Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh trung học cơ sở thông qua các bài toán cực trị trong hình học phẳng

Bộ GIáO DụC Và ĐàO TạO TRƯờNG ĐạI HọC SƯ PHạM Hà NộI *** VƯƠNG THị THU THủY RèN LUYệN NĂNG LựC GIảI TOáN CHO HọC SINH TRUNG HọC CƠ Sở THÔNG QUA CáC BàI TOáN CựC TRị TRONG HìNH HọC PHẳNG Chuyên ngành: Lý luận phơng pháp dạy học môn Toán Mà số: 60.14.10 Tóm tắt LUậN VĂN THạC Sĩ KHOA HäC GI¸O DơC Ngêi híng dÉn khoa häc: TS NGUN NGäC UY Hµ NéI, N¡M 2008 LÝ chọn đề tài Hiến pháp nớc Cộng hoà Xà hội Chủ nghĩa Việt Nam năm 1992 đà ghi điều 35: "Giáo dục đào tạo quốc sách hàng đầu" Báo cáo trị cua Ban chấp hành Trung ơng khoá VII Đại hội Đại biểu Toàn quốc lần thứ VIII Đảng lại khẳng định "Giáo dục đào tạo quốc sách hàng đầu nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dỡng nhân tài" "Trong môn khoa học kỹ thuật, toán học giữ vị trí bật Đây môn thĨ thao cđa trÝ t, gióp chóng ta nhiỊu việc rèn luyện phơng pháp suy nghĩ, phơng pháp suy luận, phơng pháp học tập, phơng pháp giải vấn đề; giúp rèn luyện trí thông minh sáng tạo Toán học giúp rèn luyện nhiều đức tính quý báu khác nh cần cù nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý chí vợt khó, yêu thích xác, ham chuộng chân lý Dù bạn phục vụ ngành nào, công tác kiến thức phơng pháp toán học cần cho bạn" [11, tr1] Các thầy giáo, cô giáo dạy toán huấn luyện viên môn thể thao trí tuệ Công việc dạy toán giáo viên nhằm rèn luyện cho học sinh t toán học phẩm chất ngời lao động để em vững vàng trở thành chủ nhân tơng lai đất nớc trờng phổ thông, dạy học Toán dạy hoạt động toán học Các toán trờng phổ thông phơng tiện có hiệu thay đợc việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào sống Dạy học giải toán mang chức năng: giáo dỡng, giáo dục, phát triển kiểm tra Vì hoạt động giải toán điều kiện để thực tốt mục đích dạy học toán Do đó, tổ chức có hiệu việc dạy học giải toán có vai trò quan trọng chất lợng dạy học toán Trong chơng trình toán phổ thông, hình học mảng kiến thức lớn quan trọng Ngay từ tiểu học, học sinh đà làm quen với hình học dới hình thức đơn giản Các khái niệm điểm, đờng thẳng, mặt phẳng đà đợc định nghĩa tờng minh chơng trình Toán THCS Các toán tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ hình học phẳng, gọi toán cực trị hình học thờng không gặp sách giáo khoa môn Toán chúng thờng toán khó Bài toán dạng thờng không cho sẵn điều phải chứng minh, đòi hỏi học sinh phải tự tìm lấy kết toán Những toán dẫn dắt học sinh có thói quen tìm giải pháp tối u cho công việc cụ thể sống thực tế Điều cho thấy toán cực trị loại toán gần gũi với thực tÕ vµ cã nhiỊu øng dơng thùc tÕ hµng ngày Đối với toán cực trị, thờng có nhiều đờng để đến đích, có cách giải ngắn gọn hợp lý, có phơng án độc đáo, sáng tạo Do giúp häc sinh rÌn lun nÕp nghÜ khoa häc, lu«n mong muốn làm công việc đạt hiệu cao nhất, tốt Vì vậy, góp phần không nhỏ vào việc phát triển trí tuệ, thúc đẩy niềm say mê học toán cho học sinh, đặc biệt em học sinh giỏi Bài toán cực trị hình học thờng xuất đề thi vào trờng chuyên, lớp chuyên, thi học sinh giỏi nhng đa số học sinh cha nắm đợc đặc trng phơng pháp giải, học sinh gặp phải nhiều khó khăn hay mắc phải sai lầm Để góp phần giải vấn đề này, chọn đề tài: "Rèn luyện lực giải toán cho học sinh Trung học Cơ sở thông qua toán cực trị hình học phẳng" Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh THCS nắm vững tri thức toán học, có kĩ thực hành toán học nâng cao lực trí tuệ; vận dụng vào toán