Luận văn tính trơn của nghiệm theo biến thời gian của bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền sóng (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— PHẠM HUY BA TÍNH TRƠN CỦA NGHIỆM THEO BIẾN THỜI GIAN CỦA BÀI TỐN BIÊN KHƠNG CĨ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SĨNG Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, 2016 i Luận văn hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức Người hướng dẫn: GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Phản biện 1: PGS TS Trần Văn Ân - Đại Học Vinh Phản biện 2: TS Vũ Trọng Lưỡng - Đại Học Tây Bắc Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học Tại: Phòng 1206 Nhà Điều hành, trường Đại học Hồng Đức Vào hồi: 00 ngày 05 tháng 11 năm 2016 Có thể tìm hiểu luận văn Thư viện trường Đại học Hồng Đức, Bộ mơn: Giải tích Trường Đại học Hồng Đức 1 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Khi nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng biết vấn đề liên quan đến phương trình Laplace, phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt Đó phương trình đơn giản đại diện cho ba lớp phương trình đạo hàm riêng phương trình loại Eliptic, Hypebolic, Parabolic Ta thấy rằng, điều kiện tồn nghiệm theo nghĩa thơng thường địi hỏi nhiều yếu tố khắt khe tính trơn đến cấp phương trình, điều gây khó khăn xét tốn phương trình miền với toán phương trình tổng quát Sự tồn nghiệm suy rộng tốn biên khơng có điều kiện ban đầu thứ phương trình Hyperbolic cấp bước đầu nghiên cứu Trong luận văn chúng tơi trình bày chi tiết kết tồn tính trơn theo biến thời gian nghiệm suy rộng toán Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn nghiên cứu tính trơn nghiệm theo biến thời gian tốn biên khơng có điều kiện ban đầu thứ phương trình truyền sóng Kết nhận định lí tính trơn nghiệm theo biến thời gian không gian Sobolev Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu nêu trên, nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: Nghiên cứu kiến thức sở không gian hàm, không gian Sobolev, bất đẳng thức bản, tài liệu liên quan Từ áp dụng vào nghiên cứu tính trơn nghiệm theo biến thời gian toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn nghiên