Một số ứng dụng của hệ đếm nhị phân

92 Ứng dụng hệ đếm nhị phân trong lĩnh vực toán học 12.1 Ứng dụng để giải các bài toán trên tập số nguyên.. Sau đó, do có ưu điểm tính toán đơn giản, dễ dàng thực hiệnvề mặt vật lý, chẳn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN THÁI NGUYÊN

ĐỀ TÀI

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ ĐẾM NHỊ PHÂN

ĐỀ ÁN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Bình Định - 2023

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN THÁI NGUYÊN

ĐỀ TÀI

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ ĐẾM NHỊ PHÂN

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 8460113

Người hướng dẫn 1: TS Trịnh Đào Chiến.Người hướng dẫn 2: TS Mai Thành Tấn

Bình Định - 2023

Mục lục

1.1 Hệ đếm thập phân 7

1.2 Hệ đếm cơ số bất kì 7

1.3 Hệ đếm nhị phân 8

1.4 Quy tắc đổi một số từ cơ số này sang cơ số khác 9

2 Ứng dụng hệ đếm nhị phân trong lĩnh vực toán học 1 2.1 Ứng dụng để giải các bài toán trên tập số nguyên 1

2.2 Ứng dụng để giải các bài toán Rời rạc 23

2.2.1 Dạng toán có yếu tố bất biến hoặc đơn biến 23

2.2.2 Dạng toán quy về tính toán nhị phân trên bảng ô vuông 40

2.2.3 Dạng toán liên quan đến dãy nhị phân 47

2.2.4 Một số dạng toán số học tổ hợp 50

3 Ứng dụng hệ đếm nhị phân trong một số lĩnh vực khoa học kỹ thuật 75 3.1 Ứng dụng trong máy tính điện tử 75

1

3.2 Ứng dụng trong điện báo 763.3 Ứng dụng trong hệ mã khóa công khai 80

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Hệ nhị phân được nhà toán học cổ người Ấn Độ Pingala phác thảo từThế kỷ Thứ III trước Công Nguyên Hệ đếm nhị phân (hay hệ đếm cơ số2) là một hệ đếm dùng hai ký tự để biểu đạt một giá trị số, bằng tổng sốcác lũy thừa của 2 Hai ký tự đó thường là 0 và 1 Ban đầu, chúng thườngđược dùng để biểu đạt hai giá trị hiệu điện thế tương ứng (có hiệu điện thếhoặc hiệu điện thế cao là 1 và không có hiệu điện thế hoặc hiệu điện thếthấp là 0) Sau đó, do có ưu điểm tính toán đơn giản, dễ dàng thực hiện

về mặt vật lý, chẳng hạn như trên các mạch điện tử, nên hệ nhị phân trởthành một phần kiến tạo căn bản trong các máy tính đương thời, rồi dầndần mở rộng ra các ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật

Hệ đếm nhị phân không chỉ là cơ sở xây dựng các tính toán trong máytính, mà còn có nhiều ứng dụng trong truyền tin, mật mã và đặc biệt độcđáo nó còn là công cụ để giải nhiều bài toán khó trong chương trình Trunghọc phổ thông, đề thi chọn học sinh giỏi ở các nước và Olympic Toán quốctế

Do đó, nhu cầu có một đề án, nghiên cứu một cách cơ bản về ứng dụng

hệ đếm nhị phân trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật nói chung và toánhọc nói riêng là cần thiết và đó cũng là mục tiêu và nội dung của đề ánnày

3

2 Mục tiêu nghiên cứu

- Mục tiêu chung:

Một số ứng dụng của hệ đếm nhị phân trong một số lĩnh vực khoa học

kỹ thuật nói chung và toán học nói riêng

- Mục tiêu cụ thể:

Đối với lĩnh vực toán học, đề án đề cập đến một số ứng dụng của hệđếm nhị phân để giải các bài toán trên tập số nguyên và các bài toán Rờirạc, trong đó có nhiều bài toán là đề thi chọn học sinh giỏi ở các nước vàOlympic Toán quốc tế Đối với lĩnh vực khoa học kỹ thuật, đề án đề cậpđến một số ứng dụng như:

+ Ứng dụng trong máy tính điện tử

+ Ứng dụng trong điện báo

+ Ứng dụng trong hệ mã khóa công khai

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu:

4 Nội dung nhiên cứu của đồ án

- Kiến thức cơ bản về hệ đếm nhị phân

- Ứng dụng hệ đếm nhị phân trong một số lĩnh vực toán học

- Ứng dụng hệ đếm nhị phân trong một số lĩnh vực khoa học kỹ thuật

5 Phương pháp nghiên cứu

Trong khuôn khổ của một đề án tốt nghiệp Thạc sĩ chuyên ngànhPhương pháp Toán sơ cấp, phương pháp thực hiện đề án của học viên

là sưu tầm và tổng hợp những kiến thức cơ bản nhất, từ một số tài liệuchuyên ngành và hoàn thành đề án dưới sự đồng hướng dẫn của hai Tiến

sĩ, những người thầy hướng dẫn khoa học

6 Cấu trúc đề án

Chương 1: Kiến thức cơ bản về hệ đếm nhị phân

Chương 2: Ứng dụng hệ đếm nhị phân trong lĩnh vực toánhọc

Chương 3: Ứng dụng hệ đếm nhị phân trong một số lĩnh vựckhoa học kỹ thuật

Từ đề tài có thể giúp người nghiên cứu và người đọc có cái nhìn tổngquan hơn về hệ nhị phân, ứng dụng của hệ nhị phân trong toán hoc vàmột số lĩnh vực khoa học kỹ thuật