thùc tÕ víi lý thut vµ vÝ dơ mÉu lµm cho häc sinh quen vµ cã ý thøc sư dơng phơng pháp giải toán cực trị dạng thĨ NhiƯm vơ nghiªn cøu 3.1 Nghiªn cøu nội dung rèn luyện lực giải toán phổ thông 3.2 Nghiên cứu dạng toán cực trị hình học phẳng cách giải cụ thể dạng Phơng pháp nghiên cứu 4.1 Nghiên cứu lý luận: sở lý luận Tâm lí học, Giáo dục học, lý luận dạy học môn toán để phân tích nguyên nhân xây dựng biện pháp dạy học nhằm hạn chế, sửa chữa sai lầm học sinh giải toán, góp phần rèn luyện lực giải toán cho học sinh 4.2 Điều tra, quan sát 4.3 Thử nghiệm s phạm Đối tợng nghiên cứu Học sinh khá, giỏi lớp bậc THCS Phạm vi nghiên cứu Chơng trình hình học phẳng THCS Cấu trúc luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, luận văn gồm chơng Chơng I: Cơ sở lý luận thực tiễn Chơng II: Một số biện pháp rèn luyện lực giải toán cho học sinh THCS Chơng III: Thử nghiệm s phạm Chơng I Cơ sở lý luận thực tiễn I Vai trò, vị trí ý nghĩa môn Toán I.1 Vai trò, vị trí môn Toán Trong nhà trờng phổ thông, môn Toán có vai trò, vị trí ý nghĩa quan trọng Thứ nhất, môn Toán cã vai trß quan träng viƯc thùc hiƯn mơc tiêu chung giáo dục phổ thông Môn Toán góp phần phát triển nhân cách Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo tri thức rèn luyện kĩ Toán học cần thiết, môn Toán có tác dụng góp phần phát triển lực trí tuệ chung nh phân tích, tổng hợp, trừu tợng hoá, khai thác hoá rèn luyện đức tính, phẩm chÊt cđa ngêi lao ®éng míi nh tÝnh cÈn thËn, xác, tính lỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dỡng óc thẩm mĩ Thứ hai, môn Toán cung cấp vốn văn hoá Toán học phổ thông tơng đối hoàn chỉnh bao gồm kiến thức, kỹ năng, phơng pháp t Thứ ba, môn Toán công cụ giúp cho việc dạy học môn học khác Do tính trừu tợng cao độ, Toán học có tính thực tiễn phổ thông Những tri thức kĩ toán học trở thành công cụ để học tập môn học khác nhà trờng, công cụ nhiều ngành khoa học khác nhau, công cụ để hoạt động đời sống thực tế thành phần thiếu trình độ văn hoá phổ thông ngời Cùng với việc kiến tạo tri thức, môn Toán nhà trờng rèn luyện cho học sinh kĩ tính toán, vẽ hình, kĩ sử dụng dụng cụ Toán học máy tính điện tử Môn Toán giúp học sinh hình thành phát triển phơng pháp, phơng thức t hoạt động nh: toán học hoá tình thực tế, thực xây dựng thuật giải, phát giải vấn đề Trong thời kì phát triển đất nớc, môn Toán có ý nghĩa quan trọng I.2 Mục tiêu môn Toán THCS Môn to¸n ë THCS nh»m a Cung cÊp cho häc sinh kiến thức, phơng pháp Toán học phổ thông, bản, thiết thực b Hình thành rèn luyện kĩ tính toán, vẽ hình, đo đạc, ớc lợng Bớc đầu hình thành khả vận dụng kiến thức toán học vào đời sống vào môn học khác c Rèn luyện khả suy luận hợp lí hợp lôgic, khả quan sát, dự đoán, phát triển trí tởng tợng không gian Rèn luyện khả sử dụng ngôn ngữ xác, bồi dỡng phẩm chất t Bớc đầu hình thành thói quen tự học, diễn đạt xác ý tởng hiểu đợc ý tởng ngời khác Góp phần hình thành phẩm chất lao động khoa học cần thiết ngời lao động II T Toán học II.1 T II.1.1 Kh¸i niƯm t T trình nhận thức, phản ánh thuộc tính chất, mối quan hệ có tính chất quy luật vật tợng Theo quan điểm cđa chđ nghÜa vËt biƯn chøng th× t sản vật cao cấp sụ vật hữu đặc biệt, tức óc, qua trình hoạt động phản ánh thực khách quan biểu tợng, khái niệm, phán đoán T liên hệ với vận động vật chất- với hoạt động óc Khoa học đại đà chứng minh đợc t đặc tính vật chất Paplop đà chứng minh cách chối cÃi óc cấu vật chất hoạt động tâm lí Ông viết Hoạt động tâm lí kết hoạt động