Sáng kiến kinh nghiệm Từ bài toán cực trị đến bài toán cực trị trong không gian tọa độ25172

Tổ Toán Tin I/TÊN ĐỀ TÀI : “ TỪ BÀI TỐN CỰC TRỊ ĐẾN BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG KHƠNG GIAN TỌA ĐỘ ” II/ ĐẶT VẤN ĐỀ : Lý chọn đề tài : a/ Thế tốn cực trị hình học : Các tốn cực trị hình học có dạng chung sau: Trong tất hình có chung tính chất, tìm hình mà đại lượng (như độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích, ) có giá trị lớn nhỏ b/ Lý chọn đề tài : Bài toán cực trị nói chung tốn khó Học sinh gặp nhiều đề thi tuyển sinh , đề thi dành cho học sinh giỏi lớp tốn khơng dành riêng cho khối THPT Học sinh thường ngại tiếp cận ,giải tốn cực trị nói chung – tốn cực trị hình học khơng gian tọa độ nói riêng Việc tiếp tục tìm hiểu tốn sau có lời giải khơng phải thói quen em học sinh kể học sinh giỏi Tìm đến lời giải cho tốn – khơng phải kết thúc q trình giải tốn Hãy tiếp tục tìm hiểu tốn giải Lời giải có phải lời giải tốt ? Cịn giải khác ? Cách giải tìm thấy vận dụng để giải tốn khác ? Có hay khơng tốn tương tự - toán tổng quát ? Có thể đặc biệt hóa tốn ? Chúng tơi chọn khía cạnh cơng việc giải tốn để tìm hiểu : “Xác lập tốn từ tốn cực trị khơng gian tọa độ ” Giới hạn phạm vi nghiên cứu Trong phạm vi đề tài , chúng tơi tìm hiểu số tốn cực trị khơng gian tọa độ , hình cần tìm đường , mặt viết phương trình đường ,mặt – điểm tìm tọa độ Những tốn cực trị hình học khác khơng gắn liền với khơng gian tọa độ khơng phải đối tượng nghiên cứu Nhiệm vụ - phương pháp nghiên cứu : Tìm số tốn cực trị (có thể hình học phẳng khơng gian)làm toán gốc Xuất phát từ toán gốc – qua thao tác tư ( Dự đốn, phân tích , so sánh ,tổng hợp, khái qt hóa, tương tự hóa, đặc biệt hóa )– xác lập tốn Chúng tơi xét tốn gốc toán mức tổng quát – giải toán gốc – phát biểu toán mức tổng quát ; sau nêu giải vài tốn cụ thể mang tính minh họa Mục dích nghiên cứu : Năm học : 2010 – 2011 ThuVienDeThi.com “TỪ BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẾN BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG KHƠNG GIAN TỌA ĐỘ” + Định hướng cho học sinh cách thức học chủ động – sáng tạo – nâng cao khả tự học + Rèn luyện khả suy luận có lý , suy luận mang tính chặt chẽ , logic + Hệ thống kiến thức – xâu chuỗi tập qua học sinh thấy mối liên hệ tốn cực trị khơng gian tọa độ nôi dung phương pháp giải + Có thêm tài liệu dành cho việc học tập mơn tốn học sinh giỏi , tài liệu tham khảo cho học sinh thi đại học III/ CƠ SỞ LÝ LUẬN : Điều 24.2 Luật giáo dục (1998) viết : ''Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động sáng tạo học sinh, phải phù hợp với đặc điểm môn học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh" Trên quan điểm chung phương pháp dạy học – việc dạy học Toán trường THPT làm cho học sinh học tập cách tích cực, biết phát giải vấn đề , phát triển tư linh hoạt – hình thành em IV/ CƠ SỞ THỰC TIỄN : Các em học sinh nhiều lý liên quan đến