17 i TÀI LIỆU THAM KHẢO LỜI CAM ĐOAN Tiếng Việt [1] Nguyễn Minh Chương, Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo dục 2000 Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan [2] Nguyễn Mạnh Hùng, Phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học sư phạm Hà Nội, 2005 Trần Đức Thành Tiếng Anh [3] R.A.Adams (1975) , Sobolev spaces, Academmic Press [4] L.C.Evans (1998) , Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics Vol 19, Amer Math Soc Providence, Rhode Island [5] Nguyen Manh Hung and Nguyen Thanh Anh (2008), The CauchyNeumann problem for parabolic equations in domains with conical poins, Taiwanese journal of Mathematics, vol.12,No.7(2008), 1849-1865 [6] Nguyen Manh Hung and Nguyen Thanh Anh (2008), Regularity of solution of the second initial boundary value problem for parabolic equations in domains with conical points , journal Diferential Equations 245 (2008), 18011818 ii 16 MỤC LỤC Trang phụ bìa…………………………………………………… Lời cam đoan…………………………………………………… Lời cám ơn……………………………………………………… Mục lục………………………………………………………… Một số ký hiệu chung…………………………………………… Mở đầu………………………………………………………… Chương Kiến thức chuẩn bị………………………………… 1.1 Khái niệm…………………………………………………… 1.2 Tính chất bản…………………………………………… 1.3 Các định lý nhúng………………………………………… Chương Tính giải tính qui tốn biên Cauchy- Neumann phương trình parabolic miền trụ với điểm nón 2.1 Đặt tốn……………………………………………… 2.2 Sự tồn nghiệm……………………………… 2.3 Tính quy nghiệm theo biến thời gian………… Kết luận………………………………………………………… Tài liệu tham khảo……………………………………………… KẾT LUẬN i ii iii iv 3 Trong luận văn chúng tơi xét tốn biên ban đầu phương trình parabolic miền trụ với đáy chứa điểm nón Các kết luận văn: Thiết lập tồn nghiệm suy rộng tốn khơng gian , ( ) phụ thuộc liên tục nghiệm suy rộng theo vế phải điều kiện ban đầu Thiết lập tính quy nghiệm suy rộng theo biến thời gian không gian , ( ) Các kết luận văn khơng có Luận văn viết dựa vào tài liệu [5] Ở tác giả khai triển chi tiết làm rõ nội 12 13 16 17 dung tài liệu [5] 15 iii CHỮ VIẾT TẮT, KÍ HIỆU ℕ tập số tự nhiên, ℝ - Tập số thực, ℂ - Tập số phức , ( ) ≤ ‖ ‖ ( ) + số không phụ thuộc vào , , ( (2.36) Với x= ,…, Kí hiệu = | |= | thuộc ℝ ℂ đa só α = , … ,…, ∈ℕ , | :={ ∈ ℝ : | | = 1}- Hình cầu đơn vị ℝ miền ( có lúc tập ) ℝ ℂ , Kí hiệu ̅ bao đóng , biên , với ∈ (0, +∞) , đặt = × (0, ) Với Với số | |= + = = =( + ⋯+ , != -Đạo hàm riêng bậc ! !