Kinh nghiệm giải phương trình vô tỷ

Nguyn Quc Hon , THPT Nguyn Gia Thiu Sáng kiến kinh nghiệm: Kinh nghiệm giải ph-ơng trình vô tỷ Bi toỏn m u x x2 x x (*) (Trớch H QGHN, A nm 2000) Gii iu kin x * Cỏch 1: (*) 2 x x x x 4 x x2 x x2 x x x x Gii phng trỡnh x x2 x x2 x x2 x x2 x x2 x x2 x x x x x x x x x x x 0, x tho iu kin Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim x 0, x * Cỏch 2: Nhn xột: x x c biu din qua x x x v x nh vo ng thc x x2 Vy cú cỏch t t x x , t H1 Nguyn Quc Hon , THPT Nguyn Gia Thiu t2 Phng trỡnh (*) tr thnh t2 t 3t t t , khụng tho x x2 t t 3t t x x x x x2 x x 0, x tho iu kin Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim x 0, x t 1, cú * Cỏch 3: Nhn xột: x v x cú mi quan h c bit, c th x x Vy ta cú cỏch T (*) ta cú x x x x 3 x x 9 vỡ thay x vo phng trỡnh khụng tho món) 4 3t t t x , nờn x 2t x (x 3t Li cú x x , nờn t t 2 2 t 4t 12t 9t 18t 4t 12t 2 4t 12t 14t 6t t 2t 6t 7t t t 2t 4t t x t x x 0, x tho iu kin Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim x 0, x * Cỏch 4: Cựng nhn xột trờn, ta cú thờm cỏch khỏc a 0, b t a x , b x , ab a b 2ab a b Ta cú h phng trỡnh a b a b 2ab H2 (1) (2) Nguyn Quc Hon , THPT Nguyn Gia Thiu Thay (1) vo (2) cú a b a b a b a b Vi a b 1, cú a b a b a b a b a b x x 3 Vi a b , cú a b , khụng tn ti a , b (Vỡ 22 ) 2 x 0, x tho iu kin Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim x 0, x Nhn xột: bn cht ca cỏch gii ny l cỏch t n ph cỏch * Cỏch 5: Cng nh x x Ta cú thờm cỏch sau: t x sin a , 0a 1, ta ngh n ng thc sin a cos2 a 2 Phng trỡnh (*) tr thnh sin a sin a sin a sin a 2sin a.cos a 3sin a 3cos a (Vỡ cos a ) sin a cos a sin a cos a sin a cos a sin a +cos a a a a a a a sin a cos a 2sin cos 2sin sin cos sin 2 2 2 a a sin a 2sin cos a 2 sin x a tan sin a x tan a a tan x 0, x tho iu kin Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim x 0, x Qua vớ d trờn ta thy cú rt nhiu cỏch khỏc gii mt phng trỡnh vụ t Tuy nhiờn cỏc cỏch ú u da trờn c s l loi b cn thc v a v phng trỡnh n gin hn m ta ó bit cỏch gii Sau õy tụi xin i vo mt s phng phỏp c th H3 Nguyn Quc Hon , THPT Nguyn Gia Thiu Phng phỏp 1: Phng phỏp bin i tng ng Bi toỏn 1: Gii cỏc phng trỡnh sau 1) x 17 3x 2) x 3x (1) (2) x x x3 x x (3) 3) 4) x2 x2 3x x 8x (4) 3 5) 12 x 12 x x (5) 6) x x (6) Bi toỏn 2: Tỡm m phng trỡnh x 2mx m (I), cú nghim Bi toỏn 3: Tỡm m phng trỡnh x m x (II), cú hai nghim phõn bit Bi toỏn 4: Gii cỏc phng trỡnh 1) x x x 3x (1) 2) x 3x x x (2) 3) x x3 x x2 x x (3) x3 x3 4) x x (4) x 4x 