Kiến thức cơ bản về hệ đếm nhị phân

Nội dung Chương này tham khảo trong [3] và [4]

Cùng với việc phát minh ra các con số, con người tìm cách ghi lại chúng.Cách ghi số hiện nay do người Hindu (Ấn Độ) phát minh vào Thế kỷ thứVIII và Thế kỷ thứ IX Sau đó được người Ả Rập truyền sang Châu Âu

Vì thế, sau này người ta thường gọi là chữ số Hindu - Ả Rập hay là chữ

số Ả Rập Trước đó, có nhiều cách ghi số khác nhau như hệ ghi số Ai cập,

hệ ghi số Babilon, hệ ghi số Maya, hệ ghi số La Mã

Người Hindu (Ấn Độ) vào đầu Thế kỷ thứ IX đã dùng một hệ thốngghi số gồm mười kí hiệu (sau này gọi là mười chữ số) Cách ghi số này tỏ

ra ưu việt hơn hẳn các cách ghi số trước đó Vì vậy, nó được truyền qua

Ả Rập, sang Châu Âu và dần dần được cả thế giới thừa nhận Qua nhiềuthế kỷ, các chữ số cũng dần dần thay đổi Cuối cùng, chúng có hình dángnhư ngày nay

Trường hợp tổng quát của hệ ghi số, là hệ ghi số g - phân Việc viết các

số tự nhiên trong hệ g - phân có một ưu thế lớn là, ta dễ dàng so sánh các

số và thực hiện các phép tính trên chúng Trong hệ ghi số g - phân, người

ta hay dùng hệ ghi số 2 - phân (hệ nhị phân) trong công nghệ thông tin,

vì nó chỉ dùng hai ký hiệu là 0 và 1, có thể tương ứng với hai trạng thái

mở và đóng mạch điện Các số trong hệ nhị phân có thể biểu thị bằng mộtdãy bóng đèn sao cho, ứng với chữ số 1 là bóng đèn sáng, còn với chữ số

0 là bóng đèn tắt Hơn nữa, làm các phép tính trong hệ nhị phân khá dễ

6

dàng và có thể thực hiện một cách máy móc, do đó dễ chạy cho máy.

Hệ ghi số g - phân nói chung và hệ nhị phân nói riêng được đề cậpnhiều và chi tiết trong các tài liệu Số học Chương này chỉ đề cập một sốvấn đề cơ bản nhất, là kiến thức cơ sở cho các chương sau này, với mụcđích là ứng dụng hệ đếm nhị phân giải các bài toán trong chương trìnhTrung học phổ thông

1.1 Hệ đếm thập phân

Để có thể làm việc được với các số (cộng, trừ, nhân, chia, ), trướctiên ta cần phải biết gọi và viết chúng Hệ đếm là cách đặt tên và viết các

số dưới dạng các ký tự (ký hiệu) Một hệ đếm thường sử dụng một số kí

tự khác nhau để biểu thị các số Hệ đếm được dùng nhiều nhất là hệ cơ

số 10 Điều này có nguyên nhân lịch sử, chứ không phải chỉ là lý do toánhọc: người cổ đại, khi bắt đầu biết đếm đã dùng 10 ngón tay trên hai bàntay để đếm

1.2 Hệ đếm cơ số bất kì

Ngoài hệ đếm cơ số 10, còn nhiều hệ đếm cơ số khác nữa Cho hai số

tự nhiên a và k Khi ấy tồn tại duy nhất một biểu diễn của a dưới dạng

đa thức của k : a “ ankn ` an´1kn´1 ` ` a1k ` a0 Trong đó, các hệ số

ai thỏa mãn điều kiện 0 ď ai ď k ´ 1, i “ 0, 1, , n

Điều này có thể dễ dàng chứng minh được

Thậy vậy, chia a cho k ta tìm được duy nhất số b ă a và a0 sao cho

a “ bk ` a0, trong đó: 0 ď ai ď k ´ 1, i “ 0, 1, , n

Lại chia b cho k ta được b “ b1k ` a1, trong đó: 0 ď ai ď k ´ 1, b1 ă b.Suy ra: a “ pb1k ` a1q k ` a0 “ b1k2 ` a1k ` a0