( )! với ( , ) ∈ ℕ đặt ,…, ∈ ℕ, ! ( !… = ∈ ℕ) theo biến t ≤ ) ∁ ( ) – tập hàm khả vi liên tục đến bậc ( )= ! ; ( ∈ ℕ) ê ( ) – tập hàm liên tục ∞( ) = ⋂∞ ∞( ) – tập hàm khả vi vơ hạn có giá compact ∁ ( ) – tập hàm khả vi vô hạn = … MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài 14 Bổ đề 2.3.1 Giả sử ∈ ( ) ∈ ( ) Khi nghiệm suy rộng ℋ ( ) toán (2.1) − (2.3) thực tế thuộc , ( ) bất đẳng thức sau ‖ ‖ Các toán biên phương trình hệ phương trình đạo hàm riêng thường có nguồn gốc từ ngành khoa học tự nhiên kỹ thuật đặc biệt, mơ hình giải tích tượng vật lí Do tính thực tiến đó, nên nghiên cứu tốn biên người ta quan tâm đến tồn nghiệm phụ thuộc liên tục nghiệm vào kiện khơng gian tính qui nghiệm tốn, đánh giá nghiêm khơng gian Sobolev yếu tố để đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm xấp xỉ Nên tồn tại, nghiệm tính qui đối tượng nghiên cứu toán biên Một hướng tiếp cận để giải tốn biên phương trình hệ phương trình khơng dừng với hệ số phụ thuộc thời gian Ý tưởng tiếp cận : Đầu tiên xét tồn nghiệm suy rộng tốn tính trơn theo biến thời gian phương pháp xấp xỉ Galerkin phương pháp xấp xỉ biên; sau chuyển số hạng chứa đạo hàm theo biến thời gian ẩn hàm sang vế phải xét toán toán biên elliptic phụ thuộc tham số theo biến thời gian Trong luận văn ý nghiên cứu tốn biên Cauchy- Neumann phương trình parabolic miền trụ chứa điểm hình nón Tơi đặt tên đề tài “Tính giải tính qui tốn biên Cauchy- Neumann phương trình parabolic miền trụ với điểm nón” Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Mục đích toán nghiên cứu toán biên ban đầu với phương trình parabolic miền trụ với đáy miền bị chặn chứa điểm nón biên , bào gồm hai vấn đề tính tính giải tính quy nghiệm lân cận điểm hình nón Chúng tơi xét tốn tuyến tính với tốn tử parabolic mạnh , điều kiện biên điều kiện biện tổng quát , ( ) ‖ ‖ ≤ với số ℋ ‖ ‖ , +‖ ‖ ∈ (2.21) ( ) , ( )và ∈ℋ không phụ thuộc Giả sử Bổ đề 2.3.2 , ( ) , ( ) nghiệm suy rộng , ( ) toán (2.1)- (2.3) thực tế thuộc ≤ ( ) ‖ ‖ với số ( ) + ‖ ‖ℋ , (2.25) ( ) không phụ thuộc , ( ) bất đẳng thức sau Nhận xét 2.3.3 = , ℋ + , ∈ ( ), ∈ℋ ( ) toán (2.1)- (2.3) thuộc , ( ) ∈ Từ chứng minh Bổ đề 2.3.1 2.3.2 ta thấy ( ), nghiệm suy rộng ∈ ( )và đánh giá (2.31), (2.25) thay ‖ ‖ , ( ) ≤ ‖ ‖ ( ) +‖ ‖ ( ) +‖ ‖ℋ , ( ) (2.32) Sau định lí Định Lý 2.3.4 Giả sử h số nguyên không âm Giả sử ∈ ( , , ) ( ), ∈ ( ) cho ( ), ∈ ∈ ( ) với = 0, … , ℎ ℎ ≥ 1, điều kiện phù