Định lý điểm bất động kiểu krasnosel skii một số phương trình tích phân

Trang 1

BO GIAO DUC VA DAO TAO

LBỊNH LÝ ĐIÈM BÁT ĐỘNG KIỂU KRASN0SEÍSKII

Trang 2

L:2: Dinely (Neyer lý tHÌ Xã Of EaaaeeeodieogisniiinyotoidrdiisfL0031006 016106018)510093480008) 4

Hệ quả 1.2 3 ¬— 4

HỆ QUA: Ì Gia ungatnaatictkaig1051204601i1010100135806158669ág010106104454610610109585590G405131561861 gug88 4 Fr NN 5 nan eesrenarsroi igerrosssirct0 0PsycsSi-y0110c1g2600210203100216016x-55 5

I3: Khơng giáđ lỗi địa BHỮƠE su sacugvatasatoal450010 620 080050000400300k24 288 e1 5

1.8: KHÔHE pin PT€CNEIEceoeusoinaeorttidagtiittiirtartbaguvittet3ttDalW961384058109030007068ã0060082000i080 5 1.5: Tiéu chuan cua Ascoli Arzela về tính compact của M -.-c sc55¿ 5 1.6: Dinh ly diém bat déng Schauder-Tychonoff: .0 ccccccccscesecsecesseseeseeeees 5 FE ON uoanoeinrdggisgtvkeoptirotDEVBUSAHOSDAIGB000/780/018510108)81107094/8iMAIMBIIBEG1053080WN0EB30114800/01G33986E 5 CHUONG 2: BINH LY DIEM BAT DONG KIEU KRASNOSEL’SKII TRONG

KHONG GIAN LOI DIA PHUONG Eụ ccscccssssssesssesessssssssersessssveseesssssevevevsessveve 6

"Huynh iiảảảảa4 6 Nigh Xếi 21? saavoggtceGawEBNttfgtiftSESINH049085969A0300090461344361248W0G3VA44sug 6 2.2: ĐỊNH LÝ ĐIÊM BÁT ĐỘNG KIÊU KRASNOSEL'SKII: 7

Mệnh dé 2.2: (Nguyên lý hội tụ của Solomon Leader): - - 7 ĐỊNH ý 32: kaasosiierandudetiiiiaotiiitiiitOSù9003ã00123800080830104015840I90489810399000081158 7 l8 {20275ẺXnggởớởẰỶẦd 11 ĐịnH WW 2228 cess cesses ccarevomssvansanvon paceeasreuserciannwan cinerea NTE II ETỆ tHÁ Sổ ThunngggoeheuhgDoingticitotain0700001013048400680501813000663/0151019000XGDH2GÓNGHIUVVIHEGHMGUHODEĐ ND 12 DỊ lý 25252: eneeeineeneansesssensessssessseniijoilteesglejd@ugiiẹuqiaogg 12 ĐỊNH lý 2 TL Luucraiagiagididtiidiii11014186114061160011/2LX8430366200360033050ã655066ii0án88E0181140512 15 BO dE h 17

NHận KÉi 222? song gggagtucqaodtoisdtisgGsiofioytit4G014000v59386083603g1x12441844y3v4 19

CHUONG 3: UNG DUNG VAO PHUONG TRINH TICH PHAN 21

Trang 3

Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Trí

LỜI NÓI ĐÀU

Các định lý điểm bất động mặc dù xuất hiện từ rất lâu nhưng những ứng

dụng của chúng đến ngày nay vẫn có ý nghĩa khoa học và thực tiễn caọ Các định lý trên không ngừng được mở rộng, thu hút sức lực và trí tuệ của các nhà toán học nhằm đáp ứng các yêu câu thực tế của toán học

Các định lý điểm bắt động là các câu trả lời cho một bài tốn tơng qt sau đây:

Cho C' là một tập con của không gian X, 7 là một ánh xạ từ C vào X Phải đặt những điều kiện nào trên C,X và 7 để có thê khăng định sự tồn tại của một điểm

x„trong C sao cho 7x, = x„? Điểm x„ như vậy được gọi là điểm bất động của ánh

xa 7

Trong rất nhiều trường hợp quan trọng việc giải một phương trình được quy về việc tìm điểm bất động của một ánh xạ thích hợp Chăng hạn nêu X' là một

không gian tuyến tính, ƒ là một ánh xạ trong X y là một phân tử cô định của X

thì nghiệm của phương trình f(x) = y chính là điểm bất động của ánh xạ 7T xác

định boi: T(x) = ƒ(x)+x~ y với mọi xe X Vì vậy các định lý điểm bất động

có nhiều ứng dụng trong toán học nói riêng và trong khoa học kĩ thuật nói chung

Những định lý điểm bất động nỗi tiếng đã xuất hiện từ đầu thé ki 20, các

định lý này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không gian khác nhau, đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực và được tập hợp lại dưới một cái tên chung: lý thuyết điểm bất động Lý thuyết nay gan liền với tên ti nhiều nhà tốn học lớn như: Brouwer, Schauder, Kakutani, Browder, Krasnosel"skị Ky Fan Trong lý thuyết này, ngoài các định lý tôn tại điểm bất động người ta còn quan tâm đến cầu trúc của tập hợp các điểm bất động các phương pháp tìm điểm bất động và các ứng dụng của chúng

Luận văn này dé cap đến định lý điểm bất động Krasnosel`skiị Định lý được

Trang 4

của Ý Cho là ánh xạ co trên K ( nghĩa là

lU(x) ~ U(y)| <k |x = y|,0 <k<1)va C là tốn từ hồn toàn lién tuc trén K sao cho U(x)+C(y)€ K voi moi x,y e K Khi do U + Co diém bat dong trong K

Định lý này đã được mở rộng bởi Nashed va Wong, thay Ang va thay Hoa

đi với trường hợp / là Ø-co và trường hợp tuyến tính bị chặn sao cho ” là

ó-co với Ø nào đó, ø >1 Và bởi D.H.Tan đổi với trường hợp là (£— ổ) cọ Mục đích chính của luận văn này là nghiên cứu một vài định lý điểm bắt

động kiều Krasnosel`skii trong không gian lỗi địa phương với toán tử dạng + C

trên một tập con lôi đóng bị chặn của không gian lôi địa phương trong đó C là tốn tư hồn tồn liên tục và thỏa mãn điều kiện (A) được xác định chính xác như

Sau:

ĐIÊU KIỆN (A):

Cho X' là không gian vectơ tôpô lôi địa phương và P là một họ nửa chuân tách trên X, Ð là một tập con của X và Ư:D— X Với bất kì a€ X, ta định nghĩa:

U,:D>X bởi U (x)=U(x)+ạ

Toán tử :D—> X được gọi là thỏa điều kiện (A) trên tập con Ô của X nếu: (Ạ1) Với bắt kì aeO, U (D)cC D

(Ạ2) Với bất kì aE Q, va peEP, tôn tại k„€Z, với tính chat: Ve >0,5reN va

6>0 sao cho Vx, ye Diả (x,y) <€+5 a! (Ul(x).U! (z))< £ trong đó

ả(x.y)= maxÍ p(U/ (x) -U/(y)Ìị/= 0,1 | N ={1,2,3, ) va

Z.=NUO|0}:

Và trình bày ứng dụng của những định lý này để khảo sát sự tôn tại nghiệm của các phương trình tích phần

Luận văn gồm bón chương:

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị giúp cho việc nghiên cứu luận văn