nội dung chương trình – thời gian , thói quen học tập trở nên thụ động trình học Các em dễ dàng chấp nhận – nhớ máy móc kiến thức để vận dụng kiến thức giải tốn tình riêng lẻ Khả tư vốn tiềm ẩn cách sinh động Cần phải thay đổi tinh thần , thái độ học tập – phương pháp học tập ý niệm học toán giải toán Không nhiều tiết dạy mà giáo viên tạo khơng khí học tập cởi mở - học sinh độc lập suy nghĩ , trao đổi , tìm hiểu vấn đề - Các tiết dạy mang đến cho em niềm hứng thú với mơn học – hình thành em phương pháp học tập sáng tạo linh hoạt Chúng tơi nghĩ cần có “ví dụ sinh động” việc học , giải toán cách chủ động – Cách thể viết “ví dụ”như V/ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU : gồm phần Phần I : Các toán cực trị mang tính khái qt khơng gian tọa độ Phần II : tốn cực trị khơng gian tọa độ mang tính minh họa ThuVienDeThi.com Tổ Tốn Tin PHẦN I : CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ MANG TÍNH KHÁI QT TRONG KHƠNG GIAN TỌA ĐỘ Các tốn tốn mang tính khái quát : Cho điểm cho tọa độ điểm – cho đường hay mặt kèm theo phương trình đường hay mặt – Tìm mặt phẳng viết phương trình mặt phẳng Bài toán 1: Cho điểm A,B mặt phẳng  Tìm điểm M mặt phẳng  cho MA+MB nhỏ Đây toán quen thuộc – Có thể tìm hiểu lời giải tốn qua hình vẽ minh họa cho trường hợp A,B nằm phía ; khác phía đốí với mặt phẳng  Ta thử tìm hiểu xuất phát từ tốn ta xác lập toán khác Nếu toán ta thay “mặt phẳng ”bởi “đường thẳng ” ta có tốn : Bài tốn 1.1 : Trong khơng gian cho điểm A,B đường thẳng .Tìm điểm M đường thẳng  cho MA+MB nhỏ Ta giải toán 1.1 trường hợp AB  đồng phẳng ; AB  chéo + Trường hợp AB  đồng phẳng ( học sinh tự tìm hiểu) + Trường hợp AB  chéo :  Nếu AB ,  chéo vng góc Điểm M cần tìm điểm M0 hình vẽ bên  Nếu AB ,  chéo khơng vng góc Gọi H, K hình chiếu A,B lên   mặt phẳng chứa  qua B A’ điểm  cho A’ , B nằm khác phía  , A’H   A’H = AH (xem hình) A’B cắt  M0 Ta có MA + MB = MA’ +MB ≥ A’B MA+MB nhỏ  M  M0 Chú ý : M0 nằm đoạn HK M0H/ M0K = A’H/BK = AH/BK Năm học : 2010 – 2011 ThuVienDeThi.com “TỪ BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẾN BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ” uuuuuur AH uuuuuur M K BK Điều thú vị phát biểu toán tương tự toán mặt cầu vài trường hợp đặc biệt chẳng hạn : Bài toán 1.2: Cho điểm A , B nằm ngồi mặt cầu (S) có tâm I cho IA = IB.Tìm điểm M mặt cầu (S) cho MA+MB nhỏ Giải : Gọi H trung điểm AB N hình chiếu M lên mặt phẳng (ABI) N nằm đường tròn lớn mặt cầu (S) mặt phẳng Ta có : MA + MB ≥ NA + NB ≥ M0A + M0B (xem hình) MA+MB nhỏ  M M0  M0H   Bài toán 2: Cho đường thẳng d ,  chéo Tìm M  d N   cho độ dài đoạn MN nhỏ (2 điểm M,N cần tìm theo MN đoạn vng góc chung d , .) Nếu thay “đường thẳng d ” “mặt phẳng ” với  d điểm chung (  //  ) tốn có vơ số nghiệm hình (xem hình) (’ hình chiếu  lên  ) Do ta phát biểu tốn “khác” chút Bài toán 2.1: Cho mặt phẳng  đường thẳng  ;  // Tìm tập hợp điểm M thuộc  cho d(M,  ) nhỏ Nếu toán 6.1 ta thay mặt phẳng  mặt cầu (S) ta có : Bài toán 2.2: Cho mặt cầu (S) đường thẳng  ((S)  khơng có điểm chung) Tìm M  (S) N   cho độ dài đoạn MN nhỏ Trong toán : Nếu thay “2 đường thẳng ” “2 mặt ” ( mặt cầu hay mặt cầu mặt phẳng ) Ta có : Bài tốn 2.3 : Cho mặt phẳng  mặt cầu (S ) ((S)  khơng có điểm chung) Tìm M  (S) N   cho độ dài đoạn MN nhỏ Giải : N0 hình chiếu tâm I lên mặt phẳng  Mặt cầu (S) cắt đoạn IN0 0 mặt phẳng tiếp xúc với (S) M0 0 cắt đoạn MN P Ta có : MN ≥ PN = d(P,  ) = M0 N0 Đoạn MN nhỏ  M  M0 ThuVienDeThi.com Tổ Tốn Tin Nhìn lại tốn - hai điểm M0 , N0 cần tìm mà theo đoạn M0 N0 đoạn vng góc chung Ta có : , M0 N0 = d(M0 ,  ) ≤ d(M , ) – Bài tốn phát biểu lại theo cách khác : Bài toán 2*: Cho đường thẳng d ,  chéo Tìm M  d cho khoảng cách từ M đến  nhỏ Từ học sinh phát biểu vài toán tương tự khác : Bài toán 2*.2 : Cho mặt phẳng  mặt cầu (S ) ((S)  khơng có điểm chung) Tìm M  (S) cho khoảng cách từ M đến  nhỏ ( lớn ) Bài toán 2*.3: Cho mặt cầu (S) đường thẳng  ((S)  khơng có điểm chung) Tìm M  (S) cho khoảng cách từ M đến  nhỏ ( lớn ) Bài tốn 3: Cho hai điểm A , B Tìm mặt phẳng  qua A cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng  lớn Giải : mặt phẳng  cần tìm mặt phẳng qua A vng góc với AB (xem hình) Nếu” hai điểm A,B” thay bởi“2 đường thẳng d  (khơng có điểm chung)”thì ta có tốn chẳng hạn : Bài toán 3.1: Cho đường thẳng d  chéo Tìm mặt phẳng  chứa  cho khoảng cách từ d đến mặt phẳng  lớn Bây ta phát biểu tốn với” điểm đường thẳng (khơng chứa điểm đó)” Bài tốn 3.2 : Cho điểm A đường thẳng d khơng chứa A Tìm mặt phẳng  chứa d cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng  lớn Ở góc nhìn khác,trong tốn thay “mặt phẳng  qua A” “đường thẳng  qua A ” Tương tự , đường thẳng  cần tìm qua A vng góc với AB ( có vơ số đường thẳng  thế) Để tốn có nghiệm hình cụ thể ta điều chỉnh sau : Bài toán 3.3: Cho mặt phẳng  hai điểm A , B (A   ) Tìm mặt phẳng  đường thẳng  qua A cho khoảng cách từ B đến đường thẳng  lớn Để ý khoảng cách từ B đến đường thẳng  nhỏ –  hình chiếu vng góc AB lên mặt phẳng  Ta có : Bài tốn 3.4: Cho mặt phẳng  hai điểm A , B (A   ) Tìm mặt phẳng  đường thẳng  qua A cho khoảng cách từ B đến đường thẳng  nhỏ Năm học : 2010 – 2011 ThuVienDeThi.com “TỪ BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẾN BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG KHƠNG GIAN TỌA ĐỘ” Nếu toán , xuất thêm điểm C ta xác lập tốn với khoảng cách từ B , C đến mặt phẳng  ? Ta có : Bài tốn 3.5 : Cho ABC Tìm mặt phẳng  qua A cho B,C nằm phía với mặt phẳng  tổng khoảng cách từ B , C đến mặt phẳng  lớn Giải : M trung điểm BC H,I ,N hình chiếu B,C,M lên mặt phẳng  BH + CI = MN ≤ MA BH + CI lớn N  A Mặt phẳng  cần tìm mặt phẳng  qua A vng góc với AM Nếu tốn 3.5 , xuất thêm điểm D ta có : Bài tốn 3.6 : Cho tứ diện ABCD Tìm mặt phẳng  qua A cho B,C,D nằm phía với mặt phẳng  tổng khoảng cách từ B , C, D đến mặt phẳng  