Khóa luận một số định lý điểm bất động đa trị kiểu feng liu

Lời cảm ơn Khóa luận hồn thành Khoa Tự Nhiên, Trường Đại học Hồng Đức, Thanh Hóa hướng dẫn Thầy Nguyễn Văn Lương Tôi xin chân thành bày tỏ biết ơn sâu sắc tới dạy thầy Tôi xin cảm ơn thầy cô giảng dạy cho cảm ơn bạn bè giúp đỡn chân tình người Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Hồng Đức giúp đỡ mặt thủ tục để hồn thiện khóa luận Thanh Hóa, tháng năm 2018 Nguyễn Thu Hà Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Một số kiến thức 1.1 Không gian metric 1.1.1 Định nghĩa ví dụ 1.1.2 Sự hội tụ tính liên tục 1.1.3 Tập không gian metric 1.1.4 Không gian đầy đủ 1.1.5 Khoảng cách Hausdorff 1.2 Một số định lý điểm bất động Một số định lý điểm bất động đa trị 2.1 Định lý điểm bất động Feng Liu ´ c 2.2 Định lý điểm bất động Ciri´ 2.3 Định lý điểm bất động Latif Luc 2.4 Định lý điểm bất động Luong Qin 4 7 10 10 13 19 21 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 29 Mở đầu Nguyên lý ánh xạ co đưa chứng minh Banach vào năm 1922 Đây kết quan trọng giải tích có ứng dụng nhiều lĩnh vực tốn học khoa học khác Do việc mở rộng kết nguyên lý ánh xạ co nhiều nhà toán học quan tâm Các kết mở rộng xem xét khía cạnh khác nhau, thường có hai hướng chính: mở rộng lớp ánh xạ mở rộng không gian Năm 1969, Nadler mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach cho lớp ánh xạ co đa trị không gian metric Sau đó, nhiều nhà tốn học mở rộng kết Nadler cho lớp rộng ánh xạ đa trị Một kết thú vị đưa Feng Liu năm 2006 Nhiều nhà tốn học sau mở rộng kết với cơng trình đăng tạp chí tốn học quốc tế uy tín Bởi đơn giản đẹp kết Feng Liu mở rộng nó, nên chúng tơi chọn đề tài: "Một số định lý điểm bất động đa trị kiểu Feng - Liu" nhằm tìm hiểu kết định lý mở rộng đồng thời có nhìn sâu với hi vọng đưa mở rộng định lý tương lai Ngồi phần mở đầu kết luận, khóa luận gồm hai chương Trong chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm kết giải tích hàm phát biểu số định lý điểm bất động không gian metric Trong chương hai, chúng tơi phát biểu trình bày chứng minh định lý điểm bất động Feng - Liu ba định lý mở rộng định lý Chương Một số kiến thức 1.1 Khơng gian metric Trong phần này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết giải tích hàm trích từ tài liệu [25] 1.1.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.1 Cho X tập khác rỗng Ánh xạ d : X × X → R gọi metric X thoả mãn điều kiện: (i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X d(x, y) = x = y (ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X (iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Khi đó, cặp (X, d) gọi khơng gian metric Nếu khơng có nhầm lẫn, ta dùng cụm từ "khơng gian metric X " thay dùng cụm từ "khơng gian metric (X, d)" Một số ví dụ khơng gian metric Ví dụ 1.1 Ánh xạ d : Rm × Rm → R, xác định bởi: d(x, y) = m X i=1 (xi − yi )2 ! 