hợp bậc ℎ tốn (2.1) − (2.3) thỏa mãn.Khi nghiệm suy rộng ∈ ℋ , ( ) toán (2.1) − (2.3) , thỏa mãn ∈ , ( ) với = 0, … , ℎ (2.35) 13 2.3 TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM THEO BIẾN THỜI GIAN Phương pháp nghiên cứu Mục đích mục 2.3 nghiên cứu tính quy nghiệm suy rộng tốn theo biến thời gian khơng gian , ( ) Tính quy theo biến thời gian chứng minh cách kết hợp kết tồn nghiệm suy rộng toán, phương pháp xấp xỉ Galerkin với phương pháp quy nạp tốn học Sau sử dụng kết tính quy nghiệm tốn elliptic miền với biên chứa điểm nón kết tính quy nghiệm suy rộng theo biến thời gian để nhận kết mong muốn Kết mục 2.3 Định lí 2.3.4 Trong luận văn tơi sử dụng phương pháp thường dùng để nghiên cứu tốn biên phương trình đạo hàm riêng nói chung, Phương trình parabolic nói riêng : Xây dựng khái niệm suy rộng phù hợp , phương pháp lượng đánh giá tiên nghiệm ( để chứng minh tính nghiệm suy rộng tính qui theo biến thời gian ) , Phương pháp xấp xỉ Galerkin (để chứng minh tồn nghiệm suy rộng tính qui theo biến thời gian nó), phương pháp chuyển tốn khơng dừng tốn elliptic chứa tham số Trong mục 2.2 chúng tơi thiết lập tính đặt tốn , khơng gian ℋ , ( ) với kiện ∈ ( ) ∈ ( ) Trong mục sử dụng kết phương pháp chứng minh chúng để thiết lập tính quy nghiệm suy rộng theo biến thời gian , ( ) Chúng ta thấy tính quy nghiệm theo biến thời gian không gian , ( ) khơng phụ thuộc vào tính trơn biên Chúng ta thấy hồn tồn định nghĩa nghiệm suy rộng hàm thuộc không gian ℋ , ( ), ( ,0) = thỏa mãn đẳng thức ( , ̅ ) + ( , , ) = 〈 ( , ), ̅ 〉 với hầu khắp ∈ (0, +∞) ∈ ( ) thay thỏa mãn (2.5) Nghiệm suy rộng có tính quy tốt Bổ đề (2.3.1) sau với Bổ đề 2.3.2 trở thành định lí tồn nghiệm Tuy nhiên, thực tế chứng minh Định lí 2.3.4 ta cần xét tốn dạng (2.5) Vì ta chọn định nghĩa suy rộng dạng (1.14) để tránh phải định nghĩa thêm khái niệm nghiệm suy rộng Hai bổ đề sau khẳng định tính quy nghiệm suy rộng toán được cải thiện kiện ban đầu vế phải có tính quy tốt Cấu trúc luận văn Luận văn gồm hai chương : Chương 1: Dành cho việc giới thiệu kiến thức chuẩn bị: Định nghĩa không gian (Ω), Không gian (Ω), đạo hàm suy rộng, Không gian Sobolev ,… định lý nhúng… Chương : Dành cho việc giới thiệu toán nghiên cứu tồn nghiệm suy rộng toán Trong mục 2.1 giới thiệu toán, mục 2.2 thiết lập định lý tồn nghiệm nhận đánh giá nghiệm phương trình không gian ℋ , ( ) theo vế phải phương trình, kiện biên kiện ban