Luận văn tính ổn định của một số phương trình vi phân thường và vi phân có chậm (tóm tắt )

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– Lê KHẮC LUYỆN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG VÀ VI PHÂN CĨ CHẬM Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ THANH HĨA, NĂM 2016 Luận văn hồn thành Trường Đại học Hồng Đức Người hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Sinh Bảy Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học Tại: Vào hồi: ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận văn Thư viện trường Đại học Hồng Đức, Bộ môn: Giải tích, Trường Đại học Hồng Đức MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết ổn định phương trình, hệ phương trình vi phân hướng nghiên cứu quan trọng Toán học Lý thuyết xuất phát từ đòi hỏi thực tế có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Cơ học, Vật lý, Toán, Sinh thái học, Kỹ thuật, Kinh tế, Hiện nay, lý thuyết ổn định lĩnh vực Toán học lớn, nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Lý thuyết ổn định nghiên cứu nhiều cho phương trình, hệ phương trình vi phân thường Ngày nay, việc nghiên cứu mở rộng theo nhiều hướng Một số nghiên cứu phương trình, hệ phương trình vi phân có chậm Vì vậy, chọn tên luận văn là: "Tính ổn định số phương trình vi phân thường phương trình vi phân có chậm" Luận văn đề cập đến tính ổn định lớp phương trình, hệ phương trình vi phân thường vi phân có chậm Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích luận văn là: Nghiên cứu tính ổn định số phương trình vi phân thường phương trình vi phân có chậm Nhiệm vụ nghiên cứu là: Hệ thống lại số kiến thức phương trình, hệ phương trình vi phân thường vi phân có chậm Nêu phương pháp thường dùng để xét tính ổn định phương trình vi thường phương trình vi phân có chậm Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các phương trình, hệ phương trình vi phân thường phương trình, hệ phương trình vi phân có chậm không gian vectơ hữu hạn chiều Phạm vi nghiên cứu: Điều kiện tồn nghiệm Khái niệm ổn định nghiệm phương pháp nghiên cứu tính ổn định Các phương trình có chậm rời rạc chậm phân phối Định hướng phương pháp nghiên cứu Tính ổn định phương trình vi phân thường nghiên cứu phương pháp thứ Lyapunov (phương pháp phổ) định lý Hurwitz Tính ổn định phương trình có chậm nghiên cứu phương pháp thứ hai Lyapunov (hàm Lyapunov) Luận văn định hình sở kiến thức từ tài liệu tham khảo bước cụ thể hóa qua ví dụ mà chúng tơi tự tìm tịi tự giải Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày khái niệm ổn định nghiệm phương trình, hệ phương trình vi phân thường, phương pháp nghiên cứu tính ổn định phương trình, hệ phương trình Chương hai trình bày khái niệm phương trình, hệ phương trình vi phân có chậm, định lý tồn nghiệm, cách giải vài phương trình có chậm rời rạc khơng gian chiều Chương ba trình bày khái niệm ổn định nghiệm phương trình, hệ phương trình vi phân có chậm, phương pháp phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii nghiên cứu tính ổn định 3 Chương SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 1.1 Phương trình vi phân thường Xét phương trình vi phân x˙ = f (t, x) (1.1) f : R+ × D 7−→ X : (t; x) 7−→ f (t; x); R+ = [0; +∞); D ⊆ X miền đơn liên không gian Banach X Trong luận văn ta xét với X = Rn Với điểm cho trước (t0 ; x0 ) ∈ G := R+ × D, ký hiệu x(t;t0 ; x0 ) dùng để nghiệm phương trình (1.1), thỏa mãn điều kiện ban đầu (t0 ; x0 ) theo nghĩa x(t0 ;t0 ; x0 ) = x0 Trong trường hợp X = Rn phương trình (1.1) thường viết cách chi tiết sau:  dx1   = f1 (t, x1 , x2 , , xn ),   dt     dx2 = f2 (t, x1 , x2 , , xn ), dt   ,       dxn = f (t, x , x , , x ) n n dt Nếu lấy chuẩn Rn kxk := maxi |xi | miền mở D thấy phần "hình hộp" n-chiều, chẳng hạn: D = {x1 − x10 < b; x2 − x20 < b, , xn − xn0 < b }, (b > 0) 4 Định lý tồn nghiệm: Định lý 1.1.Giả sử với hệ (1.1): (i) Hàm f liên tục theo (t, x) miền G = R+ × D, D mở X (ii) Hàm f lipschitz theo biến x, (x ∈ D) Khi đó, với điểm ban đầu cho trước (t0 ; x0 ) ∈ G tồn nghiệm phương trình (1.1), thỏa mãn điều kiện ban đầu cho 1.1.1 Công thức Cauchy nghiệm hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình có dạng sau gọi phương trình dạng tuyến tính x˙ = A(t)x + f (t) (1.2) Nếu A(t) giới nội R+ nghiệm hệ (1.2) qua (t0 ; x0 ), cho bởi: Z t x(t) = U(t,t0 )x0 + U(t, s) f (s)ds, t0 U(t, s) ma trận cỡ n × n, gọi ma trận hệ, thỏa mãn hai điều kiện sau: d U(t, s) = A(t)U(t, s), ∀t ≥ s, dt U(t;t) = I, ∀t ≥ 1.1.2 Khái niệm ổn định phương trình vi phân thường Ta giả thiết hàm f phương trình vi phân thường (1.1) đủ tốt để điều kiện tồn tại, kéo dài nghiệm thỏa mãn Định nghĩa 1.1 Giả sử x = x∗ (t) nghiệm hệ (1.1) • Nói nghiệm ổn định nếu: ∀t0 ≥ 0, ∀ε > 0, ∃δ = δ (ε,t0 ) cho nghiệm x(t) hệ (1.1), xuất phát từ (t0 ; x(t0 )) thỏa mãn: kx(t0 ) − x∗ (t0 )k < δ thỏa mãn kx(t) − x∗ (t)k < ε, ∀t ≥ t0 • Nếu x = x∗ (t) ổn định có thêm tính hút, nghĩa tồn δ1 > 0, cho: kx(t0 ) − x∗ (t0 )k < δ1 ⇒ kx(t) − x∗ (t)k → t → ∞ nghiệm nói (và thân hệ) gọi ổn định tiệm cận 5 • Nếu δ , δ1 chọn khơng phụ thuộc vào t0 nghĩa ổn định gọi "đều" • Nếu tồn N > 0, δ > cho: kx(t)k ≤ Ne−δ (t−t0 ) kx(t0 )k, ∀t ≥ t0 ta nói hệ ổn định mũ 1.2 1.2.1 Phương pháp nghiên cứu tính ổn định Phương pháp thứ Lyapunov Phương pháp nghiên cứu tính ổn định hệ đơn giản trước sau phát triển kết cho hệ phức tạp Việc khảo sát tính ổn định thực thơng qua việc tìm tập phổ tốn tử tuyến tính Hệ tuyến tính dừng Hệ tuyến tính dừng hệ có dạng x˙ = Ax (1.3) A : DA ⊂ X 7−→ X; t ≥ 0, x ∈ X Tập giải A: ρ(A) := {λ ∈ C : (λ I − A)−1 tồn liên tục}, đó, I ánh xạ đồng X Phổ A tập σ (A) := C \ ρ(A) Nếu A ma trận cỡ n × n σ (A) = {λ ∈ C : det(A − λ I) = 0} Dễ thấy hệ (1.3) có nghiệm tầm thường x ≡ 0, ∀t ∈ R+ Định lý 1.2 Nếu phần tử tập phổ σ (A) có phần thực âm hệ (1.3) ổn định tiệm cận (hay trạng thái cân tầm thường x ≡ ổn định tiệm cận) Nếu phần tử phổ σ (A) có phần thực khơng dương phần tử có phần thực nghiệm đơn hệ (1.3) ổn định Nếu σ (A) có phần tử với phần thực dương hệ không ổn định