Tiếp tục chia b1 cho k, ta lại được

b1 “ b2k ` a2, 0 ď a2 ď k ´ 1, b2 ă b1

Do đó

a “ b1k2 ` a1k ` a0 “ pb2k ` a2qk2 ` a1k ` a0 “ b2k3 ` `a2k2 ` a1k ` a0.Tiếp tục quá trình này, cuối cùng ta có biểu diễn

a “ ankn ` an´1kn´1` ` a1k ` a0,với 0 ď ai ď k ´ 1, i “ 0, 1, , n

Giống như hệ cơ số 10, để biểu diễn một số a trong hệ cơ số k (gồm k

kí tự), ta viết số đó dưới dạng đa thức của k

a “ ankn` an´1kn´1 ` ` a1k ` a0.Các hệ số ai, 0 ď ai ď k ´ 1, i “ 0, 1, , n được gọi là các chữ số của a,còn biểu diễn trên được gọi là biểu diễn của a trong hệ cơ số k

Để chỉ rõ biểu diễn một số trong cơ số k, người ta thường để số đótrong ngoặc kèm theo chỉ số k ở dưới Trong nhiều trường hợp, người ta

bỏ dấu ngoặc mà viết chỉ số k ở dưới số đó ở bên phải

hệ đếm có cơ số lũy thừa của 2 (hệ đếm cơ số 8 và hệ đếm cơ số 16) Hệđếm cơ số 2 là hệ chỉ gồm 2 kí hiệu: 0 và 1 Mọi số trong hệ cơ số 2 đềuđược biểu diễn dưới dạng hai chữ số 0 và 1 Vì hệ cơ số 2 chỉ gồm 2 kí tự là

0 và 1, nên tương thích với kĩ thuật (các đèn điện tử chỉ có hai trạng thái:đóng hoặc ngắt điện) và tính toán trong hệ này rất đơn giản Hệ đếm cơ

số 2 không chỉ quan trọng trong tính toán trên máy tính mà còn có nhiềuứng dụng trong thực tế (lý thuyết mật mã, truyền thông tin, )

Số nhỏ nhất có thể chọn làm cơ số của hệ đếm là số 2 Hệ đếm cơ số

2 (hệ nhị phân) chỉ gồm 2 kí tự là 0 và 1, vì vậy các phép toán trong hệnhị phân rất đơn giản Tuy vậy, hệ đếm cơ số 2 lại có rất nhiều ứng dụngquan trọng: nó không chỉ là cơ sở xây dựng các tính toán trong máy tính,

mà còn có ứng dụng trong truyền tin, mật mã và là công cụ để giải nhiềubài toán có bản chất toán học

1.4 Quy tắc đổi một số từ cơ số này sang cơ

số khác

Khi có nhiều cơ số, chúng ta cần biết đổi biểu diễn của một số từ cơ sốnày sang cơ số khác

Ví dụ 1.1 Đổi 119 từ cơ số 10 sang cơ số 5

Lời giải Chia 119 cho 5 được 23 dư 4, chữ số 4 là hàng đơn vị Lại chia

23 cho 5 được 4 dư 3, chữ số 3 thuộc hàng chục, chữ số 4 thuộc hàng trăm,tức là: 11910 “ 4345

Thực chất cách làm này chính là biểu diễn số 119 (trong cơ số 10) dướidạng tổng các lũy thừa của cơ số 5

119 “ 23 ˆ 5 ` 4 “ p4 ˆ 5 ` 3q ˆ 5 ` 4 “ 4 ˆ 52 ` 3 ˆ 5 ` 4

Hiển nhiên, cách làm trên có thể áp dụng để chuyển một số bất kỳ trong

cơ số 10 sang cơ số khác

Ví dụ 1.2 Viết số 100 trong cơ số 10 sang cơ số 2.

Lời giải Làm phép chia

Vậy 10010 “ 11001002

Thử lại: 100 “ 64 ` 32 ` 4 “ 26 ` 25 ` 22 “ 11001002

Ví dụ 1.3 Viết số 3782 trong cơ số 10 sang cơ số 8

Lời giải Vì 810 “ 108 và 1010 “ 128 nên

3782 “ 3.1238 ` 7.1228 ` 108.1218 ` 2.1208

“ 3.17508 ` 7.1448 ` 108.128 ` 28

“ 56708 ` 12748 ` 1208 ` 28 “ 73068.Nhận xét rằng, trong ví dụ trên ta cần tính toán (lũy thừa, nhân, cộng, ) trong cơ số 8, nói chung là không quen như trong cơ số 10

Vì vậy, ta có thể tìm một cách làm khác gọn nhẹ hơn như sau

Ví dụ: Viết số p3782q10 sang p3782q8

Vì (tính trên máy) 81 “ 8; 82 “ 64; 83 “ 512; 84 “ 4096 nên 3782 ă 84

Do đó, 3782 khi phân tích thành tổng các lũy thừa của 8 thì bậc caonhất là 3 Bằng phép chia (nhẩm hoặc trên máy) ta có biểu diễn

