BỘ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG IT Bài giảng PT GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN SỐ Biên soạn: PGS TS Phạm Ngọc Anh Hà Nội, 2013 Å Ð Ị Ù Ị ½º½º ½º Ë Ë Ơ Ø Úđ ½º½º½º º Ë ẵắẵ ề º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ø Ô × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ø Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ Úđ Ơ Ø º Ị Ì ề úí ì ẵắ ½º¾º º Ị ½º¾º º Ị ½º¾º º Ị ½º¿º úí ì ỉ ẵẵ ỉ ề ề ỉ º º º Ø Ì Ị ÅĨ Ú Ị º óÝ ½º¿º º ½º¿º º óÝ ĨỊ ½º¿º º óÝ ¾º È Ơ ØĨơỊ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ẵắ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ị Ư º º Ị º º º Ù º Ù Ú Ý ½ º º Ơ Ø ắẵắ ủẹ ì ắẵ ủẹ ì ỉ ắẵ ủẹ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º º º 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1, PT IT −T T an = T T bn = f (x) cos nπxdx = (−1)n − x cos nπxdx = , n2 π −T T f (x) sin nπxdx = T ẻ í ỉệ ề S(x) = ệữề ỉề ỉ Ị ĨÙƯ Ư đĐ f (x) õỊ cos πx cos 3πx cos(2n + 1)πx − + + + + π 12 32 (2n + 1)2 f (x) Úđ f ′ (x) Ð Ị Ø Ø Ị ¸ Ø S= º à ØƯ Ị ũ ì ể ủẹ ì F (x) ĩụ ẳá Ø f (x) = S(x)º 1 − 2 + + + + π (2n + 1)2 Ỵ Ý º Ị Ð S ¸ Ø Ý x = ÚđĨ f (x)¸ Ø 0= º Ĩ Ị ØƯ Ị F (x) Úđ Ị ĨÙƯ Ư f (x) Üơ đĐ × Ị ØƯ Ị R Úđ Ù ØƯ Ị π2 Üơ Ị ØƯ Ị [a, b].[a, b), (a, b], [a, b]¸ Ø Ø ØƯ Ị đĐ f (x) Ø đỊ 2T º à ĨÙƯ Ư đĐ ½ Ø f (x) Ú ØƯ Ị ĨÙƯ Ư Ý (a, b) đĐ × đĐ x ∈ [a, b]º Ì ØƯ Ị đĐ f (x) → F (x) ừề ì ừề ẵ ẻ F (x) Ðđ 2T = b − aº Ĩ đĐ × f (x) Üơ ¿º ÌĐ Ù đĐ × Ị ØƯ Ị (0, 2] x Ị Ù x ∈ (0, 1] f (x) = 1 Ò Ù x ∈ (1, 2] ĨÙƯ Ư đĐ f (x)º ị Ì ØƯ Ị đĐ f (x) → F (x) Üơ × a0 = T an = T bn = T = T F (x)dx = −T T −T T Ỵ Ý xdx + 2T = 2º Ì Ị 1dx = , 1 nπx F (x) cos dx = T x cos nπxdx + F (x) sin (−1)n − cos nπxdx = , n2 π 2 ØƯ Ị nπx dx T x sin nπxdx + R Úđ Ù ĨÙƯ Ư¸ Ø −T ØƯ Ị