lớn Giải : M trung điểm CD G trọng tâm tam giác ABC Tổng khoảng cách từ B , C, D đến mặt phẳng  BH + MI = 3GO ≤ GA Tổng lớn O  A Mặt phẳng  cần tìm mặt phẳng qua A vng góc với AG Có thể tổng qt hóa tốn 2.5, 2.6 ta có : Bài tốn 3.7 : Cho n+1 điểm A0 , A1 ,A2 , , An Tìm mặt phẳng  qua A0 cho điểm A1 ,A2 , ,An nằm phía với mặt phẳng  tổng khoảng cách từ điểm A1 ,A2 , ,An đến  lớn Có thể giải toán phương pháp qui nạp toán học Ta thử xác lập toán từ Bài tốn 3.5 với góc nhìn khác Ta thay “mặt phẳng  qua A”bởi “đường thẳng  qua A ”Ta có : Bài tốn 3.8 : Cho  ABC Tìm đường thẳng  qua A cho tổng khoảng cách từ B , C đến đường thẳng  lớn Giải : Ta có BH + CI ≤ BA+CA BH + CI lớn  H  C I  C Đường thẳng  cần tìm qua C vng góc với mặt phẳng (ABC) (xem hình ) Có thể mở rộng toán 3.8 với nhiều điểm nằm mặt phẳng chẳng hạn : Bài toán 3.9 : Cho tứ giác ABCD Tìm đường thẳng  qua A cho tổng khoảng cách từ B,C,D đến đường thẳng  lớn Nếu toán 3.5 ta thay “tổng khoảng cách từ B , C”bởi “giá trị tuyệt đối hiệu khoảng cách từ B ,C” với điều chỉnh cần thiết ta có : ThuVienDeThi.com Tổ Tốn Tin Bài toán : Cho đường thẳng d hai điểm B,C ( d , BC chéo ).Tìm mặt phẳng  chứa d cho giá trị tuyệt đối hiệu khoảng cách từ B , C đến mặt phẳng  nhỏ Giá trị tuyệt đối hiệu khoảng cách từ B , C đến mặt phẳng  nhỏ ( điều xảy ) – Có thể phát biểu lại toán theo cách thức khác : “Cho đường thẳng d hai điểm B,C ( d , BC chéo ).Tìm mặt phẳng  chứa d cho khoảng cách từ B , C đến mặt phẳng  ” Với cách diễn đạt học sinh dễ thấy mặt phẳng  cần tìm song song với BC ( điểm B,C nằm phía mặt phẳng  ) mặt phẳng  qua trung điểm BC ( điểm B,C nằm khác phía mặt phẳng ) Trong toán , đường thẳng d điểm C hốn đổi cho ta có : Bài tốn 4.1 : Cho đường thẳng d hai điểm B,C(d , BC chéo ).Tìm mặt phẳng  qua điểm C cho giá trị tuyệt đối hiệu khoảng cách từ B d đến mặt phẳng  nhỏ Các nghiệm hình tốn 4.1 minh họa hình vẽ Nếu thay đường thẳng BC đường thẳng  ( xem d , điểm tốn )thì ta khơng ràng buộc  qua d Ta có : Bài tốn 4.2:Cho đường thẳng d  chéo nhau.Tìm mặt phẳng  không đồng thời cắt d  , cho giá trị tuyệt đối hiệu khoảng cách từ B , C đến mặt phẳng  nhỏ Nghiệm hình tốn 4.2 minh họa hình vẽ bên Bài tốn : Cho mặt phẳng  đường thẳng d cắt  Tìm mặt phẳng  chứa d cho góc   nhỏ Giải : d cắt  I A  d H hình chiếu A lên  Mặt phẳng  chứa d cắt  theo giao tuyến  K hình chiếu A lên   AK    HK Góc mặt phẳng   góc AKH góc d mặt phẳng  góc AIH sin AKH = AH/AK ≥ AH/AI = sin AIH   AKH ≥  AIH Ta có :  AKH =  AIH  K  I Vậy góc mặt phẳng   nhỏ góc d mặt phẳng  Mặt phẳng  cần tìm qua điểm I vng góc với d Năm học : 2010 – 2011 ThuVienDeThi.com “TỪ BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẾN BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG KHƠNG GIAN TỌA ĐỘ” Trong toán , ta thay “mặt phẳng  quay quanh d ” “đường thẳng  quay quanh điểm I cho trước ”sao cho góc  d nhỏ Ta có Bài tốn 5.1: Cho mặt phẳng  đường thẳng d cắt  I Tìm đường thẳng   qua I cho góc  d nhỏ Góc  d nhỏ  hình chiếu d lên  (xem hình) Trong tốn 5.1 , thay cho trước mặt phẳng đường thẳng cắt ta cho mặt phẳng cắt , ta có : Bài tốn 5.2 : Cho mặt phẳng   cắt I điểm  , I  Tìm đường thẳng   qua I cho góc   lớn Góc   lớn M  K với K hình chiếu I lên giao tuyến  , hình chiếu d lên  (xem hình) Trong tốn yếu tố cho trước mặt phẳng đường thẳng mặt phẳng – ta thử phát biểu toán : “Cho đường thẳng d  cắt (hoặc chéo ) ” Bài toán 5.3 : Cho đường thẳng d  chéo Tìm mặt phẳng  chứa  cho góc  d lớn Giải : Mặt phẳng  ( thay đổi) chứa  cắt d I A  d H hình chiếu A lên  Qua I dựng ’ //  K hình chiếu A lên ’ Góc mặt phẳng  d góc AIH Góc d  góc AIK =  sin AIH = AH/AI ≤ AK/AI= sin AIK   AIH ≤  AIK Ta có :  AIH =  AIK =   H  K Vậy góc mặt phẳng   lớn góc  Mặt phẳng  cần tìm chứa  tạo với d góc  Thử tìm hiểu toán tương tự toán có liên quan đến mặt cầu – tơi tìm thấy toán : Bài toán 5.4: Cho mặt cầu (S) mặt phẳng  M điểm cho trước (S) Tìm tiếp tuyến  mặt cầu (S) M cho  tạo với mặt phẳng  góc lớn Góc  mặt phẳng   MNH lớn N  K –   MK ,   d (xem hình ) ThuVienDeThi.com Tổ Tốn Tin Bàiuuu toán 6:rCho hai điểm A ,B mặt phẳng  Tìm điểm M  : r uuu a/ |MA  MB | nhỏ nhỏ b/ MA2 +uuu MB r uuu r uuur Giải : a/ |MA  MB | =|2 MI | = MI ≥ M0I (I trung điểm AB, M0là hình chiếu I lên mặt phẳng uuu )r uuur |MA  MB | nhỏ  M  M0 b/ MA2 + MB2 = MI2 + AB2/2 ≤ MI02 + AB2/2 MA2 + MB2 nhỏ  M  M0 với M0là hình chiếu I lên mặt phẳng  Có thể mở rộng uuu r uuur toán ? uuur uur uur Ta có mMA  nMB  (m  n) MI  mIA  nIB với điểm I Ta chọn I uur uur r uuur uuur uuur cho mIA  nIB = , | mMA  nMB | = | (m  n) MI | = |m+n| MI (m+n 0 ) Từ ta phát biểu toán : Bàiuuu toán r 6.1: uuur Cho hai điểm A ,B mặt phẳng  Tìm điểm M  : |m MA  nMB | nhỏ với m + n 0 Cũng học sinh tìm đến : Bài toán 6.2: Cho hai điểm A ,B mặt phẳng  Tìm điểm M  : mMA2 + nMB2 nhỏ với m > , n >0 Mở rộng theo hướng khác ? Phát biểu toán với điểm A,B,C Bàiuuu toán r 6.3: uuur Cho uuurtam giác A BC mặt phẳng  Tìm điểm M  : a/ |MA  MB  MC | nhỏ b/ MA2 + MB2 + MC2 nhỏ Phát biểu toán tương tự với điểm A,B,C,D ? Hãy phát biểu Điều thú vị học sinh có toán từ toán thay cụm từ “mặt phẳng ” cụm từ “ đường thẳng  ” hay “” mặt cầu (S) Ta thử giải nhiều toán với mặt cầu (S) , chẳng hạn : Bàiuuu toán r 6.4 uuur Cho hai điểm A ,B mặt cầu (S) Tìm điểm M (S) : a/ |MA  MB | nhỏ ( lớn nhất) nhỏ ( lớn nhất) b/ MA2uuu +rMBuuu r uuuur Giải : |MA  MB | =|2 MH | = MH với H trung điểm AB + Trường hợp H nằm mặt cầu (S) Gọi M0 giao điểm đường thẳng IH (S) H nằm I M0  mặt phẳng chứa IH qua M Trong mặt phẳng  dựng đường trịn tâm H , bán kính HM0 cắt đoạn thẳng HM N Ta MH uuurcó :uuu r = MN + NH ≥ HN = M0H |MA  MB | nhỏ  MH nhỏ  M  M0 Năm học : 2010 – 2011 ThuVienDeThi.com “TỪ BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẾN BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG KHƠNG GIAN TỌA ĐỘ” + Trường hợp H nằm ngồi