cứu không gian Sobolev, nghiên cứu nghiệm suy rộng, nghiên cứu tính trơn nghiệm theo biến thời gian tốn biên khơng có điều kiện ban đầu phương trình truyền sóng miền không trơn 2 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp sử dụng luận văn sử dụng công cụ giải tích hàm, phương pháp xấp xỉ Galerkin Dự kiến đóng góp luận văn Nhận định lí tính trơn nghiệm theo biến thời gian xét trường hợp đặc biệt toán 3 Chương KHƠNG GIAN SOBOLEV 1.1 Các kí hiệu Giả sử Ω miền bị chặn Rn , n ≥ S = ∂ Ω biên nó, Ω = Ω ∪ ∂ Ω Kí hiệu: Ωa,b = Ω × (a, b) = {(x,t) : x ∈ Ω,t ∈ (a, b), ≤ a < b < ∞} trụ Rn+1 Mặt xung quanh là: Sab = ∂ Ω × (a, b) = {(x,t) : x ∈ ∂ Ω, t ∈ (a, b)}; b Ω∞ h hình trụ Ω × (h, ∞); Ω−∞ = Ω × (−∞, b); Sh∞ = ∂ Ω × (h, ∞); ΩT = Ω × (0, T ); ST = ∂ Ω × (0, T ) Nếu (a, b) = R ta viết: ΩR = Ω+∞ −∞ ; +∞ SR = S−∞ Giả sử u hàm vector phức với thành phần u1 , , un Ta kí hiệu u = (u1 , , un ) D p u = ∂ |p| u/∂ x1p1 ∂ xnpn = ux p1 xnpn đạo hàm suy rộng đến cấp p theo biến x = (x1 , , xn ); ut k = ∂ k u/∂t k đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t Ở p = (p1 , , pn ) kí hiệu đa số với pi số nguyên không âm, |p| = p1 + + pn Kí hiệu Ck (Ω) tập hợp tất hàm có đạo hàm liên tục đến cấp k 0 0 miền Ω, ≤ k ≤ ∞, C (Ω) = C(Ω) Ck (Ω) = (Ω) ∩Ck (Ω), C C (Ω) tập hợp tất hàm liên tục Ω với giá compact thuộc Ω; C0∞ (Ω) không gian hàm khả vi vô hạn với giá compact Ω, x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn Cho X không gian Banach với chuẩn k.kX Kí hiệu L∞ (0, T ; X) không gian bao gồm tất hàm u(.,t) nhận giá trị không gian X, xác định (0, T ) cho kukL∞ (0,T ;X) = ess sup ku(x,t)kX < ∞ 0 Khi ab 1.4.2 ≤ εa2 + b2 4ε Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Cho u, v ∈ Rn Khi đó, ta có: |uv| ≤ |u| |v| Trong không gian Hilbert(H), chuẩn phần tử u lấy là: p kuk = (u, u) Đối với u, v ∈ (H) ta có bất đẳng thức Cauchy - Schwarz |uv| ≤ kuk kvk 1.4.3 Bất đẳng thức Gronwall - Belman Giả sử u φ hàm khả tích khơng âm đoạn [t0 , T ), L = const > thỏa mãn: u(t) ≤ φ (t) + L Zt u(t)dt, ∀t ∈ [t0 , T ) t0 Khi đó: u(t) ≤ φ (t) + L Zt eL(t−s) φ (s)ds, ∀t ∈ [0, T ) t0 Hơn nữa, φ (t) có đạo hàm φ (t) khả tích [t0 , T ) u(t) ≤ φ (t0 )eL(t−t0 ) + L Zt eL(t−s) φ (s)ds, ∀t ∈ [t0 T ) t0 Ta nhận thấy Φ ≡ C ≡ const [t0 , T ) từ bất đẳng thức ta suy bất đẳng thức Gronwall - Belman thông thường, tức là: u(t) ≤ CeL(t−t0 ) , ∀[t0 , T ) Đặc biệt Φ(t) ≡ [t0 , T ) ta có u(t) ≤ L Zt u(s)ds ⇒ u(t) ≡ 0, ∀t ∈ [t0 , T ) t0 • Hội tụ yếu Cho X khơng gian Banach thực Kí hiệu X ∗ =L(X, K) tập tất phiếm hàm tuyến tuyến liên tục X Ta nói dãy {uk }∞ k=1 ⊂ X hội tụ yếu đến u ∈ X ∀u∗ ∈ X ∗ dãy u∗ (uk ) hội tụ đến u∗ (u) K; Kí hiệu: uk * u Bổ đề 1.4.1 Giả sử [0, T ] hàm y(t) hàm liên tục tuyệt đối không âm thỏa mãn bất đẳng thức dy(t) ≤ C1 (t)y(t) +C2 (t), dt C1 (t) C2 (t) hàm khả tổng không âm đoạn [0, T ] Khi   ξ t R y(t) ≤ e0 C1 (τ)dτ Zt y(0) + R − C1 (τ)dτ C2 (ξ )e dξ  Rt ≤ e0 C1 (τ)dτ   Zt y(0) + C2 (τ)dτ  Kí hiệu W m,l (ΩT ) không gian bao gồm tất hàm u ∈ W m,l (Ω T) cho u(x, T ) = 0 Giả sử {ϕk (x)} ⊂ W m (ΩT ) hệ trực chuẩn L2 (Ω), cho bao 0 đóng bao tuyến hệ W m (ΩT ) trùng với W m (ΩT ) Kí hiệu   N MN = ∑ dk (t)ϕk (x) : dk ∈ W1 (0, T ), dk (T ) = k=1 Ta có bổ đề sau: Bổ đề 1.4.2 Giả sử Ω miền (không thiết bị chặn Rn ) Khi tập hợp M = S∞ N=1 MN trù mật không gian W m,1 (Ω T ) 9 Chương BÀI TỐN BIÊN KHƠNG CĨ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SĨNG Chương này, tác giả trình bày tính tồn nghiệm suy rộng toán biên khơng có điều kiện ban đầu thứ phương trình truyền sóng 2.1 Đặt tốn Ta đưa vào không gian hàm: W 1,1 (e−γt , ΩR ), L2 (e−γt , ΩR ) Xét toán tử vi phân cấp hai sau: n   ∂ ∂ aij (x,t) ΩR , L(x,t, D) = ∑ ∂ x ∂ x i j i, j=1 aij ≡ aij (x,t) hàm phức khả vi vô hạn ΩR , aij = a ji ( i, j = 1, ,n ) Hơn giả sử aij (i, j = 1, ,n) liên tục với x ∈ Ω theo biến t ∈ R n Đặt B(u, u)(t) = − ∑ aij ux j (.,t), uxi (.,t) Ω , t ∈ R, i, j=1 B(.,.)(t) thỏa mãn điều kiện Eliptic đều, tức ∃µ0 > cho ta có: −B(u, u)(t) ≥ µ0 ku(.,t)kW (Ω) với hầu khắp t ∈ R Xét toán sau trụ ΩR : L(x,t, ∂ )u − utt = f (x,t) ΩR , (2.1) u SR = (2.2) Bài toán (2.1) - (2.2) gọi tốn biên khơng có điều kiện ban đầu thứ phương trình truyền sóng 10 2.