Định lý điểm bất động kiểu browder và cân bằng nash trong lý thuyết trò chơi 1

Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI SƯ PHẠM——————–o0o——————–TRẦN LAN CHIĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU BROWDERVÀ CÂN BẰNG NASH TRONG LÝ THUYẾT TRÒ CHƠILUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Trang 2 ĐẠ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI SƯ PHẠM

——————–o0o——————–

TRẦN LAN CHI

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU BROWDER

VÀ CÂN BẰNG NASH TRONG LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2022

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI SƯ PHẠM

TRẦN LAN CHI

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU BROWDER

VÀ CÂN BẰNG NASH TRONG LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS BÙI THẾ HÙNG

Thái Nguyên - 2022

Lời cam đoan

Tôi cam đoan đã thực hiện việc kiểm tra mức độ tương đồng nội dung luậnvăn qua phần mềm Turnitin một cách trung thực và đạt kết quả mức độtương đồng 24% Bản luận văn kiểm tra qua phần mềm là bản cứng đãnộp để bảo vệ trước hội đồng Nếu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 07 năm 2022

TÁC GIẢ

Trần Lan Chi

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới tiến sĩ Bùi Thế Hùng, người đã trực tiếp hướng dẫn,giúp đỡ, chỉ bảo tận tình, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thànhluận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, cùng toàn thể các thầy côgiáo khoa Toán, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã truyềnthụ cho tôi những kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôinhững ý kiến đóng góp quý báu trong suốt quá trình học tập và thực hiệnluận văn

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã quantâm giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 07 năm 2022

Người viết luận văn

Trần Lan Chi

Mục lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt iv

Mở đầu 1

Chương 1 Định lí điểm bất động Browder 3

1.1 Không gian lồi địa phương 3

1.2 Ánh xạ đa trị và ví dụ 5

1.3 Một số tính chất của ánh xạ đa trị 8

1.4 Định lí điểm bất động Browder 12

1.5 Một số áp dụng 15

Chương 2 Định lý điểm bất động kiểu Browder và cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi 18

2.1 Định lý điểm bất động kiểu Browder 18

2.2 Cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi 24

Kết luận 32

Tài liệu tham khảo 33

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

Rn không gian véctơ Euclide n− chiều

Rn+ tập các véctơ không âm của Rn

Rn− tập các véctơ không dương của Rn

A ∩ B giao của hai tập hợp A và B

A\B hiệu của hai tập hợp A và B

A × B tích Descartes của hai tập hợp A và B

cl A bao đóng tôpô của tập hợp A

int A phần trong tôpô của tập hợp A

co A bao lồi của tập hợp A

u.s.c nửa liên tục trên

l.s.c nửa liên tục dưới

Mở đầu

Đến nay, lý thuyết điểm bất động đã ra đời và phát triển mạnh mẽ trongnăm thập kỷ gần đây Sự ra đời của Nguyên lý điểm bất động Brouwer(1912) đã hình thành hướng chính của lý thuyết điểm bất động cho ánh xạliên tục Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong chứng minh sựtồn tại điểm cân bằng trong mô hình kinh tế, sự tồn tại nghiệm tối ưu củanhiều bài toán trong lý thuyết tối ưu Một định lý điểm bất động nổi tiếngkhác được Browder [4] xây dựng trên không gian vectơ tôpô Hausdorff là

mở rộng của định lý điểm bất động Brouwer Năm 1987, Tarafdar [8] đãchứng minh một suy rộng của định lý điểm bất động Browder mà nó tươngđương với định lý Fan – Knaster – Kuratowski – Mazurkiewicz (FKKM)

đã được chứng minh bởi Ky Fan [5] Định lý FKKM được sử dụng đểchứng minh nhiều định lý khác như định lý điểm bất động, định lý điểmtrùng và bất đẳng thức minimax Năm 2020, J Liu, M Wang và Y Yuan[7] đã chứng minh một số suy rộng của định lý điểm bất động Browdertrên không gian vectơ tôpô Hausdorff mà họ gọi đó là định lý điểm bấtđộng kiểu Browder Ngoài ra, tác giả còn thiết lập một số ứng dụng vào

sự tồn tại cân bằng Nash suy rộng trong lý thuyết trò chơi suy rộng vớitập chiến lược không compact

Vì những lý do đó, chúng tôi chọn đề tài "Định lí điểm bất động kiểuBrowder và cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi" làm luận văn tốtnghiệp Mục đích của luận văn là trình bày lại kết quả của J Liu, M.Wang và Y Yuan trong công trình [7]

Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và tài

liệu tham khảo.

Chương 1 dành cho việc trình bày một số kiến thức về giải tích đa trị.Ngoài ra chúng tôi trình bày Định lí điểm bất động Browder và một số ápdụng của nó vào bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán tương giao.Chương 2 trình bày một số định lý điểm bất động kiểu Browder và ápdụng vào bài toán cân bằng Nash suy rộng trong lý thuyết trò chơi suyrộng

Chương 1

Định lí điểm bất động Browder

Giải tích đa trị được hình thành từ những năm 30 của thế kỷ 20 dochính nhu cầu của các vấn đề nảy sinh từ thực tiễn và cuộc sống Từkhoảng 10 năm trở lại đây với công cụ giải tích đa trị, các ngành toánhọc như lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, bấtđẳng thức biến phân và phương trình suy rộng, lý thuyết tối ưu, lý thuyếtđiều khiển, tối ưu đa mục tiêu, khoa học quản lý và toán kinh tế, pháttriển một cách mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng sâu sắc Trong chương này,chúng tôi trình bày một số kiến thức và kết quả quen biết về giải tích đatrị được chúng tôi trích ra từ cuốn sách chuyên khảo về giải tích đa trị [1].Ngoài ra, chương này chúng tôi trình bày định lý điểm bất động Browder

và một số áp dụng của nó vào bài toán bất đẳng thức biến phân và bàitoán tương giao trong công trình [4]

1.1 Không gian lồi địa phương

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X là không gian tuyến tính Tập A ⊆ X đượcgọi là lồi nếu với mọi x1, x2 ∈ A ta luôn có

λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A với mọi λ ∈ [0, 1]

Mệnh đề 1.1.2 Giả sử Aα ⊆ X là các tập lồi với mọi α ∈ I, với I là

Chứng minh ĐặtA = λ1A1+λ2A2+· · ·+λmAm.Lấy x, y ∈ A,khi đó tồntại xi ∈ Ai, yi ∈ Ai, i = 1, 2, , m sao cho x = λ1x1+ λ2x2+ · · · + λmxm,

y = λ1y1 + λ2y2 + · · · + λmym

Ta có

λx + (1 − λ)y = λ(λ1x1 + · · · + λmxm) + (1 − λ)(λ1y1 + · · · + λmym)

= λ1[λx1 + (1 − λ)y1] + · · · + λm[λxm+ (1 − λ)ym]

Do Ai là tập lồi nên λxi + (1 − λ)yi ∈ Ai, với mọi λ ∈ [0, 1] và với mọi

i ∈ {1, 2, , n} Từ đó suy ra λx + (1 − λ)y ∈ A, với mọi λ ∈ [0, 1] Vậy

A là tập lồi

Định nghĩa 1.1.4 Giả sử X là không gian tuyến tính, A là một tập concủa X Khi đó giao của tất cả các tập lồi chứa A được gọi là bao lồi củatập A và kí hiệu là co A

Định lý 1.1.5 Giả sử A là tập con của không gian tuyến tính X Khi đó

co A trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của tập A, tức là

Chứng minh Ta có co A là tập lồi Vì A ⊂ co A nên co A chứa tất cả các

tổ hợp lồi của A Hơn nữa tập tất cả các tổ hợp lồi của A là lồi và chứa A,

do đó nó chứa co A (vì co A là tập lồi nhỏ nhất chứa A) Vậy co A trùngvới tập tất cả các tổ hợp lồi của A

Định nghĩa 1.1.6 Cho X là không gian véctơ trên trường K.

(i) Một tôpô τ trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của

X nếu các phép toán cộng và nhân vô hướng là các ánh xạ liên tục.(ii) Một không gian tôpô tuyến tính hay không gian véctơ tôpô trêntrường K là một cặp (X, τ ), trong đó X là không gian véctơ trên trường

K và τ là một tôpô tương thích với cấu trúc đại số của X

Định nghĩa 1.1.7 Không gian tôpô tuyến tínhX được gọi là không gianlồi địa phương (và tôpô của nó là tôpô lồi địa phương), nếu trong X cómột cơ sở lân cận của gốc gồm toàn tập lồi Hơn vậy, nếu không gian lồiđịa phương X đồng thời là không gian Hausdorff thì X được gọi là khônggian lồi địa phương Hausdorff

Ví dụ 1.1.8 Không gian định chuẩn, không gian Hilbert là các khônggian lồi địa phương Hausdorff

1.2 Ánh xạ đa trị và ví dụ

Giả sử X và Y là hai tập hợp Ký hiệu 2X là tập tất cả các tập con của

X

Định nghĩa 1.2.1 Một ánh xạ đa trịF từ X vào Y mà ứng với mỗi phần

tử x ∈ X cho một tập con của Y, được ký hiệu F : X → 2Y

Thực chất, mỗi ánh xạ đa trị F : X → 2Y được đặc trưng bởi một tậpcon của X × Y, ký hiệu là gph F và được xác định bởi

gph F := (x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)

Tập hợp gph F được gọi là đồ thị của F

Miền xác định của F, ký hiệu dom F, xác định bởi

dom F := x ∈ X : F (x) ̸= ∅

Ví dụ 1.2.2 Xét hệ phương trình tuyến tính với hệ số thực

am1x1 + am1x2 + + amnxn = bm

Quy tắc cho ứng mỗi ma trận A = (aij)i=1,2, ,m;j=1,2, ,n ∈ Matm×n(R)

với tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính trên, kí hiệu bởiF (A), cho

ta một ánh xạ đa trị

F : Matm×n(R) → 2Rn

từ không gian các ma trận thực Matm×n(R) vào không gian Rn

Định nghĩa 1.2.3 Cho X, Y là các không gian tuyến tính và ánh xạ đatrị F : X → 2Y Ta nói rằng:

(i) F có giá trị lồi nếu F (x) là tập lồi trong Y, với mọi x ∈ X

(ii) F là ánh xạ lồi nếu gph F là tập lồi trong X × Y

Định nghĩa 1.2.4 Cho X, Y là các không gian tôpô và F : X → 2Y làánh xạ đa trị Ta nói rằng:

(i) F có giá trị đóng nếu F (x) là tập đóng trong Y, với mọi x ∈ X.(ii) F là ánh xạ đóng nếu gph F là tập đóng trong X × Y

(ii) F là ánh xạ mở nếu gph F là tập mở trong X × Y

(iii) F là ánh xạ compact nếu cl(F (X)) là tập compact trong Y

Ta dễ dàng chứng minh được kết quả đơn giản dưới đây

Mệnh đề 1.2.5 Giả sử X, Y là các không gian tôpô tuyến tính và ánh

xạ đa trị F : X → 2Y Khi đó:

(i) Nếu F là ánh xạ đóng thì F có giá trị đóng

(ii) Nếu F là ánh xạ mở thì F có giá trị mở

(iii) Nếu F là ánh xạ lồi thì F có giá trị lồi

(iv) F là ánh xạ lồi khi và chỉ khi

Hiển nhiên F là ánh xạ đa trị với giá trị lồi Tuy nhiên F không là ánh xạlồi

Ví dụ 1.2.7 Xét ánh xạ đa trị F : R → 2R xác định bởi

F (x) =



[0, 1], nếu x = 0,

R, trong trường hợp còn lại

Hiển nhiên ánh xạ F có giá trị đóng Mặt khác ta có

gph F = (x, y) ∈ R2 : y ∈ F (x) = ({0} × [0, 1]) ∪ (R\{0} ×R)

là tập không đóng trong R2 và như vậy F không là ánh xạ đóng

Định nghĩa 1.2.8 Cho X, Y, Z là các không gian tuyến tính và các ánh

(iv) Ánh xạ hợp thành của F và H là ánh xạ đa trị H ◦ F : X → 2Z xácđịnh bởi

(vi) Ánh xạ bao lồi của F là ánh xạ đa trị co F : X → 2Y xác định bởi

co F (x) = co(F (x)) với mọi x ∈ X

Định nghĩa 1.2.9 Cho X, Y là các không gian tôpô Ánh xạ bao đóngcủa F là ánh xạ đa trị cl F : X → 2Y mà đồ thị của nó là bao đóng của

(b) g nửa liên tục dưới (viết tắt là l.s.c) tại x ∈ X¯ nếu mỗi ε > 0, tồntại một lân cận U của x¯ sao cho

g(x) ⩾ g(¯x) − ε với mọi x ∈ U

(c) g liên tục tại x ∈ X¯ nếu nó là u.s.c và l.s.c tại x¯

Nhận xét Nếu X là không gian metric thì g là u.s.c (tương ứng, l.s.c)tại x¯ nếu và chỉ nếu với mỗi dãy {xn} hội tụ tới x¯, ta luôn có

(a) nửa liên tục trên (viết tắt là u.s.c) tại x¯nếu với mỗi tập mở U chứa

F (¯x), tồn tại lân cận N của x¯ sao cho F (N ) ⊂ U

(b) nửa liên tục dưới (viết tắt là l.s.c) tại x¯ nếu với mỗi tập mở U trong

Y thỏa mãn F (¯x) ∩ U ̸= ∅, tồn tại lân cận N của x¯ sao cho F (x) ∩ U ̸= ∅

với mọi x ∈ N

(c) liên tục tại x¯ nếu nó là u.s.c và l.s.c tại x¯

(d) u.s.c (l.s.c, liên tục) trên X nếu F là u.s.c (l.s.c, liên tục) tại mọiđiểm trên X

Các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới theo nghĩa Berge

là hoàn toàn khác nhau Các ví dụ dưới đây minh họa cho điều khẳng địnhđó

Ví dụ 1.3.3 Cho ánh xạ đa trị F : R → 2R xác định bởi công thức

F (x) =



R, nếu x = 0,{0}, nếu x ̸= 0

Khi đó dễ dàng kiểm tra được ánh xạ đa trị F là u.s.c tại x0 = 0, nhưng

F không l.s.c tại x0 = 0

Ví dụ 1.3.4 Cho ánh xạ đa trị F : R → 2R xác định bởi công thức

F (x) =



{0}, nếu x = 0,

R, trong trường hợp còn lại

Khi đó dễ dàng kiểm tra được ánh xạ đa trị F là l.s.c tại x0 = 0, nhưng

F không u.s.c tại x0 = 0

Mệnh đề sau đưa ra điều kiện cần và đủ để ánh xạ đa trị nửa liên tụcdưới và nửa liên tục trên

Mệnh đề 1.3.5 Giả sử X, Y là các không gian tôpô và ánh xạ đa trị

là l.s.c tại x nên tồn tại lân cận U của x sao cho

F (x) ∩ V ̸= ∅ với mọi x ∈ U ∩ dom F

Điều này chứng tỏ U ⊂ F−1(V ) Vậy F−1(V ) là tập mở

Ngược lại, lấyx0 ∈ dom F tùy ý vàV là là tập mởY thỏa mãnF (x0)∩V ̸=

∅ Từ đó suy ra x0 ∈ F−1(V ) Vì F−1(V ) mở trong X nên tồn tại lân cận

U của x0 sao cho U ⊂ F−1(V ) Điều này chứng tỏ F (x) ∩ V ̸= ∅ với mọi

F (x) ⊂ V với mọi x ∈ U ∩ dom F

Điều này chứng tỏ U ⊂ F−(V ) Vậy F−(V ) là tập mở

Ngược lại, lấyx0 ∈ dom F tùy ý vàV là là tập mởY thỏa mãnF (x0) ⊂ V

Từ đó suy ra x0 ∈ F−(V ) Vì F−(V ) mở trong X nên tồn tại lân cận

U của x0 sao cho U ⊂ F−(V ) Điều này chứng tỏ F (x) ⊂ V với mọi

x ∈ U ∩ dom F Vậy F là u.s.c

Bổ đề 1.3.6 Giả sử F : X → 2Y và G : X → 2Y là hai ánh xạ đa trịsao cho F là l.s.c và G có giá trị mở Khi đó H = F ∩ G là l.s.c

Chứng minh Với mọi tập con mở V trong Y, ta có

Mệnh đề 1.3.7 (Xem [6])Giả sử F : X → 2Y là ánh xạ đa trị từ khônggian tôpô Hausdorff X vào không gian tôpô Hausdorff Y Khi đó:

(i) Nếu F là u.s.c với giá trị đóng thì F là ánh xạ đóng

(ii) Nếu F là ánh xạ đóng và Y compact thì F là u.s.c

(ii) Nếu F có giá trị compact thì F là l.s.c tại x0 ∈ X nếu và chỉ nếuvới mỗi y0 ∈ F (x0) và dãy suy rộng {xα} trong X hội tụ về x0, tồn tạidãy suy rộng {yα}, yα ∈ F (xα) với mọi α, sao cho yα → y0

Định nghĩa 1.3.8 Một hàm f : D → R xác định trên tập lồi D đượcgọi là

(i) lồi nếu với mọi x, y ∈ D và λ ∈ [0, 1] ta luôn có

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)

(ii) lõm nếu −f là lồi

(iii) tựa lồi nếu x, y ∈ D và λ ∈ [0, 1] ta luôn có

f (λx + (1 − λ)y) ≤ max{f (x), f (y)}

(iv) tựa lõm nếu −f là tựa lồi

1.4 Định lí điểm bất động Browder

Định lý 1.4.1 (Định lí phân hoạch đơn vị, [10]) Giả sử D là tập khôngrỗng compact của không gian lồi địa phương Hausdorff X và {Uα}α∈I làphủ mở của D Khi đó tồn tại các hàm liên tục ψi : D → R, (i = 1, 2, , s)

(3) Với mỗi i ∈ {1, 2, , s}, tồn tại j(i) ∈ {1, 2, , s} thỏa mãn

supp ψi ⊆ Upj(i), ở đây supp ψi := {x ∈ D : ψi(x) > 0}

Năm 1912, Brouwer [3] đã chứng minh điểm bất động cho ánh xạ đơntrị liên tục trên không gian hữu hạn chiều

Định lý 1.4.2 (Định lý điểm bất động Brouwer, [3]) Cho D là tập conkhông rỗng, lồi, compact của không gian hữu hạn chiều X Giả sử ánh xạđơn trị T : D → D liên tục Khi đó tồn tại x ∈ D sao cho x = T x.

Năm 1968, Browder [4] đã mở rộng kết quả trên cho ánh xạ đa trị trênkhông gian vô hạn chiều

Định lý 1.4.3 (Định lý điểm bất động Browder, [4])

Cho D là tập con không rỗng, lồi, compact của không gian véctơ tôpôHausdoff X Giả sử ánh xạ đa trị T : D → 2D thỏa mãn các điều kiện:(i) T có giá trị không rỗng và lồi;

(ii) Với mỗi y ∈ D, tập T−1(y) := {x ∈ D : y ∈ T x} là mở trong D.Khi đó tồn tại x ∈ D sao cho x ∈ T x

Chứng minh Với mỗi y ∈ D, tập T−1(y) := {x ∈ D : y ∈ T x} là mởtrong D nên D = S

y∈DT−1(y) Vì D compact nên tồn tại họ hữu hạn

{y1, y2, , yn} của D sao cho D = Sn

i=1T−1(yi) Khi đó {T−1(yi)}ni=1 làphủ mở của D Theo Định lý 1.4.1, tồn tại các hàm liên tục ψi : D →

(3) nếu ψi(x) > 0 thì kéo theo x ∈ T−1(yi)

Xét ánh xạ p : co{yi : i ∈ {1, 2, , n}} → co{yi : i ∈ {1, 2, , n}} bởi

p(x) =

n

X

i=1

ψi(x)yi với mọi x ∈ co{yi : i ∈ {1, 2, , n}}

Khi đó p là ánh xạ liên tục Áp dụng Định lý điểm bất động Brouwer, tồntại x ∈ D¯ sao cho x = p(¯¯ x) Đặt I(¯x) := {i ∈ {1, 2, , n} : ψi(¯x) > 0}

Mặt khác, với i ∈ I(¯x), ta có x ∈ T¯ −1(yi) Do đó yi ∈ T (¯x) với mọi

i ∈ I(¯x) Từ đó suy ra

co{yi : i ∈ I(¯x)} ⊂ T (¯x) (1.2)

Từ (1.1) và (1.2) ta thu được x ∈ T (¯¯ x) Định lý được chứng minh

Định nghĩa 1.4.4 Giả sử D là tập con không rỗng của X Ánh xạ đatrị F : D → 2X được gọi là ánh xạ KKM nếu với mọi tập con hữu hạn