được rõ ràng để hiểụ

Trang 5

Chương 2: Trình bày một số định lý điểm bất động kiều Krasnosel'skii trong không gian lôi địa phương và được chứng minh khá rõ ràng, chỉ tiết

Chương 3: Ứng dụng các định lý điểm bất động kiểu Krasnosel`skii đã trình bày để khảo sát sự tồn tại nghiệm của các phương trình tích phân trên không gian Banach

Chương 4: Trình bày các định lý về tính compact, liên thông của tập nghiệm

để khảo sát tính compact liên thông cho tập nghiệm của phương trình tích phân

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn thầy Lê Hoàn Hóa, thây đã giới thiệu dé tai, tan tình hướng dẫn đề em hoàn thành luận vãn Em xin cảm ơn các thầy cô

Trang 6

CHƯƠNG I: KIÊN THỨC CHUẢN BI

1.1: Anh xa compact:

Dinh nghia:

Cho — 1a khéng gian Banach, D là tập mở, bị chặn trong Z Ảnh xạ di DoE được gọi là ánh xa compact (hay hoan toan lién tuc) néu f lién tục và f(D) la tap compact tương đối trong Ẹ

1.2 Định lý (Nguyên lý ánh xạ co):

Cho (X,đ) là không gian mêtric đầy đủ và 7: X —> X là ánh xạ k-cọ Khi đó T có

điểm bắt động duy nhất, ghi là x, và lim7”(x)= x„ với mọi xe X Hơn nữa nm " d(x,,T"(x))s$ i d(x,Tx) với mọi xe X l—Ẻ Hé qua 1.2.1:

Cho (X,d) la khong gian métric day di va T: X — X 1a anh xa Lipschitz.Gia st

tổn tại pe Ñ sao cho k(T”)<1 Khi đó 7 có điểm bất động duy nhất ghi là x, va

lim7”(x)= x„ trong (X,đ) với mọi xe X

Hé qua 1.2.2:

Cho (X,đ) là không gian mêtric day du va 7: X — X 1a anh xa Lipschitz Khi d6

|

tồn tại k_(T7)= lim| kŒ” )ị” = nt [cr )ị” Ne Nha điều kiện k, (7) <1 1a

cần và đủ đề tồn tại mêtric tương đương với đ sao cho: 7:(X,ø)—>(X,ø) là

ánh xạ k-cọ

Khi đó 7 có điểm bất động duy nhất ghi là x„ và lim7”(x)= x, trong (X,đ) với Wn

Trang 7

Hệ quả 1.2.3:

Cho (X,đ) là không gian mêtric đây đủ và 7 :.Ý —> X sao cho 77 là ánh xạ k-co với r là số nguyên đương bất kì Khi đó 7 có duy nhất điểm bất động

1.3: Không gian lỗi địa phương:

Định nghĩa: Không gian lôi địa phương là không gian vectơ tôpô mà mọi lân cận của điểm gốc đều chứa một lân cận lỏi cũng của điểm gốc Mọi không gian định chuẩn đều là không gian lôi địa phương Một không gian lôi địa phương tách là định chuân được khi và chỉ khi nó bị chặn địa phương

1.4 : Không gian Frechet:

Khái niệm không gian Frechet là một sự mở rộng có nhiều ứng dụng của không gian mêtric và mang những nét đặc trưng riêng Một không gian Frechet được hiệu là một không gian lồi địa phương và tôpô t trên không gian này được sinh ra bởi một mêtric d bất biến hoàn toàn (nghĩa là: đ(x + z,y+Z)= d(x, y) với mọi

X,ÿ,z€ X

1.5: Tiêu chuẩn của Ascoli Arzela vé tinh compact của M trong

C{[0.2].R) như sau: M bị chặn đều, đăng liên tục Khi đó tồn tại day x,(f) trong M hdi ty déu vé x(r) trong C([0,5],R)

1.6: Định lý điểm bất động Schauder-Tychonoff:

Cho £ là không gian Hausdoff, lồi địa phương, cho 7 :K —> £ là ánh xạ liên tục,

KCE là tập lồi và 7K c 4c K với 4 là tập compact Khi đó trong K tôn tại ít nhất một điểm bắt động đối với ánh xạ 7 Tức là: x, eK :Tx, =x,

Hé qua:

Cho £ là không gian Banach va K C E đóng bị chặn và lôị Nếu 7: K —> K là

Trang 8

CHUONG 2: DINH LY DIEM BAT DONG KIEU

KRASNOSEL’SKII TRONG KHONG GIAN LOI DIA

PHUONG 2.1: Giới thiệu:

Cho X' là không gian Banach và K' là tập con lôi đóng bị chặn của X Cho U la ánh xạ co trên K ( nghĩa là |U(x) - U(y)| < kÌÌx - yỊ0 <k <l) và C' là tốn tử

hồn toàn liên tục trên K sao cho Ư(x)+€(y)€K với mọi x, € Ấ&

Khi đó một định lý nỗi tiếng của KRASNOSEL'SKII phát biểu răng ánh xạ

U +C có điểm bắt động trong K

Ta thiết lập một vài định lý điểm bất động cho những toán tử dạng U +C trên một

tập con lôi đóng bị chặn của không gian lỗi địa phương, trong đó C 1a toán tử hoàn toàn liên tục và Ứ thỏa mãn điều kiện (A) được xác định chính xác như sau:

DIEU KIEN (A):

Cho X 1a khéng gian vecto tépé 16i địa phương và P là một họ nửa chuẩn tách trên

X, D là một tập con của X và Ư: D— X Với bất kì a€ X, ta định nghĩa: Ư ,:D¬~Ä bởi U (x)=U(x)+ạ

Toán tử Ư :D — X được gọi là thỏa điều kiện (A) trên tập con @ của X nếu:

(Ạ1) Với bắt kì aeQ, U (D)cCD

(Ạ2) Với bất kì ae(Q, và peP, ton tai k„cZ, với tính chat: Ve >0,3reN va

5 >0 saocho Vx,ye Dả (x,y)<E+d> œ;(U/ (x).U/ (z)) < €, trong dé

ar? (x,y) = max { p(U: (x)~U/(y))z/=0.1 ,} N ={1,2,3, } va Z,=Nv {0}

Nh@n xét 2.1:

Trang 9

Ve>0,36>0:£< p(x- y)<£+ổ p(Úx-— Ủy) < £) khi đó U thỏa mãn

điều kiện (A) trên X với k„=0 vàr=]

Trong trường hợp X là không gian Banach, ta sẽ xét toán tử hầu như bị chặn theo nghĩa sau:

nh SUD———ˆ IFoo lÀ a <mœ,

Kee |

Nếu 7 là một toán tử hầu như bi chan, ta đặt 7|= iim sup [7

giả chuẩn của 7 Chú ý nêu 7 tuyến tính bị chặn, khi đó 7` chính xác bang voi „ Và gol 7 la

chuẩn của 7 như toán tử tuyến tính

Ta nhắc lại: Toán tử C được gọi là tuyến tính tiệm cận nếu có một toán tử tuyến

tính bị chặn Ö trên X saocho lim Jcœ)- 3| 8x =0

Hé ĐH -

Ta chú ý nếu C là toán tử tuyến tính tiệm cận, hoàn toàn liên tục khi đó toán tử tuyến tính bị chặn Ö thỏa mãn điều kiện trên cũng hoàn toàn liên tục

2.2: DINH LY DIEM BAT DONG KIEU KRASNOSEL’SKII:

Mệnh đề 2.2: ( Nguyên lÿ hội tụ của Solomon Leader) Cho g:Z? > [1,00) là một hàm số sao cho

q(m,n) Sq(m,k)+ q(k,k)+q(k,n) VmnkeZ, (1)

Khi đó g(m,n) —> 0 khi mm —> œ nếu và chỉ nếu:

Ve>0,3reN và ổ>0 sao cho với m,n€ Z,,g(m,n) < £ + Õ ta có

q(m+r,n+r)<e (2)

Định ly 2.2.1:

Cho X 1a khéng gian lôi địa phương với họ nửa chuẩn tách P D là một tập con

Trang 10

Gia sử U thoa man điều kiện (A) trên tập con 2 của X Khi đó toán tử (7 - } ! được định nghĩa tốt và liên tục trên Q

Chứng minh: Ta chứng mình qua hai bước như sau:

Bước 1: Với bắt kì a eQ, toán tử U„ có duy nhất một điểm bất động trên 2 gọi là Ø(a) và dãy lặp {U2 (x)} hội tụ vé g(a), Vx e D Hơn nữạ anh xa

at) ¢(a) la đơn ánh

Chứng minh bước !: Từ (Ạ2) ta suy ra với bất kì ae Q và peP.3kcZ với

tinh chat: Ve >0,3r € N va ổ >0 sao cho

Vx,ye Diả (xyv)<Ee+d> œ7(U; (x).,U/ (»)) Se" Giả sử g: ZỶ —> [0.) được định nghĩa bởi

q(m,n) = ả (UT (x),U7(y))

Khi đó g théă1)-(2) nén theo ménh dé 2.2 lim q(m,n)=0 Suy ra

t,n—»z

lim p(U7(x)=U¿(y))}=0

Vi vay, Vx, ye D cac dãy {U3(x)} {UZ} la day Cauchỵ Hon nita D day du theo day va U lién tuc nén suy ra day {U2 (x)} hoi tụ vẻ điểm bất động duy

nhất của U,„ gọi là Ø(đ) nghĩa là :

U(9(a))+a=9(a) hay (1~U)(Ø(a))=a

Ta nhận thấy, nếu Ø(2),Ø(b) la hai diém bat dong cua U,,U, va ¢(a)=¢() thi

U(ø(a))+a= U(ø(b))+b=a=b chứng tỏ Ø đơn anh Vi vay ¢ 1a song anh

tir Q vào Ø(Q) C D mà theo trên (7 -U)(Ø(a))=ạ Vae© do đó

-1

Trang 11

Điều này có nghĩa là (7 -U) - được định nghĩa tốt trên Q

Bước 2: (I—U) là liên tục trên ©

Chứng minh : Voi batki ae Q, pe P va Ve > 0 theo diéu kién (A), Sr e N va

ở >0(ở <£} sao cho z7(U/ (x).U; (z)) <£ Vx,y€D với ø”(x,y)<£+Ổ Vì U liên tục đều nên 7 ( V¿ = 0,1, ) cũng liên tục đều, suy ra 3ổ,,0< ở, < ở sao cho: (x— y)< ở, = p{U;(x)- Ư/(»)) < ở với mọi ¿=0,l, ,& (3)

Tương tự, sử dụng tính liên tục đều của Ư, chúng ta có thẻ xây dựng một họ

a) ind xd , 2

b) p(U(x)-U(»))< 58 với p(x— y)< ở,

Nếu 6œ sao cho p(đT— ở) < ổ, thì, vì limU;"(#(4)) = ớ(b) ta cd:

p(ø(a)- ø(ð)) = lim p(đ(a) - U7 (ø(4)))

Trang 12

<5, tuổi; =Ô, ¿ Tương tự ta nhận được: p{U;'(x)—U;”(x))< ö, l is 2 Suy ra plU(US"(x))-U(U;"(x))]< | Do đó: 046: (Us (#)-Us(x)) <56,+56,=8, \#)-Ù, 0,40 =O 5) 5 Dac biét lay x = Ø(4), (5) trở thành : (ø(a)—U; (ø(a))) <ổ, (6) Bây giờ ta chứng minh (4) đúng khi n=1, nghĩa là: ă¢(a),U;(¢(a)))<e+6 Từ (3) và (6), ta có: p(¢(a)-U A ;(Ø(a))))<ư, Vi=0,1,2 k => ă¢(a (2(2))}<ư<e+ð

Giả sử (4) đúng với n, nghĩa là: Z(Ø(a),U;"(Ø(4)))< e + ổ, thì ta có:

2[2(a).0/”!(g(a))) <ø{2(a),0;(U7 (ø(a))))+z(Uz(0z (ø(a))),0z""(ø(a)))

Cũng do ă¢(a),U;” (9(a))) <£+ổ nên theo điều kiện (A) ta suy ra:

ăU; (#(a)),U; (U"(#(2)))) = @(4(2),U; (Uz (6(a)))) <e*)

Thay x = U;"(¢(a)), (5) trở thành:

P(U; (Us"(¢(a)))-U;""((a))) <6,

Sử dụng (3), ta thấy rằng:

Trang 13

Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Trí p|U¿”(Uz'(ø(a)))-U;(Uz”'?(ø(a)))Ì<ư vi =0.1.2, É Hay: ăU;(U;"(¢(a))),U;""" (¢(a))) <6 9 Từ(*) và (**) => ă¢(a),U;"""(¢(a))) <E+6 Điều này kết thúc quá trình qui nạp Từ (4) suy ra:

p(¢(a) -U;"(¢(a)))< ă¢(a),U;"(¢(a))) <£+Ư<2£

Cho — œ©, ta suy ra:

p(ø(a)~ ø(b)) = lim p(ø(a)~ U¿"(Ø(a)))<2e

Chưng tỏ rang ¢ =(/ -U} liên tục trên Q

Nhận xét 2.2.1:

Nếu 6 trong diéu kién (A) duge chon déc lap voi a € Q, khi dé bude 2 suy ra rang toán tử (/ —/) ` liên tục đều trên Q Dac biét, néu U la (€ — 5) co thoa mãn (ẠL) với mọi aœ©, thì khi đó (7 —U) ˆ liên tục đều trên ©

Định lý 2.2.2:

Ch‹ X là một không gian lồi địa phương đây đủ theo dãy với một họ nửa chuẩn

tact P D 1a tap con Idi dong bị chặn của X , C : D —> X hoàn toàn liên tục và U :D —› X liên tục đều, thỏa mãn điều kiện (Ạ2) trên C(D) Giả sử răng: U(x)+C(y)eD Vx,yeD (7) Khidé U +C có điểm bất động trong D Chứng minh: ——— eee

Vì 2 đóng và tir (7) suy ra U(D)+C(D)c D Vi vay U théa man điều kiện

Trang 14

2.2.1 (7 -U} liên tục trén C(D) Vi Choan toàn liên tục và D bi chan, tap C(D) compact, nén suy ra (J - U) C(D) compact trong D Vi vậy (J - U) C

là toán tử hoàn toàn liên tục trên 2 Vì D lỗị đóng nên theo định lý điểm bất động

Schauder-Tychonoff, (7 ~ ) ` Ccó điểm bất động trong 72 nghĩa là tồn tại x, € D sao cho

(1-U)'C(x,)=x, hay x, =U(x,)+C(x,)

Do đó Ứ + có điểm bất động trong D

Hệ quả 2.2: l

Cho X' là một không gian lôi địa phương đây đủ theo dãy và là tập con lôi đóng bị chặn của X., C : D —>› ÄX hoàn toàn lién tue va VU: D> X là (z-ổ)cọ Giả sử

rằng:

U(x)+C(y)eD Vx,yeD (8) Khi đó + có điểm bắt động trong Ð

Chứng minh:

Vì U là (£— ổ) co, khi đó từ (8) suy ra thỏa mãn điều kiện (A) trên C(Ð) với

r =1 và k=0 Do đó theo định lý 2.2.2, + có điểm bất động trong D

Định lý 2.2.3:

Cho X là một không gian lỗi địa phương đây đủ theo dãy với một họ nửa chuẩn tách P và giả sử và C là toán tử trên X sao cho:

i) thỏa mãn điều kiện (A) trên X

ii) Voi bat kì péP, 3k >0 ( phu thuéc p) sao cho:

p(U(x)-U(y))<kp(x-y) Vx,yeX

ii) Tôn tại x, €X voi tinh chat: VpeP,sreN vase [0.1) (rvà À4 phụ thuộc ø ) sao cho:

Trang 15

p(U/ (x)~U/ (y))<Ap(x-y)

iv) Choàn toàn liên tục, p(C(4)) cạn si vá «me dienX

ở) lim P(C(x)) — m(x)-»# p(x)

Khi đó U + có điểm bất động

=0 VxeX,VpeP

Chứng minh:

Vi Ư thỏa mãn điều kiện (A), nên (—U) là một phép đồng phôi trên X do đó chỉ còn phải chỉ ra rằng tồn tại một tập con lôi đóng bị chặn 2 của X sao cho voi bat

kì x thuộc Ð, điểm bat động duy nhất của ,„„ thuộc về 2 Giả sử z„ là điểm

bất động của , ( điều này có được do định lý 2.2.1, bước 1) Với bất kì xe X và

peéeP taco:

Uf¿¿(y)~U; (y)=U(UZn(y))—U(UZ'(y))+(C(x)—x,)

VWy€exX

Tir ii) va iii) ta suy ra rang:

Trang 16

PUG y(z )-z)<[Š eS |(c(x)-s) ar ET Gia x)-x,) (9) < Bp(C(x))+ Bp(x,) Oday = ấ Cle Từ điều kiện v),tacó lim P(C()) = 0 E -g„}-se p(x re Z.) Vi vay tôn tại R,,, > 0 sao cho l ‘ P(C(x))< 55 P(x z,) neu p(x-z,)2R,, Tir iv), ton tai R,, > 0 saocho voi mgi x: p(x-z,)SR,, Suy ra p(C(x))< R;, Cho R,, > 2Bp(x,)+ BR,, Dat D,={xeX: p(x-z,)SR,,}

Và D=e„„D, Khi đó z, D và D là lỗi đóng và bị chặn

Với mỗi xe D và pc P, ta xét hai trường hợp : ® Néu p(x-z,)< R, ,, thi theo (9)

P(UZt(s, ) — z,) = Bp(x,)+ BR,, Ss R,,

Điều này chota 7 (z„)< D,

Trang 17

Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Trí rn | P(Ucia) (20) - 2.) $ BP(x.) +5 P(-2,) _ | < Bp(x,)+—R,, <R,,

Điều này chota U” cay (2š) ED,

Suy ra rang: Un măz,)€D VxeD

Vi D đóng và dãy (Uz (2 )) hội tụ về điểm bất động duy nhất ¢(C(x)) của n

Ữ,,„,„ nên g(C(x))eD Vx€ D, như thể ta có (1 -U} C(D)c D.Dotinh hoàn toàn liên tục của C, tap (/ -U) C(D)c(1 -U} C(D) là compact tương đốị Khi đó theo định lý điểm bất động của Schauder-Tychonoff, (7 — U} Ccó

một điểm bắt động trong , chính xác đó là điểm bất động của U + trong D Cho X là không gian Banach, mội sự mở rộng nồi tiếng về định lý điểm bắt động của Schauder bởi F.E Browder phát biểu rằng: nếu ` hoàn toàn liên tục trên

X sao cho voi k nao dé C*(X) bj chan thì khi đó C có điểm bắt động Ta xét

toán tử dạng U +C' trong đó U thỏa mãn điều kiện (A) trên X và C' là toán tử hoàn toàn liên tục, tuyến tính tiệm cận sao cho với k nào đó C1 (X ) hâu như bị chặn Ta có một vài kết quả sau:

Định {ý 2.2.4:

Cho X là không gian Banach và 7': X —> X la toan tr dang T =U +C trong dé

U liên tục đều và thỏa mãn điều kiện (A) trên X va C hoàn toàn liên tục Nếu cả

hai trường hợp sau đúng thì 7 có điểm bất động:

a) |U|+|C|<1

b) ï) |U|=0

ii) im ICO) FAI _ g

Trang 18

iii) |Cf|<1 với & nào đó k >1,

trong đó #0 là toán tử tuyến tính bị chặn trên X Chứng mini:

Vì liên tục đều và thỏa mãn điều kiện (A) trên X , thi theo định lý 2.2.1, (71—U) là một phép đồng phôi trên X

Với mỗi & e NM, ta định nghĩa Ø, : X —> X như sau:

x, néu |x| <k

Ly re]

Khi đó p, lién tuc va (1 -U) Cp, la toan tử hoàn toàn liên tục trên X với

2, (x)= i) nếu ||x||>&

(J- U)` Cp, (X) bi chan ( vi Cp, (X) compact tuong đối ) Do đó theo định lý của Browder nó có điểm bất động x, , nghĩa là (7 — U)` CØ,(x,)=x, hay

Cp, (x,)=x, -—Ux, (10)

Nếu ta chứng minh được rằng ||x,||< k với k nào đó thì T có điểm bất động Vì

khi |x,|<* = Ø,(x,)=x, >CØ,(x,)= C(x,) Mà CØ, (x, )= x, — Ux, nên U(x,)+CŒ,)=x,, điều này kết thúc chứng minh

Trang 19

Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Trí (11) trở thành: U(x,)+€C(3,x,)= x, |U (x,)+ C(4,x, )| =| lx, | |U (x, )| 3 AIC (A,x, | >] - |A — ^,||C(4.x, )| |x, | |, xX, | Ì4, x, | = |U (x, )+ C(4,x, )| 5 |U (x, )| + |C(^x, )| _ Ìx, | lx I | UG, AlCAx I, AICAx I ACA x, | |4 x | |4 x, | Ạ x, | Do đó: Vi C hau như bị chặn và lim 4, =4 cho & —> z thì đông nhất thức ở trên suy ra k —z răng |U|+ |C|> 1 dẫn đến mâu thuẫn Chứng mình trường hợp b) Ta cần bé dé sau:

Bé dé 2.2: Cho C và B thỏa mãn điều kiện b), ii)-iii) Khi đó tồn tại &„ e[0,1) và

, >0 sao cho với mỗi r >r, |B’ (x)| <k„r,Vx:||x||<r Chứng minh: Đặt Y = C,, khi đó |Y| = 0 Theo qui nap taco Vme N m-l m~r~Ì C™=) BY(B+Y) +Ð" (12) ¡=0