đầu Từ đánh giá ta có phụ thuộc liên tục nghiệm suy rộng vào kiện Mục 2.3 dành cho việc nghiên cứu tính qui nghiệm suy rộng theo biến thời gian Chúng thiết lập định lí tính qui nghiệm theo biến thời gian không gian ℋ , ( ) phương pháp xấp xỉ Galerkin kết tồn nghiệm suy rộng tốn Chúng ta thấy tính qui nghiệm theo biến thời gian không gian ℋ , ( ) khơng phụ thuộc vào tính trơn biên 3 12 Chương 2.2 SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT NGHIỆM KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong mục chứng minh tồn nghiệm suy rộng tốn (2.1)- (2.3) Cịn tồn chứng minh phương pháp Galerkin 1.1 Khái niệm (Ω) Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Không gian Giả sử Ω miền bị chặn không gian Euclide n chiều ℝ Ω bao đóng Ω Ta kí hiệu (Ω) ( = 0,1,2, … ) tập hàm có đạo hàm đến cấp k kể Ω, liên tục Ω Ta đưa vào (Ω) chuẩn ‖ ‖ (Ω) = | | α = ( không âm, ,…, max| ∈Ω ( )| , + + ⋯+ … (Ω) < +∞ ‖ , ( , ), ( , ) = ∫ , ∈ ( ), nghiệm suy rộng (Ω) (1.2) Trong (Ω) ta đồng hàm hầu khắp nơi Ω Như phần tử (Ω) thực lớp tương đương hàm đo thỏa mãn (1.2) hai hàm tương đương chúng hầu khắp nơi Ω Ta viết ∈ (Ω) thỏa mãn (1.2) = (Ω) ( ) = hầu khắp nơi Ω Và ta định nghĩa chuẩn ‖ ‖ℋ = ( ( ) ) ( )× (2.6) [0, +∞) , ∈ ℋ ( ), ( , , ) đo [0, +∞) với cặp ( ) Giả sử ∈ ℋ , ( ) thỏa mãn ( ,0) = Định lí 2.2.2 Nếu Giả sử Ω miền ℝ p số thực dương Ta kí hiệu lớp hàm đo xác định Ω cho ∫Ω | ( )| ( )‖ với hầu khắp nơi [0, +∞) hàm số dương Khi ≡ (Ω) với chuẩn (1.1) không gian Banach Định nghĩa 1.1.2 ([1]) Không gian với , ∈ 〈 ( , ), ̅ ( , )〉 + , ⋯ = ( , , ) dạng song tuyến tính Giả sử Bổ đề 2.2.1 ( ) thỏa mãn | ( , , )| ≤ ‖ ‖ (1.1) ) gọi đa số, vectơ với tọa độ nguyên | |= Bổ đề sau dùng q trình chứng minh tính tính trơn theo biến thời gian nghiệm suy rộng toán , ( ) ≤ xác định , ∈ℋ (2.7) , ( ) với ( ) tốn (2.1) − (2.3) tồn ∈ ∈ℋ ( , ( , ), ̅ ( , ) , ( ) thỏa mãn ‖ ‖ số không phụ thuộc , ( ) + ‖ ‖ℋ , (2.8) ( ) Kết luận mục 2.1 Trong mục 2.1 nhận tồn nghiệm suy rộng toán không gian ℋ , ( ) phụ thuộc liên tục nghiệm suy rộng vào kiện vế phải , ( )và kiện ban đầu φ ( ) 11 Cuối cùng, kí hiệu ( ) khơng gian hàm xác định có đạo hàm suy rộng đến cấp l đạo hàm bình phương khả tích tập , compact , Bởi , ( ) không gian hàm ( , ) xác định ‖ ‖ (Ω) = có , | | + ≤ G cho đạo hàm ⎧ ⎪ | ( )| ,1 ≤ < +∞ , Ω ⎨ ⎪ ⎩ | ( )| , ∈Ω = +∞ (Ω) với chuẩn không gian banach Định nghĩa 1.1.3 Đạo hàm suy