mặt cầu (S) Học sinh giải tương tự (xem hình vẽ bên) + Trường hợp H nằm mặt cầu (S) Khi M cần tìm trùng với điểm H Học sinh thử xác định điểm M  (S) cho MA + MB lớn nhát Bài toán 7: Trong mặt phẳng cho đường tròn (C) tâm I đường thẳng d thay đổi Xác định d cho d cắt (C) điểm A,B cho  IAB có diện tích lớn Thử tìm hiểu phát biểu tốn tương tự khơng gian Hình mặt phẳng Hình tương tự khơng gian Đường tròn (C) Mặt cầu (S) Đường thẳng d Mặt phẳng  Tam giác cân đỉnh I đáy dây cung Hình nón đỉnh I , đáy đường trịn AB giao tuyến Diện tích tam giác Thể tích khối nón Bài toán 7.1: Cho mặt cầu (S) tâm I mặt phẳng  thay đổi Xác định  cho  cắt (S) theo đường tròn cho khối nón đỉnh I đáy đường trịn giao tuyến tích lớn Giải : Mặt cầu (S) tâm I , bán kính R khơng đổi Đường trịn giao tuyến (S)  có bán kính r thay đổi h khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng  h thay đổi Ta có : r2 + h2 = R2 Thể tích khối nón : V =  r2 h =  r r 2h V lớn tích lớn Các số dương r2 , r2 , 2h2 có tổng r2 + r2 + 2h2 = 2R2 không đổi  r2.r2.2h2 lớn r2 = 2h2  h2 = R2  h = R / hay d(I ,  ) = R / Mặt phẳng  cần tìm có d(I ,  ) = R / Bài toán : Cho điểm A B Tìm mặt cầu (S) có bán kính nhỏ , (S) qua A B Nếu thay điểm B đường thẳng  không chứa A ta có : Bài tốn 1: Cho điểm A đường thẳng  không chứa A Tìm mặt cầu (S) có bán kính nhỏ , (S) qua A tiếp xúc với  Giải : Giả sử (S) có bán kính R qua A tiếp xúc với  M Ta có 2R ≥ AM ≥ AM0 với M0 hình chiếu A lên   R ≥ AM0/2 R nhỏ AM0/2  M  M0 Mặt cầu (S) cần tìm có đường kính AM0 r2.r2.2h2 10 ThuVienDeThi.com Tổ Toán Tin Trong toán 8.1 thay “đường thẳng ” “mặt phẳng ”, ta có : Bài tốn 2: Cho điểm A mặt phẳng  khơng chứa A Tìm mặt cầu (S) có bán kính nhỏ , (S) qua A tiếp xúc với  Giải : Gọi H là hình chiếu A lên  Giả sử (S) có tâm I , bán kính R qua A tiếp xúc với  K Ta có: 2R = IA+IK ≥ AK ≥ AH  R nhỏ  K  H Mặt cầu (S) cần tìm có đường kính AH Trong toán : “2 điểm A ,B ” thay “2 đường thẳng d  ” “(S) qua A B” thay “(S) tiếp xúc với d  ” Khi “bài tốn mới”có lời giải ? Tìm hiểu thấy tốn có lời giải “ d chéo ” - Ta có : Bài tốn : Cho đường thẳng  d chéo Tìm mặt cầu (S) có bán kính nhỏ , (S) tiếp xúc với d  Thường mặt cầu xác định biết điểm khơng đồng phẳng thuộc Trong tốn ta dùng đến điểm A,B (và thỏa mãn điều kiện ) Ta phát biểu toán toán với điểm A,B,C(và thỏa mãn điều kiện ) Bài toán 8.4 : Cho  ABC Tìm mặt cầu (S) có bán kính nhỏ , (S) qua A , B C Có hay khơng “bài tốn mới” thay điểm C đường thẳng  hay mặt phẳng  ? Đây điều thú vị để tìm hiểu Trên sở tìm hiểu tốn : “Cho mặt cầu (S) điểm M  (S)  đường thẳng qua M cắt (S) điểm A,B Chứng minh tích MA.MB khơng đổi ” tơi đề xuất tốn xem toán gốc : Bài toán 9: Cho mặt cầu (S) điểm M nằm (S)  đường thẳng qua M cắt mặt cầu (S) điểm A,B cho A nằm M B Xác định  cho tích MA.AB lớn Giải : Ta có : MA.AB = MA.