PHẦN 10 PHƯƠNG TRÌNH – BPT – hệ PHƯƠNG TRÌNH

www.TOANTUYENSINH.com PHẦN 10 PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HỆ PHƯƠNG TRÌNH 10.1 Phương trình Câu Giải phương trình: x  x  3x   3x  Ta đặt x  3x   t (t  0) Ta t  t  12  , giải t = , t = -4 ( loại) Với t = , giải tìm : x  1, x  x    x  x  6x  11 Câu Giải phương trình: + ĐK: x   2; 4 x  1  x2   + Áp dụng BĐT Cauchy   x2  4 x    x   x 1   x   Dấu “=”khi   x  4  x  Mặt khác x2  x  11   x  32   dấu “=”xảy x=3 Vậy phương trình có nghiệm x    10  2x  9x  37  4x  15x  33 Câu Giải phương trình: ĐK: x  Phương trình    x  37     10  x   x  15 x  81    27  x  16  x  37   x  37   8(6  x)  ( x  3)(4 x  27)   10  x - TH1 x    x  3 (TMPT) - TH x  3 phương trình   12   36 16  x  37  36 x  37  Do x  nên VT     x  37   16  x  27   10  x 16  x  27   10  x 36 16   4.5  27  Đẳng thức xảy  x  12 Vậy phương trình có nghiệm x  3, x  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu Giải phương trình: x  x   x  x (1  x ) x  1 ĐK:  0  x  TH1: Với x = khơng phải nghiệm phương trình TH2: Với x  * Với  x  Khi phương trình  x Đặt 1  x2   x  x x  x x 1 Khi  x  t   x2  x x t  t2  1  t    t  1(loai) t  t  2t   * Với x  1 Ta có  Đặt t  phương trình 1  x2     x x x 1  x  t   x  Khi ta x x Khi ta x  x    x  So sánh đk ta nghiệm x  x ta t 1  x2    x x x t4   t 1  t  1  1  Vậy phương trình cho có nghiệm 1  Câu Giải phương trình: x  x 4   x  x   2x  x   50 Điều kiện x    x   x  4  x x4  x    x  x   50  x  x   48    Giải phương trình : x  x    x  Câu Giải phương trình: x x    2x  3  2x    x  2 TXĐ D = 1;   Phương trình  ( x 1) x   ( x  1)  x   (2 x  3)3  (2 x  3)2  x  (1) Xét hàm số f (t )  t  t  t  f' (t )  3t  2t   f' (t )  0, t  suy hàm số f(t) đồng biến Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Phương trình (1) có dạng f ( x  1)  f (2 x  3) Từ hai điều phương trình (1)  x 1  2x  x  / x  /    x=  2 x   x  12 x  x  13 x  10    x   22  3x  x  tập số thực Câu Giải phương trình: x   22  x  x  x4 x  14  pt   x    x2  x    22  3x     x2  x    x2  x  9   x2  x  x4 x  14 x2 22  3x  3  x  x   1   x  2    với đk  22  9    2  x   x4 x  14 22  x   x2 3      Chứng minh vế trái âm suy pt(2) vơ nghiệm Kết luận phương trình có nghiệm x  1, x  Câu Giải phương trình: 2x  3x  14x x 2     4x  14x  3x   1   x 2  Điền kiện: x  2 (*)  PT  x3 (2x  3x  14)  (4x  14x3  3x  2) x     x (x  2)(2x  7)   x3 (x  2)(2x  7)  x     ( 4x x    (4x  14x  3x  2)(x   4)  14x  3x  2)(x  2)  x    x  (thỏa mãn (*))   x (2x  7) x    4x  14x  3x      (1) (1)  x3 (2x  7) x   4x4  14x3  4x4  14x3  3x   x3 (2x  7) x   3x2  Nhận thấy x  khơng nghiệm phương trình  x  x Khi đó, PT  (2x   3) x    Nguyễn Văn Lực 2  2(x  2) x   x    (2) x x x Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Xét hàm số: f(t)  2t  3t với t  Ta có: f '(t)  6t   t   Hàm số f(t) đồng biến Do (2)  f   1 x   f    x    x x  1 x x x  1   (thỏa mãn (*))  x 2 (x  )(x  x  )    Vậy nghiệm phương trình cho là: x  1  , x  2 Câu Giải phương trình sau tập số thực 7x  25x  19  x  2x  35  x  Điều kiện x  Phương trình tương đương x  25 x  19  x   x  x  35 Bình phương vế suy ra: 3x  11x  22  ( x  2)( x  5)( x  7) 3( x  x  14)  4( x  5)  ( x  5)( x  x  14) Đặt a  x2  5x  14; b  x  ( a ,b  0) Khi