I HC THãI NGUYN TRìNG I HC KHOA HC L Ѵ‹П MIПҺ K̟ҺỈПǤ ǤIAП M–TГIເ ПÂП Ѵ€ MËT SÈ ÀПҺ LÞ IšM Ь‡T ËПǤ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺuɣ¶п пǥ пҺ: T0¡п dử M số: 60.46.01.12 LU T S T0ã TãI U - 2017 I HC THãI NGUYN TRìNG „I HÅC KHOA HÅC L– Ѵ‹П MIПҺ K̟ҺỈПǤ ǤIAП M–TГIເ ПÂП Ѵ€ MËT SÈ ÀПҺ LÞ IšM Ь‡T ËПǤ ên n y ê ăn ệp u uy v ເҺuɣ¶п пǥngпҺ: hii ngngận T0¡п ὺпǥ i u t th há ĩ, ĩl tđốh h tc cs s60.46.01.12 dưпǥ M¢ănsè: n đth hạ v ă ăn t ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu LUŠП Ѵ‹П T S T0ã ữi ữợ dă k0a ồ: S.TS T ì TãI U - 2017 Mử lử Mé †U 1 K̟Һỉпǥ ǥiaп m¶ƚгiເ пâп 1.1 Mð ¦u ѵ· k̟Һỉпǥ ǥiaп m¶ƚгiເ пâп 1.1.1 Пâп ƚг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ 1.1.2 K̟Һỉпǥ ǥiaп m¶ƚгiເ пâп 1.2 Mở số ẵ Đ Ã kổn n m¶ƚгiເ пâп ê n p y yê ă iệngugun v h ậ n 1.2.1 Sü Һëi ƚư ƚг0пǥ tkn̟ hgҺỉпǥ ǥiaп m¶ƚгiເ пâп i lu t há ĩ, tđốh h tc cs s n h vnÔ n t th ເ0 ЬaпaເҺ 14 1.2.2 Пǥuɣ¶п l½ ¡пҺ ậnn v v anan luluậ ậnn nv v lulu lu lỵ im Đ k̟Һỉпǥ ǥiaп m¶ƚгiເ пâп 19 2.1 Mëƚ sè mð гëпǥ ừa uả lỵ Ă Ô 19 2.1.1 uả lỵ Ă Ô Êi iá 19 2.1.2 Mở số dÔ m kĂ 22 2.2 iºm ь§ƚ ëпǥ ເ°ρ ເõa Ă Ô 31 2.2.1 M Ưu ѵ· iºm ь§ƚ ëпǥ ເ°ρ 31 2.2.2 Tữ ủ kổ ia mải õ Ư 32 Ká luê 40 T i liằu am kÊ0 41 Mé U Ă lỵ im Đ l mở Đ Ã iả u kĂ Ê uả 0Ă iÊi ẵ 0Ă dử ữủ - Ưu ợi Ă ổ ẳ ừa 0we, aa, Đ Ã iả u à im Đ ừa Ă Ă Ô , a Ă kổ ia k̟Һ¡ເ пҺau пǥ ɣ ເ пǥ ƚҺu Һόƚ ÷đເ пҺi·u 0Ă i ữợ qua Ơm iả u õ iÃu dử Ă lắ ѵüເ k̟Һ¡ເ пҺau ເõa ƚ0¡п Һåເ: ƚ0¡п ƚèi ÷u, ເ¡ເ i 0Ă ki Ta - lÔi ơ, ợi l mở kổ ia mải Ư ừ, f l mở Ă Ô 0, uả lỵ Ă Ô aa i  a f õ du Đ mëƚ iºm ь§ƚ ëпǥ Ѵ· sau ເâ г§ƚ пҺi·u пҺ 0Ă Â qua Ơm iả u, em lÔi lỵ Ă lợ kổ ia kĂ au n yờyờnn  iợi iằu mở lợ kổ ôm 2007, Ǥuaпǥ ѵ ZҺaпǥhiệnp([3]) ̟ gugun v gái i nluậ n t th há ĩ, ǥiaп mỵi, ເ¡ເ ƚ¡ເ ǥi£ ǥåi l k̟Һỉпǥ tđốh h tc cs sĩ ǥiaп m¶ƚгiເ пâп, ƚг0пǥ â ເ¡ເ ƚ¡ເ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ ǥi£ ¢ ƚҺaɣ ê số ỹ 0lululu ắa mải i mở kổ ia n vv n n lulu aa m ả õ  ắa mở qua ằ ỹ ê dỹa ả mở õ ữợ T0 ổ ẳ Ă Ă iÊ Â mi ữủ mở số ẵ Đ ữ ỹ à mải ả mải õ, iằ l mi lÔi uả lỵ Ă Ô aa lợ kổ ia mải õ Ư à sau, ເâ пҺi·u ƚ¡ເ ǥi£ k̟Һ¡ເ ƚi¸ρ ƚưເ ρҺ¡ƚ ƚгiºп ເ¡ເ ẵ Đ ừa kổ ia mải õ Ă lỵ à im Đ ia Ă kổ ia Mử ẵ ừa à i l iợi iằu lÔi mở số ká quÊ iả u ừa Ă Ă iÊ i ia Ư Ơ à kổ ia mải õ mở số lỵ à im Đ ở, Đ ừa Ă Ă Ô ia Ă kổ ia Ă kĂi iằm ká quÊ ẳ luê ô ữủ iá dỹa ả Ă ь i ь¡0 [3], [5], [1], [4], [2] ѵ [6] i Ư m Ưu, Ư ká luê, luê ô ỗm ữ ữ M Ưu à kổ ia mei õ ổi ẳ mở số Đ · ເὶ ь£п ѵ· пâп, k̟Һỉпǥ ǥiaп m¶ƚгiເ пâп ѵ ẵ Đ ừa lợ kổ ia i a ổi iợi iằu uả lỵ Ă Ô aa Ă Ô ia Ă kổ ia mei õ ữủ ເҺὺпǥ miпҺ ьði Ǥuaпǥ ѵ ZҺaпǥ п«m 2007 Tг0пǥ ữ lỵ im Đ kổ ia meƚгiເ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu пâп, ເҺόпǥ ƚỉi ǥiỵi ƚҺi»u mëƚ số ká quÊ Ã lỵ im Đ im Đ ia Ă kổ ia mải õ ÷ñເ ເ¡ເ ƚ¡ເ ǥi£ Ǥuaпǥ, ZҺaпǥ, Гezaρ0uг, Һamlьaгaпi, F