5) x 3x x x (5) Gii Bi toỏn 1) Nhn xột: ta thy v trỏi luụn khụng õm, ú nu v phi õm thỡ phng trỡnh vụ nghim, nờn ta ch cn gii phng trỡnh v phi khụng õm, tc l 1 3x x Khi ú hai v u khụng õm v bỡnh phng hai v ta c phng trỡnh tng ng: x 17 3x vi x Do vy ta khụng cn t iu kin cho x 17 (1) x x x 17 3x x 17 x x x x x 16 x x 16 x Vy phng trỡnh cú mt nghim x H4 x Nguyn Quc Hon , THPT Nguyn Gia Thiu f ( x) g ( x) Ta lm nh sau Chỳ ý: Dng tng quỏt ca phng trỡnh trờn l g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) Bi toỏn ny cú th gii bng cỏch t n ph t x 17 vi t 2) iu kin x (2) x 3x x32 3x x x 3x x x x x x x x x 2x x x x , tha iu kin x x x x Vy phng trỡnh cú mt nghim x x x 3) 3 x x x x x x x 3x x 1 x 3x x3 x (1 3x) x3 x x x x x x x x x x x x x x , tha iu kin x x Vy phng trỡnh cú mt nghim x (3) Chỳ ý: x x x3 x Trong bi ny ta khụng cn t iu kin x x H5 Nguyn Quc Hon , THPT Nguyn Gia Thiu x 4) iu kin x x (4) x x 3x x2 8x x2 x2 3x x x 3x x 8x x x x x x 5x x x x x x x 2 2 x x x x x x 2 x x x x 12 x 36 x x 3x 16 x 44 x x x 22 x x x x 1, x tho iu kin Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim x 1, x Chỳ ý : Bi ny cú th gii bng cỏch nh sau (4) x x x x x x * Trng hp 1: x , tha phng trỡnh (4) * Trng hp 2: x 1, phng trỡnh (4) tr thnh x x x x x x x x x 2 x x x H6 x x x2 x x x 3x 16 x 44 x7 Nguyn Quc Hon , THPT Nguyn Gia Thiu x x2 x2 22 x x , tha iu kin trng hp * Trng hp 3: x , phng trỡnh (4) tr thnh x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Phng trỡnh vụ nghim (Vỡ x x x 0, x ) * Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim x 1, x Nhn xột: Khi gii bng cỏch ny thng mc sai lm: ng thc Cũn (5) 5) ab a b ab a b a v b ab a b a v b x 12 x 12 x 3 x x 12 x 12 x 3 12 x 12 x 3 12 x 12 x x 12 x 12 x 3 12 x 12 12 x x 3 x 3( x 1) (5*) 12 x x x 27 x x x 3x x x +1 x x x x x x x x Thay x 1, x vo phng trỡnh (5) u tho Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim x 1, x Chỳ ý : (5*) l khụng tng ng, (5*) l phng trỡnh h qu ca phng trỡnh (5) Do ú nghim ca phng trỡnh (5*) phi c thay vo phng trỡnh (5) kim tra li H7 Nguyn Quc Hon , THPT Nguyn Gia Thiu ta lp phng hai v v s dng hng ng thc a b a3 b3 3ab a b gii nh bi trờn Vi dng tng quỏt 6) iu kin x 2 1 x x ( x 2) x x x 4 1 (6.1) x22x2 x x (6.2) 2 x (6.1) x x x2x x x 2 x x x x x (6) x x x x x x x x x x (6.2) x x x 2x x Chỳ ý: Cú th a v dng f ( x) g ( x) v gii bng cỏch bỡnh phng hai v, dn n phng trỡnh bc bn (nhm c nghim x , x ) v tỡm c nghim ca phng trỡnh Ngoi cũn cỏch na l phng phỏp