Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI SƯ PHẠM——————–o0o——————–TRẦN LAN CHIĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU BROWDERVÀ CÂN BẰNG NASH TRONG LÝ THUYẾT TRÒ CHƠILUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Trang 2 ĐẠ
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI SƯ PHẠM ——————–o0o——————– TRẦN LAN CHI ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU BROWDER VÀ CÂN BẰNG NASH TRONG LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2022 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI SƯ PHẠM TRẦN LAN CHI ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU BROWDER VÀ CÂN BẰNG NASH TRONG LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS BÙI THẾ HÙNG Thái Nguyên - 2022 Lời cam đoan Tôi cam đoan đã thực hiện việc kiểm tra mức độ tương đồng nội dung luận văn qua phần mềm Turnitin một cách trung thực và đạt kết quả mức độ tương đồng 24% Bản luận văn kiểm tra qua phần mềm là bản cứng đã nộp để bảo vệ trước hội đồng Nếu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm Thái Nguyên, ngày 15 tháng 07 năm 2022 TÁC GIẢ Trần Lan Chi Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới tiến sĩ Bùi Thế Hùng, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn này Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, cùng toàn thể các thầy cô giáo khoa Toán, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã quan tâm giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 15 tháng 07 năm 2022 Người viết luận văn Trần Lan Chi ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt iv Mở đầu 1 Chương 1 Định lí điểm bất động Browder 3 1.1 Không gian lồi địa phương 3 1.2 Ánh xạ đa trị và ví dụ 5 1.3 Một số tính chất của ánh xạ đa trị 8 1.4 Định lí điểm bất động Browder 12 1.5 Một số áp dụng 15 Chương 2 Định lý điểm bất động kiểu Browder và cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi 18 2.1 Định lý điểm bất động kiểu Browder 18 2.2 Cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi 24 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 iii Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt R tập các số thực tập số thực không âm R+ tập số thực không dương không gian véctơ Euclide n− chiều R− tập các véctơ không âm của Rn Rn tập các véctơ không dương của Rn tập tất cả các tập con của X n ánh xạ đơn trị từ tập X vào tập Y ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y R+ miền định nghĩa của ánh xạ đa trị F đồ thị của ánh xạ đa trị F n A được định nghĩa bằng B tập rỗng R− A là tập con của B 2X A không là tập con của B f :X→Y hợp của hai tập hợp A và B F : X → 2Y giao của hai tập hợp A và B dom F hiệu của hai tập hợp A và B gph F A := B iv ∅ A⊂B A̸ ⊂ B A∪B A∩B A\B A×B tích Descartes của hai tập hợp A và B cl A bao đóng tôpô của tập hợp A int A phần trong tôpô của tập hợp A co A bao lồi của tập hợp A u.s.c nửa liên tục trên l.s.c nửa liên tục dưới 2 kết thúc chứng minh v Mở đầu Đến nay, lý thuyết điểm bất động đã ra đời và phát triển mạnh mẽ trong năm thập kỷ gần đây Sự ra đời của Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) đã hình thành hướng chính của lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ liên tục Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong chứng minh sự tồn tại điểm cân bằng trong mô hình kinh tế, sự tồn tại nghiệm tối ưu của nhiều bài toán trong lý thuyết tối ưu Một định lý điểm bất động nổi tiếng khác được Browder [4] xây dựng trên không gian vectơ tôpô Hausdorff là mở rộng của định lý điểm bất động Brouwer Năm 1987, Tarafdar [8] đã chứng minh một suy rộng của định lý điểm bất động Browder mà nó tương đương với định lý Fan – Knaster – Kuratowski – Mazurkiewicz (FKKM) đã được chứng minh bởi Ky Fan [5] Định lý FKKM được sử dụng để chứng minh nhiều định lý khác như định lý điểm bất động, định lý điểm trùng và bất đẳng thức minimax Năm 2020, J Liu, M Wang và Y Yuan [7] đã chứng minh một số suy rộng của định lý điểm bất động Browder trên không gian vectơ tôpô Hausdorff mà họ gọi đó là định lý điểm bất động kiểu Browder Ngoài ra, tác giả còn thiết lập một số ứng dụng vào sự tồn tại cân bằng Nash suy rộng trong lý thuyết trò chơi suy rộng với tập chiến lược không compact Vì những lý do đó, chúng tôi chọn đề tài "Định lí điểm bất động kiểu Browder và cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi" làm luận văn tốt nghiệp Mục đích của luận văn là trình bày lại kết quả của J Liu, M Wang và Y Yuan trong công trình [7] Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và tài 1 liệu tham khảo Chương 1 dành cho việc trình bày một số kiến thức về giải tích đa trị Ngoài ra chúng tôi trình bày Định lí điểm bất động Browder và một số áp dụng của nó vào bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán tương giao Chương 2 trình bày một số định lý điểm bất động kiểu Browder và áp dụng vào bài toán cân bằng Nash suy rộng trong lý thuyết trò chơi suy rộng 2 Chương 1 Định lí điểm bất động Browder Giải tích đa trị được hình thành từ những năm 30 của thế kỷ 20 do chính nhu cầu của các vấn đề nảy sinh từ thực tiễn và cuộc sống Từ khoảng 10 năm trở lại đây với công cụ giải tích đa trị, các ngành toán học như lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân và phương trình suy rộng, lý thuyết tối ưu, lý thuyết điều khiển, tối ưu đa mục tiêu, khoa học quản lý và toán kinh tế, phát triển một cách mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng sâu sắc Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức và kết quả quen biết về giải tích đa trị được chúng tôi trích ra từ cuốn sách chuyên khảo về giải tích đa trị [1] Ngoài ra, chương này chúng tôi trình bày định lý điểm bất động Browder và một số áp dụng của nó vào bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán tương giao trong công trình [4] 1.1 Không gian lồi địa phương Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X là không gian tuyến tính Tập A ⊆ X được gọi là lồi nếu với mọi x1, x2 ∈ A ta luôn có λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A với mọi λ ∈ [0, 1] Mệnh đề 1.1.2 Giả sử Aα ⊆ X là các tập lồi với mọi α ∈ I, với I là 3