Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Giải tích - Chương 1: Phép tính vi phân hàm một biến và nhiều biến. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: hàm số khả vi và một số định lý về giá trị trung bình; khai triển Taylor; sơ lược về chuỗi số, chuỗi Taylor, chuỗi Maclaurin; hàm nhiều biến;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều biến Vũ Hữu Nhự PHENIKAA University Tên học phần tài liệu tham khảo • Tên học phần: Giải tích • Số tín chỉ: 03 • Tài liệu tham khảo: Erwin Kreyszig (10th Edition, 2011), Advanced Engineering Mathematics Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2014),Toán học cao cấp Tập III, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2014),Tốn học cao cấp Tập II- Phép tính giải tích biến số, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự 1.1 Hàm số khả vi số định lý giá trị trung bình 1.1.1 Đạo hàm hàm số khả vi Definition Cho hàm số f (x) xác định khoảng (a; b) x0 ∈ (a; b) - Đạo hàm hàm số x = x0 : f (x) − f (x0 ) f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = lim x→x0 ∆x→0 ∆x x − x0 f (x0 ) := lim (1) Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự 1.1 Hàm số khả vi số định lý giá trị trung bình 1.1.1 Đạo hàm hàm số khả vi Definition Cho hàm số f (x) xác định khoảng (a; b) x0 ∈ (a; b) - Đạo hàm hàm số x = x0 : f (x) − f (x0 ) f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = lim x→x0 ∆x→0 ∆x x − x0 f (x0 ) := lim (1) - Nếu hàm số có đạo hàm x = x0 , ta nói hàm số khả vi x = x0 Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự 1.1 Hàm số khả vi số định lý giá trị trung bình 1.1.1 Đạo hàm hàm số khả vi Definition Cho hàm số f (x) xác định khoảng (a; b) x0 ∈ (a; b) - Đạo hàm hàm số x = x0 : f (x) − f (x0 ) f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = lim x→x0 ∆x→0 ∆x x − x0 f (x0 ) := lim (1) - Nếu hàm số có đạo hàm x = x0 , ta nói hàm số khả vi x = x0 • Ý nghĩa Vật lý: Xét chất điểm M chuyển động theo công thức: S = f (t) - Vật tốc v = f (t) - Gia tốc a = f (t) Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự 1.1 Hàm số khả vi số định lý giá trị trung bình • Ý nghĩa hình học (vẽ hình) + Đường cong (C ) có phương trình y = f (x) =⇒ Phương trình tiếp tuyến (C ) điểm M(x0 , f (x0 ))? Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự 1.1 Hàm số khả vi số định lý giá trị trung bình • Ý nghĩa hình học (vẽ hình) + Đường cong (C ) có phương trình y = f (x) =⇒ Phương trình tiếp tuyến (C ) điểm M(x0 , f (x0 ))? Tiếp tuyến (C ) M(x0 , y0 ) ∈ (C ) là: d : y = f (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự 1.1 Hàm số khả vi số định lý giá trị trung bình Nhắc lại số cơng thức đạo hàm hàm số (c) = (c = số), (x α ) = αx α−1 (α ∈ R) (cos x) = − sin x (cot x) = − sin x (loga (|x|) = (0 < a = 1) x ln a (ax ) = ax ln a (a > 0) 1 (arcsin x) = √ (|x| < 1) (arccos x) = − √ (|x| < 1) − x2 − x2 1 (arctan x) = (arccotx) = − 1+x + x2 (sin x) = cos x (tan x) = cos2 x (ln |x|) = x x x (e ) = e Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự Các quy tắc tính đạo hàm (1) Định lí Giả sử f (x) g (x) xác định (a; b) có đạo hàm x ∈ (a; b) Khi đó: f (x) + g (x) f (x)g (x) khả vi x Hơn nữa: (i) [f (x) + g (x)] = f (x) + g (x), (ii) [f (x)g (x)] = f (x)g (x) + f (x)g (x), (iii) Nếu g (x) = 0, gf (x) (x) khả vi x f (x) g (x) = f (x)g (x) − f (x)g (x) g (x) Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự • Hàm số hợp Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự Theorem (1) Nếu hàm số z = f (x, y ) có đạo hàm riêng zx , zy liên tục lân cận M0 (x0 , y0 ) Khi hàm số z = f (x, y ) khả vi M0 dz = zx ∆x + zy ∆y , (10) dz = zx dx + zy dy (11) hay Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự Theorem (1) Nếu hàm số z = f (x, y ) có đạo hàm riêng zx , zy liên tục lân cận M0 (x0 , y0 ) Khi hàm số z = f (x, y ) khả vi M0 dz = zx ∆x + zy ∆y , (10) dz = zx dx + zy dy (11) hay Tổng quát: Cho z = f (x1 , x2 , , xn ) với đạo hàm riêng liên tục Khi dz = fx1 dx1 + fx2 dx2 + · · · + fxn dxn Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự Example Cho f (x, y ) = x4 x +y + y Tính df (1, 0) x Cho f (x, y ) = arctan x +2y Tính df (2, 1) Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự (3) Công thức số gia hữu hạn Cho hai điểm a, b ∈ R2 Đoạn nối a b cho [a, b] := {c = ta + (1 − t)b | ≤ t ≤ b} Theorem (Công thức số gia hữu hạn) Giả sử hàm số z = f (x, y ) khả vi tập mở D [a, b] ⊂ D với a = (x1 , y1 ), b = (x2 , y2 ) Khi đó, tồn c = at + (1 − t)b ∈ [a, b] với t ∈ (0, 1) cho z(x2 , y2 ) = z(x1 , y1 ) + zx (c)(x2 − x1 ) + zy (c)(y2 − y1 ) Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự Bài tập Bài Tính đạo hàm riêng vi phân toàn phần hàm số sau: u = x y + x +1 y −1 u = x +y x2 + y2 x +y f = arctan − xyz f = ln(x + y + z ) u = Bài Cho u(x, y , z) = x +y +z biết A= x2 + y2 u = arcsin(x + y + z ) f = x y z f = arcsin(x + yz) Tính giá trị A (1, 2, −3) ∂u ∂u ∂u + + ∂x ∂y ∂z Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự (4) Đạo hàm riêng vi phân cấp cao (Sinh viên tự nghiên cứu) (a) Đạo hàm riêng cấp cao Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự (4) Đạo hàm riêng vi phân cấp cao (Sinh viên tự nghiên cứu) (a) Đạo hàm riêng cấp cao Cho z = f (x, y ) • Đạo hàm riêng cấp 1: ∂f = fx , ∂x ∂f = fy ∂y Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự (4) Đạo hàm riêng vi phân cấp cao (Sinh viên tự nghiên cứu) (a) Đạo hàm riêng cấp cao Cho z = f (x, y ) • Đạo hàm riêng cấp 1: ∂f = fx , ∂x ∂f = fy ∂y • Đạo hàm riêng cấp 2: ∂2f ∂ = ∂x ∂x ∂ f ∂ = ∂y ∂x ∂x ∂f ∂x ∂f ∂y = fxx , = fyx , ∂2f ∂ ∂f = = fxy ∂x∂y ∂y ∂x ∂ ∂f ∂2f = = fyy ∂y ∂y ∂y Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự Example Tính đạo hàm riêng cấp z = x y + 4y Cho u = x ln(xy ) Tính đạo hàm riêng sau ∂2u =?, ∂x ∂2u =?, ∂y ∂3u =?, ∂x ∂y Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự Theorem (Schwarz) Giả sử hàm số z = f (x, y ) có đạo hàm riêng fxy , fyx liên tục lân cận điểm (x0 , y0 ) Khi fxy (x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 ) Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự (b) Vi phân tồn phần cấp cao Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự (b) Vi phân toàn phần cấp cao Cho hàm số z = f (x, y ) x, y biến số độc lập • Vi phân tồn phần cấp 1: dz = fx dx + fy dy Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự (b) Vi phân toàn phần cấp cao Cho hàm số z = f (x, y ) x, y biến số độc lập • Vi phân tồn phần cấp 1: dz = fx dx + fy dy • Vi phân tồn phần cấp 2: d z = d(dz) = fx dx + fy dy x dx + fx dx + fy dy y dy = fxx dx + (fxy + fyx )dxdy + fyy dy Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự (b) Vi phân toàn phần cấp cao Cho hàm số z = f (x, y ) x, y biến số độc lập • Vi phân toàn phần cấp 1: dz = fx dx + fy dy • Vi phân tồn phần cấp 2: d z = d(dz) = fx dx + fy dy x dx + fx dx + fy dy y dy = fxx dx + (fxy + fyx )dxdy + fyy dy Nếu fxy , fyx liên tục, d z = fxx dx + 2fxy dxdy + fyy dy Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự Example Cho z = x sin y Tính d z(1, π4 ) Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự ... (x)g (x) g (x) Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự • Hàm số hợp Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự • Hàm số hợp Cho hàm số u : (a; b) → (c; d)... gần x Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự • Ví dụ Tìm số trung gian c định lí Lagrange biết f (x) = x + 4x , a = 0, b = Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều. .. dụ Tính đạo hàm hàm số: y = e sin x Đặt u = sin x =⇒ y = e u Ta có: Giải tích Chương Phép tính vi phân hàm biến nhiều Vũ Hữu Nhự (2) Định lí (Đạo hàm hàm số hợp) Giả sử hàm số u = u(x) khả vi