12 , x = (x1, · · · , xm), y = (y1 , · · · , ym ) ∈ Rm metric Rm , gọi metric thông thường Rm Ánh xạ d1 : Rm × Rm → R xác định d1 (x, y) = max |xi − yi |, x = (x1, · · · , xm), y = (y1, · · · , ym) ∈ Rm 1≤i≤m metric Rm Ví dụ 1.2 Giả sử X tập tất hàm liên tục f : [a, b] → R Khi d(f, g) = sup{|f (x) − g(x)| : x ∈ [a, b]}, f, g ∈ X, metric X Ví dụ 1.3 Giả sử X tập khác rỗng, xét ánh xạ d : X × X → R xác định d(x, y) = x = y d(x, y) = x 6= y Khi d metric gọi metric rời rạc 1.1.2 Sự hội tụ tính liên tục Định nghĩa 1.2 Cho (X, d) không gian metric Dãy số {xn} X gọi hội tụ tới x ∈ X với ε > 0, tồn N ∈ N cho d(xn, a) < ε với n ≥ N Ta kí hiệu xn → a lim xn = a n→∞ Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 1.1 Dãy số {xn} không gian metric (X, d) hội tụ tới a ∈ X limn→∞ d(xn, a) = Mệnh đề 1.2 Giới hạn dãy số tồn Mệnh đề 1.3 Dãy số {xn} không gian metric (X, d) hội tụ tới a ∈ X dãy {xn } hội tụ tới a Định nghĩa 1.3 Giả sử (X, dX ) (Y, dY ) hai không gian metric Ánh xạ f : X → Y gọi liên tục a ∈ X với ε > 0, tồn δ > cho dY (f (x), f (a)) < ε với x thoả mãn dX (x, a) < δ f gọi liên tục f liên tục a ∈ X Mệnh đề 1.4 Cho f : X → Y ánh xạ hai khơng gian metric Khi đó, f liên tục a ∈ X với dãy {xn} X hội tụ tới a dãy số {f (xn)} hội tụ tới f (a) Định nghĩa 1.4 Cho f ánh xạ từ không gian metric X vào R Khi f gọi nửa liên tục a ∈ X lim inf f (x) ≥ f (a) x→a 1.1.3 Tập không gian metric Định nghĩa 1.5 Cho a điểm không gian metric (X, d) r > Hình cầu mở tâm a bán kính r tập B(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) < r} Hình cầu đóng tâm a bán kính r tập ¯ r) = {x ∈ X : d(x, a) ≤ r} B(a, Cho A tập X x ∈ X Khi (i) Nếu tồn hình cầu mở tâm x nằm A x gọi điểm A (ii) Nếu tồn hình cầu tâm x nằm phần bù A x gọi điểm ngồi A (iii) Nếu hình cầu tâm x có giao khác rỗng với A phần bù A x gọi điểm biên A Định nghĩa 1.6 Một tập A không gian metric X gọi mở A khơng chứa điểm biên nào, A gọi đóng chứa điểm biên Ta kí hiệu C(X) tập hợp tất tập đóng khác rỗng X Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 1.5 Giả sử tập A khơng gian metric X đóng Khi đó, {xn } ⊂ A hội tụ tới a a ∈ A Định nghĩa 1.7 Tập A không gian metric (X, d) gọi bị chặn với b ∈ X , tồn M > cho d(a, b) ≤ M với a ∈ A Ta kí hiệu CB(X) tập tất tập đóng, bị chặn khác rỗng X Định nghĩa 1.8 Tập A không gian metric X gọi compact dãy số A có dãy