SaьeƚǥҺadam, Һ Ρ MasiҺa ѵ A Һ Saпaƚρ0uг ເҺὺпǥ miпҺ ƚг0пǥ i ia Ư Ơ Luê ô ữủ Ôi Tữ Ôi K0a Ôi TĂi uả Dữợi sỹ ữợ dă, Ê0 ê ẳ ừa Ư iĂ0 S TS TƯ ữ TĂ iÊ i ọ lỏ iá sƠu s- ợi Ư TĂ iÊ i Ơ Êm a iĂm iằu, K0a T0Ă-Ti Tữ Ôi K0a ồ, Ôi TĂi uả  qua Ơm i ù Ă iÊ suố i ia ê Ôi Tữ Ơ d em ụ i ữủ ỷi li Êm Ơ ợi ia ẳ, Ô ¢ lп ь¶п em, ເê ѵơ, ëпǥ ѵi¶п, ǥiόρ ï em suố quĂ ẳ ê ỹ iằ k̟Һâa luªп ƚèƚ пǥҺi»ρ n yêyêvnăn p u ệ u hi ngngn Ê luê ô kổ Ă nhgỏiỏi, lukọi iáu sõ, Ă iÊ Đ t t h th t s s n hhcc m0 ê ữủ sỹ Ê0nê ừa Ă Ư ổ Ô ỗ vvăănănn tƚ¼пҺ th ậ va n luluậnậnn nv va пǥҺi»ρ lulu lu TĂi uả, Ă ôm 2017 TĂ iÊ luê ô Lả ô Mi ữ Kổ ia mải õ 1.1 M Ưu à kổ ia mải õ 1.1.1 õ kổ ia aa T0 luê ô a luổ iÊ iá E l kổ ǥiaп ЬaпaເҺ n yêyêvnăn p u ệ u hi ngngận ƚҺüເ nhgáiáiĩ, lu t ố t th s ĩ s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu àпҺ пǥҺ¾a 1.1 Mở ê lỗi E ữủ ồi l mở õ E áu õ ọa m à i·u k̟i»п sau: Ρ âпǥ, Ρ ƒ= {∅}, Ρ ƒ= {0} ; Ѵỵi måi a, ь ∈ Г, a, ь “ 0, х, ɣ ∈ Ρ ƚҺ¼ aх + ьɣ ∈ Ρ ; П¸u х ∈ Ρ ẳ = Ơ i ƚa хem х²ƚ k̟Һ¡i пi»m quaп Һ» ƚҺὺ ƚü ƚг¶п kổ ia aa E liả qua õ ⊂ E l mëƚ пâп Ta àпҺ пǥҺ¾a quaп Һ» ỹ ê ả E ữ sau: х ™ ɣ п¸u ѵ ເҺ¿ п¸u ɣ − х ∈ Ρ ; х < ɣ п¸u х ™ ɣ ѵ х ƒ= ɣ; х ɣ п¸u ɣ − х ∈ iпƚΡ, ƚг0пǥ â iпƚΡ l k̟½ Һi»u Ư ừa õ T0 luê ô a luổ iÊ iá õ õ Ư i ƒ= ∅ M»пҺ · 1.1 Tø k̟Һ¡i пi»m a d su a: áu ẳ < áu , a ẳ a a ắa 1.2 õ ữủ ồi l : õ uâ - áu ỗ Ôi mở số K > 0ọa mÂ: i·u k̟i»п ™ х ™ ɣ k̟²0 ƚҺe0 ǁхǁ K , ợi mồi , E số K > ọ Đ ọa m iÃu kiằ ữủ ồi l số uâ - õ miiedal áu su(, ) ỗ Ôi ợi mồi , E õ miiedal mÔ áu mồi ê ả ừa E Ãu õ ê ả όпǥ Пâп °ເ п¸u iпƚΡ ƒ= ∅ Пâп siпҺ п¸u E = Ρ − Ρ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu õ ẵ qu áu mồi d ô ả Ãu ởi ắa láu{, 1} l d ƚҺäa m¢п х1 ™ х2 ™ · · · ™ ợi E ẳ ỗ Ôi E ƚҺäa m¢п lim ǁхп − хǁ = п−→∞ M»пҺ · 1.2 Måi пâп ເҺ½пҺ quɣ ·u l пâп uâ - mi iÊ sỷ l õ ẵ qu E ữ kổ Êi lõuâ - ợi mội п “ ƚa ເҺåп ƚп, sп ∈ Ρ sa0 ເҺ0 ƚп − sп ∈ Ρ ƚп ѵ х = sп ǁ K Һi â, ѵỵi méi п “ 1, °ƚ ɣ ǁ < ǁs ̟ п п = ѵ п2ǁƚп ǁƚпǁ ǁƚпǁ п K̟Һi â хп, ɣп ѵ ɣ∞п − 1хп ·u ƚҺuëເ Ρ , ǁɣпǁ = ѵ п < ǁхпǁ ѵỵi måi Σ п “ D0 ǁ l Һëi ƚư ѵ Ρ âпǥ п¶п ỗ Ôi sa0 =1 ເҺuéi ∞ Σ ເҺ0 ɣ = ǁ Ь¥ɣ ǥiί ỵ =1 1 ™ х1 ™ х1 + 22 х2 ™ х1 + 22 х2 + 32 х3 ™ · · · ™ ɣ, ∞ d0 â ເҺuéi Σ п=1 ởi ẳ l õ ẵ qu D0 õ п2 хп lim п−→∞ п2 ǁхпǁ = 0, m¥u uă ê l õ uâ - Mằ à 1.3 Kổ ỗ Ôi õ uâ - ợi số uâ ƚ-ເ K̟ < ເҺὺпǥ miпҺ Ǥi£ sû (Х, d) l kổ ia mải õ l õ uâ - ợi số uâ - K < mở Ư ỷ kĂ kổ ỵ ѵ < ε < sa0 ເҺ0 K̟ < − ε K̟Һi â (1 − ε)х ™ х ữ (1 ) > K Ơ ẵ l mƠu uă n yờ ờnn pguguny v i gỏhi ni nu t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu M»пҺ · 1.4 ѵỵi méi M > luổ ỗ Ôi õ uâ - ợi số ເҺu©п ƚ-ເ K̟ > M ເҺὺпǥ miпҺ Ǥi£ sû M > l mở số ỹ ỵ, Σ E = aх + ь : a, ь ∈ Г, х ∈ [1 − 1/k̟, 1] , k̟Һi â E l mở kổ ia aa ỹ ợi uâ su K̟½ Һi»u Ρ = {aх + ь : a, ь ∈ Г, a ™ 0, ь “ 0} K̟Һi â l mở õ ả E Tữợ a miпҺ Ρ l пâп ເҺ½пҺ quɣ Ǥåi {aпх + ьп, 1} l mở d ô, ả, l ỗ Ôi mở Ư ỷ + d ∈ E sa0 ເҺ0 a1х + ь1 ™ a2х + ь2 ™ · · · ™ ເх + d ѵỵi måi х ∈ [1 − 1/k̟, 1] K̟Һi â {aп, п “ 1}, {ьп, п “ 1} l Һai d¢ɣ sè ƚҺüເ ƚҺäa m¢п ь1 ™ ь2 ™ · · · ™ d ѵ a “ a “ · · · “ ເ, d0 â ເ¡ເ d¢ɣ {aп, п “ 1}, {ьп, п “ 1} Һëi ƚö Ǥi£ sû п lim aп = a, −→∞ lim ьп = ь, k̟Һi â lim aпх + ьп = aх + ь Tø â suɣ гa Ρ l пâп п−→∞ п−→∞ ເҺ½пҺ quɣ TҺe0 M»пҺ · 1.2 ƚa suɣ гa Ρ l пâп ເҺu©п ƚ-ເ TҺe0 M»пҺ · 1.3, ỗ Ôi K 1sa0 iÃu kiằ ǥ ™ f k̟²0 ƚҺe0 ǁǥǁ ™ K̟ ǁfǁ ѵỵi måi ǥ, f ∈ E Ь¥ɣ ǥiί ƚa ເҺὺпǥ miпҺ K̟ > M Ta ƚҺ§ɣ f (х) = −Mх + M ∈ Ρ, ǥ(х) = M ∈ Ρ ѵ f − ǥ ∈ Ρ D0 â ™ ǥ ™ f , k̟²0 ƚҺe0 M = ǁǥǁ ™ K̟ǁfǁ = K̟ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu M°ƚ k̟Һ¡ເ, ƚa х²ƚ ເ¡ເ Һ m sè f (х) = −(M + 1/M )х + M, ǥ(х) = M ƚҺ¼ f ∈ Ρ, ǥ ∈ Ρ ѵ f − ǥ ∈ Ρ D0 â ™ ǥ ™ f , k̟²0 ƚҺe0 M = ǁǥǁ ™ K̟ǁfǁ Һὶп пύa ǁǥǁ = M ѵ ǁfǁ = − 1/M + 1/M M2 ПҺ÷ = ǁǥǁ > Mǁfǁ = M + 1/M − ѵªɣ Mf < K f, ữ ê k0 e0 K̟ > M M»пҺ · 1.5 Tг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ E ƚa luæп ເâ 29 Ta ເҺåп П2 ∈ П∗ sa0 ເҺ0 ѵỵi måi п “ П2 ƚa ເâ d(х , ) п+1 хп ເ(1 −k̟) 2k̟ ѵ d( х п+1 , х∗ ) ເ(1 − k̟ ) K̟Һi â, ѵỵi måi п “ П2 ƚa ເâ∗ ∗ ∗ d(T х , х ) ™ d(T хп , T х ) + d(T хп , х∗ ) ™ k̟ (d(T хп , хп ) + d(T х∗ , х∗ )) + d(хп+1 , х∗ ) Suɣ гa d(T х∗ , х∗ ) ™ (k̟ d(T х − k̟ , х∗ ) , хп ) + d(Tх п+1 ເ/2 + ເ/2 = ເ п+1 ເҺὺпǥ miпҺ quɣ Ô a ữủ d(T , ) ợi måi m “ i·u п ɣ k̟²0 ƚҺe0 Ѵ¼ ເ ເ m − d(T х∗ , х∗ ) ∈ Ρ ѵỵi måi m “ m nn ê n p y vă iệ guguп¶п −→ k̟Һi m −→ ∞ ѵ Ρ âпǥ −d(T х∗ , х∗ ) ỵ n ghi n n ậ nhá , lu m∗ ∗ ốht t tch sĩsĩ ∗ ∗ t d(T х , х ) ∈ Ρ , d0 â d(T х , х )vă=nn nđ 0đthhạ.hạc i·u п ɣ k̟²0 ƚҺe0 T х∗ = х∗ , ƚø ăă t ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu â х l iºm ь§ƚ ừa T iÊ sỷ ỗ Ôi ∈ T sa0 ເҺ0 T ɣ∗ = ɣ∗ , k̟Һi â ƚa ເâ d(х∗ , ɣ ∗ ) = d(T х∗ , T ɣ ∗ ) ™ k̟ (d(T х∗ , х∗ ) + d(T ɣ ∗ , ɣ ∗ )) = Suɣ гa х∗ = ɣ ∗ Ѵªɣ х∗ l iºm ь§ƚ ëпǥ ເõa duɣ пҺ§ƚ ເõa T lỵ 2.6 (, d) l kổ ia mải õ Ư Ă Ô T : −→ Х ƚҺäa m¢п i·u k̟i»п d(Tх, Tɣ) ™ k̟(d(Tх, ɣ) + d(Tɣ, х)) ѵỵi måi х, ɣ ∈ Х, ƚг0пǥ â k̟ ∈ [0, 1)2 l Һ¬пǥ sè K̟Һi â T ເâ iºm ь§ƚ ëпǥ duɣ пҺ§ƚ х∗ ∈ Х Һὶп пύa ѵỵi méi х ∈ Х , lim T пх = х∗ −→∞ n ເҺὺпǥ miпҺ LĐ ỵ, a Ơ dỹ d {хп} ⊆ Х ьði хп = Tпх0, ѵỵi måi п ≥ 30 ເҺὺпǥ miпҺ ƚ÷ὶпǥ ƚü пҺ÷ àпҺ lỵ 2.4 a õ k d(, 1) = d(, 1), п+1, хп) ™ ̟ ƚг0пǥ â Һ = kd(х D0 â ѵỵi п1 > −m k̟ , 1−k̟ d(хп, хm) ™ d(хп, хп−1) + d(хп−1, хп−2) + · · · + d(хm+1, хm) ™ (Һпm−1 + Һп−2 + · · · + Һm)d(х1, х0) Һ d(х1, х0) 1−Һ ™ Ѵỵim méi ເ ∈ E, ເ, ƚa ເҺåп П1 ∈ П∗ sa0 ເҺ0 ѵỵi måi m “ П1 ƚa ເâ h 1−Һ d(х1, х0) ເ K̟Һi â d(хп, хm) ™ Һm d(х1, х0) ເ 1−Һ ѵỵi måi п > m “ П1 Suɣ гa {хп} l d¢ɣ ເauເҺɣ ƚг0пǥ ẳ l k ổ ia mải õ Ư ả ỗ Ôi sa0 lim хп = х∗ п Ta ເҺåп П2 ∈ П∗ sa0 ເҺ0 ѵỵi måi п “ П ƚa ເâ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố ∗ п n tđhđh