Thật vay (12) dung voi m=1 Gia su no dung voi m, khi do

Trang 20

Vì vậy theo qui nạp nó đúng với mọi m | Từ (12) suy ra rang: |B’ (x)| < |C” (x)| ~ Sar (8 +)" (x) ¡=0 (vì |8”(+)| = ) -Í C”(x)- S g'y(g +Y)?''(x) ¡=0 se fhe l-a ` og 20:28 ==; khi do ton tai r, > 0 sao cho voi moi 2 > |B |(\sl+a +1)"

xX :||x||>7,, điều sau đây đúng |C” (x)|< z||x|.|Y(x)|< z|ị

Gia sur r, > 7, sao cho Y(B'(0,7,)) c B'(0,ar,) va C(B'(0,7,)) c B'(O,ar, )( 6

Trang 21

Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Trí Nếu |(8+ Y} (x)|>n, thì khi đó |r(8+ yÿ(x)|< ø|(ø + yÿ (x)Ì< ø(|s|+ ø + 1} z Dođó - |(ø+r}”'(x)|<(|ø|+ø +1} z(ø +|8|) <(|B|+a+1)"'r,

Điều này kết thúc quá trình qui nạp và (13) được chứng minh

Tương tự ta có |r(z +Y) (x)| < z(|B +ư+ 1) r Vx:|x||<r -Ì Từ đó |B”(x)|< ar+ zŠ |B| (Blt atl) or 1=0 -1 (do |E”(x)|<|C7(x)|+ Sev +Y)““'(z)| ¡=0 <ar+ €la| |Y(8+r)””'(x)|< ar + SzIs| (|B|+œø+1)”“'r) ¿=0 ¡=0 Dat k, =at zŠ`\s{ (ÍB|+ø+1)””` khi đó &„ <1 và |8' (x)|< kz (=0 Vx :|[x|| <7 Bé dé 2.2 được chứng minh

Nhận xét 2.2.2: Nêu B và C thỏa mãn điều kiện b) ii) và diéu kign |C’| <1 duge thay thế bởi |8”|<1 với p nào đó >1, khi đó tương tự ta chứng minh được rằng

tồn tại #„ e[0,I) và z; >0 sao cho với mỗi r >z; Ic? (x)| <k„r, Vx:|x|<r

điều này chỉ ra rằng Ic? <k, voi k, €[0,1)

Ta trở lại chứng minh trường hợp khác: Trường hợp b):

Từ (11) suy ra: Ce) = x _ U(x) Vk — 9

lal eel esl

Trang 22

[B(4,x, )+Ƒ(4,x, j _ ÂN _ U(x, ) Ix Isl) es Vi B tuyén tinh, nén ta nhan duge: A,Y(A,x, ) xX, U(x, ) A = ~ ales} | xl | ial Ti Vì |Y|=|U|=0 và |4,x,|= & nên Hay A,¥(A,x, ) =f U(x, ) = lim———— =0 lA foe lim aN TS iW : i) khi do limz, =0 va -,; | || 1 A Al here 1a = |- gis VVk (14) bal) Vi lim4, = 4, và Ư là tốn tử tuyến tính bị chặn, nên từ (14) suy ra 0< 4 <1 Do km Đặt z, = tính hoàn toàn liên tục của C, B là tốn tử hồn toàn liên tục trên X va vi tap À-+z a-faal 5 | ke vị compact tương đổi , limz, = 0 nên tập fe | keN | Is cũng compact tuong d6i va ta gia sur rằng dãy Lên | hội tụ đến x,||x|= Ị

Cho & —> œ, từ (14) suy ra AB(x )= x,AeE (0,1] hay B (x)= Á'x

Tương tự do tinh tuyến tinh cua B, tanhan duge B’(x)=A-’x voi O< AS! va

lx| =1 Điều này suy ra rằng với y= rx,||| =r>rứ",, |8”(x)|= À ”r với 0< Â 4l mâu thuẫn với bổ đề 2.2

Trang 23

CHUONG 3: UNG DUNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

PHAN 3.1: Phương trình l:

Cho E là một không gian Banach với chuẩn | | và cho X là không gian các hàm liên

tục trên [0,œ) vào tôpô E, {p„}„ là họ nửa chuẩn định bởi: vai moi x € X p (x)= sup {|x(s)| :s e[0,n] Topo trên X tương thích với mêtric œ ÿ Y— đ(x, y) = So = n=l l + Dp„(x _T v)

Va X la mot khong gian Fréchet Xét phuong trinh tich phan

(I) x(t) = [f(s,x(s))ds + [g(t.s.x(s))ds + o(1),1 2 0,

0 0

Trong đó đ là hàm liên tục từ [0.=) vào E và /,ø thỏa mãn những điều kiện sau: (1) ƒ :{0,5) x E —> E là ánh xạ liên tục sao cho tồn tại hằng số & > 0 thỏa

mãn:

[ƒ(s,x)- /(s, y)|< k|x- vị, Vx,yeẸ

(1.2) g: [0,00)’ x E— E hoan toàn liên tục sao cho gít ): Í x A lién tuc déu theo t trén khoang bj chan bất kì, với tập bị chặn bat ki

I c[0,œ) và tập bị chặn 4C £

Six § 2

(1.3) nee ø\ | l ) =0 đêu theo (t,s) trên tập con bị chan của [0.~)

men x

Ta có định lý tồn tại nghiệm sau đây:

Định lý 3.1: Giả sử rằng ƒ,ø thỏa mãn (Ị1) - (1.3) Khi đó phương trình (1) có

nghiệm trên [0,œ)

Trang 24

Cho Ư và C' là những toán tử trên X được xác định :

U(x)(t) = [ZG.x(s)0&

, (15)

C(x\()= [zŒ.s.x(s))4s + Ø(/),f > 0

0

Rõ ràng là U(x) và C(x) liên tục trên [0,z-).Để chứng minh định lý 3.1 chúng

ta cần các kết quả hỗ trợ của các bô đẻ sau: Bé dé 3.1.1: Cho f thda man (1.1) va U duge xac dinh boi (15) Khi do voi mdi a > 0 va bat ki zExX (ka)" n! p,(Ủ(x)-Ủ(y))s p(x-y) VneNn Chirng minh: Chúng ta sé chứng minh (kt)” mì \U7(xX#)-U7@#9|<^ —p,œx-») Vre[0,a] (16) Thật vậy, với n=l, vì: Ụ(x)(t) = U(x\(t) + z(t) = [ f(s,x(s))ds + z(t),

Khi đó: |U,(x)(t)-Ụ(yX0|S [|ƒ(s.x(s))— ƒ(s, y(s))#s, € [0,4]

Sk Ï|*(s)- y(s)#s < k [p„(x~ y)đ& <(#)p,(x~ y)

0 0

Giả sử (16) đúng với n Khi đó ta có:

Ul"(x\(t)- U2] s Ï[ƒ(s.U7x(5))~ ƒ(s,U7y(5))b 0

Trang 25

Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Trí <k flurxts) - Uy(s)|ds <k [tp n! (x~ y)dh k n+

< = piPsX- Ws Wee Q[0,a],

Như vậy (16) được chứng minh Từ (16) suy ra: (ka)" n! p„(U, (x)—U,(y)) < P„(x— y),Vn Bé dé 3.1.2: Cho g théa man (1.2) va cho C duge xac dinh nhu sau: C(x)(t) = r g(t,s,x(s))ds + g(1),t €[0,a],a>0

trong do :[0,a]—> R là một hàm liên tục sao cho 0< p(t) <ạ Vt €[0,a] Khi

đó C là một tốn tử hồn toàn liên tục trên khéng gian Banach X, = C({0,a], £)

với chuẩn ||x||_ = sup{|x()|: e[0.aÌ}-

Chứng minh:

Rõ ràng là C: X„ —> X„ Trước hết ta chứng minh rằng C liên tục

Cho {x ‡ là một dãy trong X; sao cho limx, = x„ Đặt nìm a n 0

Trang 26

Với bất kì £ >0 cho trước, vì g liên tục trên tập con compact [0.a] x B nén E 4d >0: Ix — y| < 5,\g(t,s, x) — ø(t,s, y)| <— Vs,te Q[0,a] , a Vi limx, =x, trong X,, do do: dnyin2n, x,(S)-X(s)}<6 Ws e[0,a] Điều này suy ra: |C(x,)ứ)~ C(œ,J)|< [ˆ”|øứ,s.x„(s))= øgữ,s.x,(s))s, Vt € [0,4] PU) < [ “4 =—0)<—a=e 0 a a a

Do đó ||C(x„)— C(x,)| <£ Wn2>n,, ching to ring C liên tục e Chứng minh C' hoàn toàn liên tục

Tiếp theo, cho là một tập con bị chặn của X,„ Đặt 4= {x(s) :ưceQ,s€ [0.a]}

Do dé A bj chan trong ẸVì g hoàn toàn liên tục nên tập ø({0,a]” x 4) là tập

compact tương đối trong £

Vi git,.,.) liên tục đều theo t trên [0,ø]' x 4và vì g({0,a]Ì x 4) bị chặn (vì nó là

tập compact tương đối), do đó bất đăng thức ở trên chỉ ra rang C(Q) lién tục đồng

bậc trên [0.a]

Trang 27

Cho K = co| s{0,aÏ x A) {0} |¢ ở đây co4 là kí hiệu bao lồi đóng của tập A), khi đó K la tap compact trong Ẹ

Vi g(t,s,x(s)\EK Vs,te [0,a] và xe, ta suy ra rằng

C(O)()= [ g(t,s,x(s))ds + Ø(f):x€ 9) c ø()K +ø(r) Vi e[0,a]

Khi đó theo kết quả của Ambrosetti, C(O) là tập compact tương đối trong X, Vi

vậy C hoàn toàn liên tục trên Ä _ Bây giờ ta trở lại chứng minh định lý 3.1 Chứng minh định lý 3.1: Theo bổ đề 3.1.1, với méi ze X va me Ntaco " 8 km)"

p„(U7@œ)~UQ))<*“ p„œ~y) VneN

Vi lim pm) = 0, nén tén tại nạ ( phụ thuộc m) sao cho HỘ <1 Vn2n,.Do

n—x»^e mỉ n!

đó U théa man diéu kién (i)-(iii) của định lý 2.2.3

Xét {x,} C X sao cho limx, =x, trong X ( Ta nhớ lại rằng lim x„ = xạ trong

X khi và chỉ khi lim ø„(x„— xạ)=0 với mỗi m e N) Vì {x„}„ hội tụ đều đến

x, trén [0,m] với mỗi m, do đó theo bé dé 3.1.2 ta cd

lim p„(C(x„)~ C(xạ;))=0 VmeN, nghĩa là C liên tục trên X

Bây giờ cho © là tập con bj chan cla X Khi dé p, (Q)={p,,(x):x€Q} bi

chin Vim Dat (C(Q)),, = {*|o» ,x€ C(©)] „ trong đó Xo la thu hep cua x trén

[0.m] Khi dé theo bé dé 3.1.2, (C(Q)),, compact tuong đối trong X„,Vm

Trang 28

Giả sử băng qui nạp tôn tại tà? |, la day con cua |x, „ sao cho limx, ” ite mÌ nos =x" Vm'<m a ˆ m trên ÄX„ và x Ís„ Vì (C())„., compact tương đối trong X'„.,, nên | a có một dãy con per} n yeu”, trén X asi sao cho lim xm n—xz [0.m+1 Do đó ta có thể thiết lập sự tồn tại của một họ các dãy con txz] Vmie N, sao cho "1 với mỗi m lim x” n.»z (om) =X» en X,, om ' Và x =x" VWm2m' [0.m] Dat y, =x" Vnẹ Khi đó {y„}„ là một dãy con của {x„}, và lim y„ = x tr-+»x trong X , thoa man x sts m [ọm) = * VmeN Điều nay chi ra ring C(Q) compact tuong đi trong X va do d6 C hoan toan lién tuc trén X Cuối cùng ta sẽ chứng minh rằng : la k2 0, Ymen pP„(x)—>»= p„(*) Với bất kì £ > 0 cho trước, (Ị3) suy ra: t, 3 .Jgứsx|_ £ |

dy>0 Vx :|x|2 y vaste Q[0,m] Vi g hoan toan lién tuc,

nén tén tai M sao cho lg(t,s,x)|< M,Vs,te [0, m] va x :|x| Số Mì

Chọn 7, sao cho Mg = Voi batki xe XY, 1: 2 7, ta có ⁄, 2m

|CœX) < g(t,s,x(s)|ds + ——— 0)

TH “R[ [E66 le+

Trang 29

Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Trí | ló()| < — |! |gứ, s,x(s))|đs + L |g(t,5,x(s))|ds + H ` trong đó if ={s €[0,m]:|x(s)|< 7} va I, =[0,m]\ J) Do sel, => |x(s)|< y > |g(t,5,x ven flew, s, stays so fas s Š (1, c[0,m]) ~ 7 Pl pbtsd|letes.x(s) &< LÊ £ | (Epc em all, lt@| 22m |x 2a 2m Diéu nay suy ra rang [Cx Mm te] ø(†,s,x(s)) |x(s)|4s + |ø(/)| i | Ì 7 < Mm em g(t) „ Mm em ( do ||x||„ 3 7 — “HT ae pp (eh _ PO ) SE ,Vvte|O,m TẤN SÂ Độ

Điều này chirarằng net p(x) lim 2ăCO)) _9

Trang 30

(D) x(f)= [2*?ƒ(5,x(s))đ + [ ø"gứ,s,x(s))4s,r [0,4],

Trong đó

(H.l) ƒ :[0,a] x K — E liên tục và do đó tôn tại một hãng số k >0 thỏa mãn:

[ƒ(s,x)— Z(s., y)|< k|x- vị Vx,yeK

(I2) Ø :[0,aÏ x K —>E hoàn toàn liên tục sao cho gít, ) liên tục đêu theo t Ta có định lý tồn tại nghiệm cho phương trình (II) sau đâỵ

Định lý 3.2:

Giả sử răng ƒ/ thỏa mãn (IỊ]), và ø thỏa mãn (IỊ2) và có thêm

(Ị3) ag(t,s,x)<K và ƒ(s,x)eK_ VxeK vas,te[0,a]

Khi đó phương trình (II) có một nghiệm trên [0.a] Chứng minh:

Cho X là không gian Banach của những hàm liên tục trên [0.a] vao E với chuẩn

|x|] = sup {|x(s) ‘se [0,a}}

Cho D= [xe X:x(s)eK,Vs e[0.a]Ì

Khi đó D là tập con lỗi đóng bị chặn của X' Định nghĩa toán tử và Ctrên Dnhư sau: U(x)(t) = [er'F(s,x(s))ds C(x\(t)= [ég(t,s,x(s))ds Khi d6 theo bé dé 3.1.2, C hoan toan lién tuc trên D va theo bé dé 3.1.1 va (11.3), ta

có thể kiểm tra thỏa man diéu kién (A) trén C(D) nhw sau: Trước tiên, ta nói ring U(x) +C(y)e€ D,Vx, ye D