ta có phương trình a  b 3a  4b2  7ab  3a  7ab  4b2    3a  4b Với a = b suy x   (t / m); x   (l ) Với 3a = 4b suy x  61  11137 61  11137 (t / m); x  (l ) 18 18 61  111237 18 Câu 10 Giải phương trình: 2x  15x  34  3 4x  1 Đs: x   7, x  Ta có x2  15x  34   3 x    x  Cách 1:(Liên hợp thành phần) 1  x  15 x  28   x      x   x    x     2x       12  x  8  4x   12  x    x  8  4x     * + Nếu x   VT *   phương trình (*) vơ nghiệm + Nếu x   VT *   phương trình (*) vơ nghiệm + Nếu x  Thỏa mãn phương trình (*) Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Vậy phương trình cho có nghiệm x  Cách 2:(Liên hợp hồn tồn) 1  x  16 x  32  3 x    x   x    x  14     x  4  2  x  8  3 x   x     x   0 x    x  14   * 2  0  2   x  8  3 x   x     x    Vậy phương trình cho có nghiệm x  Cách 3:(Phương pháp đánh giá) Ta có: 3  x  8 8.8  x    x    x  ( Theo bất đẳng thức Cơ si) Do x2  15x  34  x    x     x  Thử lại thấy thỏa mãn Vậy phương trình cho có nghiệm x  Câu 11 Giải phương trình: x     x   2x   3x  (x  ) Điều kiện xác định: x  Phương trình cho tương đương: 3x  0 2x  3x  với x thuộc  ;   f ( x)  x   2 x   2x  2  x   2x   Đặt  f '( x)  3x  2x  3  x  5   x   2x   10   với x  2 2x   2x  4 5   hàm số f ( x) đồng biến  ;   2   phương trình f ( x)  có tối đa nghiệm (1) Ta có f (3)  (2) Từ (1) (2) suy phương trình cho có nghiệm x  Câu 12 Giải phương trình: x  x    5x  4x  2x  x Đặt t  x  x  1, t  Nguyễn Văn Lực Khi phương trình trở thành: Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 4t  t  7t   t  6t    t  4t    t  t     t  3   t  2    t  t  1 t  t  5  (*)   t  t   2 2  Với t  1 t  t   có nghiệm t  2  Với t  1  21 t  t   có nghiệm t  2 1  1  Khi t  x  x      2x  2x 1     x 1   1   x  2  1  21  1  21 Khi t  x  x      x  x   21  2   x 1  19  21 1  19  21 x  2 Vậy phương trình cho có nghiệm x  1  19  21 1  19  21 , x 2 Câu 13 Giải phương trình: 4x  x  x  1 2x    TXĐ: D    ;     (1)  Ta có: 1   2x   2x    2x 1  2x 1 (2)  Xét hàm đặc trưng f (t )  t  t với t  , đó:  2  f  2x   f  2x 1  (3)  Khảo sát tính đơn điệu hàm số f Ta có: f '(t )  3t   t  Do f đồng biến  Suy ra: x  x  1    3  x   x   1  x  4 x  x   x   Vậy phương trình (1) có nghiệm x  Nguyễn Văn Lực 1 Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com     Câu 14 Giải phương trình:  2x  1  4x  4x   3x  9x   (1) TXĐ: D  1   x  1    x  1 Ta có:      3x       3x       (2) Xét hàm đặc trưng f (t )  t  t  với t  , đó:    f  x  1  f  3x  (3) Khảo sát tính đơn điệu hàm số f t2 Ta có: f '(t )   t   t2  0 t  Do f đồng biến Suy ra:  3  x   3x  x   5 Vậy phương trình (1) có nghiệm x   Câu 15 Giải phương trình: 2x 15 Điều kiện: x 15 32x 4y (1) 20 15 x Phương trình (1) viết lại thành: x Đặt x 15 32x 2 x 15 28 , ta hệ phương trình: y 4y 4x 2 2 x 15 (2) y 15 (3) Trừ theo vế (2) (3) ta được: 4y + Khi x 4x 4y 4x x 2 x y x y y , thay vào (3) ta được: x 4x y x 15 16 x 14 x 11 11 x So với điều kiện x y ta chọn x + Khi x y 4x 2 2x So với điều kiện x Tập nghiệm (1) x  Nguyễn Văn Lực , thay vào (3) ta được: 221 15 64 x 72 x 35 x 16 221 y ta chọn x 16 221 ;x 16 y x Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu 16 Giải phương trình: 4x Điều kiện: x 3x 2y (1) 13x x Phương trình (1) viết lại thành: x Đặt 3x 1 3x x , ta hệ phương trình: y 2x 2y 2 2y x (2) 3x (3) Trừ theo vế (2) (3) ta được: 2x + Khi x 2y x y 2y 2x y 2x 2y y , thay vào (3) ta được: x 12 x x 15 x 3x 15 So với điều kiện x y ta chọn x + Khi x y 2x Tập nghiệm (1) x  x 11x 11 73 11 97 x 73 ; x 15 97 Giải phương trình: 3x Điều kiện: x 15 x x , thay vào (3) ta được: 2y 3x 97 So với điều kiện x y ta chọn x Câu 17 x x 73 x 11 (1) Phương trình có nghiệm x nên ta định hướng biến đổi dạng x f ( x) Ta có: (1) 3x x x (Tách thành biểu thức liên hợp) x 3x x x x 2 3x x 1 x 2 (Nhân liên hợp) 0 x Vậy phương trình (1) có nghiệm x  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu 18 Giải phương trình: 2x x x2 x 21x (1) 17 17 21 Điều kiện: x Phương trình có hai nghiệm x x dạng x x f ( x) hay x 3x f x Ta có: nên ta định hướng biến đổi (1) x2 x x2 3x 2x x2 x 3x x2 3x x 3x 3x x x2 21x 17 21x 17 x2 2x2 x 3x 3x 3x x 21x 17 0 0 x2 3x x x Vậy phương trình (1) có nghiệm x  1, x  Câu 19 Giải phương trình: 2x   x  4x  12    x 2  x 6 x    x6 x   Điều kiện  Đặt t = x   x  (Đk: t > 0)  t  x   x  x  12  t   x   x  x  12  t  1  l  Phương trình cho trở thành t  3t     t   n  Với t   x   x    x   x  x  12  16  x  x  12  10  x 10  x   2  x  x  12  100  20 x  x  x  10   x  (Thoả đk x  ) 16 x  112  Vậy phương trình cho có nghiệm x  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu 20 Giải phương trình: 15x  12x  12  10  2x  1 x  15x  12 x  12  10  x  1 x  Điều kiện: x   1 Với điều kiện phương trình 1 tương đương:  x  1   x  3  10  x  1 x  b   phương trình trở thành: 3a Đặt a  x  1, b  x2  a b  3b  a a a     10     b     b b b  3a a   b  x   2 Với 3b  a , a  3b ta được: x   x    5 x  x  26     3b  10ab  VN   114  18 x   Với b  3a , a  3b ta được: x   x    x 35 35 x  36 x    114  18 So điều kiện ta x  35 Câu 21 Giải phương trình: x  2x   2(3  x ) x  x   2(3  x) Đk: x  Với đk trên, pt tương đương x    x  13 x  15  2( x  5)  ( x  5)(2 x  3) 2x   x5   (2 x  3)( x   3)  Giải (2 x  3)( x   3)  (1) Đặt t= x  1, t   t  x  (1) trở thành: t  3t  2t    1  17 (nhận) t  t  2 (loại) 2  (t  2)(t  t  4)    Giải t  t      1  17 t  t   (loại) t   Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com x x2 2x x x2 x x Xét hàm đặc trưng f t Ta có: f' t Với x t2 Nên: 2 x x x t t t2 x x 2 4x x 2 f 2 x 0, t t2 x2 2 x x (3) 2 với t t2 f x x x f t  đồng biến x x (thỏa điều kiện (*)) y Vậy hệ phương trình có nghiệm x 5, y  Câu 57 Giải hệ phương trình:  x  y   y   x   x  1 y  (1) (2)  Điều kiện 00  xy  11 Khi đó: 1  x   x  y   y (a) Xét hàm đặc trưng: f  t   t   t với t  0;1  t   0;1 f liên tục đoạn  0;1 t 1 t Suy ra: f  t  đồng biến đoạn  0;1 Ta có: f '  t    Do đó: a   f  x   f  y  x  y Thay x  y vào phương trình (2) ta phương trình: x   x   x   x  x 1  x    x 1  x    x  Vậy nghiệm hệ phương trình x Câu 58 Giải hệ phương trình: , y 2 8 x  y  y  x  y   (1)  2 4 x   x   y  1  y    (2) 1 2 Khi đó: (1)  x  x  y  y  y   (2 x)3  3(2 x)  ( y  2)3  3( y  2) 1 Do   x  nên 1  x   y  nên 1  y   2 Xét hàm đặc trưng f (t )  t  3t , với t   1;1 Điều kiện   x  ,  y  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ (a)  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Ta có f '(t )  3t   3(t  1)  , với t   1;1 Suy f  t  nghịch biến đoạn  1;1 Do đó:  a   f (2 x)  f ( y  2)  x  y   y  