sinh lí phận định óc T cã quan hƯ mËt thiÕt víi nhËn thøc cảm tính, thờng nhận thức cảm tính, sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình có vấn đề Dù cho t có khái quát trừu tợng đến đâu nội hàm t chứa đựng thành phần cảm tính Con ngời chủ yếu dùng ngôn ngữ để nhận thức vấn đề, để tiến hành thao tác trí tuệ để biểu đạt kết t Ngôn ngữ đợc xem phơng tiện t Sản phẩm t khái niệm, phán đoán, suy luận đợc biểu đạt từ ngữ, câu, kí hiệu, công thức, mô hình, T mang tính khái quát, tính gián tiếp tính trừu tợng Cả nhận thức cảm tính nhận thức lí tính nảy sinh từ thực tiễn lấy thực tiễn làm tiêu chuẩn kiểm tra tính đắn nhËn thøc T cã t¸c dơng to lín ®êi sèng x· héi Ngêi ta dùa vµo t để nhận thức quy luật khách quan tự nhiên, xà hội lợi dụng quy luật hoạt động thực tiễn II.1.2 Các hình thức t + Khái niệm: Khái niệm hình thức t phản ánh lớp đối tợng đợc xem xét theo hai phơng diện: Ngoại diên nội hàm Bản thân lớp đối tợng xác định khái niệm đợc gọi ngoại diên, toàn thuộc tính chung lớp đối tợng đợc gọi nội hàm lớp đối tợng Giữa nội hàm ngoại diên có mối liên hệ mang tính quy luật: Nội hàm mở rộng ngoại diên bị thu hẹp ngợc lại Nếu ngoại diên khái niệm A phận khái niệm B khái niệm A đợc gọi khái niệm chủng B, khái niệm B đợc gọi khái niệm loại A + Phán đoán: Phán đoán hình thức t duy, khẳng định dấu hiệu thuộc hay không thuộc đối tợng Phán đoán có tính chất hoặc sai thiết xảy hai trờng hợp mà Trong t duy, phán đoán đợc hình thành hai phơng thức chủ yếu: trực tiếp gián tiếp Trong trờng hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết nghiên cứu trình tri giác đối tợng, trờng hợp thứ hai, phán đoán đợc hình thành thông qua hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi suy luận Cũng nh khoa học khác, toán học thực chất hệ thống phán đoán đối tợng nó, với nhiệm vụ xác định tính sai luận điểm + Suy luận: suy luận trình t có quy luật, quy tắc định (gọi quy luật, quy tắc suy luận) Muốn suy luận cần phải tuân theo quy luật, quy tắc Có hai hình thức suy luận suy diễn quy nạp Suy diễn từ tổng quát đến riêng, quy nạp từ riêng đến chung Trong dạy học toán, suy diễn quy nạp tách rời Quy nạp để đến luận đề chung làm sở cho trình suy diễn, ngợc lại suy diễn để kiểm chứng kết quy nạp II.2 Nội dung t toán học Hoạt động t phụ thuộc vào đối tợng t duy.Do vËy, ®Ị cËp ®Õn néi dung cđa t toán học, cần hiểu biết đặc điểm toán học với t cách đối tợng t toán học + Đối tợng toán học Toán học nghiên cứu gì? Theo P.Ănghen Chống Duyrinh: Đối tợng toán học túy hình dạng không gian quan hệ số lợng cđa thÕ giíi hiƯn thùc, tøc lµ mét t liƯu cụ thể T liệu biểu dới hình thức trừu tợng, bên che lấp nguồn gốc giíi hiƯn thùc” Theo V.I Lenin “Bót kÝ triÕt học: Cái mà toán học dạy chúng ta, mối quan hệ vật mặt thứ tự, số quảng tính Theo GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn: toán học có hai góc độ để nhìn khoa học này; hai góc độ ứng với hai định nghĩa sau toán học: - Toán học khoa học nghiên cứu quan hệ số lợng, hình dáng lôgic giới khách quan -Toán học khoa học nghiên cứu cấu trúc số lợng mà ngời ta trang bị cho tập hợp hệ tiên đề Đối tợng toán học đợc cụ thể hóa mở rộng dần qua giai đoạn Giai đoạn toán học đại, ứng với sản xuất tự động hóa, toán học nghiên cứu cấu trúc thuật toán đồng thời với lôgic toán Ngày nay, bên cạnh toán học kinh điển phát triển mạnh mẽ, ta có to¸n häc kiÕn thiÕt, cïng víi cÊu tróc ta cã thuật toán, chúng đối lập với nhng bổ sung cho nhau, sở phơng pháp mô hình hóa