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng Cho f ∈ L2 (e−γt , ΩR ) Khi hàm u(x,t) gọi nghiệm suy rộng toán (2.1) - (2.2) không gian W1,1 (e−γt , ΩR ) thỏa mãn đẳng thức n − ∑ i, j=1 aij ux j , ηxi ΩT + hut , ηt iΩT = h f , ηiΩT −∞ với hàm thử η 2.3 −∞ = η(x,t) ∈ W1,1 (e−γt , Ω −∞ R )sao cho η(x,t) = , ∀t (2.3) ≥ T Tính nghiệm suy rộng Ở mục ta chứng minh tính nghiệm suy rộng qua định lý sau: ∂ aij < µ1 e2γt , µ1 = const > 0, ∀t ∈ R, ∀i, j : Định lý 2.3.1 Giả sử cho γ > ∂t ≤ i, j ≤ n Khi tốn (2.1) - (2.2) có khơng q nghiệm suy rộng W1,1 (e−γt , Ω 2.4 Sự tồn nghiệm suy rộng R ) Mục này, ta chứng minh tồn nghiệm suy rộng tốn biên khơng có điều kiện ban đầu thứ phương trình truyền sóng Nghiệm suy rộng tốn (2.1) - (2.2) đánh giá xấp xỉ nghiệm suy rộng tốn có điều kiện ban đầu là: Xét toán trụ Ω∞ h L(x,t, D)u − utt = f (x,t) Ω∞ h, (2.4) u |t=h = ut |t=h = , x ∈ Ω, (2.5) u Sh∞ = (2.6) với điều kiện ban đầu với điều kiện biên 11 Cho f ∈ L2 (Ω) Khi nghiệm suy rộng tốn (2.8) - (2.10) hàm u(x,t) ∈ W1,1 (e−γt , Ω∞ h ), u(x, h) = n − ∑ aij ux j , ηxi i, j=1 với T > đẳng thức ΩTh + hut , ηt iΩT = h f , ηiΩT với hàm thử η = η(x,t) ∈ h h W1,1 (e−γt , Ω∞ h) cho η(x,t) = với t ∈ [T, ∞) Giả sử tồn hàm χ(t) (1, ∞], (−∞, 0] đạt giá trị [0, 1] [0, 1] Hơn ta giả sử tất đạo hàm χ(t) bị chặn Cho h ∈ (−∞, 0] Đặt f h (x,t) = χ(t − h) f (x,t) cho: ( f (x,t), t ≥ h + 1, f h (x,t) = , t ≤ h Hơn nữa, f ∈ L2 (e−γt , ΩR ) f h ∈ L2 (e−γt , ΩR ) h f −γt ≤ k f k2L2 (e−γt ,ΩR ) L (e ,Ω ) R Xét nghiệm suy rộng uh uk tốn biên có điều kiện ban đầu ∞ h k trụ Ω∞ h Ωk với f (x,t) thay f (x,t) f (x,t) tương ứng với h > k, có h thể coi ∈ W1,1 (e−γt , Ω∞ k ) với u (x,t) = 0, ∀k ≤ t ≤ h Xác định uhk (x,t) = uk (x,t) − uh (x,t) uhk (x,t) uh nghiệm suy rộng kh tốn có điều kiện ban đầu trụ Ω∞ k với f (x,t) thay f (x,t) = f k (x,t) − f h (x,t) Khi ta có: kh u 1,1 −γt W (e Bởi vì: h f − f k 2 L ,ΩR kh u 1,1 −γt ∞ ≤ C f h − f k 1,1 −γt ∞ = ) W (e ,Ω ) W (e ,Ω ) (e−γt ,Ω k R k h f − f k 2 −γt ∞ = ) L (e ,Ω ) k h+1 Z = e k h+1 Z 2 k f − f −2γt h L (Ω) dt e−2γt |χ(t − h) − χ(t − k)| k f k2L2 (Ω) dt = k 12 ≤ h+1 Z e−2γt k f k2L2 (Ω) dt k Ta có f ∈ L2 (e−γt , ΩR ), lim h+1 Z e−2γt k f k2L2 (Ω) dt = h, k → −∞ k Do {uh }−∞ h=0 dãy Cauchy uh hội tụ tới u ∈ W1,1 (e−γt , Ω R) h → −∞, tức ta có: uh ∈ W1,1 (e−γt , Ω n − ∑ i, j=1 R) thỏa mãn D E D E D E aij uhx j , ηxi T + uth , ηt T = f h , η Ωh Ωh ΩTh (2.7) với T > 0, η ∈ W1,1 (e−γt , ΩR ), η(x,t) = 0, t ≥ T Bởi uh (x,t) = 0, f h (x,t) = 0, ∀t ≤ h nên từ (2.11) ta có: E E D D E n D h h h − ∑ aij ux j , ηxi T + ut , ηt T = f , η T Ω−∞ i, j=1 Ω−∞ (2.8) Ω−∞ với T > 0, η ∈ W1,1 (e−γt , ΩR ), η(x,t) = 0, t ≥ T Cho f ∈ L2 (e−γt , ΩR ) h → −∞ Từ (2.12) ta thu được: n − ∑ i, j=1 aij ux j , ηxi ΩT + hut , ηt iΩT = h f , ηiΩT −∞ −∞ −∞ (2.9) với T > 0, η ∈ W1,1 (e−γt , ΩR ), η(x,t) = 0, t ≥ T Do u(x,t) nghiệm suy rộng toán (2.1) - (2.2) Và ta chứng minh xong định lý tồn nghiệm tốn (2.1) - (2.2) Từ ta có kết sau: m∗ µ Định lý 2.4.1 Giả sử cho γ > γ0 = với m∗ = ∑ và: 2µ0 |α|≤n n o ∂a (i) sup ∂tij : (x,t) ∈ ΩR , ≤ i, j ≤ n = µ < ∞; ∂a (ii) ∂tij ≤ µ1 e2γt , ∀(x,t) ∈ ΩR , ≤ i, j ≤ n; (iii) f ∈ L2 (e−γt , ΩR ) 13 Khi đó, tồn u(x,t) ∈ W1,1 (e−γt , Ω R) nghiệm suy rộng toán (2.1) - (2.2) thỏa mãn: kuk2 W1,1 (e−γt ,ΩR ) ≤ C k f k2L2 (e−γt ,ΩR ) 14 Chương TÍNH TRƠN THEO BIẾN THỜI GIAN CỦA NGHIỆM SUY RỘNG Trong chương ta xét tính trơn nghiệm miền đóng bị chặn, tức nghiên cứu tính khả vi nghiệm Ta nghiệm suy rộng hàm trơn theo t vế phải phương trình hàm trơn theo t 3.1 Phát biểu toán Cho Ω miền bị chặn Rn (n ≥ 2) với biên ∂ Ω Đặt Ω∞ = Ω × R, S∞ = S × R Để thuận tiện chúng tơi sử dụng số kí hiệu không gian hàm sau: H m (Ω) = W m (Ω) H m,k (γ, Ω∞ ) = Wm,k (e−γt , ΩR ) m,k (e−γt , Ω∞ ) H m,k (γ, Ω∞ h)=W h L2 (γ, Ω∞ ) = L2 (e−γt , Ω∞ ) L2 (γ, Ω∞ ) không gian hàm véc tơ u(x,t) xác định Ω∞ với chuẩn kuk2L2 (γ,Ω∞ ) Z = |u|2 e−γt dxdt Ω∞ Xét toán tử vi phân cấp 2m m L(x,t, D) = ∑ (−1)|p| D p (a pq (x,t)Dq ), |p|,|q|=0 a pq ma trận cấp s × s mà phần tử hàm giá trị phức đo được, bị chặn Ω∞ Giả sử a pq = (−1)|p|+|q| a∗qp ( a∗qp ma trận liên hợp phức chuyển vị a pq ) tồn số dương α0 cho ∑ |p|=|q|=m a pq ηq η p ≥ α0 ∑ |p|=m 2 η p 15 với hàm η p ∈ Cs (x,t) ∈ Ω∞ Đặt Z B(u, v)(t) = ∑ a pq (.,t)Dq u(.,t)D p v(.,t)dx |p|=|q|≤m Ω Khi tồn hai số µ0 > λ0 ≥ cho (−1)m B(u, u)(t) ≥ µ0 kuk2H m (Ω) − λ0 kuk2L2 (Ω) , với hàm u ∈ H m,1 (γ, Ω∞ ) Chúng ta xét toán sau trụ Ω∞ : (−1)m−1 L(x,t, D)u − utt = f Ω∞ , (3.1) ∂ ju |S = , j = 0, , m − 1, ∂ν j ∞ (3.2) ν pháp véc tơ ngồi tới mặt S∞ Lấy f ∈ L2 (γ, Ω∞ ), hàm u ∈ H m,1 (γ, Ω∞ ) gọi nghiệm suy rộng toán (3.1) - (3.2), với T > 0, ta có đẳng thức (−1)m−1 ZT Z Z B(u, η)(t)dt + −∞ ut ηt dxdt = ¯ f ηdxdt ΩT−∞ ΩT−∞ với η ∈ H m,1 (γ, Ω∞ ), η(x,t) = với t ≥ T Với h ∈ R, xét tốn sau có điều kiện ban đầu từ toán (3.1) - (3.2): (−1)m−1 L(x,t, D)u − utt = f Ω∞ h, ut |t=h = u |t=h = 0, Một hàm u ∈ (3.3) x ∈ Ω, (3.4) ∂ j u S∞ = 0, j = 0, , m − ∂ν j h (3.5) H m,1 (γ, Ω∞ h) gọi nghiệm suy rộng toán (3.3) - (3.5) , với T > 0, ta có đẳng thức 16 (−1)m−1 ZT B(v, η)(t)dt + với η ∞ ), ¯ f ηdxdt vt ηt dxdt = ΩTh ΩTh h ∈ H m,1 (γ, Ω Z Z η(x,t) = với t ≥ T Thật vậy, ta biết hàm χ(t) [1, +∞), (−∞, 0] nhận giá trị [0, 1] [0,1] Lấy h ∈ [−T, 0] số nguyên Đặt f h (x,t) = χ(t − h + 1) f (x,t) ( fh = f , t ≥ h, , t < h − Hơn nữa, f ∈ L2 (γ, Ω∞ ) f h ∈ L2 (γ, Ω∞ ) h ≤ C k f k2L2 (γ,Ω∞ ) f (3.6) L2 (γ,Ω∞ ) Cố định f ∈ L2 (γ, Ω∞ ), tốn (3.3) - (3.5) có nghiệm suy rộng uh uh ∈ H m,1 (γ, Ω Rõ ràng uh (x,t) = với ∀t < h − thỏa mãn: h h u m,1 f ≤ C H (γ,Ω∞ ) L (γ,Ω∞ ) ∞ ) Từ (3.6), ta có h u m,1 H (γ,Ω∞ ) ≤ C k f k2L2 (γ,Ω∞ ) (3.7) Lấy k số nguyên, k < h Kí hiệu uk nghiệm suy rộng toán (3.3) - (3.5) ta thay h k Đặt v = uh − uk , f ∗ = f h − f k , v nghiệm suy rộng toán sau: (−1)m−1 L(x,t, D)v − vtt = f ∗ (x,t) Ω∞ , (3.8) ∂ jv |S = , j = 0, , m − 1, ∂ν j ∞ (3.9) vt |t=k−1 = v |t=k−1 = uh (k − 1) − uk (k − 1) = Ω (3.10) Ta có kvk2H m,1 (γ,Ω∞ ) h k ≤C f − f L2 (γ,Ω∞ ) , (3.11) 17 Zh 2 h k f − f L2 (γ,Ω∞ ) Ta có f h, f k ∈ L2 (γ, Ω∞ ), lim = e 2 k f − f −2γt h L2 (Ω) k−1 Zh 2 k f − f −2γt h e L2 (Ω) k−1 (3.12) dt dt = h, k → −∞  −∞ Từ (3.11) (3.12) ta thấy uh h=0 dãy Cauchy Vì uh hội tụ tới u H m,1 (γ, Ω∞ ) Từ ta có u nghiệm suy rộng tốn khơng có điều kiện ban đầu (3.1) - (3.2) Sử dụng (3.7), cho h → −∞, ta được: kuk2H m,1 (γ,Ω∞ ) ≤ C k f k2L2 (γ,Ω∞ ) 3.2 (3.13) Tính trơn theo biến thời gian nghiệm suy rộng Cho s số tự nhiên hàm f ∈ L2 (γ, Ω∞ ) ft l ∈ L2 (γ, Ω∞ ), l = 0, ,s Ta có: l fthl (x,t) = l ∑ r=0 r ! χt r (t − h + 1) ft l−r (x,t) (3.14) Từ (3.14) ft l ∈ L2 (γ, Ω∞ ) nên fthl ∈ L2 (γ, Ω∞ ) với l = 0, ,s l 2 h ft l L2 (γ,Ω∞ ) ≤ C ∑ k ft k k2L2 (γ,Ω∞ ) , k=0 số C không phụ thuộc vào f, h, l, t Chúng ta có định lí sau: Định lý 3.2.1 Cho s số nguyên không âm Giả sử f ∈ L2 (γ, Ω∞ ) thỏa mãn