x  Thay y  2x  vào phương trình (2) ta phương trình: x   x    x    x  16 x  24 x    x   3 Vậy nghiệm hệ phương trình là:  3    3 ;    , x ;y     ;       2     (6 x  5) x   y  y  (1) Câu 59 Giải hệ phương trình:  (2)  y  x  x  x  23  x ;y    2 x   2   x  Điều kiện  x  2 x  x  23    Khi đó: (1)  x  2   x  1   y   y  (a)  Xét hàm đặc trưng f (t )  t   3t   3t  2t , với t   0;   Ta có f '(t )  9t   , với t   0;   Suy f  t  đồng biến  0;    Do đó:  a   f ( 2x  1)  f ( y)  2x   y  Thay y  2x  vào phương trình (2) ta phương trình: x   x  x  x  23  x   2 x  x  x  x  23  x  x  2 x  x  24  x   2x2  x    x  x  36     x4 x    x  x  4   Với x   y  Vậy nghiệm hệ phương trình x Câu 60 Giải hệ phương trình:  4, y    x  x   y  3  y   2  4 x  y   x  2  Khi đó: (1)   x  1 x    y  1  y (1)  Điều kiện x  , y  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ (a)  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com  Xét hàm đặc trưng f (t )   t  1 t  t  t , với t  Ta có f '(t )  3t   , với t  Suy f  t  đồng biến x   Do đó:  a   f (2 x)  f (  y )  x   y    x y   2  4x  Thay y  vào phương trình (2) ta phương trình: 2 5  x    x2    x   2   Nhận thấy x  x  (b) khơng nghiệm phương trình (b)  Xét hàm số g ( x)  x    x    x  với x   0;  , đó: 2   4 (3)  b   g  x   g   2  Khảo sát tính đơn điệu hàm số g khoảng  0;   4 4  3 Ta có: g '( x)  x  x   x    x x2    x   0;   4x  4x 2   4 Do f đồng biến khoảng  0;   4  Suy ra:  3  x   Với x   y  2 , y Vậy nghiệm hệ phương trình x 2  Câu 61 Giải hệ phương trình:       x x2  y  y y     x   y   (1) (2)  Nhận thấy y  khơng thỏa mãn hệ  Điều kiện x   x x  Khi đó: (1)      y  y  y y  Xét hàm đặc trưng f (t )  t  t , với t  (a) Ta có f '(t )  3t   , với t  Suy f  t  đồng biến Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com a   Do đó: x x f    f  y    y  x  y2 y  y  Thay x  y vào phương trình (2) ta phương trình:  x  5 x  8  23  x 4x   x    23   x 23  23   x  x       x 1 x 1  2 4  x   x     23  x   x  42 x  41       x  41  Với x   y  1 Vậy nghiệm hệ phương trình  x ;y   1;  1 , x ;y   1; 1 y3 Câu 62 Giải hệ phương trình: 12 y 3x Điều kiện: y y2 x 25 y 3x 18 14 x 2x x 4y (1) y2 (2) (*) Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u f v ) y3 12 y 25 y 18 2x (3) Xét hàm đặc trưng f t x 2t t 6t f' t y 3 y 2 x x ta có: f  t  đồng biến 0, t Nên: y f y f x y x y 2 x y x 4y y2 (4) Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn 3x x Phương trình (5) có nghiệm x số kỹ thuật nhân liên hợp 3x x (5) nên biến đổi phương trình tích x 3x 3x 14 x 3x 3x 14 x x 3x x x x 1 x 3x [Tại ?] x Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com y (thỏa điều kiện (*)) Với x Vậy hệ phương trình có nghiệm x  5, y  Câu 63 Giải hệ phương trình Điều kiện: x 2y x x3 y3 17 x 32 y y x 6x2 x 9 y2 2y 24 x (1) x2 9y (2) (*) Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u f v ) x3 y3 6x2 17 x 32 y y2 x3 24 x (3) Xét hàm đặc trưng f t t3 5t 3t f' t 6x2 x x x x x y (4) (5) x 10 nên biến đổi phương trình tích số x x x 11 x2 x x x x x x 11 x x x 42 x x 32 y y x x x x2 x 11 Phương trình (5) có nghiệm x kỹ thuật nhân liên hợp y f  t  đồng biến 0, t 9 y2 ta có: f x f y x y Nên: Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn x y3 17 x 18 x x 11 x x 