Một số định lý điểm bất động kiểu edelstein cho ánh xạ không liên tục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– HOÀNG THỊ HƯNG MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU EDELSTEIN CHO ÁNH XẠ KHƠNG LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HÓA, NĂM 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– HOÀNG THỊ HƯNG MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU EDELSTEIN CHO ÁNH XẠ KHÔNG LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Lương THANH HÓA, NĂM 2022 Danh sách Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ khoa học Theo Quyết định số 1242 /QĐ-ĐHHĐ ngày 13 tháng năm 2022 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức Học hàm, học vị, Họ tên Chức danh Cơ quan công tác hội đồng TS Hoàng Nam Trường Đại học Hồng Đức PGS TS Trần Đình Kế TS Đỗ Văn Lợi Chủ tịch HĐ Trường ĐHSP Hà Nội UV Phản biện Trường Đại học Hồng Đức UV Phản biện PGS TS Vũ Trọng Lưỡng Trường ĐHGD - ĐHQGHN Ủy viên TS Mai Xuân Thảo Thư ký Hội Toán học Việt Nam Xác nhận Người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến Hội đồng Ngày 18 tháng năm 2022 TS Nguyễn Văn Lương LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Hoàng Thị Hưng i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường đại học Hồng Đức hướng dẫn TS Nguyễn Văn Lương Tác giả xin cảm ơn bày tỏ kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Lương, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt q trình nghiên cứu để em hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn đến thầy giảng dạy lớp K13 cao học Tốn Giải tích, trường Đại học Hồng Đức Tại tác giả nhận nhiều dẫn, góp ý q báu mơi trường thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng quản lý đào tạo, Phòng quản lý sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa KHTN, Bộ môn Giải tích PPGD Tốn khoa KHTN trường Đại học Hồng Đức tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành thời hạn luận văn Xin cảm ơn bạn bè người thân ln động viên giúp đỡ Thanh Hóa, tháng năm 2022 Hoàng Thị Hưng ii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Chữ viêt tắt ký hiệu iv Mở đầu Chương Kiến thức sở 1.1 Không gian metric 4 1.2 Một số định lý điểm bất động 11 Chương Một số định lý điểm bất động kiểu Edelstein cho ánh xạ không liên tục 14 2.1 Định lý điểm bất động kiểu Edelstein - Hardy - Rogers 14 2.2 2.3 Định lý điểm bất động kiểu Edelstein - Suzuki 20 Định lý điểm bất động cho ánh xạ thoả mãn điều kiện co ẩn 29 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 iii CHỮ VIẾT TẮT, KÝ HIỆU N Tập số tự nhiên R Tập số thực Q Tập số hữu tỉ R+ Tập số thực không âm Rn Tập hợp vectơ thực n chiều C[a, b] Tập hàm thực liên tục đoạn [a, b] iv MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động hướng nghiên cứu quan trọng giải tích phi tuyến có nhiều ứng dụng khơng lĩnh vực tốn học mà ứng dụng ngành kỹ thuật, sinh học, kinh tế, tài Kết quan trọng lý thuyết điểm bất động không gian mêtric Nguyên lý ánh xạ co Banach Nguyên lý phát biểu luận án tiến sĩ Banach năm 1922 kết mở đầu cho lý thuyết điểm bất động dạng co Tuy nhiên, phải tới năm 60 kỷ XX lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ thoả mãn điều kiện co không gian mêtric quan tâm phát triển mạnh mẽ Nhiều kết mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach đưa ra, tiêu biểu cơng trình M Edelstein, R Kannan, S Reich, ´ c, G E Hardy, T D Rogers, L B Ciri´ Năm 1962, M Edelstein [2] chứng minh định lý tiếng sau: Định lý E Cho (X, d) không gian metric compact T : X → X Giả sử d(T x, T y) < d(x, y) với x, y ∈ X, x ̸= y (EC) Khi đó, T có điểm bất động Lưu ý rằng, ánh xạ T : X → X thoả mãn điều kiện co (EC) Định lý E, T liên tục X Nhiều điều kiện co khác dẫn tới ánh xạ tương ứng liên tục toàn không gian số điểm đặc biệt không gian Năm 1977, B E Rhoades [7] so sánh 250 điều kiện co khác hầu hết điều kiện co không dẫn tới ánh xạ liên tục tồn khơng gian, nhiên, tất trường hợp dẫn tới ánh xạ liên tục điểm bất động Năm 1988, B E Rhoades [8] kiểm tra lại tính liên tục số lượng lớn ánh xạ thoả mãn điều kiện co khác tiếp tục ánh xạ liên tục điểm bất động dù khơng liên tục tồn khơng gian Sau đó, B E Rhoades đưa câu hỏi mở: Tồn hay không điều kiện co ánh xạ thoả mãn điều kiện co có điểm bất động khơng thiết liên tục điểm bất động? Pant [9] người đưa câu trả lời cho câu hỏi vào năm 1999 Sau đó, nhiều câu trả lời cho câu hỏi Rhoades đưa nhiều tác giả khác Hiện tại, việc đưa câu trả lời cho câu hỏi Rhoades quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Để tìm hiểu kỹ hướng nghiên cứu này, lựa chọn đề tài “Một số định lý điểm bất động kiểu Edelstein cho ánh xạ không liên tục” Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài tìm hiểu trình bày số định lý điểm bất động cho ánh xạ không liên tục thoả mãn điều kiện co kiểu Edelstein không gian metric Đối tượng nghiên cứu Các ánh xạ không liên tục không gian metric Phạm vi nghiên cứu Sự tồn điểm bất động ánh xạ Phương pháp nghiên cứu • Phân tích, đánh giá, tổng hợp hệ thống kết liên quan tới hướng đề tài • Sử dụng phương pháp lý thuyết điểm bất động không gian metric phương pháp lặp, lấy ví dụ minh hoạ, Ý nghĩa luận văn Luận văn tìm hiểu trình bày số kiến thức khơng gian metric, ánh xạ khơng gian metric Tìm hiểu, hệ thống trình bày số định lý điểm bất động cho ánh xạ không liên tục thoả mãn điều kiện co kiểu Edelstein, trình bày ví dụ minh hoạ Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho học viên cao học ngành Toán Cấu trúc luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm hai chương • Chương Kiến thức sở Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức không gian metric, ánh xạ không gian metric, số khái niệm kết lý thuyết điểm bất động khơng gian metric • Chương Một số định lý điểm bất động kiểu Edelstein cho ánh xạ không liên tục Chương nội dung luận văn Trong chương này, chúng tơi trình bày phát biểu chứng minh số định lý điểm bất động cho ánh xạ không liên tục gian metric compact không gian metric đầy đủ thoả mãn điều kiện co kiểu Edelstein Một số ví dụ minh hoạ cho kết trình bày , m, n ∈ N m n khơng gian khơng đầy đủ Ví dụ 1.1.20 Cho X = N với metric    1 + − x d(x, y) =   0, d : X × X → R xác định , x ̸= y, y x = y Mọi dãy Cauchy X dãy phần tử trừ hữu hạn phân tử, hội tụ Vậy (X, d) không gian đầy đủ Mệnh đề 1.1.21 Nếu dãy Cauchy không gian metric (X, d) có dãy hội tụ, hội tụ tới giới hạn dãy Định nghĩa 1.1.22 Cho (X, d) không gian metric, x0 ∈ X r > Tập S (x0 , r) = {x ∈ X : d (x0 , x) < r} gọi hình cầu mở tâm x0 , bán kính r Tập S¯ (x0 , r) = {x ∈ X : d (x0 , x) ≤ r} gọi hình cầu đóng tâm x0 , bán kính r Định nghĩa 1.1.23 Một tập G không gian metric (X, d) gọi mở với x ∈ G, tồn r > cho S(x, r) ⊆ G Một tập E không gian metric (X, d) gọi đóng phần bù E X tập mở Định nghĩa 1.1.24 Một không gian metric (X, d) gọi compact phủ mở G X có phủ hữu hạn, tức tồn {G1 , G2 , , Gn } ⊆ G cho X= n [ Gi i=1 Một tập khác rỗng Y X gọi compact khơng gian metric commpact với metric d Mệnh đề 1.1.25 Nếu (X, d) khơng gian metric compact, (X, d) khơng gian đầy đủ Ví dụ sau chứng tỏ điều ngược lại khơng Ví dụ 1.1.26 Khơng gian metric X = R với metric d(x, y) = |x − y|, x, y ∈ X không gian metric đầy đủ không gian metric compact Mệnh đề 1.1.27 