CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ NĂNG LỰC TOÁN HỌC
- Tư duy hàm thể hiện ở sự nhận thức được tiến hành những tương ứng riêng và chung giữa các đối tượng toán học hay những tính chất của chúng (kể cả kĩ năng vận dụng chúng) thể hiện rõ nét tư tưởng lớn trong giáo trình toán học ở trường phổ thông- tư tưởng hàm
- Những hoạt động trí tuệ liên quan đến tư duy hàm được định hướng theo bốn tư tưởng chủ đạo sau đây:
1 Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng những sự tương ứng trong khi học và nhằm vào việc truyền thụ kiến thức và rèn luyện kĩ năng toán học
2 Thực hiện gợi động cơ sao cho những hoạt động tư duy hàm trở thành khả năng gợi động cơ nội tại toán học
3 Hình thành ở học sinh những biểu tượng tiến tới những tri thức về tương ứng đơn trị và tập luyện cho họ những hoạt động ăn khớp với những tri thức về tư duy hàm
4 Phân bậc hoạt động về tư duy hàm theo số lượng biến, theo mức độ trực quan của đối tượng hay theo trình độ độc lập và thành thạo của hoạt động của học sinh.
3 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ NĂNG LỰC TOÁN HỌC
Năng lực là những đặc điểm tâm lí cá nhân của con người, đáp ứng được yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt hoạt động đó.
Thông thường, một người được coi là có năng lực nếu người đó nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cũng tiến hành hoạt động đó trong những điều kiện hoàn cảnh tương đương.
Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất định của con người Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu đặt ra.
III.2 Năng lực toán học
Theo V.A Krutetxki thì khái niệm năng lực toán học sẽ được giải thích trên hai bình diện:
- Như là các năng lực sáng tạo (khoa học) – các năng lực hoạt động toán học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới, khách quan và quý giá.
- Như là các năng lực học tập giáo trình toán phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng.
Như vậy, năng lực toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giải toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như nhau
III.3 Năng lực giải toán
Năng lực giải toán là một thể hiện của năng lực toán học, nó là đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giải toán, và là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt hoạt động giải toán đó.
Từ góc độ phát hiện và giải quyết vấn đề, ta có thể hiểu, năng lực giải toán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giải quyết một vấn đề có tính hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duy tích cực và sáng tạo,nhằm đạt được kết quả sau một số bước thực hiện
VAI TRÒ VÀ CHỨC NĂNG CỦA BÀI TẬP TOÁN
Năng lực giải toán của học sinh chỉ phát triển dưới tác động liên hoàn của các biện pháp cụ thể, thực sự đưa học sinh vào vị trí “hoạt động hóa” người học.
4 VAI TRÒ VÀ CHỨC NĂNG CỦA BÀI TẬP TOÁN
IV.1 Vai trò, chức năng của bài tập toán Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khác nhau Một bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra… Tất nhiên việc dạy giải một bài tập cụ thể thường không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó mà thường bao hàm những ý đồ nhiều mặt như đã nêu.
Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau Những chức năng này đều hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy học Trong môn Toán, các bài tập mang chức năng sau:
+ Chức năng dạy học: bài tập hình thành củng cố cho học sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
+ Chức năng giáo dục: bài tập hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức người lao động mới.
+ Chức năng phát triển: bài tập phát triển năng lực tư duy của học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học.
+ Chức năng kiểm tra: bài tập sẽ đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh.
Trên thực tế, các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể, tức là hàm ý nói việc thực hiện chức năng ấy được tiến hành một cách tường minh và công khai Hiệu quả của việc dạy học toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của một bài tập mà người viết sách giáo khoa đã có dụng ý chuẩn bị. Người giáo viên chỉ có thể khám phá và thực hiện được những dụng ý đó bằng năng lực sư phạm và trình độ nghệ thuật dạy học của mình.