thuật toán hóa điều khiển học II.3 Các thao tác t toán học II.3.1 Phân tích- Tổng hợp A Phép tổng hợp phơng pháp suy luận từ đà biết đến cha biết Nếu gọi B phán đoán cần chứng minh Ai ( i 1, n ) tiên đề, định lí giả thiết đà biết sơ ®å cđa phÐp tỉng hỵp nh sau A1  A2 An B Thông thờng phép đợc dùng để trình bày lời giải sau trình phân tích Đây gọi phép suy xuôi B Phép phân tích phơng pháp suy luận từ cha biết đến đà biết Đối víi ngêi häc to¸n, cã thĨ quan niƯm sù s¸ng tạo họ, họ tự đơng đầu với vấn đề họ họ tự tìm tòi độc lập vấn đề đó, để tự thu nhận đợc mà họ cha biết Nh tập đợc xem nh yếu tố sáng tạo thao tác giải không bị mệnh lệnh chi phối, tức ngời giải cha biết thuật toán để giải phải tiến hành tìm kiếm với bớc cha biết trớc Những thành phần cấu trúc t sáng tạo Tính mềm dẻo: Tính mềm dẻo t có đặc trng bật sau: - Dễ dàng chuyển từ hoạt động sang hoạt động khác, vận dụng linh hoạt hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trìu tợng hoá, cụ thể hoá phơng pháp suy luận nh: Quy nạp, suy diễn, tơng tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp sang giải pháp khác; điều chỉnh kịp thời hớng suy nghĩ gặp trở ngại - Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng cách máy móc kinh nghiệm, kiến thức, kỹ đà có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, có yếu tố đà thay đổi có khả thoát khỏi ảnh hởng kìm hÃm kinh nghiệm, phơng pháp, suy nghĩ đà có trớc - NhËn vÊn ®Ị míi ®iỊu kiƯn quen thc, nhìn thấy chức đối tợng quen biết Qua sở lý luận tính mềm dẻo t duy, ta thấy để giải tập cụ thể có vớng mắc, thấy cách giải cha hay gợi mở cho học sinh theo hớng hiệu đạt đợc tốt Tính nhuần nhuyễn: : Đợc thể rõ nét đặc trng sau: - Tính đa dạng cách xử lý giải toán: Khả tìm đợc nhiều giải pháp nhiều góc độ tình khác Đứng trớc vấn đề giải quyết, ngời có t nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm đề xuất nhiều phơng án khác từ đa đợc phơng án tối u - Khả xem xét đối tợng dới nhiều khía cạnh khác nhau, có cách nhìn sinh động từ nhiều phía vật tợng nhìn bất biến, phiếm diện, cứng nhắc Khi thực hành giải toán, để thực đợc điều ta cần phân tích cho học sinh thấy rõ bớc để giải toán, tìm quan hệ gần gũi toán đà cho với toán đà biết Qua thể đợc tính nhuần nhuyễn t duy, tÝnh ®éc lËp suy nghÜ TÝnh ®éc đáo: tìm kiếm định phơng thức Tính độc đáo TDST đợc đặc trng khả - Khả tìm liên tởng kết hợp - Khả tìm mối liên hệ kiện bên tởng nh liên hệ với Tính hoàn thiện: lập kế hoạch, phối hợp hoạt động Tính nhạy cảm vấn đề: nhanh chóng phát vấn đề, liên tởng tốt Các yếu tố nói không tách rời mà trái lại chúng quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ, bổ sung cho Khả dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm đợc nhiều giải pháp nhiều góc độ tình khác (tính nhuần nhuyễn) nhờ đề xuất nhiều phơng án khác mà tìm đợc phơng án lạ, đặc sắc (tính độc đáo) Các yếu tố lại có quan hệ khăng khít với yếu tố khác nh: tính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề Tất yếu tố đặc trng nói góp phần tạo nên t sáng tạo, đỉnh cao hoạt động trí tuệ ngời Những biểu đặc trng hoạt động sáng tạo Thực độc lập việc di chuyển tri thức kĩ năng, kĩ xảo sang tình gần hay xa, bên hay bên hay hệ thống kiến thức Nhìn thấy nội dung tình bình thờng Nhìn thấy chức đối tợng Độc lập kết hợp phơng thức hoạt động đà biết, tạo thành Nhìn thấy cấu trúc đối tợng quen thuộc Nhìn thấy cách giải có, tiến hành giải theo cách lựa chọn cách tối u Xây dựng phơng pháp nguyên tắc, khác với