rộng < +∞, | | Giả sử Ω miền ℝ Một hàm ( ) ∈ L (Ω) gọi đạo hàm suy rộng ( hay đạo hàm yếu ) cấp α ( ) ∈ L (Ω) đạo hàm bình phương khả tích tập compact ( ) Trong toàn luận văn chúng tơi giả thiết dạng song tuyến tính ( , , ) ( )- elliptic theo ∈ [0, ], nghĩa là, bất đẳng thức B(t,u,u)≥ ‖ ‖ với ∈ không phụ thuộc ( ) ∈ [0, ( ] số dương ∈ ( ), ∈ ( ), Một hàm ∈ℋ nghiệm suy rộng toán (2.1)-(2.3) ( ,0) = 〈 ( , ), ̅ 〉 + ( , , ) = 〈 ( , ), ̅ 〉 với hầu khắp ∈ (0, +∞) với ∈ ( ) , , ∀ ∈ (Ω) Giả sử Ω miền mở ℝ Cố định 1≤p≤+∞, m∈ℕ Không gian bao gồm tất hàm ∈ (Ω) cho ∈ (Ω), | | ≤ Kí hiệu , (Ω), gọi không gian Sobolev , ∈ , ( ) ( ) Ω (Ω), Ta định nghĩa chuẩn Sau đưa định nghĩa suy rộng toán (2.1) – (2.3) : Định nghĩa 2.1 Cho | Định nghĩa 1.1.4 ([1]) Không gian Sobolev (2.4) ) = (−1)| ( ) Ω ( ) gọi ⎧ ⎪ ‖ ‖ , (Ω) =‖ ‖ , = đẳng thức (2.5) , ‖ ⎨ ⎪ ⎩| ‖ , 1≤ (Ω) (1.3) | | |, sup| = ∞ | (Ω) với chuẩn (1.3) không gian Banach Định nghĩa 1.1.5 (i)Ta nói Cho { hội tụ đến < ∞, } , lim ‖ →∞ ∈ , , (Ω) (Ω) − ‖ , (Ω) =0 kí hiệu → (ii) Ta nói → , 10 (Ω) , Bởi (Ω) → , (Ω′) với Ω’⊂ Ω ( ) ta kí hiệu khơng gian đối ngẫu Định Nghĩa 1.1.6 Không gian (Ω) chuẩn không gian (Ω) , Khi p = 2, , (Ω), ≤ < ∞ bao đóng , (Ω) Khi = ta kí hiệu (Ω) (G) Bằng cách đồng ( ) (.,.) để kí hiệu (G) với khơng gian đối ngẫu nó, ta có phép nhúng liên tục ( )↪ ( )↪ (Ω) không gian Hilbert kí hiệu ( ) Ta viết để kí hiệu dạng đối ngẫu tích vơ hướng , ( ) (Ω) 〈 , ̅〉 = ( , ) ( ) với đẳng thức ∈ ( ) ⊂ ( ), v ∈ ( ) 1.2.Tính chất Nếu < < ∞ +∞) không gian bao gồm hàm đo u : (0,T)→ X với chuẩn (Ω), ∈ ∈ (Ω), + = ∈ (Ω) ‖ ‖ | ( ) ( )| ≤‖ ‖ ‖ ‖ Định lí 1.2.2 (Friedrichs) ([2]) giả sử Ω miền bị chặn ℝ Khi tồn số c(Ω) phụ thuộc vào Ω cho (Ω) ≤ c(Ω) Ω Đặc biệt, ‖ ‖ ∂u ∂x (Ω) chuẩn ∫Ω | | ( , ; )= ∫ ‖ ( , )‖ ) , (0, ; , ) không gian bao gồm hàm u ∈ hàm suy rộng Ω ‖ ‖ (0, ; ) (0 < T ≤ Giả sử X,Y không gian Banach Ta kí hiệu Định lí 1.2.1 Bất đẳng thức H ̈ = (0, ; ) Chuẩn tồn thuộc ‖ ‖ ( , ; , )= ‖ ‖ ( , ; ) +‖ ‖ (0, ; ) cho đạo (0, ; ) xác định ( , ; ) Để kí hiệu ngắn gọn, ta đặt dx , ∀u ∈ W , (Ω) , , tương đương với chuẩn ( ( )= )= ( )) , (0, ; (0, ; ( ), ( )), (Ω) Định lí 1.2.3 ([2]) Giả sử ∈W , (Ω) ∈W , ℋ (Ω), p ≥ , ( )= (0, ; ( )= (0, ; ( ), ( )), ( ) ⊂ Ω Khi ℋ , ( ), ( )), − = , (2.1) = , | Định lí 1.2.4 Khơng gian W (2.2) = , = ( , , ) =− ( , ) Định nghĩa 1.3.1 Ta nói khơng gian Banach E nhúng liên tục vào không gian Banach F