That vay, theo (IỊ3) ag(t,s,y)EK,VvEK vas,t e[0,a] và vì K lồi, đóng dẫn

đến | zữ.s.y(5))4 eK,VyeD và:e[0,a]

Trang 31

Luận văn tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Minh Trí Với bất kì /,0<#<a, cho 5S, =0<5, <5, < < 5s, =¢ la mt phân hoạch của _ it, [0,¢], voi s, =—,Vi=0,1,2, ,7 n

Cho ƒ„ là một hàm đơn giản được xác định như sau:

nai )) nếu se[s,„s,,) ƒ„()= Zứ,x()) Khi đó ta có : e7 [ zữ,s,y(s))4s + [2 0) = = e! | zữ,s.y(s))4 +e" » )\( [ z4) -t -ty_t — (e""! -e") : =e | zữ,s,y(s))4 +s (e — DÀ,/,,x(s)) TP” Vì

f (s,,x(s,))€K,Vi=0,1, n-1 va Ỉ sứ,s,y(s))đs K và vì K lồi đóng, nên

về phải của phép đồng nhất trên thuộc K

Cho n-> 0, tacd U(x)(t)+C(y\(t) e K,Vx, y e D và r e[0,a] Do đó

U(x)+C(y) Ee D,Vx, y € Dnhu đã nóị

Vi U(D)+C(D) c D, nén U thoa man diéu kién (A) trên C(Ð) Vì vậy theo

định lý 2.2.2, U +C co diém bat dong x, trong D, mà chính xác đó là một nghiệm của (II) trên [0,a]

3.3: Phương trình II:

Trang 32

(H1) ƒ :[0,a] x E—> E liên tục sao cho tôn tại hăng số k thỏa mãn If (s,x)- ƒ#(s,y)|<k|x- y ,Vx,y€ÈE, (111.2) g :[0,aÏ x & — E hoàn toàn liên tục sao cho ø(/,.,.) liên tục đều theo t Dinh ly 3.3: Giả sử răng f thoa man (IIỊ1), va g thoa man (IIỊ2) va co thém (IIỊ3) f(s,x) + 2(t,8,x) €EQVx EQ Va s,te[0,a] ue eQ,Vre[0,a] Khi d6 phuong trinh (III) c6 mét nghiém trén [0,a] Chứng minh:

Để chứng minh định lý 3.3, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của bậc Browder- Nausbaum như sau:

Cho G là một miễn trong không gian Banach thực X , cho #⁄,#` là những ánh xạ từ Œ vào X thỏa mãn những điều kiện sau:

a) Với mỗi v cố định trong Œ, ánh xạ 5 :G —>» X được xác định như sau: S,(u) = H(w) + F(¿) là một phép đồng phôi từ G vào tập con mở Ở, của

X, G đồng phôi với Ớ,

b) Ánh xạ y —> Š là ánh xạ compact địa phương từ G vao không gian đồng

phôi của G trong X với tôpô hội tụ đều trên G

Cho 7(u) = H(u)+ F(u) voi ve G Giả sử T~'(0) 1a mét tap con compact ctia Œ Khi đó deg (7,Ớ,0) được xác định

Mệnh đề 3.3:

() — Nếu bậc (7,0,0) #0 khi đó tôn tại xe :7(x)=0

(ii) Cho A,B là những ánh xạ liên tục từ Œx[0,I]—> X sao cho Ặ,) và

B(.,t) lién tuc déu theo t trong [0.1] và với t, Q<Z7<], ánh xạ

Trang 33

A,(.) = Ặ,t) 1a m6t phép đồng phôi từ G vào tập con mở Ở của X , G

đồng phôi với Ớ, và ánh xạ B,(.)= B(.,?) là một tốn tử hồn toàn liên tục của G lên trên X Giả sử răng với mỗi t, <7 <] cap A,B, thoa

man diéu kién b) 6 trén

Giả sử thêm với mỗi t trong [0,1]

(A, + B,)'(0) 6G = ¢ va tap hop {(x,f): 4(x) + B,(x) =0} bị chặn trong Gx[0,1] Khi do

Bac (A, + B,,G,0) = bậc (4, + B,,G,0)

Chimg minh djnh ly 3.3:

Cho X là không gian Banach thực của những hàm liên tục trên [0.a] vào E voi

chuan ||| = sup {|x(s)| tứ [0,a]} Cho G= {x EX :x(s)EQ,Vs e[0,a]} Khi đó G là tập con mở lỗi bị chặn của X và Gc|xeX:x(s) ©,Vs e[0,a]) Xác định toán tử U :G —> X như sau: U()Œ)= [e”“ƒ(s,x(s))đs Và C:G — X như sau: C(x\(t) = [e™g(,s,x(s))as +e 'P(t)

Bé dé 3.1.1-3.1.2 suy ra U lién tuc déu, thoa man diéu kién (A) trên X và C hoan toan lién tuc trén G Diéu nay suy ra theo dinh ly 2.2.1, U/ - U) là một phép

Trang 34

Vì (~UX4)=[Œ ~U)* ] (4) với mọi tập hợp con A của X, khi đó (/ — ) là

một phép đồng phôi từ ỚŒ vào tập con mở (7 —L/)(G) G đồng phôi với (7-U)(G)

Như định lý 3.2, ta kiểm tra răng U(x) + C(x)e Œ,VxeG (Ö đây ta chỉ có

U(x)+C(x)eŒ,VxeŒ .)

Từ định nghĩa của rõ ràng là với mỗi 0< ø <1,œU thỏa mãn điều kiện (A) trên

X và do đó (/ - œU) là phép đồng phôi trên X

Nếu 7 - (U +) không triệt tiêu trên biên ÊƠ của Œ, khi đó vì Ở lôi, với mỗi

x„ có định trong Œ ,phép đồng luân 7 - z(U + )~ (I— ø)x¿,0 < ø <1, không

triệt tiêu trên OG Áp dụng mệnh đẻ 3.3, ta có Bậc (7 - (U +C),C,0) =bậc (7 - x„,G,0) = Do đó 3x e Œ :x = U(x) + C(x) là một nghiệm của (III) trên [0,a] 3.4: Phương trình IV: Cho E là không gian Banach với chuẩn | | Xét phương trình tích phân : (IV) x(f)= [7G,x(s))4 + [ K(.s)g(s,x(s))ds,a >0, Trong đó (IV.1) ƒ:[0,a]x E —> E liên tục và tồn tại một hằng số k sao cho |/(s,x)— ƒ(x,y)|<k|x~ y|,Vx, ye Ẹ (IV.2) lim /(s.x)

Hoe | =0 đều theo s€ [0, a] (IV.3) g :[0,a] x E — E hoàn toàn liên tục và

|g(s,x) - x|< j(s)|x| ˆ +/(s),Vs e[0,a]

Trang 35

ở đây đ,/ là hàm liên tục đều nhận giá trị thực trên [0,a] va 0<a<l (IV.4) K :[0,a] — E lién tuc sao cho max Jat |K(t,s, )K(S„;5„ ¡) K(5;, 8 )ds,ds, ds, <] te[0.a] Ta có Định lý 3.4 : Cho f,g,K thỏa mãn (IV.1)-(1V.4) Khi do phương trình (IV) có một nghiệm trên [0.a] Chứng minh:

Cho X = C([0,a], £) với chuẩn | || = sup{|x(s)|:s E [0,a]} va cho U,C la toan

tử trên XY dugc xac dinh nhu sau:

U(x) = [ F(s,x(s))ds

C(x)(t) = [K(1,5)9(s,x(s))as

Khi a6 theo bé dé 3.1.1-3.1.2, thỏa mãn điều kiện (A) trên X , U lién tuc déu va

C hoan toan lién tuc

Hơn nữa từ (IV.2), ta có thể chứng minh |U|= 0 Vì vậy nó đủ để chứng minh răng

Trang 36

Nhan xét 2.2.2 suy ra |C"| < B <1 và do đó theo định lý 2.2.4, U + C có một điểm

bất động trong X mà là nghiệm của (IV) trên [0.a]

Trang 37

CHƯƠNG 4: TÍNH COMPACT LIÊN THÔNG CHO TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHAN

Đề nghiên cứu phản nay, ta tìm hiểu một số định lý sau:

Dinh lý 4.1 ( Krasnoselskii — Perov):

Cho E là không gian Banach thực, D là tập mở bị chặn và 7 : 2 —> E là ánh xạ compact Giả sử T thỏa điều kiện sau:

(i) Với € > 0, ton tại ánh xa compact T, sao cho l7; (x)— T(x)| < £ với mọi

xe D và phương trình x = T,(x) + có nhiều nhất một nghiệm nếu |b| < £

(ii) T không có điểm bất động trên ÔD và deg(/ - 7, D,0) z0

Khi đó tập các điểm bất động của T là tập compact lién thong Chứng minh:

Dat N = {x: T(x) =*,%-€ DI

Do deg(/ - 7, D,0) # 0 nên tén tai x, € Dsao cho (1 -T)(x,) =0 => T(x„)= xụ Vay N #@ DoT la anh xa compact nén N 1a tap compact

Giả sử N không liên thông, khi đó tồn tại các tập mở O,,O, chứa trong D sao cho : NAO, #9, NOO, #9, NCO VO," va O, 010, =O

Ta có : deg(/ -7,D,0) =deg(/ -T,0,,0) + deg(/ -T,O,,0)

Ta sẽ chứng minh deg(/ —- 7,0,,0) = deg(/ - 7,O,,0) = 0va nhu vay mau thuan

với giả thiết deg(/ - 7, D,0) # 0

Do Ø,N # Ø nên tôn tại x, €O, ON sao cho Tx, = x,

Đặt ¢,(x) =x -T7,(x)-[x, - 7, (x,)] trong đó 0< £ << với

œ=min {|x —Tx ,xE 00, va T, la anh xa compact trong diéu kién (i)

Xét đng ludn: H (t,x) =1¢,(x)+ (1-1 -T\(x), xe D; te[0,1]

Trang 38

=|Hứ.x)|>|x-T(x)|—t

T;(x)— T(x)|~t|xị - T;(x)|3 œ— 2£ >0

Với mọi xeôO,; re{0,1]

Áp dụng tính bất biến đồng luân ta được:

deg(7 - 7T,O,,0) = deg(ø,,Ó, ,0)

Do Ø,(x)=x—T;(x)—b với b=xị —T,(x,)=T(x,)— T,(x,) =|b|< £ Do điều kiện (i) nên phương trình Ø (x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm

Do đ (x,)= 0 nên Ø (x) không triệt tiêu trên Ó, Suy ra:

deg(ø,,Ó,,0) = 0 hay deg(/ - 7,Ó,,0) = 0

Tương tự do ¬Ớ, #7 nên cũng có deg(/ - 7,Ó,,0)=0

Vậy deg(/ -7, D,0)=0, điều này vô lý

Do đó N là tập liên thông

Dinh ly 4.2:

Cho X va Y là hai khong gian Banach, D là tập mở trong X và ƒ/ : D —> Y liên tục

Khi đó với e >0, tôn tại ƒ:D—> Y Iipsit địa phương sao cho: |ƒ(x) — f,(x)| <£

với mọi x và ƒ_(x)C coƒ(D) Chứng minh:

Với xe D đặt ø,=|yeD/|70)~/œ)<Š]} thì DcC\2,pø,

Gọi {V,,A € A} là một phủ mở của D, được gọi là phủ mở hữu hạn địa phương mịn

hơn cua phi {w,,x € D} sao cho:

hiu han AEA

e Với mỗi 4€ A tổn tại xe D dé V, ca,

Với AEA, xac dinh #ø,:D->ÏR định bởi:

Trang 39

0,x £ E,

a,(x)=

p(x, OV,), x EV, Trong do p(x, A)= inf {|x - y|,ye A}

Dat 6,6)=| z,ẲG)] ăx), xeD

HEN

0 <|x— y|,x, y # V;

Ta có: la,(x)-a,(y)|= p(x,0V,)<|x-y xEV,,yEeV,

|2(x,8V,) - p(y, 0V,)| <|x- yl x,y EV,

Vay a, lipsit trén D

Do {V,,A = A} la phu mo hitu han dja phuong nén chi co hitu han wz € A sao cho

x€f, và như vậy chỉ có một số hữu han ys € A sao cho @ (x) >0 Vay ¢,(x)

hồn tồn xác định Hơn nữa #,(x) = 0 néu x ¢V, va ý, lipsit địa phương Với mỗi Ae A, chon a, EV, AD Dinh nghia:

F(x) = > O,(x)f (a)

AeA

Vì 3 đ,(x)=l, 9,(x) 20 nén f(x) €cof(D)

AeA

Khi đó f, là lipsit địa phương trên D

Với mỗi xe D, tồn tại 4 A để x eƒ, và tôn tại x'e D để Ứ, cø, Khi đó:

x,a, €Ÿ, Cø, nên |ƒ(x)~- ƒ(a;)|}<£

Vậy: [¿(x)— #œ)|= >_/,(x)|ƒ(a,)- ƒ(x)|<e với mọi xe D

AeA

Trang 40

Định lý 4.3:

Cho X là không gian mêtric, M là tập con khác rỗng của X, Y là không gian định chuẩn và #': M4 —> Y là toán tử liên tục Khi đó tồn tại một ánh xạ liên tục

øg:X —Y thỏa điều kiện:

(i) ø(x)Ccøf(M), coøƒ(M) là bao lồi của ƒ(M) (1) ø(x)= /(>x), với mọi x e Mí

Bây giờ ta sẽ đi vào xét tính chất tập nghiệm của phương trình tích phân cụ thê sau:

4.4: Phương trình V:

Cho E là không gian Banach thực với chuân | |, A là tập mở lôi bị chặn trên E và X

là không gian các hàm liên tục trên [0,œ) vào tôpô E, {ø„}„ là họ nửa chuẩn định

bởi: với mọi x 6X p (x)= sup {|x(s)| ‘se [0, n]} Topo trên X tương thích với mêtric œ —®^*2 Ø(x-ÿy) AG 2s a te) Xét phuong trinh tich phan (V)_ xŒ)= [ƒ(s,x(s))4s + [øŒ,s,x(s))4s,! >0, 0 0

Trong đó ƒ/,ø thỏa mãn những điều kiện sau:

(V.1) f :[0,00) x E —> E; là ánh xạ liên tục với tính chat: voi ne N,Ak, >0

sao cho:

If (t,x) - f(ty)| Sk,

x-y|, Vx,y€E, Vre[0,n]

(V.2) g: [0,œ} x E + E hoàn toàn liên tục sao cho ø(,.,.):ƒx 4 —> E liên

tục đều theo t trên khoảng bị chặn bắt kì, với tập bị chặn bất kì 1 [0,œ) và tập bị

chan ACE

Định dạng
Số trang	51
Dung lượng	13,23 MB