35 0 x x 11 x (6) Chứng minh (6) vơ nghiệm x x x x x x 11 x x phương trình VN y Với x Nguyễn Văn Lực x x 11 0 2 x 0: (thỏa điều kiện (*)) Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Vậy hệ phương trình có nghiệm x  5, y  x Câu 64 Giải hệ phương trình: x2 x 2x y y4 2 y2 8y y (1) (2) Điều kiện: x (*) Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y x x y4 Xét hàm đặc trưng f t f liên tục 0; y x 2t y4 y khoảng 0; t4 t f ' t x 0, t t4 y (3) f  t  đồng biến 0; 0; Do x y f x x f y x y nên y x y4 (4) Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn y4 4y y y7 y4 y y y y y4 y (5) Giải phương trình (5) phương pháp hàm số Xét hàm số g y y y y khoảng 0; Do g liên tục 0; g' y y y 0, y 0; 0; g y g y Nên: x [thỏa (*)] Với y x [thỏa (*)] Với y Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x ; y    2;0 , x ; y    3;1 Câu 65 Giải hệ phương trình:  x 1 0  x  x  y  y  y   ln y 1   y  log  x  3  log y   x     g y đồng biến 1 2  x 1  y 1   x  Điều kiện:  x     y  y    Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com  x 13   x 12  ln  x 1   y  13   y  12  ln  x  1 Xét hàm đặc trưng f  t   t  3t  ln t khoảng  0;   (3) Do x 1 f   t   3t  6t   t   f  t  đồng biến khoảng  0;   t y nên  3  f  x  1  f  y  1  x   y   y  x  (4) Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn  x   log  x  3  log3  x    x  (5) Giải phương trình (5) phương pháp hàm số x 1 x 1  log  x    log  x     6  x2 x2 x 1 Xét hàm số g  x   log  x  3  log3  x    khoảng  3;   x2 1 g  x     x   x  3 ln  x   ln  x  22  log  x  3  log  x     g  x  đồng biến khoảng  3;    4 y 3    g  x   g  5  x   Nên Vậy hệ phương trình có nghiệm x  5, y  Câu 66 Giải hệ phương trình: Điều kiện:  x  1 x 1    14  3 y  14   y   3x  3y    y  x  y  xy  x     x  y  13 3y  14  x       1 2  * Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y (3) 1  x  13  3 x  1   y  13  3 y  1 Xét hàm đặc trưng f  t   t  3t , t  f   t   3t   0, t   f  t  đồng biến Do x y nên f  x  1  f  y  1  x   y   x   y (4)  3 Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn 5  2x  11  3x   x    Giải phương trình (5) phương pháp hàm số Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Ta nhận thấy x 11 khơng nghiệm phương trình   nên  5  g  x   3x   x   Xét hàm số g x  3x   x   3x   x 1  10  x  11 Trên khoảng  11   11  , x   ;    ;   x  11 2     x   3x  10   3x  8 x  1  x  11 6  11   11   x   ;  &  ;   3     11   11   ;  &  ;   3     11   11   ;  g  x  đồng biến,   ;  , g  3       4 g  x   g  3  x   y   g  x  đồng Trên khoảng   x  11 biến khoảng  11   ;   g  x  đồng 2  nên thoả mãn (*)  11    ;   , g 8   nên 2   4 g  x   g    x   y  10 thoả mãn biến, (*) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x ; y    3;5 , x ; y   8;10 y3 Câu 67 Giải hệ phương trình: x Điều kiện: y 2x x y2 x2 x (1) (2) y2 (*) y Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u f v ) y3 y 2x x x y3 y x 2x x y 21 x x 2y Xét hàm đặc trưng f t Nên: f y 2t f' t 6t f x t 0, t y x x (3) x ta có: f đồng biến y y2 x (4) Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn 4x Nguyễn Văn Lực 2x2 6x Ninh Kiều – Cần Thơ (5)  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Giải phương trình (5) phương pháp đặt ẩn phụ chuyển hệ đối xứng loại II 2 x 11 Phương trình (5) viết lại thành: x Điều kiện Đặt x 2t t , ta hệ phương trình: 2x 2t 2 4t (6) 4x (7) Trừ theo vế (6) (7) ta được: x t x t 4t 4x x t x t 0 x + Khi x t , thay vào (7) ta được: 4x2 12 x 4x x2 4x So với điều kiện x t ta chọn x [khơng thỏa (*)] + Khi x t t x , thay vào (7) ta được: 2x 4x x2 2x x (loại) So với điều kiện x t ta chọn x Với x y [thỏa (*)] Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x ; y   2; ,  x ; y   2; Câu 68 Giải hệ phương trình: x xy y xy x 16 Điều kiện: x 16 y 17 x y y y x 21 (1) (2) Đánh giá phương trình (1) để tìm hệ thức đơn giản liên hệ x y Ta có: x y Đặt t x y y x y x 17 x y Nguyễn Văn Lực y x x y x y y x y x 17 x y t t 17 t y x y sử dụng BĐT Cơ-si ta có: x t t Ninh Kiều – Cần Thơ 2t 2.2  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Dấu “=” xảy t t 6 t Thế y = x vào (2), ta được: x x 16 y x x 16 x x Với x y 25 37 x 25 25 [thỏa (*)] Vậy hệ phương trình có nghiệm x  25, y  25 x2 Câu 69 Giải hệ phương trình: x2 y x x y y 4y (1) y (2) (*) Biến đổi cho hai phương trình hệ xuất hai biểu thức giống Do y khơng thỏa mãn hệ nên x2 x y * x2 x y Đặt ẩn phụ u Với u v x2 y v x y y y u , hệ trở thành x2 ta hệ phương trình 1 y x y 1 v u.v x x y y u v Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x ; y   1; 2 , x ; y    2;5 x2 Câu 70 Giải hệ phương trình : x y2 y (1) x y (*) (2) Điều kiện: x y Biến đổi hệ phương trình thành dạng có chứa hai biểu thức x x y x x y y Ninh Kiều – Cần Thơ y x Nguyễn Văn Lực y x y  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Đặt u y v x uv x Suy ra: u v u y hệ phương trình trở thành v2 x y x y u v u2 u 2u x x x y 2 y y 8u 18u 18 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x ; y   u x y ; ; x ; y   2  35 29 ; 8   xy   x 4 y  y 8 Câu 71 Giải hệ phương trình:   x, y  3 x y  x y  26 x  x  14  ;v 35 29   u 3; v    xy   x  y  y  1   3 x y  x y  26 x  x  14    ĐK: y  Ta có  y  y  y  y  từ phương trình (1) suy x>0; y>0 1  xy 1  1 x2      xy   x  4 y  y    4 y  y 8   y  y  x  x 1 x2  4 y  y 2  y y  1 y        x  x 1 x    1  (3)    y  y  y        Xét hàm số f  t   t  t  t  0;   Có f '  t     t  Suy hàm số f(t) đồng biến  0;   t2  t2  0t   0;     y   x  x y  y Mà phương trình (3) có dạng f  x   f  vào phương trình (2) ta có x2 Thay y  12 x  26 x   x  14  6 x  13 x   x  14   x     x     x  14   x  14   Xét hàm số g  u   u3  u R Có g '  u   3u2   0u  R Suy hàm số g(u) đồng biến R mà phương trình (4) có dạng: Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com  x    nhận  x  14  x   x  14  6 x  12 x      x    loại  => y  12  g  x  2  g   Vậy hệ có nghiệm x   2, y  12   x  x    y  y  Câu 72 Giải hệ phương trình:  6 x  y  11  10  x  x   y2  y   Điều kiện:  phương trình  x  x  10    Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 4(10  x  x ) 14  x  x  2 Rút gọn ta được: 4( y  x  11)  14  x  x  x  10 x  y  15  (3) y  x  11  10  x  x  Tương tự phương trình (1)  y2  y  x  2x    y  y    x  x  y  y   (4) 2 Cộng vế với vế (3) (4) ta được: x  3x  x  y  y  12   3( x  1)  ( y  3)     y  3 Kết hợp với điều kiện đề bài, suy nghiệm hệ phương trình x  1, y  3 Câu 73 Giải hệ phương trình: 4x 3xy 3x ĐK: 3x 2xy y2 4x 3xy 7y 10xy 7y x2 34y 47 6y 5xy 3x 2xy y2  x, y   0 Chuyển vế nhân liên hợp phương trình , ta được: x2 5xy Với x Với x 6y 4x 3xy 7y 3x y thay vào , ta được: x 6y thay vào , ta được: 82y 2xy x x y2 y 1 y 47 y Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ x y x 6y y 47 82 47 82 x 47 82 ; 47 82 x  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com KL: S 1;1 , 1; , 47 47 ; ; 82 82 47 47 ;6 82 82  y  x  x   x  y Câu 74 Giải hệ phương trình:   y   x  xy  x Đk: 1  x    2 y  y   x   x Hệ phương trình (I)    y   x  xy  x  y   x 1 , y    y   x  xy  x (Do hàm f  t   2t  t ln đồng biến)  2 Ta có (2)   x   x  x  x  2x2  2x  x2   x 1  Đặt x  cos t với t   0;   Ta có x  cos t   2s in t t   x  sin 2 t Nên phương trình (2) trở thành 2cos 2t  cos t sin t  sin    t   sin  2t    sin 4   k 4  t     k   t    k 4  5     x  cos  t   0;     nghiệm hệ phương trình      y  sin t    l   10  ìï x +12 y + x + = 8y +8y Câu 75 Giải hệ phương trình: í ïỵ x +8y + y = 5x ìï x +12 y + x + = 8y +8y(1) í ỵï x +8y + y = 5x(2) Ta có (1) Û x3 + x = (2y -1)3 +(2y -1)(*) Xét hàm số f (t) = t +t,"t Ỵ », f '(t) = 3t +1> 0,"t Ỵ » Vậy hàm số f(t) đồng biến R Từ (*) ta có: f (x) = f (2y -1) Û x = 2y -1 Thế x=2y-1 vào (2) giải y=1 y=6 thoả mãn Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Vậy hệ phương trình có nghiệm x ; y   1;1 , x ; y   11;6   2(2 x  1)  x   (2 y  3) y  Câu 76 Giải hệ phương trình:  4x   y     Điều kiện xác định: x   , y  2 Xét hàm số: f (t )  2t  t t   0;   Suy f '(t )  6t   nên hàm số đồng biến Từ phương trình thứ hệ ta có f (2 x  1)  f ( y  2)  x   y  Thay vào phương trình thứ hai ta được: 4 y   y   (*) Xét hàm số g ( y )  4 y   y   6, y   2;   g '( y )  1   y   2;   nên g(y) đồng biến 4y 8 2y  Hơn g(6) = nên (*) có nghiệm y = Với y = ta có x   x y   1  x xy Câu 77 Giải hệ phương trình:  y   x xy  y xy  78 ĐK: x, y>  x  y   xy (I)    xy  x  y   78 Đặt t  xy (ĐK: t>0) t  13  l  x  y   t   t  7t  78    n t  t  x  y   78 x  x   x  y  13 t=6    v  y  y   xy  36 Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x ; y    4;9 , x ; y    9;  (1  y )( x  y  3)  x  ( y  1)3 x ( x, y  R ) Câu 78 Giải hệ phương trình:  3  x  y  x   2( y  2)  2  x  y   x  y   x  0, y   x  1, y  ĐKXĐ:  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Nhận xét x  1, y  khơng nghiệm hệ Xét y  phương trình (1) hệ (I) x  x( y  1)  3( y  1)  ( y  1) x( y  1)   x  x x  3 0   y 1 y 1  y 1  x t , t  Khi đó, phương trình (1) trở thành y 1 t  t  t     t  1  t  t  2t  3   t  Với t = 1, x   y  x  , vào pt(2), ta y 1 x  x   x    x  1  x  x    x    x  1       x2  x     x  x 1   0 2 3 3   x      x  1 x    x  1     x  x  1      0  x    x  1   x2  x  x      x  1 1 1 3 Với x  y 2  x2  x 1   x   x  1 Đối chiếu ĐK, hệ phương có nghiệm x  Nguyễn Văn Lực 1 3 , y 2 Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 [...]... 15 Giải hệ phương trình:  y  1 x  y  2  4x  5  y  8  6 Hệ phương trình đã cho tương đương NX: Nếu y=0 thì từ phương trình (1) Thay x=0; y=0 vào phương trình (2) ta được: (vơ lý) Vậy y=0 khơng thỏa mãn bài tốn Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com chia cả 2 vế của phương trình (1) cho *) Xét Có Từ (*) Vậy ta được: đồng biến trên R Thay vào phương trình (2)... x 2 x  1  Vậy nghiệm bất phương trình là:  1  5 x  2  Câu 20 Giải bất phương trin ̀ h: 2(x 2  16) x 3  x 3  7 x x 3 ĐK: x  4 Bất phương trình   x 2  16  0   10  2 x  0 2 2   2( x  16)  x  3  7  x  2( x  16)  10  2 x   10  2 x  0  2 2  2( x  16)  (10  2 x) x5    x  10  34 10  34  x  5  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com...  1 1 5   2   2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =   ; Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 10. 