SKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉ

SKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉSKKN Một số kinh nghiệm giải phương trình vô tỉ

A Đặt vấn đề I Mở đầu : Trong trình phát triển, xã hội đề yêu cầu cho nghiệp đào tạo ngời Chính mà dạy toán không ngừng đợc bổ xung đổi để đáp ứng với đời đòi hỏi xã hội Vì ngời giáo viên nói chung phải luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi phơng pháp dạy học để đáp ứng với chủ trơng đổi Đảng Nhà nớc đặt Trong chơng trình môn toán lớp THCS kiến thức phơng trình vô tỷ không nhiều , song lại quan trọng tiền đề để học sinh tiếp tục học lên THPT Khi giải toán phơng trình vô tỷ đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức thức, phơng trình, hệ phơng trình, phép biến đổi đại số Học sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức, kỹ từ đơn giản đến phức tạp Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ giúp học sinh ph¸t triĨn t duy, ph¸t huy tÝnh tÝch cùc chủ động, sáng tạo giải toán Đồng thời giáo dục t tởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh II thực trạng vấn đề nghiên cứu Thực trạng : Phơng trình vô tỷ loại toán mà học sinh THCS coi loại toán khó, nhiều học sinh giải phơng trình vô tỷ nh nào? có phơng pháp nào? Các toán phơng trình vô tỷ dạng toán hay khó, có nhiều đề thi học sinh giỏi cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên, tài liệu viết vấn đề hạn chế cha hệ thống thành phơng pháp định gây nhiều khó khăn viƯc häc tËp cđa häc sinh, còng nh công tác tự bồi dỡng giáo viên Mặt khác, việc tìm hiểu phơng pháp giải phơng trình vô tỷ giáo viên nghiên cứu *Kết thực trạng Sau dạy xong chơng I : Căn bậc hai bậc ba chơng trình Đại Số , tiến hành kiểm tra tiết để khảo sát chất lợng học sinh kỹ giải số dạng toán phơng trình vô tỷ với nội dung nh sau : Giải phơng trình sau: a) x x  13 b) x 1   x  c) x  x 1  x  x 1  d) 3x  18 x  28  x  24 x  45  5  x  x e) x    x  x  10 x  27 f) 2 x  2 x Líp KÕt qu¶ Sè HS 9A 9B 25 26 Giái SL % 7,7 Kh¸ SL % 23,1 Trung b×nh SL % 13 52 13 50 Ỹu SL 10 % 40 19,2 Từ thực trạng việc nghiên cứu Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ thiết thực : Nhằm giúp giáo viên nắm vững nội dung xác định đợc phơng pháp giảng dạy phần đạt hiệu quả, giúp học sinh có định hớng cho lời giải toán phơng trình vô tỷ, góp phần nâng cao chất lợng dạy học, đặc biệt chất lợng học sinh giỏi giáo viên giỏi trờng THCS B Giải vấn đề I Các giải pháp thực Đối với giáo viên : - Đa định nghĩa phơng trình vô tỷ , đờng lối chung giải phơng trình vô tỷ - Chia dạng phơng trình vô tỷ phơng pháp giải tổng quát cho dạng , lấy ví dơ thĨ minh ho¹ cho tõng d¹ng , lu ý cho học sinh sai lầm mắc phải Đối với học sinh : - Để giải phơng trình vô tỷ thành thạo