Một số định lý điểm bất động Chuyên ngành : Giải tích

Đại học tháI nguyên Trờng đại học s phạm Trơng thị hải yến Một số định lý điểm bất động Chuyên ngành : Giải tích Mã số : 60.46.01 Luận văn thạc sỹ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS TRNG XUN C H Thái Nguyên - 2008 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn MC LC Li núi u Chng 1: Mt s kin thc chun b 1.1.Tớnh compact v tớnh y 1.2 Tớnh b chn v tớnh liờn tc ca hm s5 1.3 Tp sp th t.5 1.4 Khụng gian im bt ng.6 1.5 To khụng gian im bt ng mi t khụng gian c9 Chng 2: Mt s nh lớ tn ti im bt ng khụng gian y v ng dng ca nh lớ Banach 12 2.1 Nguyờn lý ỏnh x co Banach12 2.2 Min bt bin c s 15 2.3 Phng phỏp liờn tc cho ỏnh x co.17 2.4 Luõn phiờn phi tuyn cho ỏnh x co.20 2.5 M rng nguyờn lớ ỏnh x co Banach 23 2.6 nh x khụng gión khụng gian Hilbert 28 2.7 ng dng nguyờn lớ Banach cho phng trỡnh tớch phõn.36 Chng 3: M t s nh lớ tn ti im bt ng khụng gian cú th t .39 3.1 nh lớ Knaster - Tarski 39 3.2 Tớnh th t v tớnh y nh lớ Bishop - Phelps.42 3.3 im bt ng ca ỏnh x co a tr 45 3.4 ng dng vo nghiờn cu hỡnh hc ca khụng gian Banach 47 3.5 ng dng vo nghiờn cu im ti hn 48 Chng 4: Mt s nh lớ tn ti im bt ng da trờn tớnh li51 4.1 Nguyờn lớ ỏnh x KKM . 51 4.2 nh lớ ca von Newmann v h bt ng thc 56 4.3 im bt ng ca ỏnh x Affine nh lớ Markoff Kakutani 60 Kt lun 63 Ti liu tham kho.64 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn LI NểI U Cho C l mt ca khụng gian X , F l mt ỏnh x t C vo X Phi t nhng iu kin no trờn C , X v F cú th khng nh s tn ti ca mt im x0 C cho Fx0 = x0 ? im x0 nh vy gi l im bt ng ca ỏnh x F Lý thuyt im bt ng l mt nhỏnh ca Toỏn hc, cú nhiu ng dng lớ thuyt ti u, lớ thuyt trũ chi, cỏc bao hm thc vi phõn v nhiu nghiờn cu ca Vt lớ Mt s kt qu v tn ti im bt ng ni ting ó xut hin t u th k XX, ú phi k n nguyờn lớ im bt ng Brouwer (1912) v nguyờn lớ ỏnh x co Banach (1922) Cỏc kt qu kinh in ny ó c m rng cỏc lp ỏnh x v khụng gian khỏc Mc ớch ca lun ny l trỡnh by mt cỏch chi tit hn mt s nh lớ im bt ng ti liu A.Granas, J.Dugundji Fixed point Theory Springer Verlag NewYork, 2003 Chỳng tụi ch hn ch vic gii thiu nhng kt qu da trờn tớnh y , tớnh sp th t ca khụng gian v tớnh li B cc ca lun gm chng vi nhng ni dung chớnh sau õy: Chng Nhc li mt s kin thc chun b lm c s theo dừi lun Chng Nghiờn cu s tn ti im bt ng da trờn tớnh y ca khụng gian nh Nguyờn lớ ỏnh x co Banach, cỏc m rng v ng dng ca nú Chng Trỡnh by s tn ti im bt ng khụng gian cú th t nh nh lớ Knaster - Tarski, nh lớ Tarski - Kantorovitch Xột mi liờn h gia khỏi nim th t v tớnh y ta thu c nh lớ Bishop Phelps, nh lớ im bt ng Carsti, nh lớ Ekeland Trong chng ny cũn trỡnh S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn by im bt ng ca ỏnh x co a tr, ng thi xột mt vi ng dng vo nghiờn cu hỡnh hc ca khụng gian Banach, vo nghiờn cu im ti hn Chng Nghiờn cu s