Sáng kiến kinh nghiệm: Kinh nghiệm giảI phương trình vô tỷ39722

sở giáo dục đào tạo hà nội Tr-ờng ThPt nguyễn gia thiều Sáng kiến kinh nghiệm: kinh nghiệm giảI ph-ơng trình vô tỷ Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn Tổ : Toán Hà Nội, / 2012 DeThiMau.vn sở giáo dục đào tạo hà nội Tr-ờng ThPt nguyễn gia thiều Sáng kiến kinh nghiệm: kinh nghiệm giảI ph-ơng trình vô tỷ Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn Tổ Hà Nội, / 2012 DeThiMau.vn : Toán mở đầu Giải ph-ơng trình toán có nhiều dạng giải linh hoạt, với nhiều học sinh kể học sinh đ-ợc cho giỏi nhiều lúng túng tr-ớc việc giải ph-ơng trình; có ph-ơng trình chứa thức đ-ợc coi khó Nên chọn đề tài: Kinh nghiệm giải ph-ơng trình vô tỷ để làm sáng kiến kinh nghiệm Với mục đích mong muốn đề tài góp phần giúp học sinh có thêm kỹ cần thiết để giải ph-ơng trình chứa thức nói riêng dạng ph-ơng trình nói chung, đồng thời mong muốn tài liệu tham khảo bổ ích cho quan tâm đến môn toán Kiến thức thể sáng kiến kinh nghiệm hoàn toàn ch-ơng trình Toán bậc THPT hành Một phần sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để chuyển sang phần bất ph-ơng trình đ-ợc; xong chuyển sang bất ph-ơng trình có phần đ-ợc mở rộng để có toán hay Do ng-ời nghiên cứu sử dụng sáng kiến kinh nghiệm vào nhiều mục đích giáo dục khác đ-ợc Nội dung sáng kiến kinh nghiệm gồm có ph-ơng pháp giải toán th-ờng gặp DeThiMau.vn Nguy n Qu c Hoàn , THPT Nguy n Gia Thi u Sáng kiến kinh nghiệm: Kinh nghiệm giải ph-ơng trình vô tỷ Bi toỏn m u x  x2  x   x (*) (Trích H QGHN, kh i A n m 2000) Gi i i u ki n  x  * Cách 1: (*) 2   x x   x  1 x  1    4 x  x2   x  x2   x  x  x   x 1 Gi i ph ng trình      x  x2   x  x2     x  x2 x  x2    x  x2    x  x2   x    x   x  x2  x    x   x2  x   x   x  x  0, x  tho mãn u ki n V y ph ng trình cho có hai nghi m x  0, x  * Cách 2: Nh n xét: x  x2 đ x  x nh vào đ ng th c c bi u di n qua  x  1 x    x  x2 V y có cách t t  x  1 x , 1 t  H1 DeThiMau.vn Nguy n Qu c Hoàn , THPT Nguy n Gia Thi u t2 1 Ph ng trình (*) tr thành t2   t    3t t 1 t  , không tho mãn  x  x2  t   t  3t     t  x  x   x   x  x2    x  x  0, x  tho mãn u ki n V y ph ng trình cho có hai nghi m x  0, x  t  1, có * Cách 3: Nh n xét: x  x có m i quan h đ c bi t, c th  x   1 x  1 V y ta có cách T (*) ta có x  x   x  x  3 x 3 x 3 9 thay x  vào ph 4 3t  t t  x , nên  x  2t   1 x     (x   ng trình không tho mãn)  3t   L i có x   x  , nên t    1  t   2 2  t  4t  12t    9t  18t   4t  12t  2  4t  12t  14t  6t   t  2t  6t  7t  3   t  t  1  2t  4t  3  t  x    t  x  x  0, x  tho mãn u ki n V y ph ng trình cho có hai nghi m x  0, x  * Cách 4: Cùng nh n xét trên, ta có thêm cách khác a  0, b  t a  x , b  1 x ,   1  ab  a  b 3  2ab   a  b   