hội tụ A Ta kí hiệu K(X) tập tất tập compact khác rỗng X Mệnh đề 1.6 Mọi tập compact đóng bị chặn 1.1.4 Không gian đầy đủ Định nghĩa 1.9 Dãy số {xn } không gian metric (X, d) gọi dãy Cauchy với ε > 0, tồn N ∈ N cho d(xn, xm) < ε với n, m ≥ N Ta có phát biểu tương đương sau, dãy {xn} dãy Cauchy lim d(xn, xm) = n,m→∞ Mệnh đề 1.7 Mọi dãy hội tụ dãy Cauchy Định nghĩa 1.10 Không gian metric (X, d) gọi đầy đủ dãy Cauchy hội tụ Ví dụ 1.4 Không gian Rn với metric thông thường đầy đủ Q không đầy đủ với metric thông thường 1.1.5 Khoảng cách Hausdorff Cho (X, d) không gian metric A tập X , x ∈ X Khi khoảng cách từ x tới A, kí hiệu d(x, A), xác định d(x, A) = inf{d(x, a) : a ∈ A} Cho A, B ∈ CB(X), khoảng cách Hausdorff hai tập A B , kí hiệu H(A, B), xác định H(A, B) = max{sup d(x, B), sup d(y, A)} x∈A 1.2 y∈B Một số định lý điểm bất động Trong phần này, chúng tơi trình bày tóm tắt lại số định lý định lý điểm bất động quan trọng liên quan tới nội dung mà chúng tơi trình bày chương sau Một định lý điểm bất động quan trọng với nhiều áp dụng nhiều lĩnh vực toán nguyên lý ánh xạ co Banach Định nghĩa 1.11 Phần tử x ∈ X gọi điểm bất động ánh xạ T : X → X x = T (x) Từ lúc trở đi, để đơn giản, T x viết thay cho T (x) Định nghĩa 1.12 Cho (X, d) không gian metric T : X → X ánh xạ từ X X T gọi ánh xạ co tồn k ∈ [0, 1) cho d(T x, T y) ≤ kd(x, y), ∀x, y ∈ X Nguyên lý ánh xạ co Banach phát biểu sau Định lý 1.1 (Nguyên lý ánh xạ co) Mọi ánh xạ co không gian metric đầy đủ có điểm bất động Bởi quan trọng nguyên lý ánh xạ co, nên có nhiều nhà tốn học mở rộng nguyên lý cách mở rộng không gian mở rộng cho lớp ánh xạ Một mở rộng quan trọng nguyên lý ánh xạ co thuộc Nadler Nadler mở rộng nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị vào năm 1969 Định nghĩa 1.13 Phần tử x ∈ X gọi điểm bất động ánh xạ đa trị T : X → 2X x ∈ T x Định nghĩa 1.14 Cho (X, d) không gian metric T : X → CB(X) ánh xạ đa trị T gọi ánh xạ co (đa trị) tồn L ∈ [0, 1) cho H(T x, T y) ≤ Ld(x, y), ∀x, y ∈ X Kết điểm bất động Nadler cho ánh xạ co đa trị phát biểu sau Định lý 1.2 ([20]) Mọi ánh xạ co đa trị khơng gian metric đầy đủ có điểm bất động Kết Nadler sau mở rộng nhiều nhà toán học (xem [1, 2, 3, 4, 6, 5, 7, 8, 10, 11, 15, 18, 19, 21, 22, 23] tài liệu trích dẫn đó) Một số kết thú vị Feng Liu [11] Kết phát biểu mà không sử dụng khoảng cách Hausdorff Định lý 1.3 ([11]) Cho (X, d) không gian metric đầy đủ T : X → C(X) ánh xạ đa trị Nếu tồn số b, c ∈ (0, 1), c < b, cho với x ∈ X tồn y ∈ T x thoả mãn điều kiện: bd(x, y) ≤ d(x, T x) (1.1) d(y, T y) ≤ cd(x, y), (1.2) tồn z ∈ X cho z ∈ T z hàm số f (x) = d(x, T