kiến thức sau cần nắm vững: Các phép biến đổi thức ; Các phép biến đổi biểu thức đại số; Các kiến thức phơng pháp giải phơng trình hệ phơng trình ; Các kiến thức bất đẳng thức - Biết nhận dạng dạng phơng trình vô tỷ, nắm vững cách giải tổng quát cho dạng II Các biện pháp để tổ chức thực 1- Định nghĩa phơng trình vô tỷ Phơng trình vô tỷ phơng trình đại số số hạng biểu thức vô tỷ ẩn số ( tức ẩn số nằm dấu ) Trong chơng trình THCS, ta thờng gặp phơng trình vô tỷ mà chứa ẩn số biểu thức dới dấu bậc hai 2- Đờng lối chung - Tìm miền xác định phơng trình - Khử đa phơng trình đại số - Giải phơng trình đại số - Nhận định kết trả lời 3- Các phơng pháp ví dụ 3.1 Các dạng phơng trình vô tỷ giải phơng pháp nâng lên luỹ thừa Dạng 1: f x g x Sơ đồ cách giải : g(x) f (x) [g(x)]2 � /k : f(x) �0 � f (x)  g(x) Ví dụ : Giải phơng trình x Điều kiÖn :  x 1  1 �x  �0 ۳ x � �x  �0 Với điều kiện trên, vế không âm, bình phơng vế (1) ta đợc phơng trình tơng đơng: x   x 2 x  � x2 - 3x = � x = x = Đối chiếu với điều kiện ta thÊy chØ cã x = tho¶ m·n VËy phơng trình có nghiệm x = * Nhận xét: Khi giải phơng trình dạng , học sinh thờng hay mắc sai lầm không đặt điều kiện cho g ( x) Chẳng hạn, ví dụ không đặt điều kiện giải phơng trình x2 - 3x = x học sinh trả lời phơng trình có nghiƯm lµ: x1 = ; x2 = 3, nhng thay x= vào phơng trình (1) vế phải ; vế trái -1 Sở dĩ có sai lầm học sinh cha nắm tÝnh chÊt cđa l thõa bËc hai : D¹ng 2: f  x  g  x  h x - Tìm điều kiện để phơng trình có nghĩa : �f  x  �0 � �g  x  �0 � �g  x  �0 - BiÕn ®ỉi vế phơng trình không âm ( với phơng trình chứa bậc hai ) ta bình phơng vế để đợc phơng trình tơng đơng Sau đa phơng trình dạng biết cách giải Ví dụ : Giải phơng trình : x3 x2 ChuyÓn vÕ : x3  1x   §iỊu kiƯn :  x 3 0  x 2   x  0 Hai vÕ kh«ng âm, bình phơng hai vế ta đợc: x x  2  x  3  x    x2  x  � x2  x   25 24  x  12  x  x �12  B×nh ph¬ng vÕ ta cã : x + x - = 144 - 24 x + x2  25 x 150 x=6 ( thoả mãn ) Vậy phơng tr×nh cã nghiƯm x = f  x  g  x  h  x D¹ng 3: Cách giải tơng tự nh dạng Ví dụ : Giải phơng trình : Chuyển vế: x x   12 x x   12  x  x  §iỊu kiƯn:  x  0  12  x 0   x 12  x  0  Hai vế không âm Bình phơng hai vế ta đợc: x  12  x  x   12  x  x     x  19 x  84  x  Do �x �12 , vế không âm Bình phơng vế ta đợc: - 4x2 + 76x-336 = x2 -8x + 16 5x2 -84x + 352 =0 � x1  44 ; x2 =8 ( Thoả mãn ) Vậy phơng trình có nghiÖm x1  44 ; x 8 f  x  g  x  h  x k x Dạng 4: Cách giải tơng tự dạng Ví dụ : Giải phơng trình x  x   x   x   ChuyÓn vÕ : x  x   x   x  Điều kiện : x Bình phơng vế ta đợc: x x x  x  x   x   x  5x    x  x 2 x  x  �  x2  x  x2  x  Bình phơng vế ta đợc: x  9x  x  x x  5x  � x2  9x x (x ) Bình phơng vế ta đợc: x +9x = x2 9x = x=0 ( Thoả mãn ) Vậy phơng trình cã mét nghiÖm x = *NhËn xÐt : Khi giải phơng trình vô tỷ ta cần ý đến việc tìm miền xác định phơng trình Sau biến đổi vế phơng trình không âm ( Với phơng trình chứa bậc ) ta bình phơng vế để đợc phơng trình tơng đơng Nếu bớc khử vừa cha khử hết đợc thức bậc hai chứa ẩn, ta tiếp tục chuyển vế đặt điều kiện để bình phơng tiếp Thực phép biến đổi tơng đơng để đa phơng trình dạng phơng trình quen thuộc ( bậc bậc hai ) Giải phơng trình trung gian nhận định kết trả lời số nghiệm phơng trình đầu Tuy nhiên với phơng trình có ẩn số nằm dấu bậc 2, tức phơng trình có dạng: a f  x  b g  x  c ( a,b,c hệ số ) cách giải nêu ta khử cách nhân vế phơng trình với biểu thức liên hợp vế trái Ví dụ : Giải phơng trình x2  x   x  x   2 � 1� Ta thÊy x �x   �x � �  � 2� (1) x x �R VËy miỊn x¸c định : Nhân hai vế phơng trình với : x  x   x  x ta đợc phơng trình tơng đơng: x  x    x  x  1   x2  x   x2  x  � x  x2  x   x2  x  (2) Cộng vế theo vế phơng trình (1) (2) ta có phơng trình tơng đơng : x  x  2  x    x  x    x   x 0    x 0   x x Vậy phơng trình cho có nghiệm kép x1 =x2 =0 3.2 Các dạng phơng trình vô tỷ giải phơng pháp đặt ẩn phụ * Với phơng trình vô tỷ có dạng đặc biÖt af  x  b f  x  c Dùng phép biến đổi sau: Đặt f x t Ta đa phơng trình dạng phơng trình bậc : at bt c Ví dụ : Giải phơng trình x  x  x  x   33  x  x   x  3x   42 0 9� �2 Đặt điều kiện : x 3x  �x  x  � � 2 � � � 63 �  2� �x  16 Đặt : x  3x   y ta có y2 +y -42 =0 Giải phơng trình đợc : y1 = ( thoả mãn) y2 = -7 ( lo¹i ) 2� x � x  3x   � x  3x   36 � x 3x 27 Giải phơng trình đợc : x1 3; x Vậy phơng trình có nghiệm : x1 3; x * Đối với phơng trình có d¹ng : f  x  h  x  n f  x h  x  g  x ta dùng phép biến đổi sau : Đặt t  f  x  h x VÝ dô : Giải phơng trình x x  x  x   13  x � x 1  x  Đặt điều kiện : x  x   13 �x � �� t : x 1 x  t  � t2  x  1 x    x  1  x  2 �  x  1  x  2 t2 2x Phơng trình (1) có d¹ng : t2 + t- 2x + = 13 -2x � t2 + t - 12 = Gi¶i phơng trình đợc : t1 = ( thoả mãn ) 10  13  x (1) t2 = -4 ( lo¹i ) Víi t = � x   x   Hai vÕ không âm, bình phơng vế ta đợc : 2x  1 x2  x   � x2  x   10  2x x2  x    x ( x 5) Bình phơng vế ta đợc : x 2- x- = 25 -10x + x2 � � 9x = 27 x =3 ( tho¶ m·n ) Vậy phơng trình có nghiệm x =3 Chú ý : Khi giải phơng trình vô tỷ phơng pháp đặt ẩn dụ , ta cần hớng dẫn học sinh đặt điều kiện cho ẩn dụ Số nghiệm phơng trình đầu phụ thuộc vào số nghiêm phơng trình bậc hai trung gian điều kiện có nghĩa phơng trình đầu + Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm phơng trình đầu vô nghiệm + Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm nhng nghiệm không thuộc miền xác định phơng trình đầu phơng trình đầu vô nghiệm + Trái lại, nghiệm số tìm đợc phơng trình bậc hai trung gian làm cho ẩn số phơng trình đầu thuộc miền xác định phơng trình