TÍNH nửa LIÊN tục của ÁNH xạ NGHIỆM của bài TOÁN cân BẰNG NGẪU NHIÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN Tên đề tài: PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG NGẪU NHIÊN VÀ ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN TỐI ƯU NGẪU NHIÊN Mã số: 233/HĐ-NCKHPTCN Tên báo cáo chuyên đề: TÍNH NỬA LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG NGẪU NHIÊN Chủ nhiệm đề tài: TS Nguyễn Xuân Hải Người chủ trì thực chuyên đề: TS Nguyễn Xuân Hải, Khoa Khoa học tự nhiên Bình Dương, Tháng Năm 2015 Mục lục Trang Đặt vấn đề Nội dung nghiên cứu kết đạt Kết luận Tài liệu tham khảo 1 Đặt vấn đề Gọi Xcũ n, s p(Q) tập tất độ đo xác suất Borel Q Gọi K:XX p(Q)" Xlà ánh xạ đa trị f :Q X X X Xu{ ± O)} cho, với x, y e X, f (., x, y) hàm đo Chúng tơi xét tốn cân ngẫu nhiên phụ thuộc tham số độ đo xác suất đây: (SEP) Tìm x G X cho x e K(x, /Ả) E f (a, x, Ả) < 0, Vy e K(x, /Ả) , EẢ f (a, x, y) = f (a, x, y ')ụ(dữ) giá trị kì vọng f (., x, y) theo độ đo O ả Với toán (SEP), định nghĩa S(Ả)={X G X:x E K(X,Ả), J f (a,x,y)Ả(da) < 0, Vy K( , )} (1) E XẢ Khi S xác định ánh xạ đa trị từ p(Q) vào X gọi ánh xạ nghiệm toán (SEP) Nội dung chuyên đề nghiên cứu tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm S(ả) theo tham số độ đo xác suất ả Nội dung nghiên cứu kết đạt Ta sử dụng kết sau chuyên đề Bổ đề 2.1 Với CŨEQ y GX, f(ạ,.,y) Isc T(Ả,y) tập đóng X với Ả e p(Q) Từ trở đi, với tốn (SEP) ta ln giả thiết thêm X tập compact □ n, ánh xạ đa trị K có ảnh đóng, f (ạ,.,y) lsc với (ạ,y) eQxX Bổ đề 2.2 Với không gian (ỷ/Q), p), ánh xạ K: X X@(Q)" X liên tục theo biến thứ ánh xạ đóng nửa liên tục Bổ đề 2.3 Với khơng gian o(fì),ơ„), ánh xạ K: XX@(Q)" X liên tục theo biến thứ ánh xạ đóng nửa liên tục Bổ đề 2.4 Với không gian o(Q),^), ánh xạ K: @(Q) " X xác định (2) đóng, K có ảnh đóng nên K nửa liên tục Đầu tiên ta có kết sau tính chất tơpơ tập nghiệm Mệnh đề 2.1 Cho ụep(Q), giả sử tập E := {x t X: x t K(x,ụ)} đóng K(.,ụ) Isc với meQ, f(&,.,.~) Isc Khi tập nghiệm S(ụ) xác định (1) đóng Chứng minh Giả sử {xn }^J c S(ụ) dãy cho xn — x Ta chứng tỏ x e S(ụ) Bởi cơng thức (1), với n,x tE Vì E đóng, ta có x tE, nghĩa x G K(x,ụ) • ụ Bây lấy y e K(x,ụ) • Vì K(., ụ) lsc, tồn dãy {yn }” với y G K(x,ụ) = cho yw — y • Từ tính nửa liên tục f (m,.,.) bổ đề Fatou ta có: (dm) < Vậy x G S(ụ) LI Từ trở đi, với tốn (SEP) ta ln giả sử tất điều kiện định nghĩa toán Mục 1, điều kiện nói đến Mục 2; giả thiết thêm X tập compact □ n, ánh xạ đa trị K có ảnh đóng, f (m,.,y) lsc với (m,y) tQxX giả thiết Bổ đề 2.2-2.3 thỏa mãn Ta giả thiết thêm rằng, với m tQ, f (m,.,.) liên tục Định lí 2.1 Với ánh xạ K: X X (p(Q),p) " X, ánh xạ nghiệm S xác định công thức (1), từ(p(Q),p) vào X nửa liên tục Chứng minh Giả sử tồn ụ01 p(Q) cho S không usc ụo Khi tồn lân cận mở U S(ụ) X tồn dãy \ụn,{xnthỏa: ụn—ụ với n, xn tS( ụn) x Ể U Ta có x Ểr(ụo, yo )=< m,x,yo)ụo(dm) với h ( ( n ụ) ( n ụo)) < K x , ,K x , su PxtX h ( ( ụ ) ( ụo ))< p(ụ ụ ) — ° K x, ,K x, Suy ra, với n, tồn x*n tK(xn,ụ°) cho ||x„ -x'nII —— Vì Xlà compact, ta giả sử x'n — x° Khi xn — x0 Do Bổ đề 2.2, ánh xạ K đóng Hơn nữa, với n,xn t K(x/;, ụ) Suy x01K(x0, ụ) Bây giả sử tồn yn eK(xn,Pn) cho n, yn y0 Hơn nữa, r(p,.) liên tục (do f (a,x,.) liên tục) Vì ta có : (r( Pn yn) rp yo)) r r r r < ( (p yn) (p yn))+ ( (p yn) (p yo)) rp r < ( ( y) r(n y))+n (r(n y„n (n yo))) h h , , , , h sup h , , , y eX (r(p y„) r(Po yo )H Nhưng h(r(P ,y ),r(p, yo))^0 ta có