92 Ứng dụng hệ đếm nhị phân trong lĩnh vực toán học 12.1 Ứng dụng để giải các bài toán trên tập số nguyên.. Sau đó, do có ưu điểm tính toán đơn giản, dễ dàng thực hiệnvề mặt vật lý, chẳn
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THÁI NGUYÊN ĐỀ TÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ ĐẾM NHỊ PHÂN ĐỀ ÁN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Bình Định - 2023 0 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THÁI NGUYÊN ĐỀ TÀI MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ ĐẾM NHỊ PHÂN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 Người hướng dẫn 1: TS Trịnh Đào Chiến Người hướng dẫn 2: TS Mai Thành Tấn Bình Định - 2023 Mục lục Mục lục 0 Mở đầu 3 1 Kiến thức cơ bản về hệ đếm nhị phân 6 1.1 Hệ đếm thập phân 7 1.2 Hệ đếm cơ số bất kì 7 1.3 Hệ đếm nhị phân 8 1.4 Quy tắc đổi một số từ cơ số này sang cơ số khác 9 2 Ứng dụng hệ đếm nhị phân trong lĩnh vực toán học 1 2.1 Ứng dụng để giải các bài toán trên tập số nguyên 1 2.2 Ứng dụng để giải các bài toán Rời rạc 23 2.2.1 Dạng toán có yếu tố bất biến hoặc đơn biến 23 2.2.2 Dạng toán quy về tính toán nhị phân trên bảng ô vuông 40 2.2.3 Dạng toán liên quan đến dãy nhị phân 47 2.2.4 Một số dạng toán số học tổ hợp 50 3 Ứng dụng hệ đếm nhị phân trong một số lĩnh vực khoa học kỹ thuật 75 3.1 Ứng dụng trong máy tính điện tử 75 1 2 3.2 Ứng dụng trong điện báo 76 3.3 Ứng dụng trong hệ mã khóa công khai 80 Kết luận 82 Tài liệu tham khảo 83 Mở đầu 1 Lý do chọn đề tài Hệ nhị phân được nhà toán học cổ người Ấn Độ Pingala phác thảo từ Thế kỷ Thứ III trước Công Nguyên Hệ đếm nhị phân (hay hệ đếm cơ số 2) là một hệ đếm dùng hai ký tự để biểu đạt một giá trị số, bằng tổng số các lũy thừa của 2 Hai ký tự đó thường là 0 và 1 Ban đầu, chúng thường được dùng để biểu đạt hai giá trị hiệu điện thế tương ứng (có hiệu điện thế hoặc hiệu điện thế cao là 1 và không có hiệu điện thế hoặc hiệu điện thế thấp là 0) Sau đó, do có ưu điểm tính toán đơn giản, dễ dàng thực hiện về mặt vật lý, chẳng hạn như trên các mạch điện tử, nên hệ nhị phân trở thành một phần kiến tạo căn bản trong các máy tính đương thời, rồi dần dần mở rộng ra các ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật Hệ đếm nhị phân không chỉ là cơ sở xây dựng các tính toán trong máy tính, mà còn có nhiều ứng dụng trong truyền tin, mật mã và đặc biệt độc đáo nó còn là công cụ để giải nhiều bài toán khó trong chương trình Trung học phổ thông, đề thi chọn học sinh giỏi ở các nước và Olympic Toán quốc tế Do đó, nhu cầu có một đề án, nghiên cứu một cách cơ bản về ứng dụng hệ đếm nhị phân trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật nói chung và toán học nói riêng là cần thiết và đó cũng là mục tiêu và nội dung của đề án này 3 4 2 Mục tiêu nghiên cứu - Mục tiêu chung: Một số ứng dụng của hệ đếm nhị phân trong một số lĩnh vực khoa học kỹ thuật nói chung và toán học nói riêng - Mục tiêu cụ thể: Đối với lĩnh vực toán học, đề án đề cập đến một số ứng dụng của hệ đếm nhị phân để giải các bài toán trên tập số nguyên và các bài toán Rời rạc, trong đó có nhiều bài toán là đề thi chọn học sinh giỏi ở các nước và Olympic Toán quốc tế Đối với lĩnh vực khoa học kỹ thuật, đề án đề cập đến một số ứng dụng như: + Ứng dụng trong máy tính điện tử + Ứng dụng trong điện báo + Ứng dụng trong hệ mã khóa công khai 3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: + Hệ đếm nhị phân + Ứng dụng của hệ đếm nhị phân - Phạm vi nghiên cứu: + Hệ đếm nhị phân trong chương trình Toán phổ thông, hệ chuyên toán + Ứng dụng của hệ đếm nhị phân trong một số lĩnh vực khoa học kỹ thuật Đây là một lĩnh vực mà phạm vi hiểu biết của tác giả đồ án còn chưa sâu sắc lắm 5 4 Nội dung nhiên cứu của đồ án - Kiến thức cơ bản về hệ đếm nhị phân - Ứng dụng hệ đếm nhị phân trong một số lĩnh vực toán học - Ứng dụng hệ đếm nhị phân trong một số lĩnh vực khoa học kỹ thuật 5 Phương pháp nghiên cứu Trong khuôn khổ của một đề án tốt nghiệp Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp, phương pháp thực hiện đề án của học viên là sưu tầm và tổng hợp những kiến thức cơ bản nhất, từ một số tài liệu chuyên ngành và hoàn thành đề án dưới sự đồng hướng dẫn của hai Tiến sĩ, những người thầy hướng dẫn khoa học 6 Cấu trúc đề án Chương 1: Kiến thức cơ bản về hệ đếm nhị phân Chương 2: Ứng dụng hệ đếm nhị phân trong lĩnh vực toán học Chương 3: Ứng dụng hệ đếm nhị phân trong một số lĩnh vực khoa học kỹ thuật Từ đề tài có thể giúp người nghiên cứu và người đọc có cái nhìn tổng quan hơn về hệ nhị phân, ứng dụng của hệ nhị phân trong toán hoc và một số lĩnh vực khoa học kỹ thuật Chương 1 Kiến thức cơ bản về hệ đếm nhị phân Nội dung Chương này tham khảo trong [3] và [4] Cùng với việc phát minh ra các con số, con người tìm cách ghi lại chúng Cách ghi số hiện nay do người Hindu (Ấn Độ) phát minh vào Thế kỷ thứ VIII và Thế kỷ thứ IX Sau đó được người Ả Rập truyền sang Châu Âu Vì thế, sau này người ta thường gọi là chữ số Hindu - Ả Rập hay là chữ số Ả Rập Trước đó, có nhiều cách ghi số khác nhau như hệ ghi số Ai cập, hệ ghi số Babilon, hệ ghi số Maya, hệ ghi số La Mã Người Hindu (Ấn Độ) vào đầu Thế kỷ thứ IX đã dùng một hệ thống ghi số gồm mười kí hiệu (sau này gọi là mười chữ số) Cách ghi số này tỏ ra ưu việt hơn hẳn các cách ghi số trước đó Vì vậy, nó được truyền qua Ả Rập, sang Châu Âu và dần dần được cả thế giới thừa nhận Qua nhiều thế kỷ, các chữ số cũng dần dần thay đổi Cuối cùng, chúng có hình dáng như ngày nay Trường hợp tổng quát của hệ ghi số, là hệ ghi số g - phân Việc viết các số tự nhiên trong hệ g - phân có một ưu thế lớn là, ta dễ dàng so sánh các số và thực hiện các phép tính trên chúng Trong hệ ghi số g - phân, người ta hay dùng hệ ghi số 2 - phân (hệ nhị phân) trong