On the role of Linear Algebra in the development of Interior Point algorithms and software Nguyên Hàm Tích phân Ứng dụng của nguyên hàm và tích phân 1 2 3 CHƯƠNG 6 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2 I[.]
CHƯƠNG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Nguyên Hàm Tích phân Ứng dụng nguyên hàm tích phân I Nguyên hàm – Tích phân bất định Khái niệm nguyên hàm Định nghĩa: Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) khoảng D nếu: F’(x) = f(x), x D VD: ◼ x3 nguyên hàm x2 R sinx nguyên hàm cosx R ◼ arcsinx nguyên hàm ◼ 1− x [-1, 1] I Nguyên hàm – Tích phân bất định Định lý: Nếu F(x) nguyên hàm f(x) khoảng D thì: ◼ ◼ Hàm số F(x) + C, với C số bất kỳ, nguyên hàm f(x) D Mọi nguyên hàm f(x) khoảng D biểu diễn dạng: F(x) + C, với C số Định nghĩa: Trong định lý trên, biểu thức F(x) + C gọi biểu thức tích phân bất định f(x) khoảng D Ký hiệu: VD: f(x)dx = F(x) + C cosxdx = sinx + C 1− x dx = arsinx + C Các tính chất nguyên hàm 1) ( f(x)dx ) ' = f(x) ( f(x)dx ) = f(x)dx hay : d hay : dF(x) = F(x) + C 2) F '(x)dx = F(x) + C 3) f(x) g(x) dx = f(x)dx g(x)dx 4) k.f(x)dx = k. f(x)dx 5) (k = const) f(x)dx = F(x) + C f(u)du = F(u) + C, u = u(x) Các công thức nguyên hàm hợp U = U(x) 2) u+1 u du = + + C ( −1) 3) du u = ln u + C 4) au a du = ln a + C, 5) cos udu = sinu + C 6) sinudu = − cos u + C 7) du cos u = tanu + C 8) du sin2 u = − cot u + C 1) du = u + C 9) du 2 u = u+C du 10) u +C a 11) 13) du a+u = ln a2 − u2 2a a − u + C a2 − u2 = arcsin u u u e du = e +C du = − u2 u + C du 12) 14) du u = arctan +C a2 + u2 a a u2 + b = ln u + u2 + b + C Các phương pháp tìm nguyên hàm 4.1 Phương pháp khai triển Sử dụng phép biến đổi đồng kết hợp với tính chất tích phân để đưa tích phân cần tính dạng tổ hợp tích phân a.f(x) + b.g(x) − c.h(x)dx = a f(x)dx + b g(x)dx − c h(x)dx Chú ý: dx 1 [f(x) + a][f(x) + b] = a − b [f(x) + b] − [f(x) + a] dx ; a b Các phương pháp tính nguyên hàm 4.2 Sử dụng tính bất biến nguyên hàm f(x)dx = F(x) + C f(u)du = F(u) + C, u = u(x) VD1: ( Một số công thức) (ax + b)α+1 • (ax + b) dx = + C; a 0; α −1 a(α + 1) α • dx = ax + b a ln ax + b + C; a 0; • cos axdx = sin ax + C; a • e ax dx = ax e + C; a • sin axdx = − cos ax + C; a Các phương pháp tính nguyên hàm 4.3 Phương pháp đổi biến số Đối với tích phân I = f[u(x)].u’(x)dx , ta làm sau: + đặt t = u(x) suy dt =u’(x)dx + thay vào I ta được: f u(x) u'(x)dx = f(t)dt = F(t) + C = F u(x) + C 4.4 Phương pháp nguyên hàm phần Công thức: udv = uv − vdu Trong u = u(x) v = v(x) hàm số có đạo hàm liên tục Hướng dẫn thực hành: P(x) đa thức u = P(x) • P(x).e dx ax dv = e dx u = P(x) • P(x).cos axdx dv = cos axdx m u = ln x • x α lnm xdx α dv = x dx u = P(x) • P(x).sin axdx dv = sin axdx ax u = arctan x • I = x arctan xdx α dv = x dx α 4.5 Nguyên hàm phân thức hữu tỷ P(x) m ax + b dx = Q(x)dx + ax + b dx dx Tích phân dạng x + bx + c ◼ Nếu x +bx + c = (x – x1)(x – x2) thì: Tích phân dạng dx 1 x + bx + c dx = x1 − x x − x1 − x − x dx ◼ Nếu x2 + bx + c = (x – x0)2 thì: dx 1 dx = dx = − +C x + bx + c (x − x )2 x − x0 ◼ Nếu x2 + bx + c = (x – x0)2 + m với m > thì: x − x0 dx 1 x + bx + c dx = (x − x )2 + m dx = m arctan m + C 10 4.5 Nguyên hàm phân thức hữu tỷ Tích phân dạng mx + n ax2 + bx + c dx mx + n p(2ax + b) q dx = dx + ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c dx = ln ax + bx + c + VD: x+6 x + 2x + dx Tích phân dạng q dx ax + bx + c = 2x + dx dx + x + 2x + x + 2x + = x +1 ln x + 2x + + arctan +C 2 P(x) mx + n dx = Q(x)dx + x + bx + c ax + bx + c dx 11 4.6 Nguyên hàm hàm thức Phương pháp chung: Đổi biến số t = thức có mặt tích phân: t = n f(x) Tích phân dạng dx ax + bx + c (mx + n) ax + bx + c dx 12 II Tích phân Khái niệm tích phân Giả sử F(x) ngun hàm hàm f(x) [a;b] tích phân f(x) cận từ a đến b số ký hiệu xác định sau: b f(x)dx = F(x) a b a = F(b) − F(a) (Cơng thức Niuton-leibniz) 13 II Tích phân Khái niệm tích phân Ví dụ: Tính tích phân công thức Newton – Leibniz: 1 31 1 • x dx = x = − = 3 • cos 2xdx = • 1 sin 2x = 2 dx x = arctan = arctan1 − arctan = ( ) 0 + x 2 20 14 II Tích phân Tính chất tích phân xác định Với giả thiết tích phân tồn tại, ta có: a 1) 2) 3) f(x)dx = 0; b b a f(x)dx = − f(x)dx a c b b a c a f(x)dx + f(x)dx = f(x)dx b b b a a a f(x) g(x) dx = f(x)dx g(x)dx b 4) a b k.f(x)dx = k. f(x)dx, a k a 15 II Tích phân Phương pháp tính tích phân Phương pháp đổi biến b Tính I = f(u(x))u'(x)dx a + Đặt t = u(x) từ suy dt = u’(x)dx: + Đổi cận: x =a t =u(a) x=b t =u(b) u(b) I= u(a) u(b) f(t)dt = F(t) u(a) 16 II Tích phân Phương pháp tính tích phân 3.2 Phương pháp tích phân phần b udv = uv a b a b − vdu a u = u(x) v = v(x) hàm số có đạo hàm liên tục [a;b] 17 III Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng với cận vô hạn ◼ Giả sử f(x) liên tục [a;+) Với t > a, ta có + t f(x)dx = lim f(x)dx a t →+ a gọi tích phân suy rộng f(x) [a;+) ◼ Tích phân suy rộng gọi hội tụ giới hạn vế phải tồn hữu hạn, gọi phân kỳ giới hạn vế phải vô hạn không tồn 18 III Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng với cận vơ hạn ◼ Tích phân suy rộng f(x) (-;a]: a a f(x)dx = lim f(x)dx t →− − ◼ t Tích phân suy rộng f(x) (-;+): + f(x)dx = − v lim f(x)dx v →+ u→− u Tính chất: + a + f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx − − a 19 III Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng hàm số khơng bị chặn (đọc thêm) ◼ Giả sử f(x) liên tục [a;b) lim f(x) = Khi đó: x →b − b t f(x)dx = lim f(x)dx a t → b− a gọi tích phân suy rộng f(x) đoạn [a;b] ◼ Giả sử f(x) liên tục (a;b] lim f(x) = Khi đó: b x →a+ b f(x)dx = lim f(x)dx a t → a+ t gọi tích phân suy rộng f(x) đoạn [a;b] 20 ... u(a) 16 II Tích phân Phương pháp tính tích phân 3.2 Phương pháp tích phân phần b udv = uv a b a b − vdu a u = u(x) v = v(x) hàm số có đạo hàm liên tục [a;b] 17 III Tích phân suy rộng Tích phân. .. 11 4 .6 Nguyên hàm hàm thức Phương pháp chung: Đổi biến số t = thức có mặt tích phân: t = n f(x) Tích phân dạng dx ax + bx + c (mx + n) ax + bx + c dx 12 II Tích phân Khái niệm tích phân Giả...I Nguyên hàm – Tích phân bất định Khái niệm nguyên hàm Định nghĩa: Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) khoảng D nếu: F’(x) = f(x), x D VD: ◼ x3 nguyên hàm x2 R sinx nguyên hàm cosx R