Ta có h ph ng trình   a  b   a  b   2ab  H2 DeThiMau.vn (1) (2) Nguy n Qu c Hoàn , THPT Nguy n Gia Thi u Thay (1) vào (2) có  a  b   a  b   3 a  b     3 a  b   3  V i a  b  1, có a b   a   b    a    b  a  b   a  b  x   x  3 V i a  b  , có a b  , khơng t n t i a , b (Vì  22   ) 2 x  0, x  tho mãn u ki n V y ph ng trình cho có hai nghi m x  0, x  Nh n xét: b n ch t c a cách gi i v n cách đ t n ph cách * Cách 5: C ng nh    x  1 x Ta có thêm cách sau: t x  sin a , 0a    1, ta ngh đ n đ ng th c sin a  cos2 a   2 ng trình (*) tr thành  sin a  sin a  sin a   sin a   2sin a.cos a  3sin a  3cos a (Vì cos a  ) sin a  cos a    sin a  cos a   3 sin a  cos a     sin a +cos a  a a a a a a  sin a  cos a   2sin cos  2sin   sin  cos  sin   2 2 2 a a  sin a  2sin cos    a 2  sin  x  a    tan sin a  1 x 1  tan a   a   tan   x  0, x  tho mãn u ki n V y ph ng trình cho có hai nghi m x  0, x  Ph Qua ví d ta th y có r t nhi u cách khác đ gi i m t ph ng trình vơ t Tuy nhiên cách đ u d a c s lo i b c n th c đ a v ph ng trình đ n gi n h n mà ta bi t cách gi i Sau xin vào m t s ph ng pháp c th H3 DeThiMau.vn Nguy n Qu c Hoàn , THPT Nguy n Gia Thi u Ph ng pháp 1: Ph ng pháp bi n đ i t ng đ ng Bài toán 1: Gi i ph ng trình sau 1) x  17   3x 2) x    3x  2 (1) (2) x2  5x  x3  x   x  (3) 3) 4) x2   x2  3x   x2  8x  (4) 3 (5) 5) 12 x  12  x   x 6) x    x (6) Bài tốn 2: Tìm m đ ph ng trình x  2mx   m (I), có nghi m Bài tốn 3: Tìm m đ ph ng trình x  m  x  (II), có hai nghi m phân bi t Bài toán 4: Gi i ph ng trình (1) 1) x    x  x   3x (2) 2) x   3x   x  x  3) x x3   x   x2  x  x (3) x3  x3  (4) 4) x   x    x 1 4x  (5) 5) x  3x   x   x  Gi i Bài toán 1) Nh n xét: ta th y v trái ln khơng âm, n u v ph i âm ph ng trình vơ nghi m, nên ta ch c n gi i ph ng trình v ph i khơng âm, t c 1  3x   x  Khi hai v đ u khơng âm bình ph ng hai v ta đ c ph ng trình t ng đ ng: x  17  1  3x v i x  Do v y ta không c n đ t u ki n cho x  17   (1) 1  x   x     x  17  1  3x  x  17   x  x2   x    x     x  1    16 9 x2  x  16   x   V y ph ng trình có m t nghi m x   H4 DeThiMau.vn  x  1 Nguy n Qu c Hoàn , THPT Nguy n Gia Thi u Chú ý: D ng t ng quát c a ph ng trình f ( x)  g ( x) Ta làm nh sau  g ( x)  f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x) Bài tốn có th gi i b ng cách đ t n ph t  x  17 v i t  2) i u ki n 3  x  (2)  x     3x     x3    3x   x   x     3x  x     x     x  1  x   x 1  x  1   x   x  2x   x  1  x  1   x  2 , th a mãn u ki n   x   x  x     x  2  V y ph ng trình có m t nghi m x      x  1 x    3)    3       x x x x x      x  x    3x   x  1   1  x   1  3x    x3  x   (1  3x)  x3  x    x  x2    1  x  1  x     x  x2  x     x3  x2  x    x        x   x  , th a mãn u ki n   x 1    x  V y ph ng trình