Không gian metric (X, d) compact dãy X có dãy hội tụ X Định nghĩa 1.1.28 Một không gian metric (X, d) gọi compact bị chặn dãy bị chặn X có dãy hội tụ Từ định nghĩa ta thấy rằng, không gian compact compact bị chặn, nhiên khơng gian compact bị chặn không thiết không gian compact Chẳng hạn, tập số thực R với metric thông thường không gian metric compact bị chặn không compact Định nghĩa 1.1.29 ([4]) Cho (X, d) không gian metric T : X → X ánh xạ Quỹ đạo T x ∈ X tập xác định  Ox (T ) = x, T x, T x, T x, Định nghĩa 1.1.30 ( [4]) Cho (X, d) không gian metric T : X → X ánh xạ Không gian metric (X, d) gọi T - compact quỹ đạo, dãy Ox (T ) có dãy hội tụ với x ∈ X Rõ ràng, tính T - compact quỹ đạo không gian phụ thuộc vào T Ví dụ 1.1.31 Cho X = [0, ∞) với metric d(x, y) = |x − y|, x, y ∈ X Xét hai ánh xạ T1 T2 X xác định x , n − ≤ x < n T1 x = n+1 T2 x = 2x với x ∈ X n ∈ N Khi đó, X T1 -compact quỹ đạo khơng T2 -compact quỹ đạo Ví dụ 1.1.32 Cho X = [0, 1) với metric d(x, y) = |x − y|, x, y ∈ X x Xét ánh xạ T : X → X xác định T x = x ∈ X Khi đó, X T -compact quỹ đạo khơng đầy đủ Ví dụ 1.1.33 Cho khơng gian metric (X, d) với X = [0, ∞) d(x, y) = |x − y|, x, y ∈ X Xét ánh xạ T : X → X xác định T x = 2x, x ∈ X Khi đó, X compact bị chặn khơng phải T -compact quỹ đạo Định nghĩa 1.1.34 Cho (X, dX ) (Y, dY ) không gian metric A ⊆ X Một ánh xạ f : A → Y gọi liên tục a ∈ A, với ε > 0, tồn δ > cho dY (f (x), f (a)) < ε với x ∈ A dX (x, a) < δ Nếu f liên tục điểm a ∈ A, ta nói f liên tục A Ví dụ 1.1.35 Cho X = Y = C[0, 1] với metric d(x, y) = supt∈[0,1] {|x(t)− y(t)|} Ánh xạ φ : X → Y xác đinh Z t x(s)ds, x ∈ C[0, 1] (φ(x))(t) = ánh xạ liên tục Mệnh đề 1.1.36 Cho (X, dX ) (Y, dY ) không gian metric, A ⊆ X Ánh xạ f : A → Y liên tục a ∈ Akhi dãy {f (xn )} hội tụ tới f (a) với dãy {xn } A hội tụ tới a Định nghĩa 1.1.37 ([4]) Cho (X, d) không gian metric Một ánh xạ T : X → X gọi liên tục quỹ đạo z ∈ X với dãy {xn } ⊂ Ox (T ) với x ∈ X thoả mãn xn → z T xn → T z n → ∞ Nếu ánh xạ T liên tục quỹ đạo z ∈ X , ta nói T liên tục quỹ đạo Từ định nghĩa ta thấy rằng, T : X → X liên tục, liên tục quỹ đạo Tuy nhiên, điều ngược lại khơng Ví dụ 1.1.38 Cho X = [0, ∞) với metric thông thường d(x, y) = |x − y|, x, y ∈ X Xét ánh xạ T : X → X xác định    1, 0⩽x ̸= 1, Tx =  x   , x > Khi đó, T liên tục quỹ đạo không liên tục 10 1.2 Một số định lý điểm bất động Lý thuyết điểm bất động lĩnh vực nghiên cứu có nhiều ứng dụng toán học khoa học khác Trong phần này, chúng tơi trình bày số khái niệm số định lý bật liên quan tới hướng đề tài Định nghĩa 1.2.1 Cho (X, d) không gian metric T : X → X ánh xạ Một phần tử x ∈ X gọi điểm bất động T T x = x Một kết quan trọng lý thuyết điểm bất động nguyên lý ánh xạ co Banach Nguyên lý phát biểu T ánh xạ co không gian metric đầy đủ (X, d), tức là, tồn k ∈ [0, 1) cho d(T x, T y)⩽kd(x, y) ∀x, y ∈ X, (1.1) T có điểm bất động X Nguyên lý ánh xạ co công cụ quan trọng việc chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân, tích phân, phương trình phi tuyến, Nguyên lý ánh xạ co Banach quan tâm mở rộng phát triển theo nhiều hướng khác Năm 1962, Edelstein [2] chứng minh kết sau Định lý 1.2.2 ([2]) Cho (X, d) không gian metric compact T : X → X ánh xạ Nếu d(T x, T y) < d(x, y) ∀x, y ∈ X, x ̸= y, (1.2) T có điểm bất động X Trong định lý trên, tính compact khơng gian thay tính đầy đủ kết luận định lý khơng cịn Ví dụ sau rõ điều Ví dụ 1.2.3 Cho X = [2, ∞) với metric thông thường d(x, y) = |x − y| với mọix, y ∈ X Khi đó, (X, d) khơng gian metric đầy đủ không compact Xét ánh xạ T : X → X xác định T x = x + với x ∈ X x Khi đó, với x, y ∈ X x ̸= y , ta có