3782 “ 7.83 ` 198 “ 7.83 ` 3.82 ` 0.81 ` 6

Vậy 378210 “ 73068

Tất nhiên, ta cũng có thể làm phép chia như trong ví dụ 1 và 2

3782 “ 472 ˆ 8 ` 6 “ p59 ˆ 8 ` 0q ˆ 8 ` 6 “ pp7 ˆ 8 ` 3q ˆ 8 ` 0q ˆ 8 ` 6 “

7 ˆ 83 ` 3 ˆ 82 ` 0 ˆ 81 ` 6

Vậy 378210 “ 73068

Ba ví dụ trên chỉ ra cách chuyển, biểu diễn một số trong cơ số 10 sang

cơ số khác Ta cũng có thể chuyển, biểu diễn một số trong cơ số khác sang

Đổi một số trong cơ số 2 sang cơ số 8,16 hoặc ngược lại

Vì 8 “ 23 (và 16 “ 24) nên để đổi một số từ cơ số 2 sang cơ số 8 (hoặc16) ta chỉ cần tách số đó thành nhóm 3 số (nhóm 4 số) tính từ phải sangtrái (nhóm cuối cùng có thể chỉ có 1 hoặc 2 chữ số) và đổi từng nhóm đósang cơ số 8

Ví dụ: 101010111102 “ 10 |101| 011 |110| “ 25368

Ví dụ 1.5 Đổi số 25368 sang cơ số 2

Lời giải Vì 28 “ 102; 58 “ 1012; 38 “ 112 “ 0112 và 68 “ 1102

nên 25368 “ p 10| 101 |11| 110|q2 “ p 10| 101 |011| 110|q2 “ 1010111102

Ứng dụng hệ đếm nhị phân trong lĩnh vực toán học

Nội dung mục này tham khảo trong [1], [2]

2.1 Ứng dụng để giải các bài toán trên tập

số nguyên

Nhiều bài toán trên tập số nguyên được giải quyết một cách độc đáobởi việc ứng dụng hệ đếm nhị phân, với nhiều dạng toán phong phú như:phương trình hàm trên tập số nguyên, giới hạn của dãy các số nguyên, cựctrị trên tập số nguyên và một số bài toán Số học khác Nội dung mục này

đề cập đến một số bài toán như thế

Bài toán 2.1 Giả sử f : N Ñ R là hàm số thỏa mãn điều kiện f p1q “ 1và

1 ` f

´n2

¯, n “ 2k

Tìm f pnq

Lời giải Từ công thức truy hồi của giả thiết bài toán, ta có:

f p2k ` 1q “ 1 ` f pkq “ f p2kq, k “ 1, 2,

1

Điều này gợi ý cho ta cần chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 2.1 f pnq chính là số chữ số của n viết trong hệ nhị phân

Chứng minh Khẳng định trên đúng với n “ 1, 2, 3, , 15 hay 20 ď n ă 24

Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp theo q như sau:

Giả sử 2q ď n ă 2q`1, khi ấy trong hệ cơ số 2 thì n sẽ có q ` 1 chữ số.Nếu n “ 2m thì 2q´1 ď m ă 2q và m có q chữ số trong hệ cơ số 2.Theo giả thiết qui nạp f pmq “ q

Do đó theo giả thiết, ta có:

Do m là số nguyên nên 2q´1 ă m ă 2q và m cũng sẽ có q chữ số trong

cơ số 2

Theo giả thiết qui nạp f pmq “ q

Do đó theo giả thiết, ta lại có:

f pnq “ 1 ` f pn ´ 1

2 q “ 1 ` f pmq “ 1 ` qNhư vậy, trong mọi trường hợp ta đều có f pnq bằng chính số chữ sốcủa n viết trong cơ số 2

Việc chứng minh Bổ đề trên cũng là lời giải cho bài toán

Bài toán đã được giải quyết

Bài toán 2.2 Giả sử f : N Ñ N là hàm số thỏa mãn điều kiện:

f p1q “ 1, f p2nq “ f pnq, f p2n ` 1q “ f p2nq ` 1, với mọi số nguyêndương n

Tìm giá trị lớn nhất của f pnq trên đoạn 1 ď n ď 2006

Lời giải Vì f p2nq được tính theo f pnq và f p2n ` 1q Được tính theo f p2nq,tức là lại theo f pnq, nên ta nghĩ đến việc viết các số trong cơ số 2

Bổ đề 2.2 f pnq bằng số chữ số 1 trong biểu diễn cơ số 2 của n.

Chứng minh Giả sử khẳng định đúng với mọi k ă n Ta sẽ chứng minh

- Nếu n lẻ, tức là n “ 2m ` 1 “ 102ˆ m ` 1, thì n có số chữ số 1 nhiềuhơn m là 1 chữ số (thêm chữ số 1 ở hàng cuối cùng, tức là ở hàng đơn vị).Theo giả thiết, ta có: f pnq “ f p2m ` 1q “ f pmq ` 1 mà theo quy nạp,

f pmq bằng đúng số chữ số 1 của m

Nên f pnq cũng bằng số chữ số 1 của m cộng thêm 1, tức là f pnq cũngbằng đúng số chữ số 1 của n.