t n ph a v h phng trỡnh (tụi xin trỡnh by phng phỏp 5) Vy phng trỡnh cú hai nghim x , x Bi toỏn *) Nu m thỡ phng trỡnh (I) vụ nghim *) Nu m thỡ: ( I ) m m 2 x 2mx m x 2mx m (I*) m m (tho m ) (I*) cú nghim ' m2 m2 m Kt lun: m thỡ phng trỡnh (I) cú nghim H8 Nguyn Quc Hon , THPT Nguyn Gia Thiu Bi toỏn ( II ) x 2 x m x x 2 x m x x x x x m (II*) Xột hm s f ( x) x x , x ; Bng bin thiờn x + + f ( x) S nghim phng trỡnh (II) bng s nghim phng trỡnh (II*) vi x Vy phng trỡnh (II) cú hai nghim phõn bit < m Bi toỏn 1) iu kin x (1) x 2x 2 x 3x x x x x x 3x 2 x 3x x x x 3x x x x 3x x2 x 10 x2 14 x x2 13x 10 x (Tho iu kin) x Vy phng trỡnh cú hai nghim l x , x Chỳ ý: ta gii bng cỏch trờn vỡ cú x x x 3x Dng tng quỏt ca phng trỡnh trờn l f ( x) g ( x) h( x) k ( x) , vi f ( x) g ( x) h( x) k ( x) c gii bng cỏch: tỡm iu kin xỏc nh cho phng trỡnh sau ú bỡnh phng hai v v gii tỡm nghim tha iu kin 2) iu kin x (2) x x x +2 3x H9 Nguyn Quc Hon , THPT Nguyn Gia Thiu x32 x 2 x +2 3x (2*) x +3+4x x x x +2+3x 2 x x x x x 3x x( x 3) (2 x 2)(3x 1) x2 12 x x2 8x x2 x x x Thay x vo phng trỡnh (2) tha Vy phng trỡnh cú nghim nht x Chỳ ý: Ta gii bng cỏch trờn vỡ cú: x x x 3x Bin i v (2*) l dn n phng trỡnh h qu, nờn tỡm c nghim (2*) ta phi thay vo phng trỡnh (2) xem cú tho hay khụng Dng tng quỏt ca phng trỡnh trờn l f ( x) g ( x) k ( x) h( x) , vi f ( x) h( x) g ( x) k ( x) c gii bng cỏch a v phng trỡnh f ( x) h( x) k ( x) g ( x) , sau ú bỡnh phng v gii phng trỡnh h qu 3) iu kin x 2 x3 x x x x x x x x3 x x x x3 x x x x2 x x x2 x3 2x x x (Tho iu kin) Vy phng trỡnh cú nghim x (3) Chỳ ý: x3 x x x , vi x x Dng tng quỏt ca phng trỡnh trờn l f ( x) g ( x) k ( x) h( x) , vi f ( x).g ( x) h( x).k ( x) c gii bng cỏch tỡm iu kin xỏc nh cho phng trỡnh, sau ú bỡnh phng hai v v tỡm nghim tha iu kin Ta gii bng cỏch trờn vỡ cú: x H 10 Nguyn Quc Hon , THPT Nguyn Gia Thiu a b 81 1922 2003 Li cú a b a b Du ng thc xy a v b cựng hng a kb , k 56 x k x x 31 20 11 2k k k 20 11 56 Kt lun: phng trỡnh cú nghim x 31 H 46 Nguyn Quc Hon , THPT Nguyn Gia Thiu Phng phỏp 9: Phng phỏp lng giỏc hoỏ Gii cỏc phng trỡnh: 1) x x x 35 2) x x 12 (1) (2) x x x 2x x x 3) (3) 4) x3 3x x (4) Gii 1) bi ny ta cú th gii bng cỏch bỡnh phng hai v hoc t n ph Cỏc phng phỏp ú u cựng mc ớch lm mt cn thc Nhng bi toỏn ny li xut hin: x v cú x , vy ta nh n ng thc lng giỏc sin a cos2 a hoc cos2 a sin a Vy ta cú thờm cỏch na sau õy: iu kin x t x cos a , a Phng trỡnh (1) tr thnh: cos2 a 2cos2 a sin a 2cos a sin a sin a (Do: a sin a ) 2sin a sin a sin a sin a sin a 1, loi 1 sin a x cos a sin a Kt lun: phng trỡnh cú hai nghim x Chỳ ý: phng trỡnh ny cú th gii bng cỏch bỡnh phng ca dng phng trỡnh f ( x) g ( x) hoc t n ph t x 2) Trong phng trỡnh thy cú c im sau: x x nờn ta ngh n cỏch gii: x H 47 x 1 v cú x Nguyn Quc Hon , THPT Nguyn Gia Thiu x iu kin x 35 Do VP VT x x0 12 x2 Do ú ta gii phng trỡnh vi x 1 t cos a , x chn a x x 1 35 Phng trỡnh (2) tr thnh: cos a 12 cos a cos a 1 35 cos a cos a tan a 12 1 35 cos a cos a.tan a 12 1 35 cos a sin a 12 12 sin a cos a 35sin a.cos a 144(sin a cos a)2 1225(sin a.cos a) 144(1 2sin a.cos a) 1225(sin a.cos a) 1225(sin a.cos a)2 288 sin a.cos a 144 12 sin a.cos a 25 sin a.cos a 12 45 sin a 12 sin a.cos a , loi vỡ 45 cos a 12 sin a.cos a 25 144 cos a cos a 625 cos a 25 cos a 16 25 x x 144 625 144 cos a cos a 625 cos a (Vỡ cos a ) cos a sin a.cos a H 48 Nguyn Quc Hon , THPT Nguyn Gia Thiu 5 Kt lun: phng trỡnh cú hai nghim x , x 3) Trong bi toỏn ny cú xut hin x vy ta nh n cụng thc lng giỏc c bn: tan a x iu kin x 1 Do vy ta cú cỏch gii: cos a cos a a t tan a x , vi 2 sin a a Khi ú, phng trỡnh (3) tr thnh: tan a tan a tan a tan a tan a tan a cos a cos a 2cos a.sin a cos a sin a 2cos a sin a cos a 1 cos a 2sin a.cos a 2cos a cos a sin a sin a 1 2sin a 2sin a.cos 2a 2sin a.cos 2a cos 2a 2sin a.cos 2a 2sin a 2sin a cos 2a sin a cos2a sin a (Vỡ sin a ) a a k cos 2a cos a 2a a k a x tan Do: a 2 6 Kt lun: phng trỡnh cú nghim x k a , k Z a k 4) iu kin x Vi x x3 3x x x x x x phng trỡnh (4) vụ nghim Vi x , t x 2cos a , a H 49 Nguyn Quc Hon , THPT Nguyn Gia Thiu Khi ú, phng trỡnh (4) tr thnh: 8cos a 6cos a 2cos a cos3a cos 2cos3a 4cos a a a (Vỡ cos ) 2 k a , k a 4 Do a chn a , a , a 4 , x 2cos x , x 2cos a 3a k 3a a k k Z Kt lun: phng trỡnh cú ba nghim x , x 2cos 4 , x 2cos Chỳ ý: Bi ny phi ý tht sõu ta mi phỏt hin phng phỏp lng giỏc hoỏ Bi Gii cỏc phng trỡnh x x 3x 1) 2) 6x 2x 3) x2 x x2 4) x x2 x x2 5) x2 x x2 6) x x2 x2 x 7) Chứng minh ph-ơng trình x 3x có ba nghiệm thực x1 , x2 , x3 Giả sử x1 x2 x3 , chứng minh x2 x32 H 50 Mục lục Trang Bi toỏn m u Phng phỏp 1: Phng phỏp bin i tng ng Phng phỏp 2: Phng phỏp t n ph Phng phỏp 3: Phng phỏp xut hin biu thc liờn hp Phng phỏp 4: Phng phỏp a v phng trỡnh tớch Phng phỏp 5: Phng phỏp t n ph v a v h phng trỡnh 14 23 28 30 39 43 45 Phng phỏp 6: Phng phỏp ỏnh giỏ Phng phỏp 7: Phng phỏp hm s Phng phỏp 8: Phng phỏp vect Phng phỏp 9: Phng phỏp lng giỏc hoỏ Tài liệu tham khảo Các sách tập toán lớp 10, lớp 11, lớp 12 Các sách giới thiệu đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Các sách ph-ơng trình, bất ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình 47 Kết luận Trên sáng kiến kinh nghiệm đúc rút đ-ợc trình giảng dạy môn Toán bậc THPT Tôi thấy học sinh học tập hào hứng say mê, nên kết thu đ-ợc nh- sau: thân yêu thích công việc giảng dạy nghiên cứu khoa học; học sinh học tốt hơn, nhiều học sinh với sức học bình th-ờng trở lên hơn, học sinh giỏi giỏi Và quan trọng học sinh yêu thích môn toán cố gắng học tốt phần khác môn toán Thầy trò say mê học tập nghiên cứu để đ-a đ-ợc toán hay Mặc dù thân cố gắng, nh-ng trình viết sáng kiến kinh nghiệm ch-a tránh hết thiếu sót đáng tiếc, mong nhận đ-ợc góp ý xây dựng thầy giáo cô giáo, ng-ời quan tâm đến môn toán nghiệp giáo dục để sáng kiến kinh nghiệm ngày hoàn thiện phổ biến thời gian tới Xin trân trọng cảm ơn Hà Nội, ngày 22 / / 2012 Ng-ời viết Nguyễn Quốc Hoàn Sáng kiến kinh nghiệm: Bất đẳng thức Cauchy Kinh nghiệm giải ph-ơng trình vô tỷ (0913 661 886) Kinh nghiệm giải ph-ơng trình vô tỷ (0913 661 886) Kinh nghiệm giải ph-ơng trình vô tỷ (0913 661 886) Kinh nghiệm giải ph-ơng trình vô tỷ (0913 661 886) [...]...  0 b) Tìm m để phương trình có nghiệm 2) Giải phương trình: x  2  x 2  8x  2  x  8 (2) II Bài toán 2: Dạng a  f  x   g  x    b f  x  g  x   c  f  x   g  x    d  0   (Với abc  0 ) Phương pháp chung là đặt t  f  x   g  x  1) Cho phương trình: x  1  x  x  x 2  m a) Giải phương trình với m  1 b) Tìm m để phương trình vô nghiệm 2) Cho phương trình: 2 x  1 ...  x  0    x  8   7 8 trở lại phương trình ban đầu thỏa mãn 7 8 Vậy phương trình có nghiệm x  0, x  7 Thay x  0, x  h : Ở (8*) có thể giải bằng cách bình phương hai vế cũng được, nhưng sẽ dài và khó Ở đây kết hợp với phương trình ban đầu để đưa ra phương trình hệ quả, giải nhanh hơn Tìm ra x , thử lại kết quả để chọn nghiệm Bài tập Giải các phương trình sau 1  x 2x  x2 1)  x 1  x2... Kết luận: phương trình có hai nghiệm x  0, x  1 Bài tập 1) 2) 3 3 Giải các phương trình x  1  3 x  2  1  3 x 2  3x  2 x  1  3 x2  3 x  3 x2  x H 29 Nguyễn Quốc Hoàn , THPT Nguyễn Gia Thiều Phương pháp 5: Phương pháp đặt ẩn phụ đư hệ phương trình I Bài toán 1 ư hệ thông thường Giải phương trình sau: 2 x  8  3 2 x  9  5 (1) II Bài toán 2 ư hệ đối xứng loại 1 Giải các phương trình sau:...  5 x  1  3x 2  3x  3 Thay x  2 vào phương trình ban đầu thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x  2 Chú ý: Ở đây ta không đặt điều kiện vì x2  3x  3  0 giải ra kết quả xấu, do vậy ta tìm nghiệm phương trình hệ quả rồi thay lại phương trình ban đầu xem thỏa mãn sẽ lấy làm nghiệm 4) Phương trình: 5 3 x 2  12  x 2  5 ) x 2  12  x 2  5  3x  5 có nghiệm thì x  (vì: H 24 Nguyễn Quốc Hoàn...  x  0 , x  0;1 ) Vậy với m  1 phương trình có nghiệm x  1 b) Phương trình (3) vô nghiệm khi phương trình (3*) không có nghiệm thoả mãn 1  t  1 Gọi f  t   t 2  2t  1 với 1  t  1 Bảng biến thiên: t  f t  1  1 2 2  2  f  t   2 , t   1;1  2m  2 m  1 Do đó:    2m  2  m  1 Kết luận: m  1 , m  1 thì phương trình vô nghiệm 2) Điều kiện x  2 Đặt t  x ... m để phương trình: 2 x 2  mx  3  x  1 có hai nghiệm phân biệt Bài 3: Tìm m để phương trình: 2 x 2  mx  x 2  4 có nghiệm H 13 Nguyễn Quốc Hoàn , THPT Nguyễn Gia Thiều Phương pháp 2: Phương pháp đặt ẩn phụ I Bài toán 1: Dạng af  x   b f  x   c  0 , a  0 Phương pháp chung là đặt t  f  x , t  0 1) Cho phương trình:  x  1 x  3  6  x  1 x  5  m  0 (1) a) Giải phương trình. .. vào phương trình (5) thoả mãn Vậy phương trình có hai nghiệm x  6 , x  1 Chú ý: Phương pháp tương tự như các bài toán trên Ở (5*) là ta đã sử dụng từ phương trình đề bài, tức là đã dẫn đến hệ, nên (5*) không tương đương với (5) Thật vậy, nếu ta thay 3 x  3 3x  5 chứ không thay như bài giải vừa rồi, sẽ  tìm được nghiệm x    5 nhưng nghiệm này không thoả mãn phương trình (5) 2 Bài tập Bài 1: Giải. .. Tìm m để phương trình vô nghiệm 2) Cho phương trình: 2 x  1  2 x  2  x  x 2  x  2  m a) Giải phương trình với m  11 b) Tìm m để phương trình có nghiệm (3) 3) Giải phương trình: x 3 35  x3 x  3 35  x3  30 (5)   (4) III Bài toán 3: Đặt ẩn phụ đưa về dạng phương trình thuần nhất Giải các phương trình: 1) 3 1  x3  2 x 2  4 x (6) (HSG Toán 10, NGT 2007) 2) x3  3x 2  2  x  2 3  6x ... 27 x  3 x  x  2  25  10 x  x    Vậy với m  11 phương trình có nghiệm x  3 b) Phương trình (4) có nghiệm  Phương trình (4*) có nghiệm thoả mãn t 3 Gọi f  t   t 2  4t  1, t  3 Bảng biến thiên: t  2  3  f t  44 3  f  t   4  4 3 ; t  3 Do đó: 2m  4  4 3  m  2  2 3 Kết luận: m  2  2 3 thì phương trình có nghiệm 3) Đặt t  x  3 35  x3   t 3  x3  35  x3 ...  5  4  x  4 x  5  16  x  4 x  21  0 x  3  Vậy với m  0 , phương trình có bốn nghiệm: x  7 , x  3 , x  2  13 b) Phương trình (1) có nghiệm  Phương trình (1.1) có nghiệm t  0 Gọi f  t   t 2  6t  8 với t   0;   Bảng biến thiên: t  0  3 1 f t   8  f  t   1, t  0 Vậy phương trình (1) có nghiệm khi m  1 x  8 2) Điều kiện  2  x  8x  2  0 ( 2)  x 