phơng pháp quen thuộc đà biết Khái quát hóa tri thức phơng pháp quen thuộc đà biết (vì khái quát hóa lực lực toán học) Mối quan hệ t phê (a) (b) phán, t giải toán t sáng tạo (a) T phê phán (b) T giải toán (c) T sáng tạo (c) II 4.4 T thuật toán Thuật toán qui định xác mà ngời hiểu nh việc hoàn thành thao tác nguyên tố theo trật tự xác định nhằm giải loạt toán thuộc loại hay kiểu Các thuật toán phải thỏa mÃn yêu cầu bản: - Tính xác định: Ai hiểu theo cách, giai đoạn trình định giai đoạn cách - Tính số đông: Phải dùng đợc để giải loạt (một kiểu) xác định toán - Tính kết quả: Nếu hoàn thành thao tác theo trình tự đà vạch thiết giải đợc toán theo loại đà chọn II.4.5 T hµm - T hµm thĨ hiƯn ë sù nhËn thức đợc tiến hành tơng ứng riêng chung đối tợng toán học hay tính chất chúng (kể kĩ vận dụng chúng) thể rõ nét t tởng lớn giáo trình toán học trờng phổ thông- t tởng hàm - Những hoạt động trí tuệ liên quan đến t hàm đợc định hớng theo bốn t tởng chủ đạo sau đây: Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu lợi dụng tơng ứng häc vµ nh»m vµo viƯc trun thơ kiÕn thức rèn luyện kĩ toán học Thực gợi động cho hoạt động t hàm trở thành khả gợi động nội toán học Hình thành học sinh biểu tợng tiến tới tri thức tơng ứng đơn trị tập luyện cho họ hoạt động ăn khớp với tri thức t hàm Phân bậc hoạt động t hàm theo số lợng biến, theo mức độ trực quan đối tợng hay theo trình độ độc lập thành thạo hoạt động học sinh III Một số khái niệm lực toán học III.1 Năng lực Năng lực đặc điểm tâm lí cá nhân ngời, đáp ứng đợc yêu cầu loại hoạt động định điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt hoạt động Thông thờng, ngời đợc coi có lực ngời nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo loại hoạt động đạt đợc kết tốt hơn, cao so với trình độ trung bình ngời khác tiến hành hoạt động điều kiện hoàn cảnh tơng đơng Khi nói đến lực phải nói đến lực loại hoạt động định ngời Năng lực nảy sinh quan sát đợc hoạt động giải yêu cầu đặt III.2 Năng lực toán học Theo V.A Krutetxki khái niệm lực toán học đợc giải thích hai bình diện: - Nh lực sáng tạo (khoa học) lực hoạt động toán học tạo đợc kết quả, thành tựu mới, khách quan quý giá - Nh lực học tập giáo trình toán phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng có kết cao kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tơng ứng Nh vậy, lực toán học đặc điểm tâm lí cá nhân (trớc hết đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng đợc yêu cầu hoạt động giải toán tạo điều kiện lĩnh hội kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo lĩnh vực toán học tơng đối nhanh, dễ dàng sâu sắc điều kiện nh III.3 Năng lực giải toán Năng lực giải toán thể lực toán học, đặc điểm tâm lí cá nhân ngời đáp ứng đợc yêu cầu hoạt động giải toán, điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt hoạt động giải toán Từ góc độ phát giải vấn đề, ta hiểu, lực giải toán khả áp dụng tiến trình thực việc giải vấn đề có tính hớng đích cao, đòi hỏi huy động khả t tích cực sáng tạo, nhằm đạt đợc kết sau số bớc thực Thông thờng, ngời đợc coi có lực giải toán ngời nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo hoạt động giải toán đạt đợc kết tốt hơn, cao so với trình độ trung bình ngời khác tiến hành hoạt động giải toán điều kiện hoàn cảnh tơng đơng Các thành phần lực giải toán gồm: lực phân tích tổng hợp, lực khái quát hóa, lực suy luận lôgic, lực rút gọn trình suy luận, lực t linh hoạt, lực tìm lời giải hay, lực t thuận nghịch, trí nhớ to¸n häc,