Giáo trình bài giảng giải tích hàm một biến số

BỘ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG IT Bài giảng PT GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN SỐ Biên soạn: PGS TS Phạm Ngọc Anh Hà Nội, 2013 Å Ð Ị Ù Ị ½º½º ½º Ë Ë Ơ Ø Úđ ½º½º½º º Ë ẵắẵ ề º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ø Ô × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ø Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ Úđ Ơ Ø º Ị Ì ề úí ì ẵắ ½º¾º º Ị ½º¾º º Ị ½º¾º º Ị ½º¿º úí ì ỉ ẵẵ ỉ ề ề ỉ º º º Ø Ì Ị ÅĨ Ú Ị º óÝ ½º¿º º ½º¿º º óÝ ĨỊ ½º¿º º óÝ ¾º È Ơ ØĨơỊ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ẵắ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ị Ư º º Ị º º º Ù º Ù Ú Ý ½ º º Ơ Ø ắẵắ ủẹ ì ắẵ ủẹ ì ỉ ắẵ ủẹ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º º º 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O ¾ Ù Ị Ò f (x) = |x|, x ∈ [−1, 1]¸ Ù 2º T a0 = T f (x)dx = xdx = 1, PT IT −T T an = T T bn = f (x) cos nπxdx = (−1)n − x cos nπxdx = , n2 π −T T f (x) sin nπxdx = T ẻ í ỉệ ề S(x) = ệữề ỉề ỉ Ị ĨÙƯ Ư đĐ f (x) õỊ cos πx cos 3πx cos(2n + 1)πx − + + + + π 12 32 (2n + 1)2 f (x) Úđ f ′ (x) Ð Ị Ø Ø Ị ¸ Ø S= º à ØƯ Ị ũ ì ể ủẹ ì F (x) ĩụ ẳá Ø f (x) = S(x)º 1 − 2 + + + + π (2n + 1)2 Ỵ Ý º Ị Ð S ¸ Ø Ý x = ÚđĨ f (x)¸ Ø 0= º Ĩ Ị ØƯ Ị F (x) Úđ Ị ĨÙƯ Ư f (x) Üơ đĐ × Ị ØƯ Ị R Úđ Ù ØƯ Ị π2 Üơ Ị ØƯ Ị [a, b].[a, b), (a, b], [a, b]¸ Ø Ø ØƯ Ị đĐ f (x) Ø đỊ 2T º à ĨÙƯ Ư đĐ ½ Ø f (x) Ú ØƯ Ị ĨÙƯ Ư Ý (a, b) đĐ × đĐ x ∈ [a, b]º Ì ØƯ Ị đĐ f (x) → F (x) ừề ì ừề ẵ ẻ  F (x) Ðđ 2T = b − aº Ĩ đĐ × f (x) Üơ ¿º ÌĐ Ù đĐ × Ị ØƯ Ị (0, 2]  x Ị Ù x ∈ (0, 1] f (x) = 1 Ò Ù x ∈ (1, 2] ĨÙƯ Ư đĐ f (x)º ị Ì ØƯ Ị đĐ f (x) → F (x) Üơ × a0 = T an = T bn = T = T F (x)dx = −T T −T T Ỵ Ý xdx + 2T = 2º Ì Ị 1dx = , 1 nπx F (x) cos dx = T x cos nπxdx + F (x) sin (−1)n − cos nπxdx = , n2 π 2 ØƯ Ị nπx dx T x sin nπxdx + R Úđ Ù ĨÙƯ Ư¸ Ø −T ØƯ Ị PT IT Ị (−1)n + (−1)n − 1 sin nπxdx = =− nπ nπ ĨÙƯ Ư đĐ F (x) õÒ y x −3 −2 −1 À Ị O ¿ Ø F (x) ØƯĨỊ ∞ Ú  º ¿º (−1)n − S(x) = + cos nπx − sin nπx n=1 n2 π nπ ½ F (x) Úđ F (x) é ề ỉ ỉ ề ệữề ỉ ể ề é ẳá ỉ S(x) í ∞ (−1)n − 1 F (x) = + cos nπx − sin nπx 2 n=1 nπ nπ Ì Ù Ị đĐ F (x) ØƯ Ị (0, 2] Ĩ ØƯ Ị ĨÙƯ Ư đĐ f (x) ∞ (−1)n − 1 f (x) = + cos nπx − sin nπx n=1 n2 π n ừề ắ ủẹ ì F (x) ựề  ÀóÝ º Ü Ị ÕÙ ØƯ Ĩ đĐ × f (x) Üơ º Ị ØƯ Ị (0, 2]  x Ò Ù x ∈ (0, 1] f (x) = 1 Ị Ù x ∈ (1, 2] ØƯ Ị ĨÙƯ Ư đĐ × f (x) Ø đỊ đĐ cosinº ị Ì ØƯ Ị đĐ f (x) → F (x) Üơ Úđ ØÙ Ị ĨđỊ Ú an = T Ù bn = F (x)dx = −T T n2 π T 2T = 4º Ì Ị T × xdx + 1 nπx F (x) cos dx = T (cos F (x) sin ĨÙƯ Ư nπx dx = T đĐ F (x) ½ cos −T ØƯ Ị nπx x cos dx + nπ nπ − 1) − sin , nπ T ĨÙƯ Ư¸ Ø 1dx = , −T = Ò  |x| Ò Ù |x| ≤ F (x) = 1 Ò Ù x ∈ [−2, −1) ∪ (1, 2] a0 = T ẻ í Oy PT IT ẻ ỉ õÒ nπx dx F (x) = y x −2 −1 O À Ò Ø F (x) ØƯĨỊ Ú  º º ∞ nπx S(x) = + an cos n=1 F (x) Úđ F ′ (x) Ð Ị Ø Ø Ị Ư÷Ị Ị đĐ F (x) ØƯ Ị (0, 2] Ĩ ØƯ ề ể ề é ẳá ỉ ểệ ệ PT IT S(x)º Ì Ù ¸ Ø ∞ đĐ f (x) nπ nπ nπx f (x) = + (cos − 1) − sin cos n=1 n2 π 2 nπ 2 õỊ ¿º ÀđĐ × F (x) Ð ´ Ỵ  ÀóÝ º º ØƯ Ị Ø Ĩ đĐ × f (x) Üơ Ü Ị ÕÙ Ø Đ Oµ Ị ØƯ Ị (0, 2]  1 − x Ò Ù x ∈ (0, 1] f (x) = 0 Ị Ù x ∈ (1, 2] ĨÙƯ Ư đĐ × f (x) Ø đỊ đĐ sinº ị Ì ØƯ Ị đĐ f (x) → F (x) Üơ Ị    1−x Ị Ù0 np (1 − cos Ị :Ơ Ị ¸ ÜØ |S6n S3n | ì :ễ ề ĩỉ |S2n Sn | ơ Ù : n=1 +∞ đ Ø × sin 9) ìể ìụề ĩỉ ì n+2 nn 4) n=1 +∞ Ù × × Ù Ø PT IT +∞ ), p > np Ù Ù é ẹ ệỉá ĩỉ ì ì :ễ ề ì : Ø × : Ø × : Ø × :p> → Ø, p ≤ →Ơ Ị × :p> → Ø, p ≤ →Ơ Ị Ø ơ Ù × Ù 4.7.10 (3n + 1) 2.6.10 (4n − 2) × : ỉ n+1 2n ì : ỉ ẵ 3) n=1 +∞ 4) n=1 +∞ 5) n=1 +∞ 6) n=1 +∞ 7) n=1 +∞ 8) (n + 4) 6n × : Ø 1.3.5 (2n + 1) 3n+1n! × : Ø n+1 sin 2n − n × : Ø 4n n! × : Ø n! √ n