tn ti im bt ng da trờn tớnh li c th l da trờn Nguyờn lớ ỏnh x KKM Lun ny c hon thnh vi s hng dn tn tỡnh ca PGS.TS Trng Xuõn c H , tỏc gi xin by t lũng kớnh trng v s bit n sõu sc n cụ Tỏc gi xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ giỏo phn bin ó c v úng gúp nhiu ý kin quý bỏu cho lun ca tỏc gi; cỏc thy cụ giỏo Khoa Toỏn, Trng i hc S phm Thỏi Nguyờn; cỏc thy cụ giỏo Vin Toỏn hc cựng ton th bn bố ó úng gúp ý kin, giỳp , ng viờn tỏc gi quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Cui cựng, tỏc gi xin gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố, nhng ngi ó to iu kin thun li v ng viờn tỏc gi hon thnh lun ny Do thi gian v kinh nghim cũn nhiu hn ch nờn lun khụng trỏnh nhng thiu sút Tỏc gi rt mong nhn c s gúp ý t thy cụ v cỏc bn Tỏc gi xin chõn trng cm n! Thỏi Nguyờn, ngy 22 thỏng nm 2008 Hc viờn Trng Th Hi Yn Chng MT S KIN THC CHUN B Chng ny ta nhc li mt s khỏi nim v mt s nh lớ quan trng c dựng lun ([1],[ 2],[ 4],[5]) 1.1 Tớnh compact v tớnh y nh ngha 1.1.1 Cho X l mt khụng gian mờtric vi mờtric d Mt dóy { xn } X c gi l dóy Cauchy nu lim d ( xn , xm ) = , tc l vi n, m mi > , tn ti n0 cho vi mi n, m > n0 ta cú d ( xn , xm ) < nh ngha 1.1.2 Khụng gian mờtric X gi l y (hay y) nu mi dóy Cauchy nú u hi t Vớ d: n l khụng gian mờtric y vi khong cỏch Euclid nh ngha 1.1.3 Tp A ca khụng gian mờtric X c gi l compact nu vi mi dóy { xn } A , tn ti dóy {xn k } hi t n mt phn t ca A Tp A gi l compact tng i nu bao úng A ca A X l compact Vớ d: Mi úng v b chn n l compact nh ngha 1.1.4 Cho X v Y l hai khụng gian Banach Toỏn t T : D(T ) X Y c gi l toỏn t compact nu T l liờn tc v T bin mt b chn thnh mt compact tng i nh lớ 1.1.5 (Nguyờn lớ Cantor) Trong khụng gian mờtric y mi dóy hỡnh cu úng tht dn u cú mt im chung nht Ta nhc li, dóy hỡnh cu {Bn } (vi dóy bỏn kớnh tng ng {rn } ) c gi l tht dn nu Bn+1 Bn , vi mi n v lim rn = n nh lớ 1.1.6 (nh lớ im bt ng Schauder) Cho M l mt khụng rng, li, úng, b chn ca khụng gian Banach X , v gi s T : M M l toỏn t compact Khi ú, T cú mt im bt ng 1.2 Tớnh b chn v tớnh liờn tc ca hm s Cho X l khụng gian mờtric Gi s A X , : A v x0 A f nh ngha 1.2.1 Hm f b chn di trờn A nu tn ti h : f ( x) h vi mi x A Hm f b chn trờn trờn A nu tn ti h : f ( x) vi h mi x A nh ngha 1.2.2 Hm f l na liờn tc di ti x0 A nu vi mi > , tn ti > cho f ( x0 ) f ( x) < lim inf f ( x) f ( x0 ) Trong ú, x x0 vi mi x B( x0 , ) , l tc lim inf f ( x) = inf {u : ( xn ) x0 , f ( xn ) x x0 u} Nu f l na liờn tc di ti mi im x A thỡ f c gi l na liờn tc di trờn A Hm f c gi l na liờn tc trờn trờn A nu hm f l na liờn tc di trờn A 1.3 Tp sp th t nh ngha 1.3.1 Tp X cựng vi quan h tho i) x x vi mi x X (tớnh phn x) ii) x y , y x kộo theo x = y (tớnh phn i xng) iii) x y , y z kộo theo x z (tớnh bc cu) c gi l sp th t b phn vi quan h th t nh ngha 1.3.2 Tp A X c gi l sp th t tuyn tớnh (hay xớch) nu vi x, y A bt kỡ thỡ hoc x y hoc y x Gi s X l mt sp th t vi quan h th t v A l mt khỏc rng ca X nh ngha 1.3.3 Mt phn t a X gi l phn t cc i ca X nu quan h a x kộo theo x = a , vi mi x X Mt phn t a gi l phn t X cc tiu ca X nu quan h x a kộo theo x = a , vi mi x X nh ngha 1.3.4 Phn t a X gi l cn trờn ca A nu x a vi mi x A Nu a v a l mt cn trờn ca A thỡ a gi l phn t ln nht A ca A v kớ hiu l max A Phn t a X gi l cn di ca A nu a x vi mi x A Nu a v a l mt cn di ca A thỡ a gi l A phn t nh nht ca A v kớ hiu l A nh ngha 1.3.5 Phn t a X gi l supremum ca A (hay cn trờn ỳng ca A ) nu nú l phn t nh nht (nu cú) ca hp cỏc cn trờn ca A , v kớ hiu l supA Phn t a X gi l infimum ca A (hay cn di ỳng ca A ) nu nú l phn t ln nht (nu cú) ca hp cỏc cn di ca A , v kớ hiu l inf A nh ngha 1.3.6 Tp hp A c gi l b chn trờn nu nú cú mt cn trờn Tp hp A c gi l b chn di nu nú cú mt cn di Tp hp A c gi l b chn nu nú b chn trờn v b chn di B 1.3.7 (B Zorn) Gi s X l sp th t b phn Nu mi xớch ca X u cú cn trờn thỡ X cú phn t cc i 1.4 Khụng gian im bt ng nh ngha 1.4.1 Cho X l mt khụng gian tụpụ (Hausdorff ) v f l mt ỏnh x liờn tc ca X, hoc ca mt ca im x X X , vo X Mt c gi l mt im bt ng i vi f nu x = f ( x) Tp tt c cỏc im bt ng ca f ký hiu l Fix( f ) Ngi ta cú th thy c nh ngha ny, dng in hỡnh ca cỏc nh lớ v tn ti gii tớch Vớ d: tỡm mt nghim ca phng trỡnh P( z) = , ú P l mt a thc phc, tng ng vi vic tỡm mt KKM thng xut hin lý thuyt trũ chi v Toỏn kinh t nh lớ 4.2.1 (von Newmann) Cho X v Y l hai khụng rng, li, compact ca hai khụng gian tụpụ tuyn tớnh (Hausdorff ) EX v EY Gi s f : X Y l hm thc tho (i) x f ( x, y) l lừm v na liờn tc trờn vi mi y Y , (ii) y f ( x, y) l li v na liờn tc di vi mi x X Khi ú (A) Cú mt im ( x0 , y0 ) X cho Y f ( x, y0 ) f ( x0 , y)vi mi ( x, y) X Y im ( x0 , y0 c gi l im yờn nga i vi f ) (B) max f ( x, y) = f ( x0 , y0 ) = max f ( x, y) xX yY yY xX Chng minh (A) Theo Vớ d 4.1.4, ỏnh x G : X Y X xỏc nh bi Y G( x, y) = {( x, y) EX EY : f ( x, y f ( x, y) 0} ) l ỏnh x KKM mnh vỡ hm f l hm lừm - li Theo B 4.1.2, G l ỏnh x KKM Hn na, vi mi ( x, y) hm ( x, y) f ( x, y) f ( x, y) l li v na liờn tc di nờn cỏc G( x, y) l li, úng Theo nh lý 4.1.7, tn ti ( x0 , y0 cho ( x0 , y0 ) G( x, vi mi ( x, y) X Y ; iu ny núi mt ) y) cỏch chớnh xỏc rng ( x0 , y0 l mt im yờn nga i vi f ) B) Ta cú f ( x, y) max f ( x, suy f ( x, y) max f ( x, ú y) y) xX yY yY max f ( x, y) max f ( x, y) xX (4.4) xX yY yY xX Theo ý (A), f ( x, y0 ) f ( x0 , y)vi mi ( x, y) X Y Khi ú, cho x = x0 v trỏi ta c f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y)vi mi y Y nờn f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y) max f ( x, y) yY xX (4.5) yY Tng t, cho y = y0 v phi ta c f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) vi mi x X vỡ th max f ( x, y) max f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) yY xX (4.6) xX Do (4.5) v (4.6), ta cú max f ( x, y) f ( x0 , y0 ) max f ( x, y) yY xX xX (4.7) yY T (4.4) v (4.7), max f ( x, y) = f ( x0 , y0 ) = max f ( x, y) xX yY yY xX T nh lý trờn ta thu c hai kt qu quan trng lý thuyt h vụ hn cỏc bt ng thc Cho X E l compact li khụng gian tụ pụ tuyn tớnh (Hausdorff) E v cho = {} l mt h khụng rng c ỏc hm thc : X , vi l li v na liờn tc di a cụng thc tng quỏt ta gi s [ ] l bao li ca khụng gian vộc t X , chỳng ta s xột hai sau: (P1 ) Tn ti x0 X cho ( x0 ) vi mi (P2 ) Vi mi y [ ] tn ti x cho y ( x ) X nh lớ 4.2.2 Hai bi toỏn (P1 ) v (P2 ) l tng ng Núi cỏch khỏc, ho c a) Cú x0 X tho ( x0 ) vi mi , hoc b) Cú y [ ] cho y ( x) > vi mi x X Chng minh (P1 ) (P2 ) Hin nhiờn vỡ nu tn ti mi , ta chn x0 = x v y , thỡ vi mi x0 X cho ( x0 ) vi y [ ] , tn ti x X cho y ( x ) (P2 ) (P1 ) Gi s (P2 ) cho y ( x ) ; v xột ỳng, tc l vi mi y [ ] tn ti x X S ( ) = { x X : ( x) 0} Ta phi chng minh S ( ) T cỏc S ( l li, úng v khụng rng (do (P2 ) ), ta ch ) rng h {S ( ) : } cú tớnh cht giao hu hn Gi s ,,n ; n = (1 ,, n ) n : i 0, i, i = , i=1 v trờn tớch ca hai compact li X v ta xột hm f : X cho bi n f ( x, ) = ii ( x) i=1 Ta cú x f ( x, ) l lừm v na liờn tc trờn vi mi ; f ( x, ) l li v na liờn tc di vi mi x X Theo nh lớ 4.2.1, f cú mt im yờn nga, tc l tn ti ( x0 , ) X f ( x , ) f ( x, ) cho vi mi n ( x, ) X Ta cú th núi cỏch khỏc, tn x0 X v y = i i [ ] i=1 ti cho i ( x0 ) y ( vi mi i [ n ] v mi x X Theo (P ) , tn x) ti x X n cho y ( x ) nờn i ( x0 ) y ( x ) vi mi i [ n ] , ú x0 S (i ) i=1 Nh vy, S ( khụng rng, ngha l tn ti x0 X tho ( x0 ) vi ) mi Gi s X l mt v = { } l mt h khỏc rng ca cỏc hm thc : X Ta núi rng l lừm theo ngha ca Fan (hoc n gin l F - lừm) nu vi mi t hp li n i i ca ,,n cú cho i=1 ( x) n ( x) vi mi x X i i=1 i H qu 4.2.3 Cho X l khỏc rng, li, compact ca mt khụng gian tụpụ tuyn tớnh (Hausdorff ) E v = { } l mt h F - lừm cỏc hm thc, li, na liờn tc di : X Khi ú cỏc iu kin sau l tng ng: A) Tn ti x0 X cho ( x0 ) vi mi , B) Vi mi tn ti x cho ( x ) X Chng minh A) B) Gi s khụng tn ti x0 X cho ( x0 ) vi mi Theo nh lớ 4.2.2, ta cú t hp li n [ ] cho i i i=1 n ( x) > vi mi x X , i i i=1 v = { } l h F - lừm, vỡ th ( x) n ( x) > vi mi x X , ; i i i=1 tc l khụng tn ti x X cho ( x ) , Nh vy, nu tn ti x0 X cho ( x0 ) vi mi thỡ vi mi tn ti x X cho ( x ) (B) (A) Hin nhiờn vỡ nu vi mi tn ti x cho ( x ) X ta chn x0 = x 0, thỡ tn ti x0 X cho ( x0 ) vi mi 4.3 im bt ng ca ỏnh x Affine nh lớ Markoff - Kakutani Trong phn ny ta phỏt biu mt nh lớ im bt ng cho cỏc ỏnh x affine liờn tc, ú l nh lớ Markoff Kakutani Cho E l mt khụng gian tụpụ tuyn tớnh, E * l khụng gian liờn h p ca E, tc l E * l khụng gian cỏc phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn E Ta núi rng E cú nhiu cỏc phim hm tuyn tớnh nu cỏc phn t ca E * l tỏch c cỏc im ca E , tc l vi mi x cú mt l E * cho l ( x) E nh lớ 4.3.1 Cho E l mt khụng gian tụp ụ tuyn tớnh (Hausdorff ) cú nhiu cỏc phim hm tuyn tớnh, C E l mt compact, li, khỏc rng v F : C E l mt ỏnh x affine liờn tc Gi thit rng vi mi y C, y Fy , on thng [ y, Fy ] cha ớt nht hai im ca C Khi Fix(F ) ú Chng minh Cho l l mt phn t ca E * Trc tiờn, ta gii bt phng trỡnh C l (Fy y) (4.8) Xột hm liờn t l C : C Do l l hm liờn tc trờn compact C nờn c tn ti y0 C l cc i C Nu Fy0 y0 thỡ theo iu gi nh, tn ti > cho im Fy0 + (1 ) nm C Khi ú y0 l [ Fy0 + (1 ) y0 ] l ( y0 ) , v vỡ vy l (Fy0 y0 ) Vỡ > nờn ta cú l (Fy0 y0 ) tc l y0 l 0, nghim ca bt phng trỡnh (4.8) Bõy gi ta xột trờn C h = { } ca cỏc hm li liờn tc : C xỏc nh bi ( y) = l (Fy y), y ú l E * Theo nh lý 4.2.2, tn C, ti y0 C cho l (Fy0 y0 ) vi mi l E * Vỡ E cú nhiu cỏc hm tuyn tớnh nờn vi mi Fy0 y0 thỡ cú mt lE * cho l (Fy0 y0 ) Gi s l (Fy0 y0 ) < ta cú l (Fy0 y0 ) > , iu ny mõu thun vi l (Fy0 y0 ) vỡ l Do vy, t l (Fy0 y0 ) vi mi l E * s tn * E ti y0 C tho l (Fy0 y0 ) = , tc Fy0 = y0 Vy Fix(F ) l nh lý 4.3.2 (Markoff - Kakutani) Cho C l mt compact, li, khỏc rng mt khụng gian tụpụ tuyn tớnh (Hausdorff ) vi nhiu cỏc phim hm tuyn tớnh v F l mt h giao hoỏn cỏc ỏnh x affine liờn tc t C vo C Khi ú F cú mt im bt ng chung Chng minh Theo nh lý 4.3.1, vi mi F F ta cú Fix(F ) Hn na, Fix(F ) l compact, úng compact C v Fix(F ) l li (vỡ F l ỏnh x affine) Ta phi chng minh rng { Fix(F ) : F F } Vỡ mi Fix(F ) l compact, ta ch cn ch rng mi giao hu hn n Fix(F1 ,, Fn ) Fix(Fi ) i=1 Ta chng minh bng phng phỏp quy np: Vi n = nh lý ỳng vỡ Fix(F ) vi mi F F Gi thit Fix(F1 ,, Fi ) vi i < n , ta phi chng minh Do h F giao hoỏn nờn Fi ( x) = vỡ th x Fix(F1 ,, Fn ) x Fix(F1 ,, Fn ta cú Fi [ Fn ( x) ] = Fn [ Fi ( x) ] ) Cho Fi [ Fn ( x) ] = Fn [ Fi ( x)] = Fn ( x) vi mi i < n Nh vy, Fn ( x) l im bt ng ca Fi vi mi i < n hay Fn ( x) Fix(F1 ,, Fn ) , Vỡ Fix(F1 ,, Fn l compact, li, k hỏc rng nờn theo nh lớ 2.3.3.1 ta ) c Fix(F1 ,, Fn ) KT LUN Lun Mt s nh lớ im bt ng trỡnh by mt cỏch chi tit hn mt s nh lớ im bt ng ti liu A.Granas, J.Dugundji Fixed point Theory Springer Verlag NewYork, 2003 C th lun ó hp c cỏc kt qu sau: H thng cỏc khỏi nim: Tớnh compact v tớnh y , tớnh b chn v tớnh liờn tc ca hm s, sp th t, im bt ng, khụng gian im bt ng Nghiờn cu s tn ti im bt ng da trờn tớnh y ca khụng gian nh Nguyờn lớ ỏnh x co Banach, cỏc m rng v ng dng ca nú Trỡnh by s tn ti im bt ng khụng gian cú th t nh nh lớ Knaster - Tarski, nh lớ Tarski Kantorovitch, nh lớ Bishop Phelps, nh lớ im bt ng Car isti, nh lớ Ekeland, nh lớ Nadler, nh lớ Danes Nguyờn lớ ỏnh x KKM v im bt ng ca ỏnh x Affine Ti liu tham kho Nguyn Vn Khuờ, Bựi c Tc, c Thỏi (2001), C s lớ thuyt hm v gii tớch hm - 1, Nh xut bn Giỏo dc, H Ni Nguyn Vn Khuờ, Lờ Mu Hi (2001), C s lớ thuyt hm v gii tớch hm - 2, Nh xut bn Giỏo dc, H Ni Hng Tõn, Nguyn Th Thanh H (2003), Cỏc nh lớ im bt ng, Nh xut bn i hc S phm, H Ni A.Granas, J.Dugundji (2003), Fixed point Theory, Springer Verlag, NewYork E.Zeidler (1986), Nonlinear Functional Analysis and its applications I, Springer [...]... điểm bất động hay không, những kết quả thuộc loại đó thường có rất nhiều hệ quả tôpô quan trọng Một ví dụ là định lí điểm bất động Brouwer chỉ ra rằng: Mọi tập compact lồi trong  n đều là không gian điểm bất động Tính chất là không gian điểm bất động là một bất biến tôp : nếu X là không gian điểm bất động và h : X → Y là đồng phôi thì với bất kì ánh xạ liên tục g : Y → Y , ánh ạx h− 1  g  h : X →... → có một điểm bất động (ii) Định lí điểm bất động Schauder có nhiều ứng dụng trong giải tích đã khẳng định rằng: Mọi tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn là không gian điểm bất động đối với các ánh xạ compact Do ảnh liên tục của một tập compact là một tập compact, có thể sử dụng các kỹ thuật tương tự để chỉ ra rằng tính chất là không gian điểm bất động là một bất biến tôpô Chẳng hạn, một. .. b điểm ⊂  bất kỳ là một không gian bất động Thật vậy, cho f : J → J ta có a − f (a) ≤ và b − f (b) ≥ 0 , 0 theo định lý giá trị trung bình phương trình x − f (x) = có một nghiệm trong J, 0 do đó f có một điểm bất động (ii) Tập số thực  không là không gian điểm bất động, vì ánh xạ x  x +1 không có điểm bất động Trong trường hợp tổng quát, rất khó để kiểm định là một không gian có là không gian điểm. .. Chẳng hạn, một tập mở bất kì ( a, b ) ⊂  , cũng như 1 đồ thị của sin các , 0 < x < 1, là một không gian điểm bất động đối với x ánh xạ compact 1.5 Tạo không gian điểm bất động mới từ không gian cũ Nói chung, một không gian con của một không gian điểm bất động không nhất thiết là một không gian điểm bất động: chẳng hạn {a, b} ⊂ b a, không có tính chất điểm bất động Tuy nhiên, một số không gian con có...  h : X → X có một điểm bất động x0 nên g  h(x0 ) = h(x0 và h( x0 ) là một điểm bất động đối với g ) Ví dụ 1.4.4 Đồ thị của hàm liên tục f : f (x) = 1 x sin a, b khi →  , cho bởi 0ñ (1.1) Tầm quan trọng của khái niệm này trong lý thuyết điểm bất động bắt nguồn từ kết quả sau: Định lí 1.5.2 Nếu X là một không gian điểm bất động (tương ứng , một không gian điểm bất động đối với các ánh ... điểm bất động không gian có thứ tự .39 3.1 Định lí Knaster - Tarski……………………………………………… 39 3.2 Tính thứ tự tính đầy đủ Định lí Bishop - Phelps…………………….42 3.3 Điểm bất động ánh xạ co đa trị……………………………………... rộng ứng dụng Chương Trình bày tồn điểm bất động không gian có thứ tự Định lí Knaster - Tarski, Định lí Tarski - Kantorovitch Xét mối liên hệ khái niệm thứ tự tính đầy đủ ta thu Định lí Bishop –... tham khảo………………………………………………………….64 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Cho C tập không gian X , F ánh xạ từ C vào X Phải đặt điều kiện C , X F