IV.2 Yêu cầu lời giải một bài toán
Một bài toán được gọi là giải tốt khi và chỉ khi thoả mãn các yêu cầu sau: i Lời giải không sai lầm ii Lập luận có căn cứ iii Lời giải phải cặn kẽ, đầy đủ iv Cách giải đơn giản, hay nhất v Cách trình bày rõ ràng, hợp lý, sạch sẽ,
IV.2.1 Lời giải không sai lầm
Lời giải của bài toán không một sai lầm, thiếu sót, nghĩa là lời giải không có sai sót về mặt kiến thức (kiến thức khoa học cơ bản, kiến thức phương pháp suy luận, kĩ năng tính toán và vẽ hình); không có sai sót về mặt văn phạm (các quy tắc ngữ pháp, cách ghi ký hiệu toán học).
Lời giải của học sinh phạm sai lầm thiếu sót, không cho kết quả đúng là do học sinh: a Không nắm vững kiến thức, không nhớ đúng quy tắc, công thức, mơ hồ về định lý, sử dụng định lý, quy tắc một cách máy móc mà không chú ý đến bản chất của nó, không chú ý đến điều kiện hạn chế của quy tắc, công thức, không xác định được yếu tố có mặt trong công thức. b Hấp tấp, chủ quan, sơ suất, cẩu thả, có trường hợp chép đề sai, nhầm dấu hiệu, ngộ nhận hoặc lao vào một cách giải phức tạp do quá hấp tấp, cẩu thả, tính toán nhầm lẫn. c Không nắm vững suy luận logic, trật tự các vấn đề dẫn đến lộn xộn hoặc luẩn quẩn.
IV.2.2 Lập luận có căn cứ chính xác
Có được bài giải đúng chưa đủ mà học sinh cần
- Phải chứng tỏ rằng từng bước, từng chi tiết trong bài giải là có căn cứ, phải nêu rõ cơ sở lý luận chính xác (theo định nghĩa, định lý hoặc tính chất…), chống suy luận trực giác, gò ép để đi đến kết quả.
- Có bài giải nhất quán Các yếu tố trong bài phải mang tên gọi, bản chất như nhau trong cả lời giải Trường hợp có sự chuyển hoá phải giải thích, thông báo.
IV.2.3 Lời giải phải cặn kẽ, đầy đủ
PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN
IV.2.4 Cách giải đơn giản nhất, hay nhất
Theo Lepnet thì “Một phương pháp giải toán coi là tốt nếu như ngay từ đầu ta có thể thấy trước và sau đó có thể khẳng định được rằng theo phương pháp đó sẽ đạt tới đích” Còn lời giải đơn giản nhất, hay nhất nói chung là lời giải ngắn gọn, giải quyết bằng những phương tiện đơn giản, những kiến thức dễ hiểu, quen thuộc nhất mà vẫn đạt tới đích.
Tuy nhiên lời giải hay còn phụ thuộc vào mục đích luyện tập cho học sinh Tìm được lời giải hay của một bài tập tức là đã khai thác được sâu đặc điểm riêng của bài tập đó, giúp học sinh thích thú khi làm toán, động viên các em suy nghĩ kĩ để tìm lời giải hay Đây là một yêu cầu cao đối với học sinh.
IV.2.5 Trình bày rõ ràng, hợp lý Đây là tác phong cần thiết cho học tập, nhất là học tập bộ môn toán của học sinh Trình bảy rõ ràng, hợp lý không chỉ đơn thuần về mặt hình thức mà cả về mạt nội dung Một suy nghĩ chính xác, một nếp tư duy đúng đắn, một trí tưởng tượng tốt cần được trình bày, diễn đạt chính xác, đúng đắn.
5 PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN
V.1 Các bước giải toán của G.Polya
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết củaG.Polya (1975) về cách thức giải toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán cụ thể như sau:
Bước1: Tìm hiểu nội dung đề bài:
+ Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Có thể thỏa mãn được điều kiện hay không? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không, hay chưa đủ, hay thừa, hay có mâu thuẫn.
+ Hĩnh vẽ, sử dụng kí hiệu một cách thích hợp
+ Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện Có thể diễn tả các điều kiện đó thành công thức không?
Việc đánh giá được dữ kiện có thỏa mãn hay không, thừa hay thiếu,… đã bước đầu thể hiện tư duy sáng tạo Nếu làm tốt khâu này thì việc giải bài toán đã có thể rất thuận lợi để tìm được lời giải đúng.
Bước 2: Xây dựng một chương trình giải
+ Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơi khác?
+ Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lí có thể dùng được không?
+ Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn tương tự
+ Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi Có thể sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hay sử dụng phương pháp?
Có cần phải dựa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không?+ Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? Một cách khác nữa? + Nếu bạn chưa giải được bài toán đề ra, thì hãy thử giải một bài toán có liên quan Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan và dễ hơn không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thể giải được một phần bài toán không? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua điều kia Khi đó ẩn được xác định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một yếu tố có ích không? Có thể thay đổi ẩn hay khác dữ kiện, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho ẩn và các dữ kiện mới được gần nhau hơn không?
+ Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Đã sử dụng toàn bộ điều kiệnhay chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?
Qua các bước dẫn dắt ở bước 2, ta thấy rằng tư duy sáng tạo đã được thể hiện ở mức độ cao hơn Chẳng hạn việc giải thử một bài toán có liên quan, hay tổng quát hơn… chính là sự thể hiện tư duy sáng tạo
Bước 3: Trình bày lời giải
Hãy kiểm tra lại từng bước Bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không?
Qua bước này ta thấy việc thực hiện được chương trình giải và chứng minh được là đúng, tức là đã hoàn thành bài toán, các yếu tố của tư duy sáng tạo đã được thể hiện đầy đủ.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải:
+ Bạn có kiểm tra lại kết quả? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán không?
+ Có tìm ra được kết quả một cách khác không? Có thể thấy ngay trực tiếp kết quả không.
+ Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho mọi bài toán nào khác không?
V.2 Cách thức dạy, phương pháp chung để giải toán
Quá trình học sinh học phương pháp chung giải toán là một quá trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán của bản thân mình thông qua một việc giải hàng loạt bài toán cụ thể Học phương pháp chung để giải toán không phải là học một thuật giải mà là học những kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi, phát hiện Nói chung, cách thức dạy học sinh phương pháp chung để giải bài toán như sau:
Thông qua việc giải bài toán cụ thể, cần nhấn mạnh để học sinh nắm được phương pháp chung 4 bước và có ý thức vận dụng 4 bước này trong quá trình giải toán.
Thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần đặt cho học sinh những câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần dần biết sử dụng những câu hỏi này như những phương tiện kích thích suy nghĩ tìm tòi, dự đoán phát hiện để thực hiện từng bước của phương pháp chung giải toán Những câu hỏi này lúc đầu là do giáo viên nêu ra để hỗ trợ cho học sinh nhưng dần dần biến thành vũ khí của bản thân học sinh, được học sinh tự nêu ra đúng lúc, đúng chỗ để gợi ý cho từng bước đi của mình trong quá trình giải toán.
Tuy nhiên, từ phương pháp chung giải toán đi tới cách giải một bài toán cụ thể còn là cả một chặng đường đòi hỏi lao động tích cực của nhiều học sinh, trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo
6 MỘT SỐ PHƯƠNG HƯỚNG BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ [3]
VI.1 Bồi dưỡng TDST cần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác
Việc bồi dưỡng TDST cho học sinh cần được tiến hành trong m ối quan hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ như: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa, hệ thống hóa trong đó phân tích và tổng hợp đóng vai trò nền tảng. Để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư duy, học sinh cần được bồi dưỡng thường xuyên năng lực tiến hành phân tích đồng thời với tổng hợp để nhìn thấy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, trong những mối liên hệ khác nhau Trên cơ sở so sánh các trường hợp riêng lẻ, dùng phép tương tự để chuyển từ trường hợp riêng này sang trường hợp riêng khác, khai thác mối liên hệ mật thiết với trừu tượng hóa làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa mệnh đề xuất phát và mệnh đề tìm được bằng đặc biệt hóa và hệ thống hóa, ta có thể tập luyện cho học sinh khái quát hóa tài liệu toán học, tập khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau, khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ hoặc duy nhất Các hoạt động này góp phần bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn cũng như tính độc đáo của tư duy.
VI.2 Bồi dưỡng TDST cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới
MỘT SỐ PHƯƠNG HƯỚNG BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ .28 1 Bồi dưỡng TDST cần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác.28
Trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tố của TDST: tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo Có thể khai thác nội dung các vấn đề giảng dạy, đề xuất các câu hỏi thông minh nhằm giúp học sinh lật đi, lật lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm thật vững bản chất các khái niệm, các mệnh đề, tránh được lối học thuộc lòng máy móc và lối vận dụng thiếu sáng tạo
Sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố củaTDST như: những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổng quát để khắc phục “tính ỳ” (hành động máy móc, không thay đổi phù hợp với điều kiện mới); những bài tập có nhiều lời giải khác nhau, đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác, những bài tập trong đó có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song với nhau, giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược xảy ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận; những bài toán “không theo mẫu”, không đưa được về các loại toán giải bằng cách áp dụng các định lí, quy tắc trong chương trình…
VI.4 Bồi dưỡng TDST là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học
Bồi dưỡng TDST là một quá trình lâu dài, cần tiến hành thường xuyên hết tiết học này sang tiết học khác, năm này sang năm khác trong tất cả các khâu của quá trình dạy học, trong nội khóa cũng như các hoạt động ngoại khóa Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyện khả năng TDST trong việc toán học hóa các tình huống thực tế, trong việc viết bài toán với những đề toán tự sáng tác, những cách giải mới, những kết quả mới khai thác từ các bài tập đã giải…
Một vấn đề rất đáng được quan tâm là vấn đề kiểm tra, đánh giá Các đề kiểm tra, các đề thi cần được soạn với yêu cầu kiểm tra được năng lực TDST của học sinh Học sinh chỉ có thể làm được hoàn chỉnh các đề kiểm tra đó trên cơ sở bộc lộ rõ rệt năng lực TDST của bản thân Đó là cách tốt nhất để chống lại cách “học tủ”, cách học theo kiểu “sôi kinh nấu sử” đang phổ biến hiện nay.
MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THCS
MỘT SỐ KIẾN THỨC THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC
2 MỘT SỐ KIẾN THỨC THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC
II.1 Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu
+ Trong các tam giác vuông (có thể suy biến thành đoạn thẳng) có cạnh góc vuông AH và cạnh huyền AB thì AH AB Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi H B
+ Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng có độ dài nhỏ nhất.
+ Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm đến cùng một đường thẳng, đường xiên lớn hơn khi và chỉ khi hình chiếu của nó lớn hơn.
Cho ABC (Â = 90 0 ) M là điểm chuyển động trên cạnh BC Vẽ MDAB; ME AC (D AB; E AC)
Xác định vị trí của điểm M để đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ nhất.
Tứ giác ADME là hình chữ nhật
Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC
Khi đó ta có: AM AH
Vì AH là không đổi nên AMmax = AH M H
Ví dụ 6 Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn (O) và tiếp tuyến thứ 3 tiếp xúc với (O)
Hình 4 tại điểm M cắt Ax tại D, cắt By tại E Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn (O) sao cho: a) AD + BE đạt giá trị nhỏ nhất b) OD OE đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải: a) Gọi H là chân đường cao hạ từ D xuống By
Tứ giác ABHD là hình chữ nhật
Theo tính chất hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại một điểm
Ta có: DA = DM; BE = ME
Vậy AD + BE = DM + ME = DE DH = 2R
min DE = DH = 2R DE là tiếp tuyến của (O) song song với AB
M là điểm chính giữa của AB b) Ta có EM và EB là hai tiếp tuyến của (O) nên OE là phân giác của MOB Tương tự vì DM và DA là 2 tiếp tuyến của (O) nên OD là phân giác của
AOM mà AOM và BOM là 2 góc kề bù nên OE OD hay DOE = 90 0
Xét ODE có O = 90 0 ; OM DE => OD.OE = OM.DE = R.DE
Vậy (OD.OE)min DE min
M là trung điểm của AB (theo câu a)
II.2 Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc
+ Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có AC + CB AB
Dấu “=” xảy ra C thuộc đoạn thẳng AB
+ Độ dài đoạn thẳng nối 2 điểm A và B ngắn hơn độ dài đường gấp khúc có 2 đầu là A và B.
Ví dụ 7 Cho xOy xOy và điểm A nằm trong góc đó Xác định điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC và tổng AB + AC là nhỏ nhất
Gợi ý: Viết tổng AC + AB dưới dạng tổng AC + CD trong đó A và D là
Kẻ tia Ot nằm ngoài x O y ^ sao cho xO A=^ yOt^
Trên tia Ot, lấy điểm D sao cho OD = OA
Như vậy, A và D là 2 điểm cố định
CD = AB (cạnh tương ứng)
Vậy AB + AC = DC + AC AD
min(AB + AC) = AD C AD
{C} = AD C} = AD Oy; B Oy; OB = OC
Ví dụ 8 Cho hình vuông ABCD M, N, P, Q là các đỉnh của tứ giác MNPQ lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA.Tìm điều kiện để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ nhất
Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của MQ, MP, PN.
AI là đường trung tuyến
AI 2 MQ hay MQ = 2AI (1)
Tương tự trong NPC có NP = 2 CK (2)
Lại có IJ, JK lần lượt là đường trung bình của MQP và MPN nên IJ 1
2MN hay PQ = 2IJ; MN = 2JK (3)
PMNPQ = MN + NP + QP + QM
= 2 (AI + IJ + JK + KC) AC (không đổi)
Dấu “=” xảy ra A, I, J, K, C thẳng hàng
MN // AC // PQ và MQ // BD // NP
Khi đó MNPQ là hình chữ nhật
Nhận xét: Từ ví dụ 5 ta có: a) Các hình chữ nhật nối tiếp được trong hình vuông đều có chu vi bằng nhau. b) Tứ giác nội tiếp được trong hình vuông thì hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
II.3 Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn.
Các bất đẳng thức trong đường tròn được thể hiện trong các định lý:
+ Đường kính là dây lớn nhất của đường tròn.
+ Trong 2 dây của một đường tròn, dây lớn hơn khi và chỉ khi khoảng cách đến tâm nhỏ hơn
+ Trong 2 cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ở tâm lớn hơn.
+ Trong 2 cung nhỏ của 1 đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây trương cung lớn hơn.
Ví dụ 9 Cho (O;R) có AC là đường kính BD là dây cung của (O1; R) và BD vuông góc với AC.
Xác định vị trí của dây BD để diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.
Theo đề bài AC BD nên
Hay BD là đường kính của (O) và BD AC
Ví dụ 10: Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm trong đường tròn.
Xác định dây AB đi qua P sao cho góc OAB có giá trị lớn nhất
Xét OAB cân tại O, góc ở đáy OAB lớn nhất nếu góc ở đỉnh AOB nhỏ nhất
Xét đường tròn (O), góc ở tâm AOB nhỏ nhất
cung tương ứng AB nhỏ nhất.
Cung AB nhỏ nhất dây AB nhỏ nhất A'
Dây AB nhỏ nhất khoảng cách OH từ dây AB đến tâm O là lớn nhất.
OH max = OP H P AB OP
Vậy dây AB phải xác định trên hình chính là dây A’B’ vuông góc với
II.4 Sử dụng bất đẳng thức Côsi
Bất đẳng thức Côsi và các hệ quả của nó được sử dụng trong các bài toán cực trị hình học bằng cách biểu thị 2 độ dài thay đổi bởi các biến x và y. Bất đẳng thức Côsi thể hiện quan hệ giữa tổng của hai số không âm và tích của chúng: Trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng 2 x y xy
Bất đẳng thức Côsi thường được sử dụng dưới các dạng sau:
Dạng 3: (Hệ quả của bất đẳng thức Côsi)
Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số ấy bằng nhau.
Dạng 4: (Hệ quả của bất đẳng thức Côsi)
Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi 2 số ấy bằng nhau.
Các bất đẳng thức trên thường được sử dụng trong các bài toán cực trị về diện tích vì chúng cho quan hệ giữa tổng 2 số (x + y) với diện tích số (xy) và với tổng các bình phương của chúng (x 2 + y 2 ); đó là các biểu thị độ dài (x, y, x + y…) và diện tích (x 2 , y 2 , x 2 + y 2 , (x + y) 2 ,…)
Ví dụ 11 Cho ABC vuông có độ dài các cạnh góc vuông AB = 6cm,
AC = 8cm M là điểm di chuyển trên cạnh BC Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ADME
Giải: Đặt AD = x thì EM = x
Diện tích lớn nhất của tứ giác ADME bằng 12cm 2 khi M là trung điểm BC; D là trung điểm của AB; và E là trung điểm AC.