n × :Ơ Ị n n+1 ) n+2 × :Ơ Ị n + n2 − 3n + 2n + × : Ø × : Ø ( n=1 +∞ 9) n=1 +∞ 10) n=1 ñ º n=1 +∞ cos n 2) n=1 +∞ 4) n n=1 +∞ 6) n=1 íá ĩỉ ì ỉ n+1 n n+3 arctann 5) Ù 2n+1 2n + 2n 2n − n=1 +∞ Ù n+1 3n − 1) 3) Ò º +∞ n=1 +∞ (n!)2 (2n)! PT IT +∞ n2 +1 n2 −1 n+1 n+5 1 + arcsin 2n + 1 3n+4 ½ ô Ù × Ù × : Ø × : Ø × : Ø × : Ø × : Ø × : Ø +∞ 3(−1) +2n × :Ơ Ị 3(−1) −2n × : Ø × : Ø × : Ø 2n n2 + × :Ơ Ị n ln5 n × : × :Ơ Ị × : × :Ơ Ị × : × :Ơ Ị × : Ø × : Ø × : Ø n 7) n=1 +∞ n 8) n=1 +∞ 9) n=1 +∞ 2n + (−1)n 3n − arccos2n−1 10) n=1 º +∞ 1) n=1 +∞ 2) n=2 +∞ 3) n=3 +∞ 4) n=1 +∞ 5) n=0 +∞ Ò º 8) n=2 +∞ 9) ÙØ ễ ềá ĩỉ ì + n + n2 √ n3 + n2 √ n ln n (1 + n2)3 n=1 +∞ n=1 +∞ Ù n ln n ln(ln n) 6) 7) n+1 2n + nm e−n , m ∈ N ln n √ n n2 − √ n=1 +∞ 10) n=1 Ø ơ Ù PT IT đ 2n+5 n e3n − + n2 + n4 ẵ ì Ø Ø Ø º +∞ 1) n=1 +∞ 2) n=2 +∞ 3) n=3 +∞ 4) 5) n=0 +∞ 6) n=2 +∞ 7) n=2 +∞ 8) n=3 + 9) ề ịá ĩỉ ì (1)n+1 n ln5 n × : Ø (−1)n log2 n n × : Ø × :Ơ Ị n × : Ø √ (−1)n n n−1 × : Ø (−1)n √ n + (−1)n × :Ơ Ị (−1)n(2n + 19) 3n2 + n + × : Ø nn (−1) n e × : Ø cos nπ n sin n1 × :Ô Ò n+2 + n2 n2 − n + √ n (−1) ( − 1) º à ịĨ ×ôØ × Ø Ù +∞ 2) n=1 +∞ 3) n=1 +∞ 4) × Ù Ø n=1 n=1 +∞ Ù : 10) 1) Ø × n=1 +∞ º Ù (−1)n 2n + (−1) n=1 +∞ đ Ị º PT IT đ : Ø Ù ØƯ Ị D = [0, 1] : Ø Ù ØƯ Ị D = [0, +∞) : Ø Ù D = [0, +∞) : Ị ØƯ Ò (−1)nxn √ n (−1)n √ n √ xe−nx ØƯ Ị đĐ × × Ù 1 D = [− , ] 2 xn−1 n=1 ½ Ø Ù +∞ ln(1 + n=1 +∞ 6) n=1 +∞ 7) n=1 +∞ 8) n=1 +∞ n=0 +∞ 3) n=1 +∞ 4) n=1 +∞ 5) n=1 +∞ 6) n=1 +∞ 7) n=1 Ù Ø Ù (x + 2n)(x + 2n + 2) ØƯ Ị D = [0, +∞) : Ø Ù (−1)n 2n + cos nx ØƯ Ị D=R : Ø Ù sin nx √ 2x4 + n4 + ØƯ Ị D=R : Ø Ù 1 + 3nx ØƯ Ị D = [0, +∞) : Ø Ù º 2n √ ÌĐĐ Ị Ø ơ Ù Ð ÝØ (x3 − 2)n n! × Ù × : D = R × : D = [− × : D = [−1, 1] n!2n (x + 1)2n n n × : D = (− n!2n (3x + 4)2n (2n)! × : D = R (2x + 1)n nn × : D = R 2n x2n−1 (4n − 3)2 × 1 : D = [− √ , √ ] 2 n (x + 2)n 2) ( ) 11 n n=1 +∞ Ø : n=1 1) : D = [0, +∞) 10) +∞ D = [0, 2] ØƯ Ị n=1 +∞ º ØƯ Ị cos nx n 9) ñ x ) n ln2 (n + 1) PT IT 5) xn √ n ½ 19 , ) 4 e − 1, e − 1) +∞ 8) n=1 +∞ 9) (−1)n−14nxn n2 × 1 : D = [− , ] 4 (−1)n(x − 1)6n+3 2n + × : D = [0, 2] × : D = [−2, 4] n=1 +∞ 10) n=1 ủ (1)n(x + 1)2n+1 32n+1(2n + 1) ẵẳ ØƯ Ị π−x Ú ∞ sin nx ×: n n=1 2)f (x) = cos x2 Ú x ∈ (0, 2π) Ø Ĩ sin 1)f (x) = × : cos x2 = π + π : a0 = 15 2, x ∈ (−π, π), Ù +∞ n=1 (−1)n cos nx −n  6 Ò Ù < x < 3x Ò Ù < x < an =   bn = − πn 12 π n2 0 4)f (x) = cos x2 x ∈ (0, 2π], Ù × : a0 = 0, an = 0, bn = Ò Ù n∈ / 2N Ò Ù n ∈ 2N, 2T = 4π 8n π(2n−1)(2n+1) 5)f (x) = x sin x x ∈ [−π, π] × 2π PT IT ĩà ì ểệ ệ ụ ủẹ ì ì : a0 = −2, a1 = − 12 , an = n2 −1 (n ≥ 2), bn = 6)f (x) = x cos x x ∈ (0, π) Ø Ĩ cosin.Ì × : − π2 + π2 cos x − π ∞ n=1 4n +1 (4n2 −1)2 ØÒ Ø Ò S= ∞ n=1 cos 2nx, S = π 4n2 +1 (4n2 −1)2 + 12 7)f (x) = x cos x x ∈ (0, π) Ø Ĩ sin × : − 12 sin x + ∞ (−1)n n2n−1 sin nx n=2  0 Ị Ù − < x ≤ Ì 8)f (x) = x Ò Ù < x < ½ ØỊ Ø Ị S= ∞ n=1 (2n − 1)2 × : ØƯ Ị × − π2 ∞ n=1 (2n−1)2 [−π, π] π + 12 sin x − ∞ n=1 Ĩ đĐ Ĩ× Ịº × : + π2 ∞ n=1 cos (2n−1)πx − 3 π ∞ n=1 (−1)n n sin nπx ,S =  0 Ò Ù π2 ≤ |x| ≤ π 9)f (x) = cos x Ò Ù |x| < π 2 π(4n2 −1) cos 2nx    x Ò Ù 0≤x≤1    10)f (x) = Ò Ù < x <     3 − x Ò Ù ≤ x ≤ cos 2nπ −1 n2 cos 2nπx PT IT Ø : ½ π2 8, (x = 0) Ìđ ½º Å ỉ ệểềá ẩ ệ í ề ẹ ỉ ìá ậễệ ề ắ ì ể è ễ ẵá ặ èệ ẹ ệéá ệạ ệé ể ỉệ è ặá ẵ é ìì ềỉ é ậỉ ệỉ é éì áẵ ẽệ ấá ề ệì ậễệ ề ậễ ểéể ẩá ệ ỉ è ĩỉì ề ũ ỉ ỉểụề ệá ắẳẳẵ é éì è ểẹìểề ểề ễỉì ề é ẹ ỉ é è ệểể ìằ ểé ắẳẳ ểềỉ ĩỉì è ểẹìểề ề è Ỵº Úđ ÉÙ Ị Ỉº Àº Ị ịĨ º º ấ ề ẽá ẩệ ề ễé ì ể ỉ º ÌƯ Ỉº Đ Ị ỊØƯĨ Ù Ø ĨỊ ØĨ Ị éíì ì é éì ểệ ề ề ậỉ ệỉ ỉ ề éíì ì ệ ệểể ìằ ểé ắẳẳ ệ ééá ẵ èểụề ể ễ ỉ ễ ẵ ặ ểệí ề ẩệể é ẹì ể PT IT ệ ééá ắẳẳắ ẵ ẳ ề ắẳẳ é éì