Bổ đề đã được chứng minh

Bài toán dẫn đến phải tìm số có số chữ số 1 lớn nhất trong biểu diễn

cơ số 2 của các số nhỏ hơn 2006

Vì 111111111112 “ 211´ 1 “ 2047 gồm 11 chữ số 1, mà 2006 ă 2047nên f pnqcó nhiều nhất là 10 chữ số 1

Ta lại có: f p1023q “ f p11111111112q “ 10

Do đó, giá trị lớn nhất của f pnq, 1 ď n ď 2006, là 10 đạt được khi

n “ 1023

Bài toán đã được giải quyết

Bài toán 2.3 Giả sử pxnq là dãy số xác định theo công thức truy hồi:

x0 “ 0, x1 “ 1, xn`1 “ xn ` xn´1

Chứng minh dãy số này hội tụ và tìm giới hạn của chúng

Lời giải Ta tính xn và biểu diễn chúng trong cơ số 2, như sau:

x2 “ 1

2 “ 0, 12; x3 “

1 ` 12

3

4 “ 0, 75 “ 0, 112.hoặc làm phép cộng trong hệ cơ số 2

(chia một số viết trong cơ số 2 cho 2 ta chỉ việc dịch dấu phẩy đi mộtđơn vị về bên phải):

5

8 “ 0, 625 “ 0, 1012;

16 “ 0, 10112;hoặc:

21

32 “ 0, 65625 “ 0, 101012;hoặc:

Thật vậy, theo qui nạp ta có:

với k cặp số 10 và chữ số 11 ở cuối.

Để khẳng định các kết quả trên, ta cần đặt hai số x2k và x2k`1 (hoặc

x2k`1 và x2k`2) thành cột và cộng theo hàng dọc (có nhớ) trong cơ số 2như sau:

x2k “ 0, 101010 1012

x2k`1 “ 0, 101010 10112

´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´´

1, 01010 101012Vậy

x2k`2 “ 1,01010 101012 : 2 “ 0, 101010 1012.Tương tự cho x2k`3:

x2k`1 “ 0, 101010 10112

x2k`2 “ 0, 101010 101012

´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´´

1, 01010 1010112.Vậy

x2k`1 “ 0, 101010 10112 “ 0, 101010 10102 ` 0, 00 00112

“ 0, 101010 10102 ` 1

22k´1 ` 1

22k

limkÑ8

limnÑ8xn “ lim

Nếu a0 “ 0 pn “ 2mq thì

n “ panan´1 a1a0q2 “ panan´1 a1q2.2 “ 2m

Nếu a0 “ 1 pn “ 2m ` 1q thì

n “ panan´1 a1a0q2 “ panan´1 a1q2.2 ` 1 “ 2m ` 1

Như vậy, trong cả hai trường hợp m “ panan´1 a1q2,

hay m chính là số nhận được từ n trong cơ số 2 sau khi xóa chữ số a0

m.2 ` a0 ` 10 02

loomoonk10 02

loomoonk`1

fi

ffiffiffifl

m ` 10 02loomoonk´110 02

loomoonk

` a010 02

loomoonk`1

fi

ffiffiffifl,

trong đó a0 là chữ số cuối cùng (chữ số hàng đơn vị) của n

m ` 10 02loomoonk´110 02

loomoonk

` a010 02

loomoonk`1

fi

ffiffiffifl

“

»

—

—–

m ` 10 02loomoonk´110 02

loomoonk

fi

ffiffifl

Từ đây theo giả thiết qui nạp cho m ta có:

“ „ n

2 `

12



“

”

2n2

ı

´

”n2

ı

“ n ´

”n2ı

;

“

”n2

Vậy đẳng thức chứng minh xong

Nhận xét Cách 2 dài và khó hơn Cách 1, nhưng chuyển sang cơ số 2 cũngcho ta cái nhìn mới hơn đối với bài toán này

Bài toán 2.5 (IMO Shortlist - 1996) Giả sử panq là dãy số xác định nhưsau:

với mọi số nguyên dương n

a) Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của an, với n ď 1996,

và tìm tất cả những số n ď 1996 mà giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhấtcủa an đạt được

b) Có bao nhiêu số hạng an, với n ď 1996, mà an “ 0?

Lời giải Giả sử n “ pakak´1 a1a0q2 là biểu diễn của n trong hệ cơ số 2

Ta thấy rằng

”n2

Nếu a0 “ 0 thì n chẵn và n “ 2.n

2 “ 2.

”n2

ı.Hơn nữa, n “ pakak´1 a1a0q2 “ pakak´1 a1q2.2

2 “ 2.

”n2

ı+1 và n “ pakak´1 a1a0q2 “

”n2

ı

“ pakak´1 a1q2chính là số nhận được từ biểu diễn của n sau khi xóa đi chữ số cuốicùng a0

Ký hiệu un là tổng số các cặp chữ số 00 hoặc 11 và vn là tổng số cáccặp chữ số 10 hoặc 01 có trong biểu diễn của n trong cơ số 2

Nếu n “ 3 “ 112 thì u3 “ 1; v3 “ 0.