3 Hệ phương trình đại số Câu 1  x  y  x  y  2 Giải hệ phương trình:   x  y  1  3  x  y 2 2 2 2 (x,y ) Điều kiện: x+y  0, x-y  0  u  v  2 (u  v)  u  v  2 uv  4 u  x  y   Đặt:  ta có hệ:  u 2  v 2  2   u 2  v2  2 v  x... 2  0 (3) x y x y x y Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm x, y Khi đó phương trình (3) có nghiệm 1 1 1 1   1  8  0  xy  8  0  xy  8 x y x y Khi đó ta có x 2  y 2  2 xy  16 Đặt t  x  y  2  0  t  2 Từ phương trình (1) ta có t  t 2  2  32  t 2  t  34  0 điều này vơ lí Vậy TH1 hệ phương trình vơ nghiệm Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com...  x  1  3  3;VP  2 Do đó phương trình (*) vơ nghiệm Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  2, y  3 Câu 12 Giải hệ phương trình  xy  2  y x 2  2 (với x; y   2 2 2  y  2  x  1 x  2 x  3  2 x  4 x ) ĐKXĐ: x  ; y  Ta có xy  2  y x 2  2  y   x2  2  x  2  y  2 x2  2  x  y  x 2  2  x (1) Thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta có :   2 x 2  2  x...  0  x  2 3 9 x  15  4   1 Kết hợp các điều kiện suy ra nghiệm của bất phương trình là x  phương trình Câu 16 Giải bất phương trình 1 x 1 2  1 3x  5 2 +) Đặt t = x2 – 2, bất phương trình trở thành:  2 x  2 1 2 1 là nghiệm của bất 3 trên tập số thực 1 1 2   ĐK: t  0 với đk t 3 3t  1 t 1 trên, bất phương trình tương đương 1 1  )  2 Theo Cơ-si ta có: t 3 3t  1 ( t  1)( t t t 1...    0   x 1  3 1 3  x 2  3  x  0 Từ đó phương trình trên tương đương với x  2  x  1  x  2  x  1  0   Với x  2  y  0; x  1  y  3 Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ phương trình Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là x ; y    1; 3 , x ; y    2;0   x  3xy  x  1  y  2 xy  x Câu 24 Giải hệ phương trình:  3 2 2 2 3 2 2 2   y  3 yx  y  1  x ... Nguyễn Văn Lực x y 1 3 Ninh Kiều – Cần Thơ 2  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com x 3  y 3  1 b) Nếu t = -1 ta có hệ  x   y 3 x 3  y 3  1 3 1 Nếu t = ta có hệ  x  , 2 3 y  2x  hệ vơ nghiệm 23 3 y 3 2 2  xy  2 x  5 y  3  x  2 y Câu 8 Giải hệ phương trình :   x 2 y  2  y x  1  x  1  2 x  2 y  2  y  1 ĐK :  x  1 Phương trình đầu của hệ tương đương với  x  y  1... 18x 2  57x  127 0  45 5 ta suy ra bất phương 2 5 2 trình đã cho có nghiệm là   x  2 Câu 10: Giải bất phương trình: 2x  5  3x  2  4x  1  5x  6 BPT  2x  5  4x  1  3x  2  5x  6  0  (2x  4)[ 1 2x  5  4x  1  1 3x  2  5x  6 ]0 x 2 Câu 11 Giải bất phương trình: 3x (2  9x 2  3)  (4x  2)(1  1  x  x 2 )  0 1 Viết lại phương trình dưới dạng: 3x(2  (3x) 2  3)  (2...  5 2 2 2v  u  v  7  2 Khi đó hệ ban đầu trở thành:   * thế v = 5 – 3u vào phương trình (*) giải tìm được u = 1, từ đó v = 2 Suy ra x  3, y  2 Câu 19 Giải hệ phương trình:  y  x  y  1  x 3  3 y ( x 2  xy  y  1)  1  2  y  y  5 x  5  y  x  y  1  x 3  3 y ( x 2  xy  y  1)  1 Giải hệ phương trình :  2  y  y  5 x  5 y  0 Điều kiện :  ( vì y=0 khơng thỏa hpt)