công nghệ thông tin, vì nó chỉ dùng hai ký hiệu là 0 và 1, có thể tương ứng với hai trạng thái mở và đóng mạch điện Các số trong hệ nhị phân có thể biểu thị bằng một dãy bóng đèn sao cho, ứng với chữ số 1 là bóng đèn sáng, còn với chữ số 0 là bóng đèn tắt Hơn nữa, làm các phép tính trong hệ nhị phân khá dễ 6 7 dàng và có thể thực hiện một cách máy móc, do đó dễ chạy cho máy Hệ ghi số g - phân nói chung và hệ nhị phân nói riêng được đề cập nhiều và chi tiết trong các tài liệu Số học Chương này chỉ đề cập một số vấn đề cơ bản nhất, là kiến thức cơ sở cho các chương sau này, với mục đích là ứng dụng hệ đếm nhị phân giải các bài toán trong chương trình Trung học phổ thông 1.1 Hệ đếm thập phân Để có thể làm việc được với các số (cộng, trừ, nhân, chia, ), trước tiên ta cần phải biết gọi và viết chúng Hệ đếm là cách đặt tên và viết các số dưới dạng các ký tự (ký hiệu) Một hệ đếm thường sử dụng một số kí tự khác nhau để biểu thị các số Hệ đếm được dùng nhiều nhất là hệ cơ số 10 Điều này có nguyên nhân lịch sử, chứ không phải chỉ là lý do toán học: người cổ đại, khi bắt đầu biết đếm đã dùng 10 ngón tay trên hai bàn tay để đếm 1.2 Hệ đếm cơ số bất kì Ngoài hệ đếm cơ số 10, còn nhiều hệ đếm cơ số khác nữa Cho hai số tự nhiên a và k Khi ấy tồn tại duy nhất một biểu diễn của a dưới dạng đa thức của k : a “ ankn ` an´1kn´1 ` ` a1k ` a0 Trong đó, các hệ số ai thỏa mãn điều kiện 0 ď ai ď k ´ 1, i “ 0, 1, , n Điều này có thể dễ dàng chứng minh được Thậy vậy, chia a cho k ta tìm được duy nhất số b ă a và a0 sao cho a “ bk ` a0, trong đó: 0 ď ai ď k ´ 1, i “ 0, 1, , n Lại chia b cho k ta được b “ b1k ` a1, trong đó: 0 ď ai ď k ´ 1, b1 ă b Suy ra: a “ pb1k ` a1q k ` a0 “ b1k2 ` a1k ` a0 8 Tiếp tục chia b1 cho k, ta lại được b1 “ b2k ` a2, 0 ď a2 ď k ´ 1, b2 ă b1 Do đó a “ b1k2 ` a1k ` a0 “ pb2k ` a2qk2 ` a1k ` a0 “ b2k3 ` `a2k2 ` a1k ` a0 Tiếp tục quá trình này, cuối cùng ta có biểu diễn a “ ankn ` an´1kn´1 ` ` a1k ` a0, với 0 ď ai ď k ´ 1, i “ 0, 1, , n Giống như hệ cơ số 10, để biểu diễn một số a trong hệ cơ số k (gồm k kí tự), ta viết số đó dưới dạng đa thức của k a “ ankn ` an´1kn´1 ` ` a1k ` a0 Các hệ số ai, 0 ď ai ď k ´ 1, i “ 0, 1, , n được gọi là các chữ số của a, còn biểu diễn trên được gọi là biểu diễn của a trong hệ cơ số k Để chỉ rõ biểu diễn một số trong cơ số k, người ta thường để số đó trong ngoặc kèm theo chỉ số k ở dưới Trong nhiều trường hợp, người ta bỏ dấu ngoặc mà viết chỉ số k ở dưới số đó ở bên phải Ví dụ: 197510 “ 210 ` 29 ` 28 ` 27 ` 25 ` 24 ` 22 ` 21 ` 20 “ p11110110111q2, 197510 “ 3.54 ` 4.52 “ p30400q5, 202210 “ 210 ` 29 ` 28 ` 27 ` 26 ` 25 ` 22 ` 21 “ p11111100110q2, 202210 “ 3.83 ` 7.82 ` 4.81 ` 6.80` “ p3746q8 1.3 Hệ đếm nhị phân Trong thời đại thông tin, do nhu cầu tính toán trên máy tính, lại xuất hiện việc sử dụng những hệ cơ số mới: hệ đếm cơ số 2 (hệ nhị phân) và các