Theo công thức (2.1) ta có

a3 “ a1 ` 1 “ 1 “ u3 ´ v3,tức là công thức (2.2) đúng

Nếu n “ 4 “ 1002thì u4 “ 1; v4 “ 0

Theo công thức (2.1) ta có

a4 “ a2 ` 1 “ 1 “ u4 ´ v4,tức là công thức (2.2) đúng

Nếu n “ 5 “ 1012 thì u5 “ 0; v5 “ 2.

Theo công thức (2.1) ta có

a5 “ a2 ´ 1 “ ´2 “ u5 ´ v5,tức là công thức (2.2) đúng

Nếu n “ 6 “ 1102 thì u6 “ 1; v6 “ 1.

Theo công thức (2.1) ta có

a6 “ a3 ´ 1 “ 0 “ u6 ´ v6,tức là công thức (2.2) đúng

Nếu n “ 7 “ 1112thì u7 “ 2; v7 “ 0.

Theo công thức (2.1) ta có

a7 “ a3 ` 1 “ 2 “ u7 ´ v7,tức là công thức (2.2) đúng

Giả sử công thức (2.2) đúng với mọi p “ 1, 2, , n ´ 1

Ta sẽ chứng minh nó đúng với p “ n

Xét hai trường hợp sau:

- Trường hợp 1 n ” 0 (mod 4) hoặc n ” 3 (mod 4),tức là:

n “ panan´1 a200q2hoặc

n “ panan´1 a211q2

Khi ấy theo công thức (2.1) và giả thiết qui nạp thì

“ panan´1 a20q2 (hoặc

”n2

ı

“ panan´1 a21q2).Trong cả hai trường hợp ta đều có: u«n

2

ff “ un´ 1 (n có nhiều hơn

”n2ı

n “ panan´1 a210q2.Khi ấy theo công thức (2.1) và công thức qui nạp thì

ı

“ panan´1 a20q2 (hoặc

”n2

ı

“ panan´1 a21q2).Trong cả hai trường hợp ta đều có: u«n

2

ff “ un (n không có thêm mộtcặp 00 hoặc 11 nào)

và v«n

2

ff “ vn ´ 1 (n có thêm cặp 01 hoặc 10 ở cuối)

a) Theo (2.2), để an lớn nhất ta cần tìm số n ď 1996 sao cho un ´ vn

Số n “ 101010101012 “ 1365 có un “ 0 nhỏ nhất và vn “ 10 lớn nhất,

do đó an đạt giá trị nhỏ nhất bằng –10

b) Giữa mọi cặp chữ số liêp tiếp của n trong biểu diễn nhị phân của nó

ta đặt một dấu chấm nếu chúng giống nhau và một dấu phẩy nếu chúngkhác nhau Thế thì, un chính là số các dấu chấm và vn chính là số các dấuphẩy

Vậy, một dãy có độ dài m các dấu chấm phẩy (theo thứ tự từ trái sangphải) sẽ xác định duy nhất một số có độ dài m ` 1 trong cơ số 2 (số có

m ` 1 chữ số, chữ số đầu tiên bên trái là 1)

Nếu an “ un ´ vn “ 0 thì số các dấu chấm và số các dấu phẩy bằngnhau, tức là m phải có số chẵn, hay n “ m ` 1 phải có số lẻ số chữ sốtrong biểu diễn cơ số 2.

Ta nói, một dãy gồm các dấu chấm và dấu phẩy là dãy cân bằng nếu

số dấu chấm và dấu phẩy bằng nhau

Rõ ràng một dãy cân bằng có thể tạo bởi C

m2

m cách nếu m chẵn vàkhông tồn tại nếu m lẻ

Một số n thỏa mãn điều kiện an “ un´ vn “ 0 tương ứng một một vớimột dãy cân bằng các dấu chấm và phẩy

Tuy nhiên, số n trong cơ số 2 có 11 chữ số có thể lớn hơn 1996 vì vậy,

ta còn phải loại bớt các số với tính chất an “ un´ vn “ 0 trong khoảng từ

Bài toán đã được giải quyết

Bài toán 2.6 (IMO - 1988) Giả sử f : N Ñ N là hàm số thỏa mãn điềukiện:

f p1q “ 1, f p3q “ 3, f p2nq “ f pnq

f p4n ` 1q “ 2f p2n ` 1q ´ f pnq,

f p4n ` 3q “ 3f p2n ` 1q ´ 2f pnq ,với mọi số nguyên dương n Tìm số n ď 1988 mà f pnq “ n

Lời giải Một số k P N bất kì chỉ có thể có một trong bốn dạng:

Bổ đề 2.4 Biểu diễn của f pnq trong cơ số 2 chính là biểu diễn của n

bằng cách viết ngược lại, tức là:

f ppakak´1 a1a0q2q “ pa0a1 ak´1akq2

Chứng minh Giả sử tính chất đúng cho mọi k ă n

Ta sẽ chứng minh nó đúng cho n

- Nếu n chẵn pn “ 2mq thì theo giả thiết f pnq “ f p2mq “ f pmq

Vì n “ 2m nên nếu m được biểu diễn trong hệ cơ số 2 dưới dạng

m “ akak´1 a1a0 thì n “ akak´1 a1a00

Theo quy nạp, ta có:

f pmq “ f pakak´1 a1a0q “ a0a1 ak´1ak “ 0a0a1 ak´1ak

Vậy:

f pakak´1 a1a00q “ f pnq “ f pmq “ f pakak´1 a1a0q “ a0a1 ak´1ak “ 0a0a1 ak´1ak

- Nếu n “ 4m ` 1 với m “ akak´1 a1a0

thì n “ 4m ` 1 “ akak´1 a1a001 và 2m ` 1 “ akak´1 a1a01

Theo đề toán và giả thiết qui nạp ta có:

f pakak´1 a1a001q “ f p4m`1q “ 2f p2m`1q´f pmq “ 2.1a0a1 ak´1ak´

`a0a1 ak´1ak “ 10a0a1 ak´1ak

- Nếu n “ 4m ` 3 với m “ akak´1 a1a0

thì n “ 4m ` 3 “ akak´1 a1a011 và 2m ` 1 “ akak´1 a1a01

Từ giả thiết của đầu bài và giả thiết qui nạp suy ra:

Ta tiếp tục tìm kiếm lời giải cho bài toán

Một số trong cơ số 2 được gọi là palindromic nếu nó không đổi khi tađổi chỗ các chữ số theo thứ tự ngược lại

Với mỗi k sẽ có tất cả 2

» –

k ´ 12

fi fl

số palindromic có độ dài k (số dromic bậc k)

palin-Thật vậy, một số palindromic hoàn toàn được xác định nếu biết tất cả

Có

2 ˆ 2 ˆ ˆ 2looooooomooooooon

» –

k ´ 12

fi fl

“ 2

» –

k ´ 12

fi fl

khả năng chọn, tức là có tất cả 2

» –

k ´ 12

fi fl

số palindromic bậc k

Từ qui luật trên, suy ra nghiệm của phương trình f pnq “ n với n ď 1988 “

111110011102 chính là các số palindromic với tối đa 10 chữ số và những số

«

9 ´ 12ff

`2

«

10 ´ 12ff

“ 32 số trong khoảng 1024 ď n ď 2047 (có 11 chữ số)

là palindromic

Trong các số đó có hai số 111111111112= 2047 và 111110111112= 2015vượt quá 1988

Vậy, có tất cả 32 - 2 = 30 số trong khoảng 1024 ď n ď 1988 thoả mãnphương trình f pnq “ n

Cuối cùng, phương trình f pnq “ n có tất cả 62 + 30 = 92 nghiệm.Bài toán đã được giải quyết

Bài toán 2.7 (IMO Shortlist - 1995)

Với mỗi số tự nhiên k, ký hiệu p pkq là số nguyên tố nhỏ nhất khôngchia hết cho k

Nếu p pkq ą 2, ta kí hiệu q pkq là tích của tất cả các số nguyên tố nhỏhơn p pkq

Lời giải Từ định nghĩa của p pkq và q pkq, ta thấy q pkq luôn chia hết q pkq,

do đó: xn`1 “ xnp pxnq

q pxnq luôn là một số nguyên dương

Ta thấy xn không phải là số chính phương với mọi n = 1,2,

Thật vậy, trước tiên ta kiểm tra với một vài giá trị đầu tiên của n.Với n “ 0: x0 “ 1; ppx0q “ 2, qpx0q “ 1 Vậy x1 “ x0ppx0q

Như vậy, mọi xn, n “ 0, 1, 2, 3 đều không là số chính phương

Ta chứng minh rằng, xn không phải là số chính phương với mọi n ě 0.Thật vậy, giả sử phản chứng nếu xn`1 là số chính phương, tức là xn`1 “

t2 Phân tích t thành thừa số nguyên tố ta được t “ t1 tk (ti, tjcó thểbằng nhau)

Điều này vô lí vì xn không chia hết cho ppxnq

Vậy với mọi n ě 0 thì xn không phải là số chính phương

Ta sẽ chứng minh theo quy nạp rằng, nếu p0 “ 2, p1 “ 3, p2 “ 5, làdãy tất cả các số nguyên tố được xắp xếp theo chiều tăng và n có biểu diễntrong cơ số 2 là n “ pcmcm´1 c1c0q2 thì xn “ pc0

