PHẦN 10 PHƯƠNG TRÌNH – BPT – hệ PHƯƠNG TRÌNH

www.TOANTUYENSINH.com PHẦN 10 PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HỆ PHƯƠNG TRÌNH 10.1 Phương trình Câu Giải phương trình: x + x − 3x + = 3x + Ta đặt x − 3x + = t (t ≥ 0) Ta t + t − 12 = , giải t = , t = -4 ( loại) Với t = , giải tìm : x = −1, x = x − + − x = x − 6x + 11 Câu Giải phương trình: + ĐK: x ∈ [ 2; 4] x − +1   x − ≤ ⇒ x−2 + 4− x ≤ + Áp dụng BĐT Cauchy   − x ≤ − x +1  x − = ⇔ x = Dấu “=”khi  4 − x = Mặt khác x − x + 11 = ( x − 3) + ≥ dấu “=”xảy x=3 Vậy phương trình có nghiệm x = ) ( 10 − 2x − 9x − 37 = 4x − 15x − 33 Câu Giải phương trình: ĐK: x ≤ Phương trình ⇔ ( + x − 37 ) + ( − 10 − x ) + x − 15 x − 81 = ⇔ ( 27 + x ) 16 − x − 37 + ( x − 37 ) + 8(6 + x) + ( x + 3)(4 x − 27) = + 10 − x - TH1 x + = ⇔ x = −3 (TMPT) - TH x ≠ −3 phương trình ⇔ 12 + ( ⇔ 36 16 − x − 37 + 36 x − 37 − Do x ≤ nên VT ≤ ) + ( x − 37 ) + 16 + x − 27 = + 10 − x 16 + x − 27 = + 10 − x 36 16 + + 4.5 − 27 = Đẳng thức xảy ⇔ x = 12 Vậy phương trình có nghiệm x = −3, x = Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu Giải phương trình: x + x + + x = x (1 − x ) x ≤ −1 0 ≤ x ≤ ĐK:  TH1: Với x = khơng phải nghiệm phương trình TH2: Với x ≠ * Với < x ≤ Khi phương trình ⇔ x Đặt 1 + x2 + + x = x −x ⇔ x x 1 − x ⇒ t = + x2 − Khi x x t ≥ t2 + +1 = t ⇔  ⇔ t = −1(loai ) t − t + 2t + = * Với x ≤ −1 Ta có − Đặt t = phương trình 1 + x2 + + = − −x x x 1 − x ⇒ t = + x − Khi ta x x Khi ta x + x − = ⇔ x = So sánh đk ta nghiệm x = x= ta t= 1 + x2 + + = −x x x t + = t +1 ⇔ t = −1 ± −1 − Vậy phương trình cho có nghiệm −1 − Câu Giải phương trình: (x + x −4 ) + x + x − + 2x + x − = 50 Điều kiện x ≥ ( ⇔ (x + ) x − 4) ⇔ x + x − + x − + + x + x − = 50 ( ) + x + x − − 48 = Giải phương trình : x + x − = ⇒ x = Câu Giải phương trình: x x − = ( 2x − 3) ( 2x − ) + x − TXĐ D = [ 1;+∞ ) Phương trình ⇔ ( x − 1) x − + ( x − 1) + x − = (2 x − 3)3 + (2 x − 3)2 + x − (1) Xét hàm số f (t ) = t + t + t ⇒ f' (t ) = 3t + 2t + ⇒ f' (t ) > 0, ∀t ∈ ¡ suy hàm số f(t) đồng biến ¡ Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Phương trình (1) có dạng f ( x − 1) = f (2 x − 3) Từ hai điều phương trình (1) ⇔ x −1 = 2x − x ≥ / x ≥ / ⇔ ⇔ ⇔ x= 2  x − = x − 12 x +  x − 13 x + 10 = Câu Giải phương trình: x + + 22 − 3x = x + tập số thực x + + 22 − x = x + x+4 x − 14  pt ⇔  x + − = x2 − x − ÷+ 22 − 3x + 3   − x2 + x + 2) − ( − x2 + x + 2) ( ⇔ + = x2 − x − x+4 x − 14 x+2+ 22 − 3x − 3  x − x − = ( 1)   x ≥ −2   − − ⇔ với đk  22 9 x≤ + = ( 2)   x+4 x − 14  22 − x −  x+2+ 3  Chứng minh vế trái âm suy pt(2) vơ nghiệm Kết luận phương trình có nghiệm x = −1, x = Câu Giải phương trình: 2x + 3x − 14x x +2   = ( 4x + 14x + 3x + ) 1 − ÷ x +2  Điền kiện: x > −2 (*) ( PT ⇔ x (2x + 3x − 14) = (4x + 14x + 3x + 2) x + − ( ⇔ x (x − 2)(2x + 7) ( ⇔ x3 (x − 2)(2x + 7) ) x + + ) = (4x + 14x + 3x + 2)(x − 2) x + + = (4x + 14x + 3x + 2)(x + − 4)  x − = ⇔ x = (thỏa mãn (*)) ⇔  x (2x + 7) x + + = 4x + 14x + 3x +  ( ) ) (1) (1) ⇔ x3 (2x + 7) x + + 4x + 14x = 4x + 14x + 3x + ⇔ x3 (2x + 7) x + = 3x + Nhận thấy x = khơng nghiệm phương trình ⇒ x ≠ x Khi đó, PT ⇔ (2x + + 3) x + = + Nguyễn Văn Lực 2 ⇔ 2(x + 2) x + + x + = + (2) x x x Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Xét hàm số: f(t) = 2t + 3t với t ∈ ¡ Ta có: f '(t) = 6t + > ∀t ∈ ¡ ⇒ Hàm số f(t) đồng biến ¡ Do (2) ⇔ f ( ) 1 x + = f  ÷⇔ x + = ⇔ x x + = x x −1 +  x > ⇔ ⇔x= (thỏa mãn (*)) 2 (x + 1)(x + x − 1) = Vậy nghiệm phương trình cho là: x = Câu −1 + , x = 2 Giải phương trình sau tập số thực 7x + 25x + 19 − x − 2x − 35 = x + Điều kiện x ≥ Phương trình tương đương x + 25 x + 19 = x + + x − x − 35 Bình phương vế suy ra: 3x − 11x − 22 = ( x + 2)( x + 5)( x − 7) 3( x − x − 14) + 4( x + 5) = ( x + 5)( x − x − 14) Đặt a = x − x − 14; b = x + ( a ,b ≥ 0) Khi ta có phương trình a = b 3a + 4b = ab ⇔ 3a − ab + 4b = ⇔  3a = 4b Với a = b suy x = + (t / m); x = − (l ) Với 3a = 4b suy x = 61 + 11137 61 − 11137 (t / m); x = (l ) 18 18 61 + 111237 18 Câu 10 Giải