viết ↪ tồn đơn ánh tuyến tính bị chặn từ vào Định lí 1.3.2 ([2]) Giả sử Ω miền bị chặn ℝ ≤ + ( , ) , , = 1, … , , , = (Ω) ↪ Hơn nữa, với ( , , )= = (ℝ ) trùng 1.3 Các định lí nhúng hạn , , , (ℝ ) W (2.3) L tốn tử vi phân bậc tử liên hợp hình thức với hệ số vơ = , ( , ) ∈ , , Khi (Ω) (Ω) ta có bất đẳng thức ‖ ‖ , < (Ω) ≤ ‖ ‖ (Ω), , toán tử vi phân S, véc tơ đơn vị pháp tuyến S = ( , ) số phụ thuộc vào Định lí 1.3.3 ([2]) Giả sử Ω miền bị chặn không gian ℝ Chúng đặt > Khi khơng gian ( , ) phụ thuộc vào ( , , )= + ̅ , (Ω) ↪ (Ω) ra, tồn số cho | |≤ ( , Ω) ‖ ‖ (Ω) , ∀∈ , = (Ω) Ω Từ cơng thức tích phân phần ta có ( , , ) ̅ ( , ) = ̅ Định lí 1.3.4 (Sobolev) ([2]) Giả sử Ω miền bị chặn không gian ℝ , (Ω) ( ≥ 1) nhúng liên tục vào Khi khơng gian ( , ) + ̅ (i) Không gian (Ω) < (ii) Không gian (Ω) ≤ ≤ , + ̅ = ( , , )+ ̅ Sau đây, giới thiệu thêm số không gian hàm sử dụng luận văn − Định nghĩa 1.3.5 Một không gian Banach E gọi nhúng compact vào không gian Banach F tồn tốn tử tuyến tính đơn trị từ E vào F biến tập bị chặn E thành tập tiền compact F Định lí 1.3.6 ([2]) Giả sử Ω miền bị chặn khơng gian ℝ Khi , (Ω) nhúng compact vào không gian Chương (Ω) (i) Không gian (ii) Không gian (Ω) < < > Định lí 1.3.7 ([2]) Giả sử Ω miền bị chặn không gian ℝ Khi , (Ω) nhúng compact vào khơng gian (Ω) < khơng gian < TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ TÍNH CHÍNH QUI CỦA BÀI TỐN BIÊN CAUCHY- NEUMANN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TRONG MIỀN TRỤ VỚI ĐIỂM NĨN Mục đích chương giới thiệu toán , nghiên cứu tồn nghiệm suy rộng nghiên cứu tính quy nghiệm suy rộng toán Sự nghiệm chứng minh phương pháp lượng đánh giá tiên nghiệm, tồn nghiệm chứng minh phương pháp xấp xỉ Galerkin Đồng thời nghiên cứu tính quy nghiệm suy rộng tốn theo biến thời gian khơng gian , ( ) Tính quy theo biến thời gian chứng minh cách kết hợp kết tồn nghiệm suy rộng toán, phương pháp xấp xỉ Galerkin với phương pháp quy nạp tốn học Kết chương Định lí 2.2.2 Định lí 2.3.4 2.1 ĐẶT BÀI TOÁN Giả sử G miền bị chặn ℝn ( n ≥ ) với biên Ta giả sử S = \ {0} đa tạp trơn G lân cận gốc tọa độ trùng với nón K = {x:x/|x| ∈ Ω} Ω miền hình cầu đơn vị Sn-1 ℝn với biên (0, +∞) , trơn Đặt t × (0, ) cho = = ( ̅ \{0}) × [0, +∞) , = Γ × [0, ] t ∈ (0, + ∞) , = ∞ = ∞= = Γ × [0, +∞) , Ta dùng kí hiệu = , Cho đa số = = =( , , = ,…, × , =| |= ) ∈ ℕ , đặ | | = … Trong luận văn này, xem xét vấn đề sau = =⋯=