(MB-MA) = MA.MB – MA2 uuuur uuuur uuuuur uuur uuuuur uuuur MA.MB  MA.MB  ( MH  HA)( MH  HB) uuuuur2 uuur  MH  HA  MI  HI  HA2  MI  ( HI  HA2 )  MI  IA2  MI  R MA.AB lớn  MA nhỏ  A  M0 (xem hình) Đường thẳng  cần tìm đường thẳng qua M tâm I mặt cầu Năm học : 2010 – 2011 ThuVienDeThi.com 11 “TỪ BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẾN BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG KHƠNG GIAN TỌA ĐỘ” Trong tốn thay tìm hiểu tích MA.AB lớn ,ta tìm hiểu tích MB.AB Ta có : Bài toán 9.1: Cho mặt cầu (S) điểm M nằm (S)  đường thẳng qua M cắt mặt cầu (S) điểm A,B cho A nằm M B Xác định  cho tích MB.AB lớn Vì tích MA.MB không đổi nên tổng MA + MB nhỏ MA = MB Để MA = MB M phải nằm (S) có vơ số  qua M cắt (S) A,B cho MA = MB - Vậy ta có hay khơng tốn ? Tìm hiểu thêm chút ,các đường thẳng  nằm mặt phẳng qua M vng góc với IM ( I tâm mặt cầu) Ta có : Bài tốn 9.2: Cho mặt cầu (S) điểm M nằm (S)  đường thẳng qua M cắt mặt cầu (S) điểm A,B cho MA+MB nhỏ Chứng tỏ  nằm mặt phẳng  cố định ( viết phương trình mặt phẳng ) Bài tốn 9.3: Cho mặt cầu (S) điểm M nằm (S)  đường thẳng qua M cắt mặt cầu (S) điểm A,B cho |MA-MB| nhỏ Chứng tỏ  nằm mặt phẳng  cố định ( viết phương trình mặt phẳng ) Bài toán 9.4: Cho mặt cầu (S) điểm M nằm (S) Đường thẳng  qua M cắt mặt cầu (S) điểm A,B cho MA2+MB2 nhỏ Chứng tỏ  nằm mặt phẳng  cố định ( viết phương trình mặt phẳng ) PHẦN II : CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHƠNG GIAN TỌA ĐỘ MANG TÍNH MINH HỌA Trong phần Các toán cực trị không gian phát biểu cụ thể minh họa cho toán phần Để tiện cho việc theo dõi giữ nguyên thứ tự tốn phần – Tuy nhiên khn khổ viết có hạn chúng tơi giới thiệu số toán cụ thể để minh họa làm sáng tỏ thêm nội dung số toán phần Bài toán 1.1 : Cho A (1,2,3) B(3,4,-1)  : x = –t , y = -t , z = +2t Tìm điểm uuur M  : MA + MB nhỏ Giải : AB  (2, 2, 4) r  có véc tơ phương : u  (1, 1, 2) uuur r Vì AB, u phương A   AB // Gọi A’ đối xứng với A qua  - A’B cắt  M0 (M0 trung điểm A’B ) Ta có : MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B MA + MB nhỏ  M  M0 – Ta xác định tọa độ M0 Gọi I trung điểm AB ta có : IM0 //AA’  IM0   12 ThuVienDeThi.com Tổ Toán Tin uuuur r M0    M0(1 –t , -t , +2t ) - IM0    IM u =  t = -1  M0(2 , 1,0) Bài toán 2*2 : (B-2007) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) : x2 + y2+ z2 - 2x + 4y + 2z - = mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 14 = Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn Giải : (S) có tâm I (1, -2, -1) bán kính R = d(I, (P)) = > R  (S) mặt phẳng (P) khơng có điểm chung  đường thẳng qua I vng góc với (P) , phương trình  : x = + 2t ; y = -2 –t , z = -1 +2t  cắt (S) điểm : M*0 (3, -3 , 1) , M0 (-1, -3, -3) Để ý d(M*0,  ) = d(M0,  ) = 19/3 Gọi (P) mặt phẳng qua M0 tiếp xúc nới mặt cầu (S) (S) nằm mặt phẳng song song  (P)  M  (S) , d(M, ) ≤ d( (P) ,  ) = d(M0,  ) d(M, ) lớn M  M0 Bài toán * : Cho A(-3,2,6) B(-8,3,8) C(1,2,1) D(0,1,-1) – a/ Chứng tỏ AB CD chéo vng góc b/ Tìm điểm M đoạn AB cho : khoảng cách