x) nửa liên tục Kết thú vị mở rộng nhiều nhà toán học khác (xem [3, 6, 7, 8, 10, 15, 18] tài liệu trích dẫn đó) Trong phần nội dung khố luận này, chúng tơi trình bày định lý điểm bất động Feng Liu số định lý điểm bất động, gần cho ánh xạ đa trị, mở rộng kết Feng Liu Cụ thể, định lý đưa ´ c, Latif Luc, Luong Qin phát biểu chứng Ciri´ minh Các ví dụ hỗ trợ dduwwocj trình bày Chương Một số định lý điểm bất động đa trị Trong chương này, chúng tơi trình bày số định lý điểm bất động đa trị kiểu Feng - Liu Chính xác hơn, chúng tơi trình bày chứng minh định lý điểm bất động Feng Liu số định lý mở rộng kết Feng - Liu Sau định lý, chúng tơi trình bày ví dụ hỗ trợ 2.1 Định lý điểm bất động Feng Liu Cho T : X → 2X ánh xạ đa trị Hàm f : X → R xác định f (x) := d(x, T (x)) Với số dương b, (b ∈ (0, 1)), tập Ibx xác định bởi: Ibx = {y ∈ T (x) : bd(x, y) ≤ d(x, T (x))} Kết Feng Liu, trình bày Chương 1, phát biểu lại sau Định lý 2.1 ([11]) Cho (X, d) không gian metric đầy đủ, T : X → C(X) ánh xạ đa trị Giả sử tồn số b, c ∈ (0, 1) cho với x ∈ X , tồn y ∈ Ibx thỏa mãn d(y, T (y)) ≤ cd(x, y), T có điểm bất động c, b f hàm nửa liên tục Chứng minh Vì T (x) ∈ C(X) với x ∈ X, Ibx 6= với b ∈ (0, 1) Khi đó, với x0 ∈ X tồn x1 ∈ Ibx0 cho d(x1, T (x1)) ≤ c.d(x0, x1), 10 Sử dụng (2.16) bất đẳng thức tam giác, ta có với m > n ≥ n0 m−1 X m−1 X n−n0 d(xn, xm) ≤ d(xk , xk+1) ≤ √ d(xn0 , T xn0 ) q a k=n k=n q n−n0 d(xn0 , T xn0 ) ≤ √ a1 − q Vì q < nên ta suy {xn} dãy cauchy Vì X không gian đầy đủ nên tồn z ∈ X such that xn → z n → ∞ Ta chứng minh z điểm bất động T Vì f (x) = d(x, T x) hàm nửa liên tục nên ≤ d(z, T z) = f (z) ≤ lim inf f (xn) = n→∞ Do d(z, T z) = Vì T z tập đóng nên suy z ∈ T z Ví dụ 2.3 Xét X = [0, 1], d : X × X → [0, ∞) metric thơng thường T : X → C(X) xác định bởi:  15 { x }, x ∈ [0, 32 ) ∪ ( 15 32 , 1] T (x) = 15 17 x = 32 { 96 , }, ϕ : [0, ∞) → [0, 1) xác định bởi:  23  , 12 t , max 12 ϕ(t) = 23 24 , t ∈ [0, 21 ] t ∈ ( 12 , ∞) Đầu tiên, ta T thỏa mãn tất giả thiết định lý 2.2 Dễ thấy hàm số  15 15 x − 12 x2, x ∈ [0, 32 ) ∪ ( 32 , 1] f (x) = d(x, T (x)) = 15 x = 32 32 , nửa liên tục 15 ) ∪ ( 15 Hơn thế, x ∈ [0, 32 32 , 1] ta có y ∈ T (x) = { x } Do đó, d(x, y) = d(x, T (x)) = x − x2 Mặt khác 1 1 d(y, T (y)) = | x2 − x4| = (x2 − ( x2)2) 2 2 = (x + x )(x − x ) 2 2 = (x + x )d(x, y) 2 1 23 ≤ max{ , (x − x2)}d(x, y) = ϕ(d(x, y).d(x, y)) 12 12 17 Do đó, với x ∈ [0, 1]; x 6= 15 , y ∈ T (x) thỏa mãn (2.2) (2.3) định 32 lý 2.2 17 15 Khi T (x) = { 17 , } d(x, T (x)) = 32 Chọn y = 96 ∈ Xét x = 32 96 T (x) Khi d(x, y) = 24 ta có s   q 7 ϕ(d(x, y))d(x, y) = ϕ 24 24 r 23 7 < = d(x, T (x)) = 12 24 24 32 17 172 d(y, T (y)) = d , 96 962   17 11 96 12   23 17 17 = ϕ(d(x, y)).d(x, y) < 12 24 24 < 17 Vậy với x = 15 23 y = 96 thỏa mãn (2.2) (2.3) Vậy T thỏa mãn điều kiện định lý 2.2 điểm bất động T Tuy nhiên ta áp dụng định lý Feng - Liu cho ví dụ Đầu tiên ta không tồn b ∈ (0, 1) c < b cho ánh xạ T thỏa mãn giả thiết định lý 2.1 Xét b ∈ (0, 43 ] Với x = ta có: T (x) = { 12 }; T (y) = { 81 }; d(x, y) = 21 ; d(y, T (y)) = 83 Do đó, 3 d(y, T (y)) = = d(x, y)  ϕ(d(x, y))d(x, y) 4 Vậy với b ∈ (0, 34 ] khơng thỏa mãn bất dẳng thức (1.2) định lý 2.1 Bây xét b ∈ ( 34 , 1) Ta với x = 15 32 khơng tồn 17 y ∈ T (x) = { 96 , } thỏa mãn bất đẳng thức (1.1) (1.2) Ta xét trường hợp y = 17 96 Khi ta có, d(x, y) = 7 ; d(x, T (x)) = , b > d(x, y) = ; d(y, T (y)) = 24 32 7 = d(x, T (x)) bd(x, y)  d(x, y) = = 4 24 32 Do với y = 17 96 khơng thỏa mãn bất dẳng thức (1.1) 18 Xét y = ∈ T (x) Khi đó, T (y) = { 7 }; d(x, y) = d(x, T (x)) = ; d(y, T (y)) = 32 32 32 Ta có, d(y, T (y)) = d(x, y)  cd(x, y) Vậy với y = 41 không thỏa mãn bất đẳng thức (1.2) Vậy khơng có b ∈ (0, 1) c < b cho ánh xạ T thỏa mãn bất đẳng thức (1.1),(1.2) định lý Feng - Liu 2.3 Định lý điểm bất động Latif Luc Kết Latif Luc phát biểu sau: Định lý 2.3 ([16]) Cho (X, d) không gian metric đầy đủ T : X → C(X) Giả sử (i) hàm số d(x, T x) hàm nửa liên tục X ; (ii) tồn hàm giá trị dương φ ψ [0, ∞) cho lim sup s→t+ φ(s) < với t ≥ 0, lim inf ψ(s) > 0, s→0 ψ(s) với x ∈ X tồn y ∈ X cho d(y, T y) ≤ φ(d(x, T x))d(x, y) ≤ ψ(d(x, T x))d(x, y) ≤ d(x, T x) (2.17) Khi đó, tồn z ∈ X cho z ∈ T z Chứng minh Ta xây dựng dãy Cauchy {xn} cho dãy số {d(xn, T xn)} hội tụ Điều kết thúc chứng minh định lý giới hạn x ¯ dãy {xn} thoả mãn d(¯ x, T x¯) ≤ lim d(xn, T xn) = 0, (2.18) n→∞ x ¯ ∈ T x¯ T x¯ tập đóng Lấy x0 ∈ X Nếu x0 ∈ T x0 chứng minh kết thúc Nếu x0 6∈ T x0 ta chọn x1 ∈ X cho d(x1, T x1) ≤ φ(d(x0, T x0))d(x0, x1) ≤ ψ(d(x0, T x0))d(x0, x1) ≤ d(x0, T x0) 19 (2.19) Tương tự, xuất phát từ x1 , ta chọn x2 thoả mãn bất đẳng thức (2.17) tiếp tục trình ta điểm bất động T dãy {xn} cho xn 6∈ T xn d(xn+1, T xn+1) ≤ φ(d(xn, T xn))d(xn, xn+1) ≤ ψ(d(xn, T xn))d(xn, xn+1) ≤ d(xn, T xn), (2.20) với n ≥ Ta thấy φ(d(xn, T xn)) > Thật vậy, giả sử ngược lại, từ (2.20) ta có điều mâu thuẫn: xn+1 ∈ T xn+1 Vậy ψ(d(xn, T xn)) > Từ đó, ta có d(xn+1, T xn+1) ≤ φ(d(xn, T xn)) d(xn, T xn) ψ(d(xn, T xn)) (2.21) Theo (2.20 dãy số {d(xn, T xn)} dãy giảm, khơng âm hội tụ số thực δ ≥ Ta khẳng đinhm δ = Thật vậy, giả sử ngược lại, lấy giới hạn hai vế (2.21) sử dụng (ii), ta có δ ≤ δ lim sup n→∞ φ(d(xn, T xn)) < δ ψ(d(xn, T xn)) Điều không thể, δ = Từ (2.20) suy lim d(xn, xn+1) = n→∞ (2.22) Ta chứng minh {xn} dãy Cauchy Thật vậy, theo (ii), tồn q ∈ (0, 1) , α > N ≥ cho φ(d(xn, T xn)) ≤ q, ψ(d(xn, T xn)) ≥ α, ∀n ≥ N ψ(d(xn, T xn)) (2.23) Kết hợp với (2.20) ta có d(xn, xn+m) ≤ d(xn, xn+1) + · · · + d(xn+m−1, xn+m) ≤ (d(xn, T xn) + · · · + d(xn+m−1, T xn+m−1)) α