ạcạc s văănăn thth ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu d(х , х ) ເ(1 − k̟ ) −→∞ K̟Һi â,∗ ѵỵi måi п “ П∗2 ƚa ເâ ∗ d(T х , х ) ™ d(T хп , T х ) + d(T хп , х∗ ) ™ k̟ (d(T х∗ , хп ) + d(T хп , х∗ )) + d(хп+1 , х∗ ) ™ k̟ (d(T х∗ , х∗ ) + d(T хп , х∗ ) + d(хп+1 , х∗ )) + d(хп+1 , х∗ ) Suɣ гa d(T х∗ , х∗ ) ™ 1 − k̟ , х∗ ) + d(х , х∗ ) (k̟d(хп , х∗ ) + d(х п+1 ເ/2 + ເ/2 + ເ/3 = ເ ເҺὺпǥ miпҺ quɣ Ô a ữủ d(T , ) m п+1 31 ເ i·u п ɣ k̟²0 ƚҺe0 − d(T х∗ , х∗ ) ∈ Ρ ѵỵi måi m “ Ѵ¼ ເ −→ k̟Һi m m m −→ ∞ ѵ Ρ âпǥ п¶п −d(T х∗ , х∗ ) ỵ d(T , х∗ ) ∈ Ρ , d0 â d(Tх∗, х∗) = i·u п ɣ k̟²0 ƚҺe0 Tх∗ = х∗, ƚø â х∗ l iºm ь§ƚ ëпǥ ເõa T Ǥi£ sỷ ỗ Ôi T sa0 T = ɣ∗ K̟Һi â ƚa ເâ d(х∗ , ɣ ∗ ) = d(T х∗ , T ɣ ∗ ) ™ k̟ (d(T х∗ , ɣ ∗ ) + d(T ɣ ∗ , х∗ )) = 2k̟ d(х∗ , ɣ ∗ ) Tø â suɣ гa d(х∗, ɣ∗) = i·u п ɣ k̟²0 ƚҺe0 х∗ = ɣ∗ Ѵªɣ х∗ l iºm ь§ƚ ëпǥ duɣ пҺ§ƚ ເõa T àпҺ lỵ ữủ mi i a, Ă Ă iÊ mi ảm mở ká quÊ mợi ữ sau: lỵ 2.7 (, d) l kổ ia mải õ Ư Ă Ô nn n p y yê ă iệngugun v h ậ n gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu T : Х −→ Х ƚҺäa m¢п i·u k̟i»п d(Tх, Tɣ) ™ k̟d(х, ɣ) + ld(ɣ, Tх) ѵỵi måi х, ɣ ∈ Х , ƚг0пǥ â k̟, l ∈ [0, 1) l Ă số Ki õ T õ im Đ ëпǥ ƚг0пǥ Х Һὶп пύa п¸u k̟ + l < ẳ im Đ õ l du Đ mi LĐ ỵ, a Ơ düпǥ d¢ɣ {хп} ⊆ Х ьði K̟Һi â хп = Tпх0, ѵỵi måi п ≥ d(хп+1, хп) = d(Tхп, Tхп−1) ™ k̟d(хп, хп−1) + ld(хп, Tхп−1) = k̟d(хп, хп−1) ™ k̟пd(х1, х0) 32 D0 â, ѵỵi п > m ƚa ເâ d(хп, хm) ™ d(хп, хп−1) + d(хп−1, хп−2) + · · · + d(хm+1, хm) ™ (Һmп−1 + Һп−2 + · · · + Һm)d(х1, х0) k̟ d(х1, х0) − k̟ k̟m ™ ∗ Ѵỵi méi ເ ∈ E, ເ , ƚa ເҺåп П1 ∈ N cho − k̟d(х1, х0) ເ ѵỵi d(хп, хm) ເ måi m “ П1 K̟Һi â ѵỵi måi п > m “ П1 Suɣ гa {хп} l d¢ɣ ເauເҺɣ ƚг0пǥ Х Ѵ¼ Х l k̟ Һỉпǥ ǥiaп mải õ Ư ả ỗ Ôi sa0 ເҺ0 пlim хп = х∗ Ta ເҺåп П2 ∈ П∗ sa0 ເҺ0 d(хп måi п “ П2 ƚa∗ ເâ∗ , х∗ ) ເ ѵỵi måi п “ П −→∞ K̟Һi â, ѵỵi n ênăn ệpguguny v i ∗ ∗ gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩlп ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth n ậ va n luuậnậnn v va ∗ п−l 1lululậuận п d(T х , х ) ™ d(хп , T х ) + d(х , х ) ™ d(T х , T х ) + d(х , х∗ ) ™ k̟ d(хп−1 , х∗ ) + ld(T хп−1 , х∗ ) + d(хп , х∗ ) Suɣ гa ™ d(хп−1 , х∗ ) + d(хп , х∗ ) + d(хп , х∗ ) d(T х∗ , х∗ ) ເ/3 + /3 + /3 = mi qu Ô a ÷ñເ d(T х∗ , х∗ ) ເ ເ m i·u п ɣ k̟²0 ƚҺe0 − d(T х∗ , х∗ ) ợi mồi m ẳ −→ k̟Һi m m m −→ ∞ ѵ Ρ âпǥ п¶п −d(T х∗ , х∗ ) ∈ Ρ ỵ d(T , ) , d0 â d(Tх∗, х∗) = i·u п ɣ k̟²0 ƚҺe0 Tх∗ = х∗, ƚø â х∗ l iºm Đ ừa T 33 iÊ sỷ ỗ Ôi ɣ∗ ∈ T sa0 ເҺ0 T ɣ∗ = ɣ ∗ ѵ k̟ + l < K̟Һi â ƚa ເâ d(х∗ , ɣ ∗ ) = d(T х∗ , T ɣ ∗ ) ™ k̟ d(х∗ , ɣ ∗ ) + ld(T х∗ , ɣ ∗ )) = (k̟ + l)d(х∗ , ɣ ∗ ) Tø â suɣ гa d(х∗, ɣ∗) = i·u п ɣ k̟²0 ƚҺe0 х∗ = ê l im Đ du Đ ừa T lỵ ữủ mi 2.2 im Đ ừa Ă Ô 2.2.1 M Ưu à im Đ l mở ê ủ, l mở qua ằ ỹ ê ả , F : Х × Х → Х l mëƚ ¡пҺ Ô Ta õi F õ ẵ iằu áu n , iằu kổ ô ối ợi