cho có nghiệm 3.3 Các dạng phơng trình vô tỷ giải phơng pháp đa phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối 11 Ví dụ : Giải phơng trình x  x   x  1 x  1  (1) §iỊu kiƯn : x �1  1 � �   x  1  x  1    x 1  x  1  NÕu �x  ta có phơng trình : x  x 1  � x 1  � x 1  � x 1  x5 Không thuộc khoảng xét Nếu x 10 ta có phơng trình : x 1    x 1  0x Nghiệm phơng trình : �x  10 NÕu x �10 ta cã ph¬ng tr×nh : x 1   x 1   � x 1  � x 1  � x-1 =9 � x=10 ( thoả mãn ) Vậy phơng trình có nghiệm : x 10 3.4 Các dạng phơng trình vô tỷ giải phơng pháp bất đẳng thức : 12 Dạng 1: Chứng tỏ tập giá trị hai vế rời nhau, phơng trình vô nghiệm Ví dụ : Giải phơng trình : x x 3x Điều kiện để phơng trình có nghĩa x Với điều kiện x x x  x  suy vÕ tr¸i phơng trình số âm, vế phải không âm Vậy phơng trình vô nghiệm Dạng : Sử dụng tính đối nghịch vế : Ví dụ : Giải phơng trình : x x   x  10 x  14   x  x Ta có vế trái Vế phải x 1   5 x  1  �   2     x2  2x     x  1 �5 VËy ph¬ng trình có nghiệm vế Lúc ®ã x+1 = � x=-1 Thư l¹i : VT =     10 14 VP = 4+2-1=5 Vậy phơng trình cã nghiƯm x =-1 D¹ng 3: Sư dơng tÝnh đơn điệu hàm số Ví dụ : Giải phơng trình x x Ta thấy x = nghiệm phơng trình + Víi x  th× x   1; x   � VT  + Víi x  th× x   1; x   � VT Vậy x=3 nghiệm phơng trình 13 Dạng Sử dụng điều kiện xảy dấu (=) bất đẳng thức không chặt Ví dụ : Giải phơng trình Điều kiện : x  x 4x 1  2 x 4x 1 (1) Ta có bất đẳng thức Dấu (=) xảy � a b  �2 b a (a,b  0) a=b Do ®ã (1) � x  x  � x  x  Giải phơng trình đợc : x � � 1� �x  � � 4� ( thoả mãn ) 3.5 Các dạng phơng trình vô tỷ giải phơng pháp đa hệ phơng trình Ví dụ : Giải phơng trình : x  x  x  §iỊu kiƯn : x Đặt x y (y1) � x-2 = y2 - 2y +  Thay x y vào phơng trình cho ta đợc: y - = x2 -2x + Kết hợp ta cã hÖ: y2 -2y - x + =  x2 - 2x -y +3 =  Trõ hai vế hệ ta đợc: y2 - x - y + x =  ( y - x )( y + x - ) = 14  y=x � � x+y=1 � -NÕu x=y Thay vµo  ta cã x2 - 3x + = v« nghiƯm -NÕu x + y =  y = - x thay vào ta đợc: x2 - x + = v« nghiƯm VËy phơng trình cho vô nghiệm C Kết luận I Kết nghiên cứu Giải phơng trình vô tỷ dạng toán khó học sinh Để giải loại toán cần phải biến vận dụng nhiều phơng pháp khác cách linh hoạt Trên số phơng pháp mà trình giảng dạy thực tế hay đợc sử dụng để giải phơng trình vô tỷ Với phơng pháp hớng dẫn học sinh từ tập cụ thể khái quát thành dạng tổng quát, từ học sinh vận dụng để giải tập Đối với học sinh giỏi em biết sử dụng kết hợp phơng pháp để giải đợc phơng trình vô tỷ toán dạng khó Qua giúp học sinh hứng thú gặp loại toán nói riêng học môn toán nói chung Sau tiến hành bồi dỡng phụ đạo với thời lợng tiết cho học sinh Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ , dành tiết kiểm tra để khảo sát chất lợng học sinh kỹ giải số dạng toán phơng trình vô tỷ với