 thực  Phép chia hai số phức: z = z z = z 2 z z (a + b i )( a 2 − b i ) , z2 ≠ a 22 + b 2 b Mô-đun số phức số mở rộng:   Mô-đun số phức z = a + bi kí hiệu z , xác định: Mở rộng: z+w= z+w z − w = z −w z.w = z.w  z=   z w w  z )n = z = a 2+ b (z ) n z = z z = z z z.w = z w z = z w w n z = zn c Biểu diễn hình học số phức số mở rộng:  Biểu điểm M diễn hình học số phức ( x; y ) Khi z = OM z = x + với yi x,y∈ mặt phẳng tọa độ  Biểu diễn hình học hai số phức z z hai điểm đối xứng qua trục Ox nên quỹ tích điểm biểu diễn hai số phức z z hình ( C) ,( C ') hai hình đối xứng qua trục  Nếu  z −z  = AB = OA+OB = 2OM    z+ z điểm biểu diễn hai số Ox z1 , z2 phức với M trung điểm đoạn A A, B B  A, B Số phức z thay đổi thỏa Cho điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 mãn z −z1 = z −z2 quỹ tích điểm biểu diễn số phức AB  Cho điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 A, B Số phức z z trung trực đoạn thay đổi thỏa mãn z −z1 = z −z2 quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường thẳng z0 số phức khơng đổi có điểm biểu diễn I , số phức z  Cho = R > quỹ tích điểm biểu diễn số phức thay đổi thỏa mãn z − z đường trịn tâm I bán kính R  Cho z0 số phức khơng đổi có điểm biểu diễn Cho z0 số phức khơng đổi có điểm biểu diễn Cho hai số phức z1 , z2 z miền I , số phức z thay đổi thỏa mãn z − z > R > quỹ tích điểm biểu diễn số phức ngồi đường trịn tâm I bán kính R  I , số phức z thay đổi thỏa mãn z − z < R > quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường trịn tâm I bán kính R  z z miền khơng đổi có điểm biểu diễn hai điểm A, B Một số phức z thay đổi thỏa mãn z −z1 + z −z = a > Khi đó: +) Nếu z1 −z < a quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường E-lip nhận A, B làm hai tiêu điểm độ dài trục lớn a +) Nếu z − z = a quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đoạn thẳng A B I.2 Cơ sở thực tiễn đề tài: Trong thực tế gặp dạng toán “cực trị số phức” phát triển từ tốn “cực trị hình học phẳng” thường làm học sinh kể học sinh giỏi lúng túng từ khâu phát nút thắt mấu chốt cách xử lý Đa số em không nhận “bẫy” đề bài, sa đà vào tính tốn, gây thời gian mà thường không thu kết mong đợi Khi gặp toán vấn đề trên, học sinh nhiều thời gian để biến đổi toán Một số học sinh lực tư hạn chế chưa biết cách phối hợp tư hình học tính tốn đại số Một thực tế nhiều học sinh làm toán loại chương hình học làm thành thạo chương số phức với ngôn từ, giả thiết khác em lại khơng phát vấn đề cốt lõi, quen thuộc mà lúng túng gặp tốn Chính người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm chất vấn đề cách giải đơn giản, thuận lợi để kết thúc toán II CÁC SÁNG KIẾN VÀ GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: II.1 VẤN ĐỀ 1: Khai thác từ toán cực trị liên quan đến đường thẳng, đoạn thẳng: Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A đường thẳng Tìm điểm M chạy đường thẳng ( δ cho độ dài đoạn AM nhỏ ) d ) a Hướng dẫn giải: A d(M,d) (d) M H Gọi H hình chiếu vng góc điểm A lên đường thẳng ( d ) Khi AM ≥ AH , nên độ dài đoạn AM nhỏ M hình chiếu vng góc điểm A lên đường thẳng ( d ) AM = AH = d ( M , d ) b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán trên:  Tạo giả thiết: Tạo điều kiện ràng buộc số phức đường thẳng  Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ mơ-đun phức biết cho quỹ tích z z −z  Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn số phức z , z0 Gọi đường thẳng biểu diễn quỹ tích số phức z với z0 số M , A ( d ) Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại ta tạo điều kiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn đường thẳng Điều kiện kiểu đa dạng, mà hay gặp kể đến: +) Cho số phức z = x + yi (x , y ∈ ) +) Cho số phức z cho ax + by + c = (a , b, c ∈ ) thỏa mãn z −z1 = z −z2 với z1 , z hai số phức biết c Bài tập minh họa: Bài tập 1: Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm đường thằng ( d ) : x −4 y −3 = Tính giá trị nhỏ z A B C D Hướng dẫn giải: Gọi M điểm biểu diễn số phức z ⇒ Min z = OM = d (O ; d ) = Bài tập 2: Trong số phức z thỏa mãn iz − = z − − i C z A B Tính giá trị nhỏ D 5 Hướng dẫn giải: Gọi số phức z = x + yi thỏa mãn iz −3 = z −2 −i ⇔ − y − + xi = x − + ( y −1) i ⇔x + y + = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng ( d ) : x + y + = Với điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z = x + yi thi = OM ≥ OH với H z hình chiếu vng góc O lên đường thẳng ( d ) OH khoảng cách từ điểm O lên đường thẳng ( d ) Tính OH = d ( O;( d ) ) 1.0 +2.0+ = = Vậy z ≥ 12 +22 5 Bài tập 3: [Thi thử chuyên Võ Nguyên Giáp lần năm 2017] Biết số phức z = x + yi, ( x, y ∈ ) thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i có mơ đun nhỏ Tính P  ξ + ψ2 D P = 26 A P= B P = 10 C P = 16 Hướng dẫn giải: Ta có z = x + yi , ( x , y ∈ = ) Ta có z − − 4i = z − 2i ⇔ x + y − Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng ( d ) : x + y − = ... 2018 Từ tơi mạnh dạn đưa đề tài “ Rèn Luyện Kĩ Năng Cho Học Sinh Giải Các Bài Toán Cực Trị Trong Số Phức Bằng Việc Khai Thác Các Bài Tốn Cực Trị Trong Hình Học Phẳng? ?? II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN... tập trung vào mối quan hệ kiến thức số phức với kiến thức hình học tọa độ mặt phẳng, qua chọn lọc số tốn cực trị đặc trưng hình học chuyển hóa thành tốn cực trị tập số phức Phạm vi nghiên cứu:... để giải toán cực trị số phức biến đổi đại số sử dụng kiến thức hàm số, kiến thức BĐT, kiến thức vectơ, nhiên phạm vi nghiên cứu đề tài tập trung vào vấn đề sau:  Tiếp cận số tốn ? ?cực trị số phức? ??