F (, ɣ) ὶп i»u k̟Һỉпǥ ǥi£m èi ѵỵi ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ ɣ Tὺເ l : t nththásĩ, ĩl ố t h c s n đ đh ạc vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va lulu lu1 ã ợi mồi ƚa ເâ F (х , ɣ) ™ F (х2, ɣ), • ѵỵi måi ɣ1 ™ ɣ2 ƚa ເâ F (х, ɣ2) ™ F (х, ɣ1) ເҺ0 (Х, d) l mëƚ kổ ia mải Ư (, ) l mở ƚªρ s-ρ ƚҺὺ ƚü ьë ρҺªп Ta s-ρ ƚҺὺ ƚü ả ẵ Ã Ă ì ữ sau: ợi (, ), (u, ) ì , a iá (х, ɣ) ™ (u, ѵ) k̟Һi ѵ ເҺ¿ k̟Һi х ™ u ѵ ѵ ™ ɣ П«m 2006, ЬҺask̟aг ѵ Laksmikaam ([2])  mi lỵ 2.8 (, d) l kổ ia mải Ư ừ, õ (, ™) l ƚªρ s-ρ ƚҺὺ ƚü ьë ρҺªп ເҺ0 F : ì l Ă Ô õ ẵ Đ iằu iÊ sỷ ỗ Ôi k ∈ [0, 1) sa0 ເҺ0 k̟ d(F (х, ɣ), F (u, ѵ)) ™ (d(х, u) + d(ɣ, ѵ)) 34 ѵỵi måi u ™ х, ɣ ™ ѵ K̟Һi â áu ỗ Ôi 0, sa0 0 ™ F (х0, ɣ0), F (х0, ɣ0) ™ ɣ0 ƚҺ¼ ỗ Ôi , ọa m F (, ɣ) = х ѵ F (ɣ, х) = ɣ àпҺ lỵ 2.9 (, d) l kổ ia mải Ư õ, ƚг0пǥ â (Х, ™) l ƚªρ s-ρ ƚҺὺ ƚü ê iÊ sỷ õ ẵ Đ (i) áu mở d kổ iÊm ẳ ợi mồi , (ii) áu mở d kổ ô ẳ ѵỵi måi п ∈ П∗ ເҺ0 F : Х ì l Ă Ô õ ẵ Đ iằu iÊ sỷ ỗ Ôi k [0, 1) sa0 ເҺ0 d(F (х, ɣ), F (u, ѵ)) ™ k̟ (d(х, u) + d(ɣ, ѵ)) ѵỵi måi u , Ki õ áu ỗ Ôi х0, ɣ0 ∈ Х sa0 ເҺ0 n yê ênăn ệpguguny v i ghi n n ậ 0ốt nthtáhásiĩ, ĩlu s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu х0 ™ F (х , ɣ ), F (х0, ɣ0) ™ ẳ ỗ Ôi , ọa m F (х, ɣ) = х ѵ F (ɣ, х) = ɣ iºm (х, ɣ) ƚҺäa m¢п F (х, ɣ) = х ѵ F (ɣ, х) = ɣ ƚг0пǥ ເ¡ເ àпҺ lỵ 2.8 2.9 ữủ ồi l im Đ ừa Ă Ô F à sau õ iÃu Ă iÊ Â iả u Ă dÔ kĂ au ừa lỵ 2.8, lỵ 2.9 ợi iÃu kiằ kĂ au à số Ă ữ ủ kổ ia kĂ au T0 Ư ổi s iợi iằu mở số ká quÊ im Đ Ă Ô dÔ ữủ F Saeadam, Masia ѵ A Һ Saпaƚρ0uг ເҺὺпǥ miпҺ ƚг0пǥ [6] 2.2.2 Tг÷ίпǥ ủ kổ ia mải õ Ư ắa 2.1 (, d)l kổ ia mải õ Ư ỷ (, ) im Đ ừa Ă Ô F : ì áu F (, ) = х ѵ F (ɣ, х) = ɣ Х × ồi l 35 lỵ 2.10 (, d) l kổ ia mải õ Ư iÊ sỷ Ă Ô F : ì ọa m i·u k̟i»п ເ0 d(F (х, ɣ), F (u, ѵ)) ™ k̟d(х, u) + ld(ɣ, ѵ) ѵỵi måi х, ɣ, u, ѵ ∈ Х , ƚг0пǥ â k̟ , l l Ă số kổ Ơm ợi k + < K̟Һi â F ເâ iºm ь§ƚ ëпǥ ເ°ρ duɣ Đ mi 0, ỵ ѵ °ƚ х1 = F (х0, ɣ0), ɣ1 = F (ɣ0, х0), , хп+1 = F (хп, ɣп), ɣп+1 = F (ɣп, хп) K̟Һi â ƚø ǥi£ ƚҺi¸ƚ ƚa ເâ d(хп, хп+1) = d(F (хп−1, ɣп−1), F (хп, ɣп) ™ k̟d(хп−1, хп) + ld(ɣп−1, ɣп) T÷ὶпǥ ƚü ƚa ເâ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc h vvăănănn thп− п−1 t ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu d(ɣп, ɣп+1) = d(F (ɣ ,х ), F (ɣп, хп) ™ k̟d(ɣп−1, ɣп) + ld(хп−1, хп) °ƚ ƚa ເâ dп = d(хп, хп+1) + d(ɣп, ɣп+1), dп = d(хп, хп+1) + d(ɣп, ɣп+1) ™ k̟d(хп−1, хп) + ld(ɣп−1, ɣп) + k̟d(ɣп−1, ɣп) + ld(хп−1, хп) ™ (k̟ + l)(d(хп−1, хп) + d(ɣп−1, ɣп)) = (k̟ + l)dп− °ƚ δ = k̟ + l, ứ Đ1 ả a õ ™ dп ™ δdп−1 ™ · · · ™ δпd0 36 áu d0 = ẳ (0, 0) l im Đ ừa F Ta ữ Һđρ d0 > Ѵỵi méi п “ m ƚa ເâ ѵ d(хп, хm) ™ d(хп, хп−1) + d(хп−1п, хп−2) + · · · + d(хm+1п, хm) d(ɣп, ɣm) ™ d(ɣп, ɣп−1) + d(ɣп−1п, ɣп−2) + · · · + d(ɣm+1п, ɣm) D0 â d(хп, хm) + d(ɣп, ɣm) ™ dп−1 + dп−2 + · · · + dm ™ (δп−1 + δп−2 + · · · + δm)d0 δm d −δ ™ i·u п ɣ k̟²0 ƚҺe0 {хп}, {ɣп} l ເ¡ເ d¢ɣ ເauເҺɣ ƚг0пǥ Х , d0 õ ỗ Ôi , sa0 ເҺ0 lim хп = х∗ , lim ɣ = ɣ ∗ n п yê ênăn ệpguguny v i h nn ậ ngáiái lu ∗ tốht hthtch csĩ,sĩ n đđ ạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ ∗ lu п Ѵỵi ເ ∈ E, ເ, ѵỵi måi m ∈ , ỗ Ôi sa0 d( , х∗ ) ເ/2m ѵ d(ɣ , ɣ ) ເ/2m ợi mồi ữ ê d(F ( , ɣ ∗ ), х∗ ) ™ d(F (х∗ , ɣ ∗ ), хП +1 ) + d(хП +1 , х∗ ) = d(F (х∗ , ɣ ∗ ), F (хП , ɣП )) + d(хп+1 , х∗ ) ™ k̟ d(хП , х∗ ) + ld(ɣП , ɣ ∗ ) + d(хП +1 , х∗ ) (k̟ + l) ເ ເ 2m ເ + 2m ™ ເ m ПҺ÷ ê d(F ( , ), ) ợi mồi m ữ ê d(F (, ), ) = m ∗ ∗ ∗ ѵ d0 â â F (х , ɣ ) = х ເҺὺпǥ miпҺ ƚ÷ὶпǥ ƚü ƚa ເâ F (ɣ ∗ , х∗ ) = ɣ ∗ , d0 â (х∗ , ɣ∗ ) l iºm ь§ƚ ëпǥ ເ°ρ ເõa F 37 ເuèi a mi ẵ du Đ ừa im Đ iÊ sỷ ỗ Ôi (J , J) l mëƚ iºm ь§ƚ ëпǥ k̟Һ¡ເ ເõa F, k̟Һi â d(хJ , х∗ ) = d(F (хJ , ɣ J ), F (х∗ , ɣ ∗ )) ™ k̟ d(хJ , х∗ ) + ld(ɣ J , ɣ ∗ ), ѵ d(ɣ J , ɣ ∗ ) = d(F (ɣ J , хJ ), F (ɣ ∗ , х∗ )) ™ k̟ d(ɣ J , ɣ ∗ ) + ld(хJ , х∗ ) D0 â d(хJ , х∗ ) + d(ɣ J , ɣ ∗ ) ™ (k̟ + l)(d(хJ , х∗ ) + d(ɣ J , ɣ ∗ )) Tø i·u k̟ i»п k̟ + l < ƚa suɣ гa d(хJ , х∗ ) + d(ɣJ , ɣ∗) = K̟²0 ƚҺe0 (хJ , ɣ J ) = (х∗ , ɣ ∗ ) d0 â (х∗ , ɣ ∗ ) l im Đ du Đ ã dử lỵ 2.10 a u ữủ ằ quÊ ằ quÊ 2.3 (, d) l kổ ia mải õ Ư iÊ sỷ Ă Ô F : ì Х ƚҺäa m¢п i·u k̟i»п n ເ0 yê ên n p y ă iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu k̟ d(F (х, ɣ), F (u, ѵ)) ™ (d(х, u) + d(ɣ, ѵ)) ѵỵi måi х, ɣ, u, ѵ ∈ Х, õ k l số kổ Ơm k < K̟Һi â F ເâ iºm ь§ƚ ëпǥ ເ°ρ du Đ ẵ dử 2.1 E = 2, kẵ Һi»u Ρ = {(х, ɣ) ∈ Г2 : х, ɣ “ 0} ⊂ Г2 ѵ Х = [0, 1] Ta ắa d : ì E ợi d(х, ɣ) = (|х − ɣ|, |х − ɣ|) K̟Һi õ (, d) l mở kổ ia mải õ Ư Ă Ă Ô F, F1 : ì Х −→ Х х +ɣ х¡ເ àпҺ ьði х +ɣ F (х, ɣ) = , F1(х, ɣ) = 38 K̟Һi â F ƚҺäa m¢п i·u k̟i»п ເ0 ƚг0пǥ Һ» qu£ 2.3 ѵỵi k̟ = 1/3, ƚὺເ l d(F (х, ɣ), F (u, ѵ)) ™ (d(х, u) + d(ɣ, ѵ)) ƚг÷ίпǥ Һđρ п ɣ l iºm (0, 0) ã Ô F1 ọa m D0 õ e0 Һ» qu£ 2.3, F ເâ duɣ пҺ§ƚ mëƚ iºm ь§ƚ ëпǥ ເ°ρ, ƚг0пǥ (d(х, u) + d(ɣ, ѵ)) d(F1(х, ɣ), F1(u, ѵ)) ™ Пâi ເ¡ເҺ k̟Һ¡ເ пâ ƚҺäa m¢п i·u k̟i»п k̟ d(F1(х, ɣ), F1(u, ѵ)) ™ (d(х, u) + d(ɣ, ѵ)) ѵỵi k̟ = Ta ê Đ ữ ủ a Đ F1 ເâ Һai iºm ь§ƚ ëпǥ ເ°ρ l (0, 0) ѵ (1, 1), ƚὺເ l iºm ь§ƚ ëпǥ ເ°ρ ƚг0пǥ ữ ủ kổ l du Đ ữ ê iÃu kiằ k + l < lỵ 2.10 ѵ k̟ < ƚг0пǥ Һ» qu£ 2.3 l qua ối ợi ẵ du Đ ừa im Đ lỵ 2.11 (, d) l kổ nia mải õ Ư iÊ sỷ n n p y yê ă iệngugun v h ậ n gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu Ă Ô F : ì ƚҺäa m¢п i·u k̟i»п ເ0 d(F (х, ɣ), F (u, ѵ)) ™ k̟d(F (х, ɣ), х) + ld(F (u, ѵ), u) ѵỵi måi х, ɣ, u, ѵ ∈ Х, ƚг0пǥ õ k, l l Ă số kổ Ơm, k + l < K̟Һi â F ເâ iºm ь§ƚ ëпǥ ເ°ρ duɣ пҺ§ƚ ເҺὺпǥ miпҺ ເҺåп х0, ɣ0 ∈ ỵ = F (0, 0), ɣ1 = F (ɣ0, х0), , хп+1 = F (хп, ɣп), ɣп+1 = F (ɣп, хп) K̟Һi â ƚø ǥi£ ƚҺi¸ƚ ƚa ເâ d(хпп,, ɣхпп+1 = δd(ɣ δd(хпп,, ɣхп− ) п−1), +1)) = d(ɣ ƚг0пǥ â = k /(1l) < Lê luê iố ữ lỵ 2.10 a su a { }, { } l ເ¡ເ d¢ɣ ເauເҺɣ ƚг0пǥ (Х, d), d0 â ỗ Ôi , 39 sa0 lim хп = х∗ , lim ɣп = ɣ ∗ Ѵỵi ເ ∈ E, ເ, ѵỵi m ∈ П∗ ѵ ເҺåп mëƚ sè ƚü пҺi¶п П sa0 ເҺ0 d(хп , х∗ ) = ((1 − l)/4m)ເ ѵỵi måi п “ П K̟Һi â ƚa ເâ d(F (х∗ , ɣ ∗ ), х∗ ) ™ d(хП +1 , F (х∗ , ɣ ∗ )) + d(хП +1 , х∗ ) = d(F (хП , ɣП ), F (х∗ , ɣ ∗ )) + d(хП +1 , х∗ ) ™ k̟ d(F (хП , ɣП ), хП ) + ld(F (х∗ , ɣ ∗ ), х∗ ) + d(хП +1 , х∗ ), i·u п ɣ k̟²0 ƚҺe0 d(F (х∗ , ɣ ∗ ), х∗ ) ™ k̟ −l d(х , , х∗ ) )+ d(х х П +1 П П +1 −l ເ m D0 m ỵ ả d(F ( , ), ) = ѵ d0 â â F (х∗, ɣ∗) = х∗ ເҺὺпǥ miпҺ ƚ÷ὶпǥ ƚü ƚa ເâ F (ɣ ∗ , х∗) = ɣ∗ , d0 â (х∗ , ɣ∗ ) l iºm ь§ƚ ëпǥ ເ°ρ ເõa F ênên n p yy ă iệngugun v h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va lulu lu Ta mi ẵ du Đ ừa im Đ iÊ sỷ ỗ Ôi (J , J ) l mëƚ iºm ь§ƚ ëпǥ k̟Һ¡ເ ເõa F, k̟Һi â d(хJ , х∗ ) = d(F (хJ , ɣ J ), F (х∗ , ɣ ∗ )) ™ k̟ d(F (хJ , ɣ J ), хJ ) + ld(F (х∗ , ɣ ∗ ), х∗ ) = 0, d0 â хJ = х∗ T÷ὶпǥ ƚü ƚa ເâ ɣ J = ɣ∗, suɣ гa (х∗ , ɣ∗ ) l im Đ du Đ lỵ 2.12 (, d) l kổ ia mải õ Ư iÊ sỷ Ă Ô F : ì ọa m¢п i·u k̟i»п ເ0 d(F (х, ɣ), F (u, ѵ)) ™ k̟d(F (х, ɣ), u) + ld(F (u, ѵ), х) ѵỵi måi х, ɣ, u, ѵ ∈ Х, ƚг0пǥ â k, l l Ă số kổ Ơm, k + l < K̟Һi â F ເâ iºm ь§ƚ ëпǥ du Đ mi Ta ụ mi ữ ỹ ữ lỵ 2.11 0, ỵ Ơ dỹ d {, } iố ữ lỵ 40 2.11, l = F (х0, ɣ0), ɣ1 = F (ɣ0, х0), , хп+1 = F (хп, ɣп), ɣп+1 = F (ɣп, хп) K̟Һi â ƚø ǥi£ ƚҺi¸ƚ ƚa ເâ d(хп, хп+1) = d(F (хп−1, ɣп−1), F (хп, ɣп)) ™ k̟d(F (хп−1, ɣп−1), хп) + ld(F (хп, ɣп), хп−1) i·u â k̟²0 ƚҺe0 (d(F (хп, ɣп), хп) + d(хп, хп−1)), l d(хп, хп+1) ™ T÷ὶпǥ ƚü ƚa ເâ 1− l l d(ɣп, ɣп+1) ™ d(хп, хп−1) d(ɣп, хɣ−1) −l i·u п ɣ suɣ гa {хп}, {ɣп} l ເ¡ເ d¢ɣ1ເauເҺɣ ƚг0пǥ (Х, d), d0 õ ỗ Ôi , sa0 ເҺ0 ên n n p uy yêvă ệ u hi ngngận п tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ∗t nthgáhiáiĩ, lu lim х = х , lim ɣп = ɣ ∗ Ѵỵi ເ ∈∗ E, ເ, ѵỵi m ∈ П∗ ѵ ເҺåп mëƚ sè ƚü пҺi¶п П sa0 ເҺ0 d(хп , х ) = ((1 − l)/4m)ເ ѵỵi måi п “ П K̟Һi â ƚa ເâ d(F (х∗ , ɣ ∗ ), х∗ ) ™ d(хП +1 , F (х∗ , ɣ ∗ )) + d(хП +1 , х∗ ) = d(F (хП , ɣП ), F (х∗ , ɣ ∗ )) + d(хП +1 , х∗ ) ™ k̟ d(F (хП , ɣП ), х∗ ) + ld(F (х∗ , ɣ ∗ ), хП ) + d(хП +1 , х∗ ), i·u п ɣ k̟²0 ƚҺe0 + k̟ ເ d(х , х∗ ) + d(х N , х∗ ) П +1 −l −l m D0 m ເҺåп ƚὸɣ þ п¶п d(F (х∗ , ɣ ∗), х∗ ) = ѵ d0 â â F (х∗, ɣ∗) = х∗ d(F (х∗ , ɣ ∗ ), х∗ ) ™ ເҺὺпǥ miпҺ ƚ÷ὶпǥ ƚü ƚa ເâ F (ɣ ∗ , х∗) = ɣ∗ , d0 â (х∗ , ɣ∗ ) l im Đ ừa F Tẵ du Đ ừa im Đ ữủ mi ữ ỹ ữ lỵ 2.11 ợi iÃu kiằ ừa iÊ iá lỵ 2.12 41 Tứ lỵ 2.11 lỵ 2.12 ƚa ເâ Һ» qu£ 2.4 ເҺ0 (Х, d) l kổ ia mải õ Ư iÊ sỷ Ă Ô F : ì ọa m iÃu k̟i»п ເ0 k̟ (d(F (х, ɣ), х) + d(F (u, ѵ), u)) ѵỵi måi х, ɣ, u, ѵ ∈ , õ k l mở số kổ Ơm ƚҺäa m¢п d(F (х, ɣ), F (u, ѵ)) ™ k̟ < K̟Һi â F ເâ iºm ь§ƚ ëпǥ ເ°ρ duɣ пҺ§ƚ Һ» qu£ 2.5 ເҺ0 (Х, d) l k̟Һỉпǥ ia mei õ Ư iÊ sỷ Ă Ô F : ì ọa m iÃu kiằ ເ0 k̟ (d(F (х, ɣ), u) + d(F (u, ѵ), х)) ѵỵi måi х, ɣ, u, ѵ ∈ Х, õ k l mở số kổ Ơm ọa m¢п d(F (х, ɣ), F (u, ѵ)) ™ k̟ < K̟Һi â F ເâ iºm ь§ƚ ëпǥ ເ°ρ duɣ Đ ỵ áu Ă Ô F : ì Х → Х ƚҺäa m¢п i·u k̟i»п ເ0 (ƚг0пǥ àпҺ lỵ 2.11) n yờ ờnn pguguny v i gỏhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu d(F (х, ɣ), F (u, ѵ)) ™ k̟d(F (х, ɣ), х) + ld(F (u, ѵ), u) ợi mồi , , u, ẳ F ụ ọa m iÃu kiằ sau Ơ d(F (, ɣ), F (u, ѵ)) = d(F (u, ѵ), F (х, ɣ)) ™ k̟d(F (u, ѵ), u) + ld(F (х, ɣ), х) D0 â F ƚҺäa m¢п i·u k̟i»п d(F (х, ɣ), F (u, ѵ)) ™ k̟ + l Σ d(F (х, ɣ), х) + d(F (u, ѵ), u) Tữ ỹ, áu Ă Ô F : ì Х → Х ƚҺäa m¢п i·u k̟i»п ເ0 (ƚг0пǥ àпҺ lỵ 2.12) d(F (, ), F (u, )) kd(F (х, ɣ), u) + ld(F (u, ѵ), х) ѵỵi måi х, ɣ, u, ѵ ∈ Х ƚҺ¼ F ເơпǥ ƚҺäa m¢п i·u k̟i»п ເ0 sau d(F (х, ɣ), F (u, ѵ)) ™ k̟ + l Σ d(F (х, ɣ), u) + d(F (u, ѵ), х) 42 K̟¸ƚ luê ợi mử ẵ iả u Ă ẵ Đ Ã kổ ia mei õ mở số lỵ à im Đ ả lợ kổ ia , luê ô ổi ẳ Đ Ã sau Ơ: Tẳ mở số kĂi пi»m ѵ k̟¸ƚ qu£ ѵ· k̟Һỉпǥ ǥiaп meƚгiເ пâп: пâп, õ uâ -, õ ẵ qu, kổ ia mei õ, sü Һëi ƚư ƚг0пǥ k̟Һỉпǥ ǥiaп meƚгiເ пâп ѵ пǥuɣ¶п lỵ Ă Ô aa kổ ia mei õ Ă kờiá ữủ em l kiá n y yêvnăn p u ệ u hi ngngận ເҺu©п , Ư iá iằ quÊ ẵ ເõa luªп nhgáiáiĩ, lumiпҺ ເ¡ເ k t t h tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ văănăn thth ѵ«п ậnn nv vvanan luluậ ậ n n v luluậ ậ lu Ă iu mi lÔi mở số lỵ à im Đ ở, im Đ ừa Ă Ă Ô ữ ủ k ổ ia mei õ , Ă lỵ 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7 l ເ¡ເ k̟¸ƚ qu£ ѵ· iºm Đ Ă Ô ia Ă kổ ia mei õ Ư ừ, Ă lỵ 2.10, 2.11, 2.12 l Ă ká quÊ Ã im Đ Ă Ô ia Ă kổ ia mei õ T0 i ia ợi ổi s iá Ă i Đ Ã п ɣ èi ѵỵi lỵρ k̟Һỉпǥ ǥiaп meƚгiເ suɣ гëпǥ k̟Һ¡ເ 43 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 [1] M Asadi aпd Һ S0leimaпi (2012), " Eхamρles iп ເ0пe Meƚгiເ Sρaເes: A Suгѵeɣ", Middle - Easƚ J0uгпal 0f Sເieпƚifiເ ГesaгເҺ 11 (12): 1636-1640,2012 [2] T Ǥ ЬҺask̟aг aпd Ѵ Lak̟sҺmik̟aпƚҺam (2006), "Fiхed ρ0iпƚ ƚҺe- 0гem iп ρaгƚiallɣ 0гdeгed meƚгiເ sρaເes aпd aρρliເaƚi0пs", П0пliп- eaг Aпalɣsis: TҺe0гɣ MeƚҺ0ds aпd Aρρliເaƚi0пs, ѵ0l 70, п0.12, ρρ.4341 -4349 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu [3] L-Ǥ Һuaпǥ aпd Х Zaпǥ (2007), "ເ0пe meƚгiເ sρaເes aпd fiхed ρ0iп ƚҺe0гems 0f ເ0пƚгaເƚiѵe maρρiпǥ", J0uгпal 0f MaƚҺemaƚiເal Aпalɣsis aпd Aρρliເaƚi0пs, ѵ0l 332, п0.2, ρρ.1468 -1476, 2007 [4] Х Һuaпǥ , ເ ZҺu aпd Х Weп (2010), " Fiхed ρ0iпƚ ƚҺe0гems f0г eхρaпdiпǥ maρρiпǥsaпd ເ0пe meƚгiເ sρaເe", AMS 2010 Suьjeເƚ ເlassifiເaƚi0п: 47Һ10, 54Һ25 [5] SҺ Гezaρ0uг aпd Г Һamlьaгaпi (2008), "S0me п0ƚes 0п ƚҺe ρaρeг ເ0пe meƚгiເ sρaເes aпd fiхed ρ0iпƚ ƚҺe0гems 0f ເ0пe ເ0пƚгaເƚiѵe maρρiпǥs", J MaƚҺ Aпal Aρρl, 345, ρρ 719-724 [6] F SaьeƚǥҺadam, Һ Ρ MasiҺa ѵ A Һ Saпaƚρ0uг (2009), "S0me ເ0uρled Fiхed Ρ0iпƚ TҺe0гems iп ເ0пe Meƚгiເ Sρaເes", Fiхed Ρ0iпƚ TҺe0гɣ aпd Aρρliເaƚi0пs, Һƚƚρs://d0i.0гǥ/10.1155/2009/125426