PT IT Ị (−1)n + (−1)n − 1 sin nπxdx = =− nπ nπ ĨÙƯ Ư đĐ F (x) õÒ y x −3 −2 −1 À Ị O ¿ Ø F (x) ØƯĨỊ ∞ Ú º ¿º (−1)n − S(x) = + cos nπx − sin nπx n=1 n2 π nπ ½ F (x) Úđ F (x) é ề ỉ ỉ ề ệữề ỉ ể ề é ẳá ỉ S(x) í ∞ (−1)n − 1 F (x) = + cos nπx − sin nπx 2 n=1 nπ nπ Ì Ù Ị đĐ F (x) ØƯ Ị (0, 2] Ĩ ØƯ Ị ĨÙƯ Ư đĐ f (x) ∞ (−1)n − 1 f (x) = + cos nπx − sin nπx n=1 n2 π n ừề ắ ủẹ ì F (x) ựề ÀóÝ º Ü Ị ÕÙ ØƯ Ĩ đĐ × f (x) Üơ º Ị ØƯ Ị (0, 2] x Ò Ù x ∈ (0, 1] f (x) = 1 Ị Ù x ∈ (1, 2] ØƯ Ị ĨÙƯ Ư đĐ × f (x) Ø đỊ đĐ cosinº ị Ì ØƯ Ị đĐ f (x) → F (x) Üơ Úđ ØÙ Ị ĨđỊ Ú an = T Ù bn = F (x)dx = −T T n2 π T 2T = 4º Ì Ị T × xdx + 1 nπx F (x) cos dx = T (cos F (x) sin ĨÙƯ Ư nπx dx = T đĐ F (x) ½ cos −T ØƯ Ị nπx x cos dx + nπ nπ − 1) − sin , nπ T ĨÙƯ Ư¸ Ø 1dx = , −T = Ò |x| Ò Ù |x| ≤ F (x) = 1 Ò Ù x ∈ [−2, −1) ∪ (1, 2] a0 = T ẻ í Oy PT IT ẻ ỉ õÒ nπx dx F (x) = y x −2 −1 O À Ò Ø F (x) ØƯĨỊ Ú º º ∞ nπx S(x) = + an cos n=1 F (x) Úđ F ′ (x) Ð Ị Ø Ø Ị Ư÷Ị Ị đĐ F (x) ØƯ Ị (0, 2] Ĩ ØƯ ề ể ề é ẳá ỉ ểệ ệ PT IT S(x)º Ì Ù ¸ Ø ∞ đĐ f (x) nπ nπ nπx f (x) = + (cos − 1) − sin cos n=1 n2 π 2 nπ 2 õỊ ¿º ÀđĐ × F (x) Ð ´ Ỵ ÀóÝ º º ØƯ Ị Ø Ĩ đĐ × f (x) Üơ Ü Ị ÕÙ Ø Đ Oµ Ị ØƯ Ị (0, 2] 1 − x Ò Ù x ∈ (0, 1] f (x) = 0 Ị Ù x ∈ (1, 2] ĨÙƯ Ư đĐ × f (x) Ø đỊ đĐ sinº ị Ì ØƯ Ị đĐ f (x) → F (x) Üơ Ị 1−x Ị Ù0 np (1 − cos Ị :Ơ Ị ¸ Ü Ø |S6n S3n | ì :ễ ề ĩ ỉ |S2n Sn | ơ Ù : n=1 +∞ đ Ø × sin 9) ìể ìụề ĩ ỉ ì n+2 nn 4) n=1 +∞ Ù × × Ù Ø PT IT +∞ ), p > np Ù Ù é ẹ ệỉá ĩ ỉ ì ì :ễ ề ì : Ø × : Ø × : Ø × :p> → Ø , p ≤ →Ơ Ị × :p> → Ø , p ≤ →Ơ Ị Ø ơ Ù × Ù 4.7.10 (3n + 1) 2.6.10 (4n − 2) × : ỉ n+1 2n ì : ỉ ẵ 3) n=1 +∞ 4) n=1 +∞ 5) n=1 +∞ 6) n=1 +∞ 7) n=1 +∞ 8) (n + 4) 6n × : Ø 1.3.5 (2n + 1) 3n+1n! × : Ø n+1 sin 2n − n × : Ø 4n n! × : Ø n! √ n n × :Ơ Ị n n+1 ) n+2 × :Ơ Ị n + n2 − 3n + 2n + × : Ø × : Ø ( n=1 +∞ 9) n=1 +∞ 10) n=1 ñ º n=1 +∞ cos n 2) n=1 +∞ 4) n n=1 +∞ 6) n=1 íá ĩ ỉ ì ỉ n+1 n n+3 arctann 5) Ù 2n+1 2n + 2n 2n − n=1 +∞ Ù n+1 3n − 1) 3) Ò º +∞ n=1 +∞ (n!)2 (2n)! PT IT +∞ n2 +1 n2 −1 n+1 n+5 1 + arcsin 2n + 1 3n+4 ½ ô Ù × Ù × : Ø × : Ø × : Ø × : Ø × : Ø × : Ø +∞ 3(−1) +2n × :Ơ Ị 3(−1) −2n × : Ø × : Ø × : Ø 2n n2 + × :Ơ Ị n ln5 n × : × :Ơ Ị × : × :Ơ Ị × : × :Ơ Ị × : Ø × : Ø × : Ø n 7) n=1 +∞ n 8) n=1 +∞ 9) n=1 +∞ 2n + (−1)n 3n − arccos2n−1 10) n=1 º +∞ 1) n=1 +∞ 2) n=2 +∞ 3) n=3 +∞ 4) n=1 +∞ 5) n=0 +∞ Ò º 8) n=2 +∞ 9) ÙØ ễ ềá ĩ ỉ ì + n + n2 √ n3 + n2 √ n ln n (1 + n2)3 n=1 +∞ n=1 +∞ Ù n ln n ln(ln n) 6) 7) n+1 2n + nm e−n , m ∈ N ln n √ n n2 − √ n=1 +∞ 10) n=1 Ø ơ Ù PT IT đ 2n+5 n e3n − + n2 + n4 ẵ ì Ø Ø Ø º +∞ 1) n=1 +∞ 2) n=2 +∞ 3) n=3 +∞ 4) 5) n=0 +∞ 6) n=2 +∞ 7) n=2 +∞ 8) n=3 + 9) ề ịá ĩ ỉ ì (1)n+1 n ln5 n × : Ø (−1)n log2 n n × : Ø × :Ơ Ị n × : Ø √ (−1)n n n−1 × : Ø (−1)n √ n + (−1)n × :Ơ Ị (−1)n(2n + 19) 3n2 + n + × : Ø nn (−1) n e × : Ø cos nπ n sin n1 × :Ô Ò n+2 + n2 n2 − n + √ n (−1) ( − 1) º à ịĨ ×ôØ × Ø Ù +∞ 2) n=1 +∞ 3) n=1 +∞ 4) × Ù Ø n=1 n=1 +∞ Ù : 10) 1) Ø × n=1 +∞ º Ù (−1)n 2n + (−1) n=1 +∞ đ Ị º PT IT đ : Ø Ù ØƯ Ị D = [0, 1] : Ø Ù ØƯ Ị D = [0, +∞) : Ø Ù D = [0, +∞) : Ị ØƯ Ò (−1)nxn √ n (−1)n √ n √ xe−nx ØƯ Ị đĐ × × Ù 1 D = [− , ] 2 xn−1 n=1 ½ Ø Ù +∞ ln(1 + n=1 +∞ 6) n=1 +∞ 7) n=1 +∞ 8) n=1 +∞ n=0 +∞ 3) n=1 +∞ 4) n=1 +∞ 5) n=1 +∞ 6) n=1 +∞ 7) n=1 Ù Ø Ù (x + 2n)(x + 2n + 2) ØƯ Ị D = [0, +∞) : Ø Ù (−1)n 2n + cos nx ØƯ Ị D=R : Ø Ù sin nx √ 2x4 + n4 + ØƯ Ị D=R : Ø Ù 1 + 3nx ØƯ Ị D = [0, +∞) : Ø Ù º 2n √ ÌĐĐ Ị Ø ơ Ù Ð ÝØ (x3 − 2)n n! × Ù × : D = R × : D = [− × : D = [−1, 1] n!2n (x + 1)2n n n × : D = (− n!2n (3x + 4)2n (2n)! × : D = R (2x + 1)n nn × : D = R 2n x2n−1 (4n − 3)2 × 1 : D = [− √ , √ ] 2 n (x + 2)n 2) ( ) 11 n n=1 +∞ Ø : n=1 1) : D = [0, +∞) 10) +∞ D = [0, 2] ØƯ Ị n=1 +∞ º ØƯ Ị cos nx n 9) ñ x ) n ln2 (n + 1) PT IT 5) xn √ n ½ 19 , ) 4 e − 1, e − 1) +∞ 8) n=1 +∞ 9) (−1)n−14nxn n2 × 1 : D = [− , ] 4 (−1)n(x − 1)6n+3 2n + × : D = [0, 2] × : D = [−2, 4] n=1 +∞ 10) n=1 ủ (1)n(x + 1)2n+1 32n+1(2n + 1) ẵẳ ØƯ Ị π−x Ú ∞ sin nx ×: n n=1 2)f (x) = cos x2 Ú x ∈ (0, 2π) Ø Ĩ sin 1)f (x) = × : cos x2 = π + π : a0 = 15 2, x ∈ (−π, π), Ù +∞ n=1 (−1)n cos nx −n 6 Ò Ù < x < 3x Ò Ù < x < an = bn = − πn 12 π n2 0 4)f (x) = cos x2 x ∈ (0, 2π], Ù × : a0 = 0, an = 0, bn = Ò Ù n∈ / 2N Ò Ù n ∈ 2N, 2T = 4π 8n π(2n−1)(2n+1) 5)f (x) = x sin x x ∈ [−π, π] × 2π PT IT ĩà ì ểệ ệ ụ ủẹ ì ì : a0 = −2, a1 = − 12 , an = n2 −1 (n ≥ 2), bn = 6)f (x) = x cos x x ∈ (0, π) Ø Ĩ cosin.Ì × : − π2 + π2 cos x − π ∞ n=1 4n +1 (4n2 −1)2 ØÒ Ø Ò S= ∞ n=1 cos 2nx, S = π 4n2 +1 (4n2 −1)2 + 12 7)f (x) = x cos x x ∈ (0, π) Ø Ĩ sin × : − 12 sin x + ∞ (−1)n n2n−1 sin nx n=2 0 Ị Ù − < x ≤ Ì 8)f (x) = x Ò Ù < x < ½ ØỊ Ø Ị S= ∞ n=1 (2n − 1)2 × : ØƯ Ị × − π2 ∞ n=1 (2n−1)2 [−π, π] π + 12 sin x − ∞ n=1 Ĩ đĐ Ĩ× Ịº × : + π2 ∞ n=1 cos (2n−1)πx − 3 π ∞ n=1 (−1)n n sin nπx ,S = 0 Ò Ù π2 ≤ |x| ≤ π 9)f (x) = cos x Ò Ù |x| < π 2 π(4n2 −1) cos 2nx x Ò Ù 0≤x≤1 10)f (x) = Ò Ù < x < 3 − x Ò Ù ≤ x ≤ cos 2nπ −1 n2 cos 2nπx PT IT Ø : ½ π2 8, (x = 0) Ìđ ½º Å ỉ ệểềá ẩ ệ í ề ẹ ỉ ìá ậễệ ề ắ ì ể è ễ ẵá ặ èệ ẹ ệéá ệạ ệé ể ỉệ è ặá ẵ é ìì ềỉ é ậỉ ệỉ é éì áẵ ẽệ ấá ề ệì ậễệ ề ậễ ểéể ẩá ệ ỉ è ĩỉì ề ũ ỉ ỉểụề ệá ắẳẳẵ é éì è ểẹìểề ểề ễỉì ề é ẹ ỉ é è ệểể ìằ ểé ắẳẳ ểềỉ ĩỉì è ểẹìểề ề è Ỵº Úđ ÉÙ Ị Ỉº Àº Ị ịĨ º º ấ ề ẽá ẩệ ề ễé ì ể ỉ º ÌƯ Ỉº Đ Ị ỊØƯĨ Ù Ø ĨỊ ØĨ Ị éíì ì é éì ểệ ề ề ậỉ ệỉ ỉ ề éíì ì ệ ệểể ìằ ểé ắẳẳ ệ ééá ẵ èểụề ể ễ ỉ ễ ẵ ặ ểệí ề ẩệể é ẹì ể PT IT ệ ééá ắẳẳắ ẵ ẳ ề ắẳẳ é éì