từ M đến CD nhỏ – (lớn ) Giải : b/ AB : x = -3 -5y , y = +t , z = 6+2t Mặt phẳng  chứa CD vng góc AB có phương trình : 5x-y-2z -1 = – Mặt phẳng  cắt đường thẳng AB M0(2,1,4) Để ý M0 nằm đoạn AB ; điểm A nằm M0 B Gọi N hình chiếu M0 lên CD M điểm thuộc đoạn AB MN , AN khoảng cách từ M , A đến đường thẳng CD N Ta có : MM0 ≥ AM0  MN ≥ AN ( quan hệ đoạn xiên hình chiếu ) MN nhỏ M  A Bài toán 5.4: Cho mặt cầu (S) : (x-1)2+(y+1)2+z2 = Viết phương trình tiếp tuyến  với (S) M(2, 0,1) cho  tạo với mặt phẳng Oxy góc lớn Giải : (S) có tâm I( 1,-1,0)  mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) M  cắt mặt phẳng Oxy theo giao tuyến d Gọi H, K hình chiếu M lên  d  tiếp tuyến M ,     cắt d N Ta có sin MNH = MH/MN ≤ MH/MK = sin MKH  MNH ≤  MKH Ta có :  MNH =  MKH  N  K Góc  mặt phẳng Oxy  MNH lớn N  K – Năm học : 2010 – 2011 ThuVienDeThi.com 13 “TỪ BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẾN BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ”   MK ,   d Ta viết phương trình đường thẳng MK uuur Ta có : IM  (1,1,1) phương trình  : x + y+z -3 = d giao tuyến  Oxy : z =  d : x = 3-t , y = t , z =  mặt phẳng qua M vng góc với d – phương trình  : -x + y +z +1= MK giao tuyến    MK : x = 2+t , y = t z = – 2t Bài toán 6.2 : Cho A( 1,-1,-2) B( ,-1,4) mặt phẳng  : x - y - z + = Tìm điểm M  : MA2 + 2MB2 nhỏ VI/ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU : Việc nghiên cứu bước đầu đề tài giúp chúng tơi có thêm niềm say mê tìm hiểu sâu Tốn học phổ thơng Việc khảo sát tác động việc áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy cần tiến hành cách chặt chẽ VII/ KẾT LUẬN : Đây đề tài mà việc nghiên cứu đòi hỏi nhiều thời gian , tâm huyết Chúng cố gắng thể khả trang viết thực tế giảng dạy Cần phải hoàn thiện đề tài mặt biện pháp – cách tổ chức thực hiên để việc giảng dạy đáp ứng yêu cầu giáo dục VIII/ ĐỀ NGHỊ : Trong trình biên soạn “Sáng kiến ”này - động viên Ban giám hiệu ,Cơng đồn nhà trường – góp ý chân tình bạn đồng nghiệp Tổ Tốn Tin , xin chân thành cảm ơn Trong thời gian đến mong tiếp tục nhận giúp đỡ cộng tác đồng nghiệp để hoàn thiện cách tốt đề tài IX/ TÀI LIỆU THAM KHẢO : X/ MỤC LỤC : 14 ThuVienDeThi.com ... ThuVienDeThi.com “TỪ BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẾN BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ” uuuuuur AH uuuuuur M K BK Điều thú vị phát biểu toán tương tự toán mặt cầu vài trường hợp đặc biệt chẳng hạn : Bài toán. .. ThuVienDeThi.com “TỪ BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẾN BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG KHƠNG GIAN TỌA ĐỘ” Nếu tốn , xuất thêm điểm C ta xác lập toán với khoảng cách từ B , C đến mặt phẳng  ? Ta có : Bài tốn 3.5 : Cho...“TỪ BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẾN BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ” + Định hướng cho học sinh cách thức học chủ động – sáng tạo – nâng cao khả tự học + Rèn