phương trình: 2x − 15x + 34 = 3 4x − ( 1) Đs: x = + 7, x = Ta có x − 15 x + 34 > ⇒ 3 x − > ⇒ x > Cách 1:(Liên hợp thành phần) ( 1) ⇔ x − 15 x + 28 = ( x − − ) ⇔ ( x − ) ( x − ) = x =  ⇔  2x − − ( )   12 ( x − 8) + 4x − + 12 ( x − ) ( x − 8) + 4x − + = ( *) + Nếu x > ⇒ VT ( *) > ⇒ phương trình (*) vơ nghiệm + Nếu x < ⇒ VT ( *) < ⇒ phương trình (*) vơ nghiệm + Nếu x = Thỏa mãn phương trình (*) Vậy phương trình cho có nghiệm x = Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Cách 2:(Liên hợp hồn tồn) ( 1) ⇔ x − 16 x + 32 = 3 x − − ( x + ) ( x − ) ( x + 14 ) ⇔ ( x − 4) + ( x − 8) + x − ( x + ) + ( x + ) 2 3 =0 x =  ( x + 14 ) ⇔ * 2+ = 0( ) 2  ( x − 8) + x − ( x + ) + ( x + )  Vậy phương trình cho có nghiệm x = Cách 3:(Phương pháp đánh giá) Ta có: 3 ( x − ) 8.8 ≤ x + ⇒ ( x − 8) ≤ x + ( Theo bất đẳng thức Cơ si) Do x − 15 x + 34 ≤ x + ⇔ ( x − ) ≤ ⇔ x = Thử lại thấy thỏa mãn Vậy phương trình cho có nghiệm x = Câu 11 Giải phương trình: ( x − ) ( ) x + + 2x − = 3x − (x ∈ ¡ ) Điều kiện xác định: x ≥ Phương trình cho tương đương: 3x − =0 2x − 3x − 5  f ( x) = x + + 2 x − − với x thuộc  ; −∞ ÷ 2x − 2  x + + 2x − = Đặt ⇒ f '( x) = 3x − 2x − 3 ( x + 5) + ⇔ x + + 2x − − 10 + > với ∀x > 2x − ( 2x − 4) 5  ⇒ hàm số f ( x) đồng biến  ; −∞ ÷ 2  ⇒ phương trình f ( x ) = có tối đa nghiệm (1) Ta có f (3) = (2) Từ (1) (2) suy phương trình cho có nghiệm x = Câu 12 Giải phương trình: x + x + = + 5x + 4x − 2x − x Đặt t = x + x + 1, t ≥ Khi phương trình trở thành: 4t = −t + 7t − ⇔ t − 6t + − ( t − 4t + ) = Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com t − t − = ⇔ ( t − 3) − ( t − ) = ⇔ ( t − t − 1) ( t + t − ) = (*) ⇔  t + t − = 2 2  Với t ≥ 1+ t − t − = có nghiệm t = 2  Với t ≥ −1 + 21 t + t − = có nghiệm t = 2 1+  1+  Khi t = x + x + =  ÷ ⇔ 2x + 2x −1 − =   ⇔x= −1 − + x = −1 + + 2  −1 + 21  −1 + 21 Khi t = x + x + =  ÷ ⇔ x + x − + 21 = 2   ⇔x= −1 − 19 − 21 x = −1 + 19 − 21 2 Vậy phương trình cho có nghiệm x = −1 − 19 − 21 , x = −1 + 19 − 21 2 Câu 13 Giải phương trình: 4x + x − ( x + 1) 2x + =   • TXĐ: D = − ; +∞ ÷   (1) • Ta có: ( 1) ⇔ ( 2x ) + 2x = ( ) 2x +1 + 2x +1 (2) • Xét hàm đặc trưng f (t ) = t + t với t ∈ ¡ , đó: ( 2) ⇔ f ( x ) = f ( 2x + ) (3) • Khảo sát tính đơn điệu hàm số f ¡ Ta có: f '(t ) = 3t + > ∀t ∈ ¡ Do f đồng biến ¡ • Suy ra: x ≥ x ≥ 1+  ⇔ ( 3) ⇔ x + = x ⇔  1± ⇔ x = 4 x − x − = x =  1+ Vậy phương trình (1) có nghiệm x = ( ) ( ) Câu 14 Giải phương trình: ( 2x + 1) + 4x + 4x + + 3x + 9x + = (1) TXĐ: D = ¡ Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Ta có: ( 1) ⇔ ( x + 1)  + ( x + 1)  + ÷ = ( −3 x )  +   ( −3x ) ) ( + ÷  (2) Xét hàm đặc trưng f (t ) = t + t + với t ∈ ¡ , đó: ( ) ⇔ f ( x + 1) = f ( −3x ) (3) Khảo sát tính đơn điệu hàm số f ¡ Ta có: f '(t ) = + t + + t2 >0 t2 + Do f đồng biến ¡ Suy ra: ( 3) ⇔ x + = −3x ⇔ x = − ∀t ∈ ¡ Vậy phương trình (1) có nghiệm x = − Câu 15 Giải phương trình: 2x + 15 = 32x + 32x - 20 Điều kiện: x + 15 ³Û³ x - (1) 15 2 Phương trình (1) viết lại thành: ( x + 2) = x + 15 + 28 Đặt ỉ 1ư ÷ x + 15 = y + ç çy ³ - ÷ ÷, ta hệ phương trình: ç è 2ø ìï ( y + 2) = x + 15 ïï í ïï ( x + 2) = y + 15 ïỵ (2) (3) Trừ theo vế (2) (3) ta được: ù ( y + x + 4) ( y - x ) = ( x - y ) Û ( x - y ) é ë1 + ( x + y + 1) û= + Khi x = y , thay vào (3) ta được: é êx = ê 2 x + = x + 15 Û 16 x + 14 x 11 = Û ( ) ê 11 ê êx = ê ë So với điều kiện x y ta chọn x = + Khi + ( x + y + 1) = Û y = - x - , thay vào (3) ta được: - ± 221 ( x + 2) = - x - + 15 Û 64 x + 72 x - 35 = Û x = 16 - - 221 So với điều kiện x y ta chọn x = 16 - - 221 Tập nghiệm (1) x = ; x = 16 Câu 16 Giải phương trình: 4x + 3x + + = 13x Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ (1)  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Điều kiện: 3x + ³Û³ x - Phương trình (1) viết lại thành: ( x - 3) = - 3x + + x + ỉ Đặt 3x + = - ( y - 3) çççèy £ 3÷ ÷ , ta hệ phương trình: ÷ 2ø ìï ( x - 3) = y + x + ïï í ïï ( y - 3) = x + ïỵ (2) (3) Trừ theo vế (2) (3) ta được: ( x + y - 6) ( x - y ) = y - x Û ( x - y ) ( x + y - 5) = + Khi x = y , thay vào (3) ta được: x - 12 x + = x + Û x - 15 x + = Û x = 15 So với điều kiện x y ta chọn x = 97 15 ± 97 + Khi x + y - = Û y = - x , thay vào (3) ta được: ( - x) = 3x + Û x - 11x + = Û x = 11 ± 73 11 + 73 So với điều kiện x y ta chọn x = 11 + 73 x = 15 Tập nghiệm (1) x = ; Câu 17 97 Giải phương trình: 3x + + x + + x - = Điều kiện: x ³ - (1) Phương trình có nghiệm x = nên ta định hướng biến đổi dạng ( x - 1) f ( x) = Ta có: (1) Û ( 3x + - 2) + ( x + - 2) + x - = (Tách thành biểu thức liên hợp) 3( x - 1) x- Û 3x + + ỉ + x+ 3+ (Nhân liên hợp) + x - 1= ç ÷ + + 1÷ =0 ÷ Û ( x - 1) ç ç ÷ è ø x + + x + + 144444444444442 44444444444443 >0 Û x =1 Vậy phương trình (1) có nghiệm x = Câu 18 Giải phương trình: 2x - x + + x - x = 21x - 17 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ (1)  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Điều kiện: x ³ 17 21 Phương trình có hai nghiệm x = x = nên ta định hướng biến đổi dạng ( x - 1) ( x - 2) f ( x) = hay ( x - 3x + 2) f ( x ) = Ta có: (1) Û Û ( ) ( x - x + - x - + x - 1- x - 3x + 2 2x - x + + x + + ) 21x - 17 + x - 3x + = ( x - x + 2) 3x - + 21x - 17 + x - 3x + = ỉ ÷ ç ÷ ç ÷ ç ç ÷ Û ( x - x + 2) ç + + 1÷ =0 ÷ ç ÷ x - + 21x - 17 x x + + x + ç ÷ 144444444444444444442 44444444444444444443÷ ç ÷ ç è ø >0 éx = Û x - 3x + = Û ê ê ëx = Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 1, x = Câu 19 Giải phương trình: 2x − + x − 4x − 12 = ( ) x +2+ x −6 x + ≥ ⇔ x≥6 x − ≥ Điều kiện  Đặt t = x + + x − (Đk: t > 0) ⇒ t = x − + x − x − 12 ⇒ t − = x − + x − x − 12 t = −1( l ) t − t − = ⇔  Phương trình cho trở thành t = ( n ) Với t = ⇒ x + + x − = ⇔ x − + x − x − 12 = 16 ⇔ x − x − 12 = 10 − x 10 − x ≥ ⇔ 2  x − x − 12 = 100 − 20 x + x  x ≤ 10 ⇔ 16 x − 112 = ⇔ x=7 (Thoả đk x ≥ ) Vậy phương trình cho có nghiệm x = Câu 20 Giải phương trình: 15x + 12x + 12 = 10 ( 2x + 1) x + Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 15 x + 12 x + 12 = 10 ( x + 1) x + Điều kiện: x ≥ − ( 1) Với điều kiện phương trình ( 1) tương đương: ( x + 1) + ( x + ) = 10 ( x + 1) x + ( b ≥ 3) Đặt a = x + 1, b = x + phương trình trở thành: 3a + 3b = 10ab a b = 3b = a a a ⇔  ÷ − 10  ÷+ = b ≥ ⇔  ⇔ b b b = 3a a =  b  x ≥ − 2 Với 3b = a , a = 3b ta được: x + = x + ⇔  5 x − x + 26 =  ( ) ( VN )  114 − 18 x ≥ − ⇔x= Với b = 3a , a = 3b ta được: x + = x + ⇔  35 35 x + 36 x + =  114 − 18 So điều kiện ta x = 35 Câu 21 Giải phương trình: x + 2x − = 2(3 − x ) x + x − = 2(3 − x) Đk: x ≥ Với đk trên, pt tương đương x − − = x − 13 x + 15 2( x − 5) ⇔ = ( x − 5)(2 x − 3) 2x − + x=5  ⇔ (2 x − 3)( x − + 3) = Giải (2 x − 3)( x − + 3) = (1) Đặt t= x − 1, t ≥ ⇒ t = x − (1) trở thành: t + 3t − 2t − =  −1 + 17 (nhận) t = t = −2 ( loại) 2  ⇔ (t + 2)(t + t − 4) = ⇔  Giải t + t − = ⇔  −1 − 17 t + t − = (loại) t =  −1 + 17 −1 + 17 11 − 17 Với t = ⇔ 2x − = ⇔ x= (nhận) 2 11 − 17 Vậy pt có nghiệm x = 5, x = Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Xét hàm đặc trưng f ( t ) = t + t t + với t Ỵ ¡ Ta có: f '( t ) = + t + + t2 t2 + > 0, " t Ỵ ¡ Þ f (t) đồng biến ¡ ( 3) Û f ( x + 2) = f ( - x) Û x + = - x Û x = - Nên: Với x = Þ y = (thỏa điều kiện (*)) Vậy hệ phương trình có nghiệm x = 5, y =  x − y + 1− y − 1− x = Câu 57 Giải hệ phương trình:  x + − y =  {0 ≤ x ≤1 (1) (2) Điều kiện ≤ y ≤ Khi đó: ( 1) ⇔ x − − x = y − − y (a) Xét hàm đặc trưng: f ( t ) = t − − t với t ∈ [ 0;1] > ∀t ∈ ( 0;1) f liên tục đoạn [ 0;1] t 1− t Suy ra: f ( t ) đồng biến đoạn [ 0;1] ( a ) ⇔ f ( x ) = f ( y) ⇔ x = y Do đó: Thay x = y vào phương trình (2) ta phương trình: Ta có: f ' ( t ) = + x + 1− x = ⇔ x +1− x + x ( 1− x ) = ⇔ x ( 1− x ) = ⇔ x = 2 Vậy nghiệm hệ phương trình x = , y = Câu 58 Giải hệ phương trình: 3  (1) 8 x − y + y − x − y + =  2  4 x + − x − ( y − 1) ( − y ) + = (2) 1 2 Khi đó: (1) ⇔ x − x = y − y + y − ⇔ (2 x)3 − 3(2 x) = ( y − 2)3 − 3( y − 2) 1 Do − ≤ x ≤ nên −1 ≤ x ≤ ≤ y ≤ nên −1 ≤ y − ≤ 2 Xét hàm đặc trưng f (t ) = t − 3t , với t ∈ [ −1; 1] Điều kiện − ≤ x ≤ , ≤ y ≤ (a) Ta có f '(t ) = 3t − = 3(t − 1) ≤ , với t ∈ [ −1;1] Suy f ( t ) nghịch biến đoạn [ −1;1] ( a ) ⇔ f (2 x) = f ( y − 2) ⇔ x = y − ⇔ y = x + Do đó: Thay y = 2x + vào phương trình (2) ta phương trình: x − − x + = ⇔ x + = − x ⇔ 16 x + 24 x − = ⇔ x = ± Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ −3  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Vậy nghiệm hệ phương trình là:  3−3    −3  ÷  ÷ x ; y = ; + − , x ; y = − ; − − ( )  ( )  ÷ ÷ 2     (6 x + 5) x + − y − y = (1) Câu 59 Giải hệ phương trình:  (2)  y + x = x + x − 23 2 x + ≥ −2 +  ⇔ x≥ • Điều kiện  x ≥ 2 x + x − 23 ≥  (a) • Khi đó: (1) ⇔ x +  + ( x + 1)  = y ( + y ) • Xét hàm đặc trưng f (t ) = t ( + 3t ) = 3t + 2t , với t ∈ [ 0; +∞ ) Ta có f '(t ) = 9t + > , với t ∈ [ 0; +∞ ) Suy f ( t ) đồng biến [ 0; +∞ ) ( a ) ⇔ f ( x + 1) = f ( y ) ⇔ x + = y • Do đó: • Thay y = 2x + vào phương trình (2) ta phương trình: x + + x = x + x − 23 ⇔ x + + 2 x + x = x + x − 23 ⇔ x + x − 2 x + x − 24 = x =  2x2 + x = ⇔ ⇔ x + x − 36 = ⇔  ⇔ x=4 x = −  x + x = −4  • Với x = ⇒ y = Vậy nghiệm hệ phương trình x = 4, y = Câu 60 Giải hệ phương trình: ( )   x + x + ( y − 3) − y =  2  4 x + y + − x = 2 • Khi đó: (1) ⇔ ( x + 1) x = ( − y + 1) − y (1) • Điều kiện x ≤ , y ≤ (a) • Xét hàm đặc trưng f (t ) = ( t + 1) t = t + t , với t ∈ ¡ Ta có f '(t ) = 3t + > , với t ∈ ¡ Suy f ( t ) đồng biến ¡ • Do đó: Nguyễn Văn Lực x ≥ ( a ) ⇔ f (2 x) = f ( − y ) ⇔ x = − y ⇔  − x y =  Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com • Thay y = − 4x vào phương trình (2) ta phương trình: 2 5 2 4x +  − 2x ÷ + − 4x − = (b) 2  khơng nghiệm phương trình (b)  3 5 2 • Xét hàm số g ( x) = x +  − x ÷ + − x − với x ∈  0; ÷, đó:   2  ( b ) ⇔ g ( x ) = g  ÷ (3) 2  3 • Khảo sát tính đơn điệu hàm số g khoảng  0; ÷   4 5  3 2 = x ( x − 3) − < ∀x ∈  0; ÷ Ta có: g '( x ) = x − 8x  − x ÷− − 4x − 4x 2   4  3 Do f đồng biến khoảng  0; ÷  4 ( 3) ⇔ x = • Suy ra: • Với x = ⇒ y = 2 Vậy nghiệm hệ phương trình x = , y = 2 • Nhận thấy x = x = Câu 61 Giải hệ phương trình: ( ) ( )  x x2 + y2 = y y +     4x + + y + = (1) (2) y = • Nhận thấy khơng thỏa mãn hệ • Điều kiện x ≥ −  • Khi đó: (1) ⇔   x x ÷ + =y +y y y (a) • Xét hàm đặc trưng f (t ) = t + t , với t ∈ ¡ Ta có f '(t ) = 3t + > , với t ∈ ¡ Suy f ( t ) đồng biến ¡ • Do đó: ( a) ⇔ x x f  ÷= f ( y ) ⇔ = y ⇔ x = y y  y • Thay x = y vào phương trình (2) ta phương trình: Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 4x + + x + = ⇔ ( x + 5) ( x + 8) = 23 − x 23  − ≤x≤ 23  23   x ≤ x ≤  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x =1 x =1  2 4 ( x + ) ( x + ) = ( 23 − x )    x − 42 x + 41 =    x = 41 • Với x = ⇒ y = ±1 Vậy nghiệm hệ phương trình ( x ;y ) = ( 1; − 1) , ( x ;y ) = ( 1; 1) ìï y + 12 y + 25 y + 18 = ( x + 9) x + (1) ïï í Câu 62 Giải hệ phương trình: ï (2) ïïỵ x + + 3x - 14 x - = - y - y ìï ïï x ³ - Điều kiện: íï (*) ïï - y - y ³ ïỵ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f ( u ) = f ( v) ) y + 12 y + 25 y + 18 = ( x + 9) x + Û ( y + 2) + ( y + 2) = (3) Xét hàm đặc trưng f ( t ) = 2t + t ¡ ta có: f '( t ) = 6t + > 0, " t Ỵ ¡ Þ Nên: ( ) x+ + x+ f ( t ) đồng biến ¡ ì ï y³ - Û ( 3) Û f ( y + 2) = f ( x + ) Û y + = x + Û ïí ïï ( y + 2) = x + ỵ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn ìï y ³ - íï ïïỵ x = y + y (4) - x + x - 14 x - = (5) Phương trình (5) có nghiệm x = nên biến đổi phương trình tích 3x + - số kỹ thuật nhân liên hợp ( 5) Û ( x + - 4) 3( x - 5) ( ) - x - + x - 14 x - = [Tại ?] x- + ( x - 5) ( x + 1) = 3x + + 6- x + é ù ê ú Û ( x - 5) ê + + x + ( )ú ê ú= Û x = 3x + + x + ê144444444444444 42 4444444444444443ú ê ú >0 ë û Û + Với x = Þ y = (thỏa điều kiện (*)) Vậy hệ phương trình có nghiệm x = 5, y = Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu 63 Giải hệ phương trình ìï x - y + 17 x - 32 y = x - y - 24 ï í ïï ( y + 2) x + + ( x + 9) y - x + = x + y + ỵ ìï x ³ - Điều kiện: ïíï ïỵ y - x + ³ (1) (2) (*) Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f ( u ) = f ( v) ) x3 - y + 17 x - 32 y = x - y - 24 Û x - x + 17 x - 18 = y - y + 32 y - 42 Û 3 ( x - 2) + 5( x - 2) = ( y - 2) + 5( y - 2) (3) Xét hàm đặc trưng f ( t ) = t + 5t ¡ ta có: f '( t ) = 3t + > 0, " t Ỵ ¡ Þ f ( t ) đồng biến ¡ ( 3) Û f ( x - 2) = f ( y - 3) Û x - = y - Û y = x + Nên: Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn ( x + 3) x + + ( x + 9) x + 11 = x + x + 10 (4) (5) Phương trình (5) có nghiệm x = nên biến đổi phương trình tích số kỹ thuật nhân liên hợp ( 5) Û ( x + 3) ( x + - 3) + ( x + 9) ( x + 11 - 4) = x + x - 35 Û ( x + 3) é Û ( x - 5) ê ê ë éx - = ê Û ê x+ ê + ê ë x+ + x- x- + ( x + 9) = ( x - 5) ( x + ) x+ + x + 11 + ù x+ x+ + - ( x + 7) ú= ú x+ + x + 11 + û x+ - ( x + 7) = x + 11 + (6) Chứng minh (6) vơ nghiệm x+ x+ x+ x+ + =0 2 x+ + x + 11 + ỉ ỉ 1ư 1ư ÷ ç ÷ ÷ Û ( x + 5) ç - ÷ + x + =0 ( ) ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ : ç ç 2ø ø14444 è è x + + x + 11 + x + + 42 44444 144444444442 44444444443 144444444442 44444444443 ( 6) Û 0, " y Ỵ [ 0; + ¥ ) Þ g ( y ) đồng biến [ 0;+ ¥ ) ( 5) Û g ( y ) = g ( 1) Û y = Nên: Với y = Þ x = [thỏa (*)] Với y = Þ x = [thỏa (*)] Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x ; y ) = ( 2;0 ) , ( x ; y ) = ( 3;1) Câu 65 Giải hệ phương trình:  x −1  y +1 >  x > Điều kiện:  x − > ⇔  y > y >    x −1 =0  x − x − y − y − y − + ln y +1   y  log ( x − 3) + log y  = x +    ( 1) ( ) Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y ( 1) Û ( x − 1) + ( x − 1) + ln ( x − 1) = ( y + 1) + ( y + 1) + ln ( x + 1) (3) Xét hàm đặc trưng f ( t ) = t + 3t + ln t khoảng ( 0; +∞ ) Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com f ′ ( t ) = 3t + 6t + > ∀t > ⇒ f ( t ) đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) t y + > Do x - > nên ( 3) ⇔ f ( x − 1) = f ( y + 1) ⇔ x − = y + ⇔ y = x − (4) Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn ( x − ) log ( x − 3) + log ( x − )  = x + (5) Giải phương trình (5) phương pháp hàm số x +1 x +1 ⇔ log ( x − 3) + log ( x − ) − = ( 6) x−2 x−2 x +1 Xét hàm số g ( x ) = log ( x − 3) + log3 ( x − ) − khoảng ( 3; +∞ ) x−2 1 g′ ( x ) = + + > ∀x > ( x − 3) ln ( x − ) ln ( x − ) ( 5) ⇔ log ( x − 3) + log3 ( x − ) = ⇒ g ( x ) đồng biến khoảng ( 3; +∞ ) ( 4) y=3 ( ) ⇔ g ( x ) = g ( 5) ⇔ x = → Nên Vậy hệ phương trình có nghiệm x = 5, y = Câu 66 Giải hệ phương trình: Điều kiện:  x ≥ −1 x +1 ≥  ⇔ 14  3 y − 14 ≥  y ≥ ( 3 x + 3y + = ( y − x ) y + xy + x +   ( x + y − 13) 3y − 14 − x + =  ( ) ) ( 1) ( 2) ( *) Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y ( 1) Û ( x + 1) + ( x + 1) = ( y − 1) + ( y − 1) (3) Xét hàm đặc trưng f ( t ) = t + 3t , t ∈ ¡ f ′ ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ ¡ ⇒ f ( t ) đồng biến Do x + > y - > nên ( 3) Û f ( x + 1) = f ( y − 1) ⇔ x + = y − ⇔ x + = y (4) Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn ( x − 11) ( 3x − − x + ) = ( 5) Giải phương trình (5) phương pháp hàm số Ta nhận thấy x= 11 khơng nghiệm phương trình ( 5) nên ( 5) ⇔ Nguyễn Văn Lực ¡ 3x − − x + − = x − 11 Ninh Kiều – Cần Thơ ( 6)  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com g ( x ) = 3x − − x + − Xét hàm số g′( x) =  11   11  , x ∈  ; ÷∪  ; +∞ ÷ x − 11 3    10 x + − 3x − 10 − + = + >0 2 x − x + ( x − 11) ( 3x − ) ( x + 1) ( x − 11)  11   11  ∀x ∈  ; ÷&  ; +∞ ÷ 3    ⇒ g ( x)  11   11   ; ÷&  ; +∞ ÷ 3     11   11   ; ÷ g ( x ) đồng biến, ∈  ; ÷, g ( ) =     ( 4) ( 6) Û g ( x ) = g ( 3) ⇔ x = → y=5 đồng biến khoảng Trên khoảng Trên khoảng  11   ; +∞ ÷thì g ( x )   ( 6) nên thoả mãn (*)  11  ∈  ; +∞ ÷, g ( ) = nên 2  4) ( Û g ( x ) = g ( ) ⇔ x = → y = 10 thoả mãn đồng biến, (*) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x ; y ) = ( 3;5 ) , ( x ; y ) = ( 8;10 ) ìï y + y + x 1- x = 1- x ï Câu 67 Giải hệ phương trình: íï 2 ïïỵ - y = x + y - ìï x £ ï Điều kiện: ïíï 3 (*) ïï - ££y ỵ (1) (2) Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f ( u ) = f ( v) ) y + y + x - x = - x Û y + y = 1- x - x 1- x + 1- x Û y + y = ( 1- x ) - x + - x (3) Xét hàm đặc trưng f ( t ) = 2t + t ¡ ta có: f '( t ) = 6t + > 0, " t Ỵ ¡ Þ f đồng biến ¡ Nên: ïì y ³ ( 3) Û f ( y ) = f ( 1- x ) Û y = 1- x Û ïí ïïỵ y = 1- x (4) Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn 4x + = 2x2 - 6x - (5) Giải phương trình (5) phương pháp đặt ẩn phụ chuyển hệ đối xứng loại II · Phương trình (5) viết lại thành: ( x - 3) = x + + 11 Điều kiện Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com ỉ 3ư ÷ ÷, ta hệ phương trình: Đặt x + = 2t - çççèt ³ ø 2÷ ìï ( x - 3) = 4t + (6) ïï · í ïï ( 2t - 3) = x + ïỵ (7) Trừ theo vế (6) (7) ta được: ( x + t - 3) ( x - t ) = 4t - x Û ( x - t ) ( x + t - 2) = + Khi x = t , thay vào (7) ta được: x - 12 x + = x + Û x - x + = Û x = ± So với điều kiện x t ta chọn x = + [khơng thỏa (*)] + Khi x + t - = Û t = - x , thay vào (7) ta được: ( 1- x) = x + Û x - x - = Û x = ± (loại) So với điều kiện x t ta chọn x = 1- Với x = 1- Þ y = ± [thỏa (*)] Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x ; y ) = ( - 2; - , ( x ;y ) = 1- ) ïìï xy 17 ỉx y 21 ÷ + ç = ïï ç + ÷ ÷ ÷ ç Câu 68 Giải hệ phương trình: íï x + y + xy èy x ø ïï ïỵ x - 16 + y - = ïì x ³ 16 Điều kiện: ïíï ïỵ y ³ ( ) 2; (1) (2) Đánh giá phương trình (1) để tìm hệ thức đơn giản liên hệ x y 17 ỉx y ÷ + ç + =6 ç + ÷ ÷ ÷ ç y + + èy x ø y x ( 1) Û x Ta có: x y Đặt t = + y x y ³ = ( t = Û x = y ) sử dụng BĐT Cơ-si ta có: x y x 17 ỉx y 17 + ç ÷ + = + t+ = + ( t + 6) + 2t ³ + 2.2 = ç + ÷ ÷ ÷ ç x y t+ + + èy x ø t + y x Dấu “=” xảy = ( t + 6) Û t = Û x = y t+ Thế y = x vào (2), ta được: Nguyễn Văn Lực x - 16 + x+ =7 Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Û ( x - 16) ( x - 9) = 37 - x Û x = 25 · Với x = 25 Þ y = 25 [thỏa (*)] Vậy hệ phương trình có nghiệm x = 25, y = 25 ìï x + + y ( x + y ) = y ï Câu 69 Giải hệ phương trình: ïíï ïïỵ ( x + 1) ( x + y - 2) = y (1) (*) (2) Biến đổi cho hai phương trình hệ xuất hai biểu thức giống Do y = khơng thỏa mãn hệ nên ìï x + ïï + ( x + y) = ïï y ( *) Û í ïï x + ïï ( x + y - 2) = ïïỵ y Đặt ẩn phụ u = x2 + v = x + y - , hệ trở thành y ïì u = Với ïíï ta hệ phương trình ïỵ v = ìï x + ïï =1 Û í y ïï ïïỵ x + y - = ìïï u + v = Û í ïỵï u.v = ìïï u = í ïỵï v = ïìï x = ïìï x = - Úí í ïỵï y = ỵïï y = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x ; y ) = ( 1; ) , ( x ; y ) = ( −2;5 ) ìï x - y - = ïï Câu 70 Giải hệ phương trình : ïíï ( x + y - 1) =3 ïï x y ( ) ïỵ x y ¹ Điều kiện: (1) (2) (*) Biến đổi hệ phương trình thành dạng có chứa hai biểu thức x + y x - y ìï ( x + y ) ( x - y ) = ïï ïí =3 ïï ( x + y - 1) ïïỵ ( x - y) Đặt u = x + y v = x - y hệ phương trình trở thành Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com ìï ïï v = 6 ïìï ïìï u = 3; v = v= ïï u ï Û í Û ïí u í ïï ïï ïï u = - ; v = - u2 u 18 u 18 = u u + = ỵï ïỵ ïïỵï ìï ìï 35 ìï ï ïï x = ìïï x + y = ïï x = ïï x + y = ï Û í 4Û í í Suy ra: íï ïï ïï 29 ïỵ x - y = ïïï y = ïỵ x - y = - ï y= ïïỵ ï ïỵ ỉ5 ỉ 35 29 ç ; x ; y = ; ÷ ( ) ÷ ÷ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x ; y ) = çççè ; ÷ ç ÷ ç ø è 8ø 2÷ ïìï uv = ï Û í ïï ( u - 1) - 42 = v ỵï )( ( )  xy + + x 4+ y − y =8  ( x, y ∈ ¡ Câu 71 Giải hệ phương trình:   −3 x y + x y + 26 x = x − 14  xy + + x + y − y = ( 1)   −3 x y + x y + 26 x = x − 14 ( )  ĐK: y ≥ )( ( ) ) Ta có + y − y > y − y = từ phương trình (1) suy x>0; y>0 ( 1) ⇔ xy ( + 1+ x2 )( 4+ y − y ) ( ( ⇔ xy + + x = )( ) ( 4+y + y =8 ) + y + y ⇔ x + x 1+ x2 = 4+ y + y 2 + y y ) +1 y       ⇔ x + x 1+ x =  + 1+  (3) ÷ ÷    ÷       Xét hàm số f ( t ) = t + t + t ( 0; +∞ ) Có f ' ( t ) = + + t + 2 Suy hàm số f(t) đồng biến ( 0; +∞ ) t2 + t2 > 0∀t ∈ ( 0; +∞ )   ⇔x= ⇔y= ÷ ÷ x y  y Mà phương trình (3) có dạng f ( x ) = f  vào phương trình (2) ta có x2 Thay y = −12 x + 26 x + = x − 14 ⇔ −6 x + 13 x + = x − 14 ⇔ ( x − ) + ( x − ) = ( x − 14 ) + x − 14 ( ) Xét hàm số g ( u ) = u + u R Có g ' ( u ) = 3u + > 0∀u ∈ R Suy hàm số g(u) đồng biến R mà phương trình (4) có dạng: g ( x − 2) = g (  x = + ( nhận ) x − 14 ⇔ x − = x − 14 ⇔ −6 x + 12 x + = ⇔   x = − ( loại ) Nguyễn Văn Lực ) Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com => y = 12 − Vậy hệ có nghiệm x = + 2, y = 12 −  x + x − = − y − y − Câu 72 Giải hệ phương trình:  6 x − y − 11 + 10 − x − x =  y + y + ≥ Điều kiện:  phương trình  −2 x − x + 10 ≥ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 4(10 − x − x ) 14 − x − x y − x + 11 = 10 − x − x = ≤ 2 Rút gọn ta được: 4( y − x + 11) ≤ 14 − x − x ⇔ x − 10 x + y + 15 ≤ (3) Tương tự phương trình (1) x2 + 2x − = − y2 − y − ≤ − y2 − y − ⇔ x + x + y + y − ≤ (4) Cộng vế với vế (3) (4) ta được: x = 3x − x + y + y + 12 ≤ ⇔ 3( x − 1) + ( y + 3) ≤ ⇔   y = −3 Kết hợp với điều kiện đề bài, suy nghiệm hệ phương trình x = 1, y = −3 Câu 73 Giải hệ phương trình: ìï 2 2 2 ïï 4x + 3xy - 7y + x + 5xy - 6y = 3x - 2xy - y ( x, y ∈ ¡ ) í ïï 3x + 10xy + 34y = 47 ïỵ ìï 3x - 2xy - y ³ ĐK: ïíï 2 ïïỵ 4x + 3xy - 7y ³ Chuyển vế nhân liên hợp phương trình ( 1) , ta được: ( ) éx = y ÷ ê + 4÷ = Û ÷ êx = ÷ 2 ÷ 3x - 2xy - y ê ø ë éx = Þ y = Với x = y thay vào ( 2) , ta được: x = Û ê êx = - Þ y = - ê ë é êy = 47 Þ x = - ê 82 Với x = - 6y thay vào ( 2) , ta được: 82y = 47 Û ê ê êy = - 47 Þ x = ê 82 ë (x ỉ ç + 5xy - 6y ç ç ç 2 ç è 4x + 3xy - 7y + ) ïìï ïí ( 1;1) , ( - 1; - 1) , S = KL: ïï ïỵ Nguyễn Văn Lực ỉ 47 47 ÷ ç ÷ ç ; ; ÷ ç ÷ ç 82 82 ÷ ç è ø 6y 47 82 ; 47 82 ỉ 47 ïü 47 ÷ ç ïïý ÷ ç ;6 ÷ ç ÷ ç 82 ø ÷ïï ç 82 è ïþ Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 2 y + x − x = − x − y Câu 74 Giải hệ phương trình:   y + = x + xy + x Đk: −1 ≤ x ≤ ( ) 2 y + y = − x + − x  Hệ phương trình (I) ⇔   y + = x + xy + x  y = − x ( 1) , y ≥ ⇔  y + = x + xy + x (Do hàm f ( t ) = 2t + t ln đồng biến) ( 2) Ta có (2) ⇔ − x + = x + x − x ⇔ 2x2 + 2x − x2 − − x − = Đặt x = cos t với t ∈ [ 0; π ] t t ⇒ − x = sin Ta có x = cos t = − 2s in 2 t Nên phương trình (2) trở thành 2cos 2t + cos t sin t − sin − = π t  ⇔ sin  2t + ÷ = sin 4  π k 4π  t = − + ⇔ ( k ∈¢ ) t = π + k 4π  5 π   π  x = cos t = ∈ 0; π [ ] ⇔ ⇔ nghiệm hệ phương trình  π  t = π l y = sin ( )  10   x +12 y + x + = y + 8y Câu 75 Giải hệ phương trình:   x + 8y + y = 5x  x +12 y + x + = y + y(1)   x + y + y = 5x(2) Ta có (1) ⇔ x + x = (2 y −1)3 + (2 y −1)(*) Xét hàm số f (t) = t + t,∀t ∈ » , f '(t) = 3t +1 > 0,∀t ∈ » Vậy hàm số f(t) đồng biến R Từ (*) ta có: f (x) = f (2 y −1) ⇔ x = y −1 Thế x=2y-1 vào (2) giải y=1 y=6 thoả mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ) = ( 1;1) , ( x ; y ) = ( 11; ) Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com  2(2 x + 1) + x + = (2 y − 3) y − Câu 76 Giải hệ phương trình:  4x + + y + =   Điều kiện xác định: x ≥ − , y ≥ 2 Xét hàm số: f (t ) = 2t + t t ∈ ( 0; +∞ ) Suy f '(t ) = 6t + > nên hàm số đồng biến Từ phương trình thứ hệ ta có f (2 x + 1) = f ( y − 2) ⇔ x + = y − Thay vào phương trình thứ hai ta được: 4 y − + y + = (*) Xét hàm số g ( y ) = 4 y − + y + − 6, y ∈ ( 2; +∞ ) g '( y ) = 1 + > ∀y ∈ ( 2; +∞ ) nên g(y) đồng biến 4y −8 2y + Hơn g(6) = nên (*) có nghiệm y = Với y = ta có x =  x y + = +1  y x xy Câu 77 Giải hệ phương trình:    x xy + y xy = 78 ĐK: x, y>  x + y = + xy ⇔ (I)   xy ( x + y ) = 78 Đặt t = xy (ĐK: t>0)  t = −13 x + y = + t ⇔ ⇒ t + 7t − 78 = ⇔   t = t ( x + y ) = 78  x + y = 13 x = x = ⇔ v  t=6 ⇔   xy = 36 y = y = ( l) ( n) Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( x ; y ) = ( 4;9 ) , ( x ; y ) = ( 9; ) (1 − y )( x − y + 3) − x = ( y − 1)3 x  ( x, y ∈ R ) Câu 78 Giải hệ phương trình:   x − y + x3 − = 2( y − 2) 2  x − y ≥  x ≥ y ⇔ ĐKXĐ:    x ≥ 0, y ≥  x ≥ 1, y ≥ Nhận xét x ≥ 1, y = khơng nghiệm hệ Xét y > phương trình (1) hệ (I) x + x( y − 1) − 3( y − 1) + ( y − 1) x( y − 1) = Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com  x  x x ⇔ −3+ =0 ÷ + y −1  y −1  y −1 x t= , t > Khi đó, phương trình (1) trở thành y −1 t + t + t − = ⇔ ( t − 1) ( t + t + 2t + ) = ⇔ t = Với t = 1, x = ⇔ y = x + , vào pt(2), ta y −1 x − x − + x − = ( x − 1) ⇔ x − x − +  x − − ( x − 1)  =     x2 − x −  =0 ⇔ x − x −1 + 6 2 3  ( x − ) + + ( x − 1) x − + ( x − 1)    ⇔ x − x − 1 +    ÷ =0 ÷ x − + ( x − 1) ÷  x2 − x − (x − ) + + ( x − 1) 1+ 1+ 3+ Với x = ⇒y= 2 ⇔ x2 − x − = ⇔ x = ( x ≥ 1) Đối chiếu ĐK, hệ phương có nghiệm x = Nguyễn Văn Lực 1+ 3+ , y= 2 Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 [...]