nội dung nh sau : 15 Giải phơng trình sau: a) 2x2 x 1 b) x   5x   3x  c) x   2 x   x  13  x  7 d) 3x  12 x  16  x  x  13  e) x   x2  4x  f)  6 x 2x Kết chất lợng cụ thể nh sau: Líp 9A 9B Sè HS 25 26 Giái SL % 34.6 Kết Trung Khá bình SL % SL % 20 16 64 12 46.2 15.4 YÕu SL % 3.8 II Bài học kinh nhiệm Phơng trình vô tỷ dạng toán thiếu đợc chơng trình bồi dỡng học sinh giỏi THCS Nếu dừng lại yêu cầu sách giáo khoa cha đủ, đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo thờng xuyên bổ xung kiến thức tích luỹ kinh nghiệm vấn đề Để dạy học cho học sinh hiểu vận dụng tốt phơng pháp giải phơng trình vô tỷ thân giáo viên phải hiểu nắm vững phơng trình vô tỷ: dạng phơng trình vô tỷ, phân biệt khác phơng trình vô tỷ với dạng phơng 16 trình khác, đồng thời phải nắm vững phơng pháp giải phơng trình vô tỷ Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho thân nâng cao kiến thức nâng cao nghiệp vụ, bồi dỡng học sinh giỏi có hiệu quả,ngoài giúp thân nâng cao phơng pháp tự học, tự nghiên cứu để tiếp tục nghiên cứu vấn đề khác tốt suốt trình dạy học III Những kiến nghị đề xuất Trong năm học 2010 2011 , làm nhiệm vụ giảng dạy môn Toán khối Căn vào chất lợng thực tế, cố gắng thân với tiếp thu chuyên đề thờng xuyên trao đổi với đồng nghiệp môn thấy việc áp dụng phơng pháp môn toán phơng pháp tối u phù hợp với thực tiễn đại Nhân viết xin mạnh dạn có số kiến nghị sau: * Với quan cấp - Hãy tạo điều kiện quan tâm với môn, thờng xuyên mở lớp tập huấn chuyên đề để giáo viên có điều kiện giao lu học hỏi kinh nghiệm từ đồng nghiệp khác - Tổ chức dự giờ, đánh giá rút kinh nghiệm cụm trờng khu vực với để giáo viên có điều kiện trao đổi phơng pháp nh học hái rót kinh nghiƯm * Víi nhµ trêng 17 - Tổ chức thi học sinh giỏi toán tuyến trờng để phát bồi dỡng học sinh giỏi, ®ång thêi phơ ®¹o häc sinh u kÐm Víi ti nghề trẻ, kinh nghiệm thực tế Mặc dù cố gắng thực đề tài, song tránh khỏi thiếu sót định Mong đợc thông cảm đồng nghiệp bạn đọc nh mong đợc góp ý, bổ sung để việc giảng dạy môn Toán THCS đợc nâng cao Xin chân thành cảm ơn! Bình Minh, ngày 01 tháng 04 năm 2011 Ngời viết sáng kiến Mai Huy Dòng 18 ... phơng trình đầu vô nghiệm + Trái lại, nghiệm số tìm đợc phơng trình bậc hai trung gian làm cho ẩn số phơng trình đầu thuộc miền xác định phơng trình cho có nghiệm 3.3 Các dạng phơng trình vô tỷ giải. .. phơng trình vô tỷ, nắm vững cách giải tổng quát cho dạng II Các biện pháp để tổ chức thực 1- Định nghĩa phơng trình vô tỷ Phơng trình vô tỷ phơng trình đại số số hạng biểu thức vô tỷ ẩn số (... nghĩa phơng trình đầu + Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm phơng trình đầu vô nghiệm + Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm nhng nghiệm không thuộc miền xác định phơng trình đầu