có m t nghi m x  (3) Chú ý:   x2  x  x3  x   Trong ta không c n đ t u ki n     x x   H5 DeThiMau.vn Nguy n Qu c Hoàn , THPT Nguy n Gia Thi u 4) (4)   x 1 i u ki n  x  7   x  1 x2   x2  3x    x2  x    x2   x2  3x   x2  x2  3x   x2  8x    x  1 x  1  x  1 x     x2  5x  2  x  1  x  1 x     x  1  x  1  x   2 2 x x x x x                  1  x   2   x  1  x  x   x  12 x  36   1  x      x  1  3x2  16 x  44    1  x      x  1    x   22  x     x  1  x  x   1, x  tho mãn u ki n V y ph ng trình cho có hai nghi m x   1, x  Chú ý : Bài có th gi i b ng cách nh sau (4)  * Tr * Tr  x  1 x  1   x  1 x     x  1 x   ng h p 1: x   , th a mãn ph ng trình (4) ng h p 2: x  1, ph ng trình (4) tr thành  x 1  x   x   x 1  x 1 x   x   x   6  x   2    x  x      x H6  x 1  x     x2  x    x x   3x  16 x  44  DeThiMau.vn x  Nguy n Qu c Hoàn , THPT Nguy n Gia Thi u x    x2     x2 22  x     x  , th a mãn u ki n tr ng h p * Tr ng h p 3: x   , ph ng trình (4) tr thành 1  x 1  x   1  x 2  x  1  x 7  x   x  2  x  7  x      x  2  x  7  x    x   x 2  x   x  7  x   x 2  x   x  Ph ng trình vơ nghi m (Vì  x 2  x   x  0, x  7 ) * V y ph ng trình cho có hai nghi m x   1, x  Nh n xét: Khi gi i b ng cách th ng th c Còn (5) 5)   ng m c sai l m: ab  a b ab  a b a  b  ab  a b a  b    x 12 x  12  x   3  x    3 x  1   12 x  12   x  3  3 12 x  12 x  3 12 x  12  x   x   12 x  12 x  3 12 x  12   12  x  1 x  3 x  3( x  1) (5*)  12  x  1 x  3 x  27  x  1   x  1 4  x2  3x   x2  x +1    x  1   x2  x    x 1    x  x   x 1  x  Thay x  1, x  vào ph ng trình (5) đ u tho mãn V y ph ng trình cho có hai nghi m x  1, x  Chú ý : (5*) không t ng đ ng, (5*) ph ng trình h qu c a ph ng trình (5) Do nghi m c a ph ng trình (5*) ph i đ c thay vào ph ng trình (5) đ ki m tra l i H7 DeThiMau.vn Nguy n Qu c Hoàn , THPT Nguy n Gia Thi u      ta l p ph ng hai v s d ng h ng đ ng th c  a  b   a  b3  3ab  a  b  đ gi i nh V i d ng t ng quát 6) i u ki n x   2 1 1  1    x    x   ( x  2)  x    x2  x  2  2 4  1  (6.1)  x2   x   x     x  (6.2)  2 x  (6.1) x  x    x2  x     x    x   2 x   x x  x    x   (6)   x    x    x 1     x     x  1 x  1 x  1    1  x  x   x   (6.2) x  1  x   x  2x   x 1  1  Chú ý: Có th đ a v d ng f ( x)  g ( x) gi i b ng cách bình ph ng hai v , d n đ n ph ng trình b c b n (nh m đ c nghi m x   , x  ) tìm đ c nghi m c a ph ng trình Ngồi cịn cách n a ph ng pháp đ t n ph đ a v h ph ng trình (tơi xin trình bày ph ng pháp 5) V y ph ng trình có hai nghi m x  , x  Bài tốn *) N u m  ph ng trình (I) vơ nghi m *) N u m  thì: ( I ) m  m     2  x  2mx   m  (I*)  x  2mx   m m   m  (tho mãn m  ) (I*) có nghi m  '  m2   m2    m    K t lu n: m  ph ng trình (I) có nghi m H8 DeThiMau.vn Nguy n Qu c Hoàn , THPT Nguy n Gia Thi u Bài toán ( II )  x     2 x  m   x   Xét hàm s  x  2  2 x  m  x  x   x  2   x  x   m (II*) f ( x)  x2  x  , x   2 ;    B ng bi n thiên ∞ x 2 1 +∞ +∞ f ( x) S nghi m ph ng trình (II) b ng s nghi m ph ng trình (II*) v i x  2 V y ph ng trình (II) có hai nghi m phân bi t < m  Bài toán i u ki n  x  1) (1)     x    2x  x   3x   x    x  x   x  x   3x  2 x  3x  x   x  x  3x   x    x  x   3x  2 x2  x  10  6 x2  14 x  x2  13x  10  x   (Tho mãn u ki n) x   V y ph ng trình có hai nghi m x  , x  Chú ý: ta gi i b ng cách có x    x  x   3x D ng t ng quát c a ph ng trình f ( x)  g ( x)  h( x)  k( x) , v i f ( x)  g ( x)  h( x)  k( x) c gi i b ng cách: tìm u ki n xác đ nh cho ph ng trình sau bình ph ng hai v gi i tìm nghi m th a mãn u ki n 2) i u ki n x  (2)  x   x  x +2  3x  H9 DeThiMau.vn Nguy n Qu c Hoàn , THPT Nguy n Gia Thi u     x3  x  x +2  3x   (2*)  x +3+4x  x  x  x +2+3x 1  2 x  x   x x   x  3x   x( x  3)  (2 x  2)(3x  1)  x2  12 x  x2  8x   x2  x     x  1   x 1 Thay x  vào ph ng trình (2) th a mãn V y ph ng trình có nghi m nh t x  Chú ý: Ta gi i b ng cách có: x   x  x   3x  Bi n đ i v (2*) d n đ n ph ng trình h qu , nên tìm đ c nghi m (2*) ta ph i thay vào ph ng trình (2) xem có tho mãn hay không D ng t ng quát c a ph ng trình f ( x)  g ( x)  k( x)  h( x) , v i f ( x)  h( x)  g ( x)  k( x) c gi i b ng cách đ a v ph ng trình f ( x)  h( x)  k( x)  g ( x) , sau bình ph ng gi i ph ng trình h qu 3) i u ki n x  2  x3    x   x   x  x    x   x 1  x  x3   x   x2  x   x3  x x 1   x  x2  x  x   x2  x3  2x   x  1   x  (Tho mãn u ki n) V y ph ng trình có nghi m x  (3)   Chú ý: x3   x  x2  x  , v i x  x D ng t ng quát c a ph ng trình f ( x)  g ( x)  k( x)  h( x) , v i f ( x).g ( x)  h( x).k( x) c gi i b ng cách tìm u ki n xác đ nh cho ph ng trình, sau bình ph ng hai v tìm nghi m th a mãn u ki n Ta gi i b ng cách có: x H 10 DeThiMau.vn Nguy n Qu c Hoàn , THPT Nguy n Gia Thi u 4) i u ki n x  x3   x+1   4x  x3   x 1 x 1 (4) 2   x3    x3    4x     x 1    x    x    3 x 1 x 1  4x    x3    x   x3  4x  x 1 3 x 1 x 1     x+1   x  1  4x  x    x3   x2  3x  1   3x    0 1 x x          3x    x3  x2  3x+2     3x   x    x2  x  1  2  x    x  x 1   x   x   (Tho mãn u ki n x  1) x 1 Thay x  , x   vào ph ng trình (4) th y th a mãn V y ph ng trình có hai nghi m x  , x   Chú ý: x3  x   4x  Ta gi i b ng cách vì: x3  x 1 x 1 Tuy nhiên ta v n có th gi i b ng cách: t nhân t chung x3  v ph i ra, x   x  , cách có th s ng n sau quy đ ng ti p s có nhân t   h n cách gi i Nh ng cách gi i áp d ng d ng t ng quát c a ph trình: f ( x)  g ( x)  h( x)  k( x) Trong đó: f ( x).h( x)  k( x).g ( x) c gi i b ng cách đ a v ph ng trình: f ( x)  h( x)  k( x)  g ( x) Sau bình ph ng gi i ph ng trình h qu (5) 5)     x  3x   2x   2x  H 11 DeThiMau.vn  ng Nguy n Qu c Hoàn , THPT Nguy n Gia Thi u  x  3x   3 x(3x  5).