... Câu 15 Giải hệ phương trình: Hệ phương trình đã cho tương đương NX: Nếu y=0 thì từ phương trình (1) Thay x=0; y=0 vào phương trình (2) ta được: (vô lý) Vậy y=0 không thỏa mãn bài toán *) chia cả 2 vế của phương trình (1) cho ta được: Xét Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Có Vậy đồng biến trên R Từ (*) Thay vào phương trình (2) ta được Vậy hphương trình có cặp... Vậy nghiệm bất phương trình là:  1 + 5 x ≠  2 Câu 20 Giải bất phương trình: 2(x 2 − 16) x −3 + x −3 > 7 −x x −3 ĐK: x ≥ 4 Bất phương trình   x 2 − 16 ≥ 0   10 − 2 x < 0 2 2  ⇔ 2( x − 16) + x − 3 > 7 − x ⇔ 2( x − 16) > 10 − 2 x ⇔  10 − 2 x ≥ 0  2 2   2( x − 16) > (10 − 2 x) x>5  ⇔ ⇔ x > 10 − 34 10 − 34 < x ≤ 5  2 3 VT(*) < 0 (do x ≥ ) nên (*) vô nghiệm Câu 21 Giải bất phương trình:... Kết hợp các điều kiện suy ra nghiệm của bất phương trình là x ≥ 1 là nghiệm của bất 3 phương trình Câu 16 Giải bất phương trình Nguyễn Văn Lực 1 x 2 +1 + 1 3x 2 − 5 Ninh Kiều – Cần Thơ ≤ 2 x 2 − 2 +1 trên tập số thực  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com +) Đặt t = x2 – 2, bất phương trình trở thành: 1 1 2 + ≤ ĐK: t ≥ 0 với đk t +3 3t + 1 t +1 trên, bất phương trình tương đương 1 1 + ) ≤ 2 Theo Cô-si... (3) x y x y x y Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm x, y 1 1 1 1 Khi đó phương trình (3) có nghiệm x + y ⇒ 1 + 8 x y ≥ 0 ⇔ xy + 8 ≤ 0 ⇔ xy ≤ −8 2 2 Khi đó ta có x + y ≥ 2 xy ≥ 16 Đặt t = x + y + 2 ⇒ 0 ≤ t < 2 Từ phương trình (1) ta có t + t 2 − 2 ≥ 32 ⇔ t 2 + t − 34 ≥ 0 điều này vô lí Vậy TH1 hệ phương trình vô nghiệm TH2: x + y >0 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com... x + 1) + 3 ≥ 3;VP = 2 Do đó phương trình (*) vô nghiệm Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2, y = 3 Câu 12 Giải hệ phương trình  xy + 2 = y x 2 + 2 (với x; y ∈ ¡ )  2 2 2  y + 2 ( x + 1) x + 2 x + 3 = 2 x − 4 x ĐKXĐ: x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ 2 Ta có xy + 2 = y x + 2 ⇔ y ) ( x2 + 2 − x = 2 ⇔ y = 2 x2 + 2 − x ⇔ y = x 2 + 2 + x (1) Thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta có : ( ) 2 x + 2 + x...   2   2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =  − ; Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 10. 3 Hệ phương trình đại số Câu 1   x+ y − x− y =2 Giải hệ phương trình:  Điều kiện: x+y ≥ 0, x-y ≥ 0   x + y +1 = 3 + x − y 2 2 2 2 (x,y∈ ¡ )  u − v = 2 (u > v )  u + v = 2 uv + 4 u = x + y   ⇔  u 2 + v2 + 2 Đặt:  ta có hệ:  u 2 + v 2 + 2 v = x − y − uv... 0 ÷  x +1 )( 3 1+ 3 − x 2 + 3 − x ) >0 Từ đó phương trình trên tương đương với x = 2  x = −1 ( x − 2 ) ( x + 1) = 0 ⇔  Với x = 2 ⇒ y = 0; x = −1 ⇒ y = −3 Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ phương trình Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là ( x ; y ) = ( −1; −3) , ( x ; y ) = ( 2; 0 )  x 3 − 3 xy 2 − x − 1 = y 2 + 2 xy − x 2 Câu 24 Giải hệ phương trình:  3  y − 3 yx 2 + y + 1 = x 2 + 2 xy... x = y 3 3 x 3 + y 3 = 1 ⇔ hệ vô nghiệm b) Nếu t = -1 ta có hệ  x = − y Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 1 Nếu t = ta có hệ 2 3 x 3 + y 3 = 1 3 23 3 ⇔x = , y=  3 3 y = 2 x   xy + 2 x + 5 y + 3 = x 2 − 2 y 2 Câu 8 Giải hệ phương trình :   x 2 y + 2 − y x − 1 = x − 1 + 2 x − 2 y − 2  y ≥ −1 ĐK :  x ≥ 1 Phương trình đầu của hệ tương đương với ( x + y... kết hợp với điều kiện x ≥ − ta suy ra bất phương 2 5 2 trình đã cho có nghiệm là − ≤ x ≤ 2 Câu 10: Giải bất phương trình: 2x + 5 + 3x − 2 > 4x + 1 + 5x − 6 BPT ⇔ 2x + 5 − 4x + 1 + 3x − 2 − 5x − 6 > 0 1 1 ⇔ (−2x + 4)[ + ]>0 2x + 5 + 4x + 1 3x − 2 + 5x − 6 ⇔x 10 + 4x − 8x 2 Điều kiện: x ≥ −2 , bất phương trình đã cho tương đương: (4 x 2 − x − 7) x + 2 + 2(4 x 2 − x − 7) > 2 [ ( x + 2) − 4 ] (4 x 2 − x − 7)( x + 2 + 2) >