Ví dụ 12: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên AB Vẽ các đường tròn có đường kính MA và MB Xác định vị trí của điểm M để tổng diện tích của hai hình tròn có giá trị nhỏ nhất.
Gọi S, S’ lần lượt là diện tích của hai đường tròn có đường kính là MA và MB Ta có:
Ví dụ 13: Cho ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC Qua M kẻ các đường song song với AC và AB, cắt AB và AC theo thứ tự ở D và E Xác định vị trí của điểm M sao cho hình bình hành ADME có diện tích lớn nhất.
Kẻ BK AC, cắt MD tại H
S AC BK AC BK Đặt MB = x; MC = y ta có:
Kí hiệu AABC là S, SBDM là S1 là SEMC là S2
Ta thấy SADME max (S1 + S2) min
min Cách DBM và EMC đồng dạng với ABC nên
Nhận xét: Trong hai cách giải trên, ta đã sử dụng các bất đẳng thức Côsi dạng 2 :
Ví dụ 14 Cho ABC vuông cân có cạnh huyền BC = a Gọi D là trung điểm của AB Điểm E di chuyển trên cạnh AC Gọi H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D, E đến BC Tính diện tích lớn nhất của hình thang DEKH Khi đó hình thang trở thành hình gì?
2 DH EK HK 2 BH CK HK
Mặt khác, do (BH + KC) + HK = a nên (BH + KC).HC max BH + KC = HK = 2 a max SDEKH 1 2
Khi đó hình thang DEKH có đường cao HK = 2 a
Hình thang DEKH là hình chữ nhật, E là trung điểm của AC
II.5 Sử dụng tỉ số lượng giác
Ta biết rằng một cạnh của tam giác, diện tích của tam giác có thể biểu thị theo các cạnh khác và tỉ số lượng giác của một góc, chẳng hạn:
A c b c' a) Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.
- Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối
- Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với côsin góc kề
- Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối.
- Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với côtang góc kề. b) Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác bất kỳ
Xét ABC có BC = a; AC = b; AB = c.
Gọi c’ là hình chiếu của cạnh AB trên BC.
TH1 : Nếu B < 90 0 thì b 2 = AH 2 + HC 2
= a 2 + c 2 + 2ac c Diện tích của tam giác của hình bình hành
Gọi là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh của A ^ , ta có:
Ví dụ 15: Chứng minh rằng trong tam giác cân có cùng diện tích, tam giác có cạnh đáy nhỏ hơn là tam giác có góc ở đỉnh nhỏ hơn.
Xét ABC cân tại A có cùng diện tích S
Trong tam giác vuông AHC, ta có:
Do S không đổi nên BCmin => cot g
Vậy trong các tam giác cân có cùng diện tích, tam giác có cạnh đáy nhỏ hơn là tam giác có góc ở đỉnh nhỏ hơn.
Nhận xét: Để xét mối quan hệ giữa cạnh đáy và góc ở đỉnh của các tam giác cân có cùng diện tích, ta đã lập công thức tính diện tích S của tam giác theo cạnh đáy a và góc ở đỉnh S=
3 RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN THEO CÁC THÀNH PHẦN
CƠ BẢN CỦA TƯ DUY SÁNG TẠO
Hoạt động giải toán là một hoạt động chủ yếu giúp rèn luyện tư duy sáng tạo toán học cho học sinh, mỗi dạng bài tập đều có tác dụng nhất định đối với từng thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo.
Có thể rèn luyện năng lực giải toán, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh theo các hướng:
- Theo 3 thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo (tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo)
- Dựa trên các hoạt động trí tuệ: Dự đoán, bác bỏ, khái quát hóa, tương tự hóa
- Tìm nhiều cách giải một bài toán, khai thác, đào sâu kết quả bài toán…
BÀI TẬP TỔNG HỢP
1 Mục đích, kế hoạch thực nghiệm sư phạm
Thử nghiệm sư phạm nhằm bước đầu kiểm nghiệm tính thực tế của đề tài qua thực tế giảng dạy và học tập ở trường THCS Đồng thời thử nghiệm sư phạm minh họa và bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu quả của việc rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THCS thông qua các bài toán cực trị hình học
Dạy thử nghiệm một số tiết vào giờ học tự chọn của lớp 9 dưới dạng chuyên đề, đặc biệt thể hiện các cách rèn luyện các hoạt động trí tuệ rõ nét nhất trong quá trình dạy nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh.
- Lớp thực nghiệm: Đối tượng là học sinh lớp 9G2- trường THCS Chu Văn An
Quá trình thực nghiệm được tổ chức vào 2 buổi học tự chọn của lớp 9G2 Dạy thử nghiệm trong thời gian 4 tiết học và có đồng nghiệp tham gia đánh giá, nhận xét và trao đổi ý kiến.
4 Tóm tắt nội dung thực nghiệm
4.1Mục tiêu: Giúp học sinh
- Nắm được hệ thống kiến thức dùng trong giải toán cực trị
- Rèn luyện kĩ năng vận dụng linh hoạt, sáng tạo những lí thuyết đã được học vào giải toán
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
1 Mục đích, kế hoạch thực nghiệm sư phạm
Thử nghiệm sư phạm nhằm bước đầu kiểm nghiệm tính thực tế của đề tài qua thực tế giảng dạy và học tập ở trường THCS Đồng thời thử nghiệm sư phạm minh họa và bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu quả của việc rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THCS thông qua các bài toán cực trị hình học
Dạy thử nghiệm một số tiết vào giờ học tự chọn của lớp 9 dưới dạng chuyên đề, đặc biệt thể hiện các cách rèn luyện các hoạt động trí tuệ rõ nét nhất trong quá trình dạy nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh.
- Lớp thực nghiệm: Đối tượng là học sinh lớp 9G2- trường THCS Chu Văn An
Quá trình thực nghiệm được tổ chức vào 2 buổi học tự chọn của lớp 9G2 Dạy thử nghiệm trong thời gian 4 tiết học và có đồng nghiệp tham gia đánh giá, nhận xét và trao đổi ý kiến.
4 Tóm tắt nội dung thực nghiệm
4.1Mục tiêu: Giúp học sinh
- Nắm được hệ thống kiến thức dùng trong giải toán cực trị
- Rèn luyện kĩ năng vận dụng linh hoạt, sáng tạo những lí thuyết đã được học vào giải toán
- Biết xuất phát từ những vấn đề đã giải quyết, thông qua những nhận xét để đề xuất vấn đề mới, góp phần bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy toán học, khả năng tự học, tự nghiên cứu
4.2Cách thức tiến hành được vắn tắt như sau
Hoạt động 1: Giới thiệu có hệ thống về bài toán cực trị hình học
1 Thế nào là bài toán cực trị hình học
2 Các dạng của bài toán cực trị hình học
3 Cách trình bày bài toán cực trị hình học
Hoạt động 2: Hệ thống những kiến thức cơ bản thường dùng trong giải bài toán cực trị hình học
1 Quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu
2 Quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc
3 Các bất đẳng thức trong đường tròn.
4 Bất đẳng thức Cô-si
Hoạt động 3: Đưa ra một số bài tập cực trị, hướng dẫn học sinh phân tích đề bài, xác định được dạng bài cực trị, cách trình bày, và kiến thức sử dụng trước khi đi vào giải bài toán cụ thể.
Bài tập 1: Chứng minh rằng trong các tam giác ABC có góc A không đổi và tổng AB + AC không đổi thì tam giác cân tại A là tam giác có chu vi nhỏ nhất
- Đây là bài toán cực trị có dạng chứng minh
- Đề bài đã cho biết hình dạng của hình cần chứng minh nên cách làm sẽ là: vẽ hình theo yêu cầu của đầu bài rồi chứng minh mọi hình khác có chứa yếu tố (mà ta phải tìm cực trị) lớn hoặc nhỏ hơn yếu tố tương ứng trong hình đã đưa ra
- Dẫn dắt học sinh đi đến lời giải bài toán
Giả sử ABC cân tại A và AMN có chung góc A sao cho
AM + AN = AB + AC Ta cần chứng minh BC < MN
Có AM + AN = AB + AC (gt)
(AB - BM) + (AC + CN) = AB + AC
Vẽ MH BC; NK BC
HBM = KCN (cạnh huyền- góc nhọn)
BH = CK (cạnh tương ứng)
Mà HI < MI và IK < IN (quan hệ giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông) nên HK < MN
Dựng M’ trên tia CA sao cho CM’ = CN = MB
Xét BM’C và MCN có
Xét BMN và NCB có
(vì MBN MBC ACB BNC )
Bài tập 2: Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) cắt nhau tại A và B
(O và O’ ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB) Một cát tuyến di động qua B cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D sao cho B nằm giữa C và D Xác định vị trí của cát tuyến CBD để chu vi ACD nhận giá trị lớn nhất.
Vẽ đường kính AM của đường tròn (O) và đường kính AN của đường tròn
(O’) Ta có: ABN 90 0 và ABM 90 0 Suy ra M, B, N thẳng hàng.
O, O’, A cố định; (O,R) và (O,R’) cố định M, N cố định
(P ACD và P AMN tương ứng là chu vi của các ACD và AMN)
AM không đổi nên P ACD max AC max
Hoạt động 4: Từ một bài toán ban đầu, biết cách đặc biệt hóa, khái quát hóa những dữ liệu bài toán đã cho để đề xuất được bài toán mới
Bài toán: Cho đường tròn (O;r) nội tiếp ABC Kẻ đường thẳng qua O cắt hai cạnh CA, CB của tam giác theo thứ tự ở M và N Đường thẳng MN ở vị trí nào thì CMN có diện tích nhỏ nhất?
Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC
Gọi S là diện tích CMN.
Theo bất đẳng thức Cô-si: 1 CM CN CM.CN
Vậy S min = 2r 2 khi CM = CN
CMN cân đỉnh C có CO là phân giác nên CO MN.
Vậy nếu đường thẳng MN CO tại O thì CMN có diện tích nhỏ nhất
Sau khi cho học sinh phân tích các dữ kiện của bài toán, các con sẽ diễn đạt được bài toán dưới dạng sau; r r
Cho điểm O thuộc tia phân giác góc C, một đường thẳng bất kì đi qua O cắt hai cạnh của góc C tại M và N Chứng minh rằng CMN có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi CO là đường cao của tam giác.
Các con cũng có thể diễn đạt bài toán trên dưới dạng:
Cho điểm O thuộc tia phân giác góc C, một đường thẳng bất kì đi qua O cắt hai cạnh của góc C tại M và N Chứng minh rằng CMN có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi CO là trung tuyến của tam giác.
Nếu bỏ đi điều kiện điểm O thuộc tia phân giác góc C, ta sẽ có kết quả khác mạnh hơn: Cho điểm O nằm trong góc C Một đường thẳng bất kì đi qua
O cắt hai cạnh của góc C tại M và N CMN có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi CO là trung tuyến của tam giác.
Xét CMN nhận CO là trung tuyến và CDE có DE đi qua O nhưng
OD không bằng OE, giả sử OD < OE.
Ta sẽ chứng minh S CMN < S CDE
Thật vậy: Lấy I trên cạnh OE sao cho OI = OD Ta có
Qua O kẻ các đường thẳng song song
O với các cạnh của góc C tạo thành hình bình hành OHCK Theo ví dụ 10 (trang 24)
Do đó min SCMN = 2 SOHCK
O là trung điểm của MN Để dựng MN, ta chỉ cần lấy M sao cho H là trung điểm của CM
III.5 Đánh giá kết quả thực nghiệm
Nội dung thực nghiệm đã cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức dùng để giải toán cực trị hình học cũng như các dạng và cách trình bày của bài toán cực trị Qua đó góp phần bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy toán học, đặc biệt là rèn luyện tư duy sáng tạo, năng lực giải toán ở học sinh. Bản thân học sinh được học cách phân tích, đi sâu vào khai thác một bài toán Tạo được cho học sinh một phương pháp tự học, tự nghiên cứu phát hiện vấn đề.
III.5.2 Về phương pháp dạy học:
Bài giảng có sử dụng phương pháp dạy học không truyền thống “phát hiện và giải quyết vấn đề” nhằm phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh trong học tập