( x  3x  5)  x(3x  5)   x  1 x  6  x   x   x   x     x  1 x    x   x   x(3x  5)   x  1 x    x(3x  5) 3    x   x   3 (2 x  1)(2 x  6)( x   x  6) x  3x   3 3 3 (5*) (Vì: x   x   x   x   )  x(3x  5)  (2 x  1)(2 x  6)  3x2  5x  x2  10 x   x2  5x   x 1   x  6 Thay x  6 , x  vào ph ng trình (5) tho mãn V y ph ng trình có hai nghi m x  6 , x  Chú ý: Ph ng pháp t ng t nh toán (5*) ta s d ng t ph ng trình đ bài, t c d n đ n h , nên (5*) không t ng đ ng v i (5) Th t v y, n u ta thay x  3x  ch không thay nh gi i v a r i, s  tìm đ c nghi m x    nh ng nghi m không tho mãn ph ng trình (5) Bài t p Bài 1: Gi i ph ng trình 1) x3  x2  x2  x  2) x4  3x   x2  3) x4  x2    x 4) x3  x    x 5) x4  5x2   x2  6) x4  x2   x  7) x  x 1   x 8) x3  x2    x 9) x2  x   x3  x 11)  10  3x  x  10) x2  x   x2  x  (HSG Quèc Gia 2000) 12) x2  x   x2  x  13) 3x   x   14) 2x 2 xx 15) x2  x   x2  x   16) x  x2   x  x2   17) x2 x 1 6 5 x 1 x2 18) x2  x  12  x2  x   x  19)  x2  x2   x  H 12 DeThiMau.vn Nguy n Qu c Hoàn , THPT Nguy n Gia Thi u  3x  x   x  20) x2  x   x2  x   22)  3x   x  x  23) 24) x2   x   x2  x  25)  x   x  1 26) x    x  4 x2  16 x  15  27) x   x   x2  x   29) x   x    3x   x 30) x3   x3 21) x   x2  x   2x    x  x 28)  x   x   x2 x3 31) x2  8x  15  x2  x  15  x2  18x  18 32) x2  8x   x2   x  ( H BK HN 2001) Bài 2: Tìm m đ ph ng trình: x2  mx   x  có hai nghi m phân bi t Bài 3: Tìm m đ ph ng trình: x2  mx  x2  có nghi m H 13 DeThiMau.vn Nguy n Qu c Hoàn , THPT Nguy n Gia Thi u Ph ng pháp 2: Ph ng pháp đ t n ph I Bài toán 1: D ng af  x  b f  x  c  , a  Ph ng pháp chung đ t t  f  x , t  1) Cho ph ng trình:  x  1 x  3   x  1 x  5  m  (1) a) Gi i ph ng trình v i m  b) Tìm m đ ph ng trình có nghi m 2) Gi i ph ng trình: x   x2  8x   x  (2) II Bài toán 2: D ng a  f  x  g  x   b f  x g  x  c  f  x  g  x   d    (V i abc  ) Ph ng pháp chung đ t t  f  x  g  x 1) Cho ph ng trình: x   x  x  x2  m a) Gi i ph ng trình v i m  b) Tìm m đ ph ng trình vơ nghi m 2) Cho ph ng trình: x   x   x  x2  x   m a) Gi i ph ng trình v i m  11 b) Tìm m đ ph ng trình có nghi m (3) 3) Gi i ph (5)   ng trình: x 35  x3 x  35  x3  30 III Bài toán 3: t n ph đ a v d ng ph Gi i ph ng trình: 1)  x3  x2  x 2) x3  3x2   x  2  6x  ng trình thu n nh t (6) (HSG Toán 10, NGT 2007) (7) (8) 3) x2  x  x   3x2  x  2 4) 5x  14 x   x  x  20  x  (9) IV Bài toán 4: D ng af  x  b.g  x f  x  c.h  x  , abc  Gi i ph ng trình: 1)  x  1 x2  x   x2  (10) 2) x    3x   x   x2 3) 2 x    x  x2  16 Gi i I Bài toán 1: 1) x 1 i u ki n   x  5 H 14 DeThiMau.vn (4) (11) (12) Nguy n Qu c Hoàn , THPT Nguy n Gia Thi u 1  x2  x  x2  x    m  t t  x2  x  , t   t  x2  x  Ph ng trình (1) tr thành: t 5  6t  m    t  6t   m (1.1) (1.1) t  a) m  :  t  6t     t   x  2  13  x2  x    x2  x    x2  x         x  7  x2  x    x  x   16  x  x  21  x   V y v i m  , ph ng trình có b n nghi m: x  7 , x  , x  2  13 b) Ph ng trình (1) có nghi m  Ph ng trình (1.1) có nghi m t  G i f  t   t  6t  v i t   0;   B ng bi n thiên: t   f t   8  f  t   1, t  V y ph ng trình (1) có nghi m m  x  i u ki n   x  8x   2) ( 2)  x   x   x2  x    x  x8   x  8x  2   x   x   x  x   x2  x   x2  10 x  x2  10 x  16   t t  x2  10 x  16 , t   t  x2  10 x  16 Ph ng trình (2) tr thành: t  16  2t   t   t  2t     t  2 t  2 , lo i H 15 DeThiMau.vn Nguy n Qu c Hoàn , THPT Nguy n Gia Thi u x  x2  10 x  16   x2  10 x  16  16  x2  10 x     x  10 Thay x  10 vào u ki n x2  8x   tho mãn V y ph ng trình có nghi m x  10 t  , có tơi ch a c n đ n gi i b t ph Chú ý: ng trình x2  8x   II Bài toán 2: 1) i u ki n  x  t t  x   x , v i 1  t   x1  x   t  x   x  x  x (3) t  1 t2 m 1 t2  t  2t   2m (3*) a) m  ,  t  2t   t  3 , lo i t  , nên x   x  (3*) t   t  3  x 1 1 x  1  x   x   x 11 x  1 x  x  (vì  x  , x  0;1 ) V y v i m  ph ng trình có nghi m x  b) Ph ng trình (3) vơ nghi m ph ng trình (3*) khơng có nghi m tho mãn 1  t  G i f  t   t  2t  v i 1  t  B ng bi n thiên: t  f t   1 2  2  f  t   , t   1;1  2m  m  Do đó:    2m  2  m  1 K t lu n: m  1 , m  ph ng trình vô nghi m 2) i u ki n x  t t  x 1  x  , t  H 16 DeThiMau.vn Nguy n Qu c Hoàn , THPT Nguy n Gia Thi u  t  x   x   x  x   x  x2  x   t2 1  2t  m (4) t2 1  t  4t   2m (4*) a) m  11 ,  t  4t   22 (4*) t  7  t   t  4t  21  t  7 , lo i t  , nên x   x    x   x2  x    x2  x    x 5  x  x  x      x3     27 x x      25 10 x x x x    V y v i m  11 ph ng trình có nghi m x  b) Ph ng trình (4) có nghi m  Ph ng trình (4*) có nghi m tho mãn t G i f  t   t  4t  1, t  B ng bi n thiên: t  2   f t  44  f  t    ; t  Do đó: 2m    m   K t lu n: m   ph ng trình có nghi m t t  x  35  x3 3)   t  x3  35  x3  3x 35  x3 x  35  x3 t  35 (5*)  x 35  x  3t t  35 Ph ng trình (5) tr thành: t  30 3t Thay t  vào (5*) có:  H 17 DeThiMau.vn  t  125 t 5 ... nguyễn gia thiều Sáng kiến kinh nghiệm: kinh nghiệm giảI ph-ơng trình vô tỷ Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn Tổ Hà Nội, / 2012 DeThiMau.vn : Toán mở đầu Giải ph-ơng trình toán có nhiều dạng giải linh hoạt,... giỏi nhiều lúng túng tr-ớc việc giải ph-ơng trình; có ph-ơng trình chứa thức đ-ợc coi khó Nên chọn đề tài: Kinh nghiệm giải ph-ơng trình vô tỷ để làm sáng kiến kinh nghiệm Với mục đích mong muốn... có toán hay Do ng-ời nghiên cứu sử dụng sáng kiến kinh nghiệm vào nhiều mục đích giáo dục khác đ-ợc Nội dung sáng kiến kinh nghiệm gồm có ph-ơng pháp giải toán th-ờng gỈp DeThiMau.vn Nguy n Qu