≤ d(xn, T xn) + q + · · · + q m−1 α − qm ≤ d(xn, T xn), α(1 − q) với n ≥ N, m ≥ Vì dãy số {d(xn, T xn)} hội tụ ) n tiến tới ∞, nên dãy {xn } dãy Cauchy hội tụ Định lý chứng minh 20 ´ c Thật Nhận xét 2.2 Kết Latif Luc mở rộng kết quảp Ciri´ vậy, định lý Latif Luc, ta cho ψ(t) = φ(t), ta ´ c thu kết Ciri´ Ta đưa ví dụ, đó, ta áp dụng định lý ´ c Latif Lục không áp dụng định lý Ciri´ Ví dụ 2.4 Xét X = [0, ∞) d metric thông thường Xét T : X → C(X) xác định T x = [2x, 3x] với x ∈ X Khi x = điểm ´ c trường hợp bất động T Ta áp dụng định lý Ciri´ Thật vậy, với x > 0, y ∈ T x d(x, y) ≤ 2x d(y, T y) ≥ 2x Do với hàm ϕ định lý 2.2, bất đẳng thức (2.3) không thỏa mãn Tuy nhiên, với x ∈ X , ta chọn y = để bất đẳng thức 2.17 thỏa mãn với φ(t) = a ψ = b thỏa mãn < a < b < 2.4 Định lý điểm bất động Luong Qin Kí hiệu Θ tập tát hàm số θ : [0, ∞) → [0, 1] thoả mãn lim sup θ(s) < 1, for each t ∈ [0, ∞) s→t+ Cho f : X → [0, ∞) hàm số Kí hiệu K(f ) tập tất hàm số κ : X → [0, ∞) thoả mãn: với dãy số {xn} ⊂ X , dãy số {κ(xn)} bị chặn limn→∞ f (xn) = Kí hiệu L(f ) tập tất hàm số ℓ : X → R thoả mãn: với dãy số {xn} ⊂ X , dãy số {ℓ(xn)} bị chặn số thực dương limn→∞ f (xn) = Kết Luong va Qin phát biểu sau Định lý 2.4 [17] Cho (X, d) không gian metric đầy đủ T : X → C(X) ánh xạ đa trị Xét hàm số f : X → [0, ∞) xác định f (x) := d(x, T x) với x ∈ X Giả sử (a) f nửa liên tục X ; (b) tồn θ ∈ Θ, κ ∈ K(f ) ℓ ∈ L(f ) cho với x ∈ X tồn y ∈ X cho f (y) ≤ θ(f (x))f (x), (2.24) d(x, y) ≤ κ(x)[f (x)]ℓ(x) 21 (2.25) Khi Fix(T ) 6= ∅ Chứng minh Lấy x0 ∈ X Sử dụng giả thiết ta xây dựng dãy {xn} ⊂ X thoả mãn điều kiện sau cho n ∈ N, f (xn+1) ≤ θ(f (xn))f (xn), (2.26) d(xn, xn+1) ≤ κ(xn)[f (xn)]ℓ(xn) (2.27) Vì θ(t) ∈ [0, 1] với t ∈ [0, ∞), từ (2.27) ta có f (xn+1) ≤ f (xn), for all n, tức dãy số {f (xn)} dãy giảm số thực khơng âm Do tồn α ≥ cho lim f (xn) = α n→∞ Ta khẳng định α = Giả sử ngược lại α > Lấy giới hạn hai vế (2.26), ta điều mâu thuẫn α ≤ lim sup θ(f (xn))α < α f (xn )→α+ Vậy α = 0, tức là, lim f (xn) = n→∞ Do theo giả thiết tồn M1 > M2 > cho κ(xn) ≤ M1 ℓ(xn) ≥ M2 với n ∈ N Đặt β = lim sup θ(f (xn)) n→∞ Thì β < Lấy γ ∈ (β, 1) Khi tồn n0 ∈ N cho θ(f (xn)) < γ f (xn) < với n ≥ n0 Từ (2.26), ta có f (xn+1) < γf (xn), for all n ≥ n0 Do đó, quy nạp, ta f (xn) < γ n−n0 f (xn0 ), for all n > n0 Từ bất đẳng thức cuối (2.27), ta có, với n > n0 , d(xn, xn+1) ≤ M1[f (xn)]ℓ(xn ) ≤ M1 [f (xn)]M2 < M1[γ n−n0 f (xn0 )]M2 = M1 γ M2(n−n0 ) [f (xn0 )]M2 (2.28) 22 Vì γ ∈ [0, 1), từ (2.28) suy {xn} dãy Cauchy Vì X khơng gian đầy đủ, nên tồn z ∈ X cho limn→∞ xn = z Vì f hàm nửa liên tục dưới, ta có ≤ d(z, T z) = f (z) ≤ lim inf f (xn) = n→∞ Do d(z, T z) = Vì T z tập đóng nên z ∈ T z Định lý chứng minh Ta thấy Định lý 2.4 mở rộng Định lý 2.3 Thật vậy, ta chứng minh T : X → C(X) thoả mãn tất điều kiện Định lý 2.3, T thoả mãn tát điều kiện Định lý 2.4 Giả sử φ, ψ định lý 2.3 T thoả mãn tất điều kiện Định lý 2.3 Xét hàm số với s ∈ [0, ∞), ( ψ(s) = 0, θ(s) = φ(s) ψ(s) = ψ(s) với x ∈ X , κ(x) =  ψ(d(x,T x)) và, với x ∈ X , ψ(d(x, T x)) = 0, ψ(d(x, T x)) = ℓ(x) = Khi θ ∈ Θ, κ ∈ K(f ) ℓ ∈ L(f ).Xét (2.17) Định lý 2.3 Nếu φ(d(x, T x)) 6= ψ(d(x, T x)) 6= 0, từ (2.17) ta có d(y, T y) ≤ φ(d(x, T x)) d(x, T x), ψ(d(x, T x)) tức là, d(y, T y) ≤ θ(d(x, T x))d(x, T x), d(x, y) ≤ (2.29) d(x, T x), ψ(d(x, T x)) tức là, d(x, y) ≤ κ(x)[d(x, T x)]ℓ(x) 23 (2.30) Ta thấy φ(d(x, T x)) = ψ(d(x, T x)) = 0, (2.29) (2.30) cịn Do T thoả mãn tất điều kiện Định lý 2.4 Vì vậy, Định lý 2.4 mở rộng Định lý 2.3 Ta có hệ Định lý 2.4 Hệ 2.2 Cho (X, d) không gian metric đầy đủ T : X → C(X) Xét hàm số f : X → [0, ∞) xác định f (x) := d(x, T x) với x ∈ X Giả sử (a) f hàm nửa liên tục dưới; (b) tồn a ∈ [0, 1), b > ℓ > cho với x ∈ X tồn y ∈ X thoả mãn d(y, T y) ≤ ad(x, T x), (2.31) d(x, y) ≤ b[d(x, T x)]ℓ (2.32) Thì T có điểm bất động X Ví dụ sau Định lý 2.4 mở rộng thực định lý Luc Latif  Ví dụ 2.5 Xét X = n12 : n = 1, 2, 3, · · · ∪ {0} với metric thông thường d(x, y) = |x − y|, ∀x, y ∈ X Xét ánh xạ đa trị T : X → C(X) xác định bởi: ( {x} o x ∈ {0, 1}, n Tx = x = n12 , n = 1, 2, 3, · · · 0, (n+1) 2, Khi (X, d) khơng gian metric đầy đủ ta có  x ∈ {0, 1}, d(x, T x) = 2n+1 x = n12 , n = 1, 2, 3, · · · n2 (n+1)2 Do x → f (x) = d(x, T x) hàm số nửa liên tục Ta điều kiện (ii) Định lý 2.3 không thoả mãn Giả sử ngược lại tồn hàm với giá trị dương φ ψ [0, ∞) cho lim sup s→t+ φ(s) < với t ≥ 0, lim inf ψ(s) > 0, s→0 ψ(s) 24 với x = n2 n ≥ tồn y ∈ X cho d(y, T y) ≤ φ(d(x, T x))d(x, y) ≤ ψ(d(x, T x))d(x, y) ≤ d(x, T x) (2.33) Xét trường hợp sau Trường hợp y = viết lại sau m2 với m ≥ m phụ thuộc vào n Thì (2.33)   2n + 2m + |m − n2| ≤ φ m2 (m + 1)2 n2 (n + 1)2 m2 n2   2n + |m − n2| 2n + ≤ (2.34) ≤ ψ 2 2 n (n + 1) mn n (n + 1)2 Vì lim inf s→0 ψ(s) > 0, ta giả sử   2n + > 0, với n ≥ ψ n2(n + 1)2 Ta có trường hợp nhỏ sau: n (i) limn→∞ m = Theo (2.34) ta có   2n + n − ≤ 2n + ψ