0 pc1

1 pc2

2 pcm

m

Với n “ 1 “ 12: c0 “ 1, p0 “ 2; x1 “ 2 “ pc0

0 Với n “ 2 “ 102: c0 “ 0, c1 “ 1; p0 “ 2, p1 “ 3; x2 “ 3 “ pc0

0 pc1

1 Với n “ 3 “ 112: c0 “ 1, c1 “ 1; x3 “ 6 “ 2.3 “ pc0

0 pc1

1 Với n “ 4 “ 1002: c0 “ 0, c1 “ 0, c2 “ 1; x4 “ 5 “ pc0

0 pc1

1 pc2

2 Giả sử điều này đúng với mọi k ď n

‚2nên khẳng định qui nạp cũng đúng

Vậy việc chứng minh điều khẳng định từ quy nạp đã hoàn tất

Từ khẳng định trên, do:

xn “ 1995 “ 3.5.7.19 “ 20.31.51.71.110.130.170.191,nên n “ 100011102 “ 14210

Tóm lại, số n “ 142 là số cần tìm

Bài toán đã được giải quyết

2.2 Ứng dụng để giải các bài toán Rời rạc

Hệ đếm nhị phân đôi khi được sử dụng như là một phương pháp độcđáo để giải rất nhiều bài toán Rời rạc, mà các bài toán sau đây là một số

ví dụ minh họa:

Bài toán 2.8 (USAMO 1999) Giả sử a1, a2, , an pn ą 3q là các số thựcthỏa mãn:

a1 ` a2 ` ` an ě n và a12 ` a22 ` ` an2 ě n2.Chứng minh rằng maxta1, a2, , anu ě 2.

Lời giải Hai cách giải đầu tiên dưới đây đã được trình bày trong.

Giải (Cách 1) Trước hết, giả sử rằng các số a1, a2, , an đều không

Ta có điều phải chứng minh

Bây giờ, nếu trong các số a1, a2, , an tồn tại ít nhất một số âm, thìkhông mất tính tổng quát, có thể giả sử rằng: a1 ě a2 ě ě ak ě 0 ą

ai ď 2k.

Do đó:

nři“k`1p´aiq ď 2k ´ n

Vì ´ai ą 0, với mọi i mà k ` 1 ď i ď n, nên ta có:

nÿi“k`1

ai2 ď

˜ nÿi“k`1p´aiq

ai2

n2 ´

nři“k`1

Điều này suy ra rằng max ta1, a2, , anu ě ?4 “ 2

Ta có điều phải chứng minh

Giải (Cách 2) Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng

Giả sử rằng ai ă 2, với mọi i “ 1, 2, , n.

Không mất tính tổng quát, giả sử rằng a1 ď a2 ď ď an ă 2.

Khi đó, chỉ có thể một trong ba trường hợp sau đây xảy ra:

Trường hợp 1 Nếu ai ă 0 với mọi 1 ď i ď n, thì

nři“1

ai ă 0 ă n, trái vớigiả thiết

Trường hợp 2 Nếu 0 ď ai ă 2 với mọi 1 ď i ď n, thì

nři“1

ai2 ă 4n ď n2,trái với giả thiết

Trường hợp 3 Tồn tại số nguyên k, 1 ď k ď n, sao cho ak ď 0 và

0 ď ak`1 ă 2

Khi đó:

kÿi“1

ai2 ď

˜ kÿi“1

ai2 ă 4k2´4kn`n2`4 pn ´ kq “ n2´4 pk ´ 1q pn ´ kq ď n2,

trái với giả thiết

Ta có điều phải chứng minh

Hai cách giải trên khá quen thuộc với không ít học sinh khi gặp dạng

toán này Bây giờ, bằng cách xây dựng một bất biến và một đơn biến, ta

sẽ có được lời giải "lạ" cho bài toán trên

Giải (Cách 3) Ta cũng chứng minh bằng phương pháp phản chứng

Giả sử rằng ai ă 2, với mọi i “ 1, 2, , n

Ta xây dựng một thuật toán như sau:

Lần lượt cho i “ 1, 2, , n´1 Tại bước thứ i, ta thay a1piq, a2piq, , aipiqbởi 2, apiqi`1bởi

Với mỗi i, 0 ď i ď n ´ 1, kí hiệu apiqk , spiqn , tpiqn lần lượt là giá trị của ak,

sn, tn sau khi thực hiện thuật toán ở bước thứ i, với 1 ď k ď n, trong đóquy ước rằng ap0qk “ ak, sp0qn “ sn, tp0qn “ tn

Rõ ràng, với thuật toán này, dãy sni

(n´1 i“1 là dãy số mà các số hạngluôn bằng sn (bất biến)

Ngoài ra, với mọi i, 0 ď i ď n ´ 1, ta có:

Suy ra tpi`1qn ą tpiqn Do đó, dãy số tni

(n´1 i“1 tăng ngặt (đơn biến)

¯2

ď 22pn ´ 1q ` n2´ 4n ` 4 “ n2,

mâu thuẫn

Ta có điều phải chứng minh

Bài toán 2.9 ((IMO 2004)) Ta định nghĩa viên gạch hình lưỡi câu là viêngạch có hình dạng gồm 6 ô vuông đơn vị ghép lại, như hình vẽ dưới đây,hoặc hình nhận được sau khi thực hiện một số động tác lật viên gạch hoặcxoay viên gạch một góc nào đó