ft l ∈ L2 (γ, Ω∞ ), l = 0, ,s Khi nghiệm suy rộng u ∈ H m,1 (γ, Ω ∞) toán (3.1) - (3.2) thỏa mãn ut l ∈ H m,1 (γ, Ω∞ ), l = 0, , s + 1, (3.15) 18 s+1 s ∑ kut l k2H m,1(γ,Ω∞) ≤ C ∑ k ft l k2L2(γ,Ω∞), l=0 (3.16) l=0 C số không phụ thuộc vào u, f Chứng minh Cố định k < h < , v = uh − uk nghiệm suy rộng toán (3.3) - (3.5) Từ ft l ∈ L2 (γ, Ω∞ ), l = 0, ,s, ft∗l ∈ L2 (γ, Ω∞ ) Do từ tốn (3.3) - (3.5) ta có nghiệm v thỏa mãn vt l ∈ H(γ, Ω∞ ), l = 0, ,s + 1, s+1 ∑ l=0 kvt l k2H m,1 (γ,Ω∞ ) s 2 ≤ C ∑ ft∗l L l=0 (γ,Ω∞ ) n o−∞ Vì uthl dãy Cauchy với l = 0, ,s + Do với l = 0, , h=0 n o s + cố định, dãy uthl hội tụ Vì tồn ut l ut l = lim uthl , h→−∞ l = 0, , s + Bởi uthl ∈ H m,1 (γ, Ω∞ ), l = 0, ,s + 1, nên ta có ut l ∈ H m,1 (γ, Ω∞ ), l = 0, ,s + Và s+1 h ∑ ut l m,1 l=0 H s (γ,Ω∞ ) s+1 h ∑ ut l m,1 l=0 H 2 ≤ C ∑ fthl l=0 L2 (γ,Ω∞ ) s (γ,Ω∞ ) , ≤ C ∑ k ft l k2L2 (γ,Ω∞ ) l=0 Cho h → −∞, ta có (3.16) Định lí chứng minh 19 3.3 Ví dụ Xét phương trình truyền sóng ∆u − utt = f (x,t) , (x,t) ∈ Ω∞ , (3.17) ∂u |S = , ∂ν ∞ (3.18) ∆ toán tử Laplace, ν véc tơ pháp tuyến mặt xung quanh S∞ Khi hàm u(x,t) gọi nghiệm suy rộng toán (3.17) - (3.18) u(x,t) ∈ H 1,1 (γ, Ω∞ ) với T > đẳng thức sau n − ∑ huxi , ηxi iΩT + hut , ηt iΩT = h f , ηiΩT i=1 −∞ −∞ −∞ với η ∈ H 1,1 (γ, Ω∞ ), η(x,t) = với t ≥ T Từ kết ta nhận định lí sau: Định lý 3.3.1 Cho s số nguyên không âm Giả sử f ∈ L2 (γ, Ω∞ ) thỏa mãn ft l ∈ L2 (γ, Ω∞ ), l = 0, ,s Khi nghiệm suy rộng u(x,t) ∈ H 1,1 (γ, Ω∞ ) toán (3.17) - (3.18) thỏa mãn ut l ∈ H 1,1 (γ, Ω ∞) với l = 0, , s + 1, s+1 s l=0 l=0 ∑ kut l k2H 1,1(γ,Ω∞) ≤ C ∑ k ft l k2L2(γ,Ω∞), C số không phụ thuộc vào u, f 20 KẾT LUẬN Nội dung chủ yếu luận văn nghiên cứu tính trơn nghiệm theo biến thời gian tốn biên khơng có điều kiện ban đầu thứ phương trình truyền sóng Những kết mà chúng tơi đạt q trình nghiên cứu là: Trình bày nghiệm suy rộng tốn Trình bày tồn nghiệm suy rộng Trình bày tính nghiệm suy rộng Đặc biệt, kết đạt luận văn: Tính trơn theo biến thời gian khơng gian nghiệm suy rộng Do khả thời gian nghiên cứu có hạn, nên luận văn chưa đầy đủ khó tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận đóng góp thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn!