L11 bài toán về số nghiệm của phương trình

Bài toán về số nghiệm của phương trìnhCâu 1.

Bài toán về số nghiệm của phương trình

Câu 1 Chứng minh rằng phương trình x5−3x4+5x− =2 0 có ít nhất ba nghiệm phân

biệt trong khoảng (–2; 5)

Xét hàm số f x( )=x5−3x4+5x−2 ⇒ f liên tục trên R

Ta có: f(0)= −2, (1) 1, (2)f = f = −8, (4) 16f =

⇒ f(0) (1) 0f < ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1∈(0;1)

f(1) (2) 0f < ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2∈(1;2)

f(2) (4) 0f < ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c3∈(2;4)

⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5).

Câu 2 Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm trên [0; 1]:

x3+5x− =3 0.

Xét hàm số f x( )=x3+5x−3 ⇒ f x( ) liên tục trên R.

f(0)= −3, (1) 3f = ⇒ f(0) (1) 0f < ⇒ PT đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng

(0;1).

Câu 3 Chứng minh rằng phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: x3+1000x+0,1 0=

Xét hàm số f x( )=x3+1000x+0,1 ⇒ f liên tục trên R

f(0) 0,1 0( 1)− = −= 1001 0,1 0> + < ⇒ −( 1) (0) 0< ⇒ PT f x( ) 0= có ít nhất một nghiệm

c ( 1;0)∈ −

Câu 4 Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 6x3−3x2−6x+ =2 0

Xét hàm số f x( ) 6= x3−3x2−6x+2 ⇒ f x( ) liên tục trên R.

• f( 1)− = −1, (0) 2f = ⇒ −f( 1) (0) 0f < ⇒ PT f x( ) 0= có ít nhất một nghiệm c1∈ −( 1;0)

• f(0) 2, (1)= f = − ⇒1 f(0) (1) 0f < ⇒ PT f x( ) 0= có ít nhất một nghiệm c2∈(0;1)

• f(1)= −1, (2) 26f = ⇒ f(1) (2) 0f < ⇒ PT f x( ) 0= có một nghiệm c3∈(1;2)

• Vì c1≠c2 ≠c3 và PT f x( ) 0= là phương trình bậc ba nên phương trình có đúng ba nghiệm thực

Câu 5 Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm:

x5 x4 x3

5 −3 +4 − =5 0

Với PT: 5x5−3x4+4x3− =5 0, đặt f x( ) 5= x5−3x4+4x3−5

f(0) = –5, f(1) = 1 ⇒ f(0).f(1) < 0

⇒ Phuơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)

Câu 6 Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: 2x3−10x− =7 0

Xét hàm số: f(x) = 2x3 − 10x− 7 ⇒ f(x) liên tục trên R

• f(–1) = 1, f(0) = –7 ⇒ f( ) ( )− 1 0f < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc

1

c ∈ (− 1;0)

• f(0) = –7, f(3) = 17 ⇒ f(0).f(3) < 0 ⇒ phương trình có nghiệm c2∈( )0;3

• c1≠c2 nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thực.

Câu 7 Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 2x3−5x2+ + =x 1 0

Xét hàm số: f x( ) 2= x3−5x2+ +x 1 ⇒ Hàm số f liên tục trên R

Ta có:

+ f

f(0) 1 0(1)= −= >1  ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c1∈(0;1)

+ f

f(2)(3) 13 0== − <1 0>  ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c2∈(2;3)

Mà c1≠c2 nên PT f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm.

Câu 8 Chứng minh rằng phương trình: (1−m x2) 5−3x− =1 0 luôn có nghiệm với mọi m

Xét hàm số f x( ) (1= −m x2) 5−3x−1 ⇒ f(x) liên tục trên R

Ta có: f( 1)− =m2+ > ∀1 0, m f; (0)= − < ∀ ⇒1 0, m f(0) (1) 0,f < ∀m

⇒ Phương trình có ít nhất một nghiệm c (0;1)∈ , ∀m

Câu 9 Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm: x5−x2−2x− =1 0

Đặt f x( )=x5−x2−2x−1 ⇒ f x ( ) liên tục trên R.

f(0) = –1, f(2) = 23 ⇒ f(0).f(1) < 0

⇒ f x( ) 0= có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1)

Câu 10 Chứng minh rằng phương trình x4+x3−3x2+ + =x 1 0 có nghiệm thuộc ( 1;1)−

Xét hàm số f x( )=x4+x3−3x2+ +x 1 ⇒ f x ( ) liên tục trên R.

• f( 1)− = −3, (1) 1f = ⇒ −f( 1) (1) 0f < nên PT f x( ) 0= có ít nhất một nghiệm thuộc

(–1; 1)

Câu 11 Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm:

x x

2

Đặt f(x) = cos x2 − x ⇒ f(x) liên t ục trên (0;+∞) ⇒ f(x) liên t ục trên 0;

2

π

 

 

 

=  ÷= − ⇒  ÷<

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên 0; 2 π ÷

 

Câu 12 Chứng minh rằng phương trình x5−3x− =1 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc (–

1; 2)

Gọi f x( )=x5−3x−1 ⇒ f x ( ) liên tục trên R

f(0) = –1, f(2) = 25 ⇒ f(0) (2) 0f < nên PT có ít nhất một nghiệm c1∈( )0;2

f(–1) = 1, f(0) = –1 ⇒ f(–1).f(0) < 0 nên PT có ít nh ất một nghiệm c2∈ −( 1;0)

c ≠ ⇒c PT có ít nhất hai nghiệm thực thuộc khoảng (–1; 2)

Câu 13 Chứng minh rằng phương trình : x5−3x=1 có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2)

Gọi f x( )=x5−3x−1 liên tục trên R

f( 1) 1, (0)− = f = − ⇒ −1 f( 1) (0) 0f <

⇒ phương trình dã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (–1; 0)

Câu 14 Chứng minh rằng phương trình x3 4−2x3+x2− =1 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc

khoảng (–1; 1).

Gọi f x( ) 3= x4−2x3+x2−1 ⇒ f x ( ) liên tục trên R

f(–1) = 5, f(0) = –1⇒ f(–1).f(0) < 0 ⇒ f x( ) 0= có ít nhất 1 nghiệm c1∈ −( 1;0)

f0) = –1, f(1) = 1 ⇒ f(0) (1) 0f < ⇒ f x( ) 0= có ít nhất 1 nghiệm c2∈(0;1)

c1≠c2⇒ phương trình có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng ( –1; 1)

Câu 15 Chứng minh phương trình: x2 4+4x2+ − =x 3 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc (–1; 1)

Gọi f x( ) 2= x4+4x2+ −x 3 ⇒ f x ( ) liên tục trên R

f(–1) = 2, f(0) = –3⇒f(–1).f(0) < 0 ⇒ PT f x( ) 0= có ít nhất 1 nghiệm c1∈ −( 1;0)

f(0) = –3, f(1) = 4 ⇒ f(0) (1) 0f < ⇒ PT f x( ) 0= có ít nhất 1 nghiệm c2∈(0;1)

Mà c1 ≠ ⇒c2 PT f x( ) 0= có ít nhát hai nghiệm thuộc khoảng ( 1;1)−

Câu 16 Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m:

m x5 m2 x4

(9 5 )− +( −1) − =1 0

Gọi f x( ) (9 5 )= − m x5+(m2−1)x4−1 ⇒ f x ( ) liên tục trên R.

2

(0) 1, (1)

= − = − ÷ +

  ⇒ f(0) (1) 0f <

⇒ Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1) với mọi m

Câu 17 Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m:

m x( −1) (3 x+ +2) 2x+ =3 0

Gọi f x( )=m x( −1) (3 x+ +2) 2x+ ⇒3 f x ( ) liên tục trên R

f(1) = 5, f(–2) = –1 ⇒ f(–2).f(1) < 0

⇒ PT f x( ) 0= có ít nhất một nghiệm c∈ −( 2;1),∀ ∈m R

Câu 18 Chứng minh rằng phương trình x3−2mx2− + =x m 0 luôn có nghiệm với mọi m.

Xét hàm số f x( )=x3−2mx2− +x m ⇒ f(x) liên t ục trên R.

• f m( )= −m3, (0)f = ⇒m f(0) ( )f m = −m4

• Nếu m = 0 thì phuơng trình có nghiệm x = 0

• Nếu m 0≠ thì f(0) ( ) 0,f m < ∀ ≠m 0 ⇒ phương trình luôn có ít nhát một nghiệm thuộc (0;

m) hoặc (m; 0).

Vậy phương trình x3−2mx2− + =x m 0 luôn có nghiệm.

Câu 20 Chứng minh phương trình x3−3x+ =1 0 có 3 nghiệm phân biệt

Xét hàm số f x( )=x3−3x+1 ⇒ f(x) liên tục trên R

• f(–2) = –1, f(0) = 1 ⇒ phuơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c1∈ −( 2;0)

• f(0) = 1, f(1) = –1 ⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c2∈( )0;1

• f(1) = –1, f(2) = 3 ⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c3∈( )1;2

• Phương trình đã cho là phương trình bậc ba, mà c c c1 2 3, , phân biệt nên phương

trình đã cho có đúng ba nghiệm thực

Câu 21 Cho y f x= ( )=x3−3x2+2 Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Xét hàm số y f x= ( )=x3−3x2+2 ⇒ f(x) liên tục trên R

• f(–1) = –2, f(0) =2⇒ f(–1).f(0) < 0 ⇒ phương trình f(x) = 0 có nghiệm

c1∈ −1;0

• f(1) = 0 ⇒ phương trình f(x) = 0 có nghiệm x = 1 ≠c1

• f(2) = –2, f(3) = 2 ⇒ f( ) ( )2 3f <0 nên phương trình có một nghiệm c2∈( )2;3

Mà cả ba nghiệm c c1 2, ,1 phân biệt nên phương trình đã cho có ba nghiệm thực phân biệt

Câu 22 Chứng minh rằng phương trình x3+3x2−4x− =7 0 có ít nhất một nghiệm trong

khoảng (–4; 0).

Xét hàm số f x( )=x3+3x2−4x−7 ⇒ f x ( ) liên tục trên R.

• f(–3) = 5, f(0) = –7 ⇒ −f( 3) (0) 0f < ⇒ PT f x( ) 0= có ít nhất một nghiệm thuộc (–3;0).

• ( 3;0) ( 4;0)− ⊂ − ⇒ PT f x( ) 0= có ít nhất một nghiệm thuộc (–4; 0).