Tiêu chuẩn Hurwitz Khi A ma trận có cỡ n × n lớn việc tìm tập phổ σ (A) khó khăn Trong trường hợp này, sử dụng định lý Hurwitz để khảo sát tính ổn định Giả sử phương trình đặc trưng |A − λ I| = hệ (1.3) là: f (λ ) = a0 + a1 λ + a2 λ + + an−1 λ n−1 + an λ n Ta nói có dạng chuẩn a0 > an 6= 0, (n ≥ 1) Khi đó, ta nói đa thức Hurwitz phần thực giá trị riêng âm Ma trận sau gọi ma trận Hurwitz:  a1 a0 0   a3 a2 a1 a0   H =  a5 a4 a3 a2 a1    a2n−1 a2n−2 a2n−3 a2n−4 a2n−5          an Ở đây: as = s < s > n Định lý 1.3 Điều kiện cần đủ để đa thức f (λ ) đa thức Hurwitz tất định thức ma trận Hurwitz dương, tức    ∆1 = a1 >       a a   > ∆2 = a3 a2           ∆n = an ∆n−1 > Hệ Nếu phương trình đặc trưng hệ (1.3) đa thức Hurwitz hệ ổn định tiệm cận Hệ tuyến tính khơng dừng Hệ tuyến tính khơng dừng: x˙ = A(t)x (1.4) Với hệ ta không cịn có khái niệm phương trình đặc trưng Do ta xây dựng tập phổ theo cách khác Định nghĩa 1.2.Giả sử x = x(t) nghiệm hệ (1.4), ta gọi giới hạn χ[x] = lim sup ln kx(t)k t→+∞ t số mũ Lyapunov (hay số mũ đặc trưng) nghiệm Tập hợp số mũ Lyapunov khác ±∞ tất nghiệm hệ (1.4) gọi tập phổ Lyapunov hệ Định lý 1.4.Nếu A(t) ma trận hàm liên tục bị chặn R+ kA(t)k ≤ C, ∀t ≥ (0 < C < ∞) nghiệm tầm thường hệ (1.4) có số mũ đặc trưng hữu hạn Trong trường hợp hệ (1.4) có n số mũ đặc trưng (khơng thiết khác nhau) Định lý 1.5.Hệ (1.4) ổn định tiệm cận số mũ đặc trưng cực đại âm λmax = max{λi } < 0, λi phần tử tập phổ A(t) Hệ tuyến tính Hệ tuyến tính có dạng x˙ = A(t)x + f (t) Trong [2] cho thấy, f (t) hàm liên tục, giới nội R+ tính ổn định hệ suy trực tiếp từ tính ổn định hệ (1.4) Hệ tựa tuyến tính Xét hệ tựa tuyến tính sau với f (t; 0) = x˙ = A(t)x + f (t, x) (1.5) Giả sử A(t) ma trận ổn định tiệm cận tồn lân cận đủ nhỏ điểm gốc tọa độ, cho với x thuộc lân cận đó, có bất đẳng thức sau: k f (t, x)k ≤ α(t) kx(t)k α(t) hàm dương R+ α(t) → t → +∞ Khi hệ (1.5) ổn định Có thể thay điều kiện α(t) → t → +∞ điều kiện: Tồn số C cho Z +∞ α(t)dt ≤ C < +∞ Hệ phi tuyến Xét hệ dạng phi tuyến x˙ = f (t, x); (1.6) f (t, 0) = 0, ∀t ≥ Giả sử hàm f (t, x) liên tục theo t khả vi theo x Phân tích Taylor f (t, x) x = ta có f (t, x) = Đặt A(t) = ∂ f (t, 0) x + g(t, x) ∂x ∂ f (t, 0) ta đưa hệ (1.6) dạng ∂x x˙ = A(t)x + g(t, x) Đây hệ dạng tựa tuyến tính Tính ổn định phụ thuộc vào tập phổ ∂ f (t, 0) ma trận tính chất phần đuôi g(t, x) ∂x 1.2.2 Phương pháp thứ hai Lyapunov Phương pháp khảo sát tính ổn định thơng qua hàm bổ trợ gọi hàm Lyapunov Các kết nhận điều kiện đủ để hệ ổn định Xét hệ (1.6): x˙ = f (t, x); f (t, 0) = 0, ∀t ≥ x ∈ X, f thỏa mãn điều kiện tồn tại, nhất, kéo dài nghiệm Kí hiệu K (gọi lớp hàm Hahn) tập hàm số a(.) : R+ → R+ , a(.) hàm liên tục, đơn điệu tăng R+ a(0) = 9 Định nghĩa 1.3.Một hàm V (t, x) khả vi liên tục theo t theo x lân cận R+ × D, (D mở), nhận giá trị R+ (1,1) V : R+ × D −→ R+ ,V ∈ Ct,x (R+ × D) gọi hàm Lyapunov hệ (1.6) nếu: i) V (t, 0) = 0, ∀t ≥ ii) Tồn hàm a ∈ K cho a(kxk) ≤ V (t, x), ∀(t, x) ∈ R+ × D ∂V (t, x) ∂V (t, x) iii) d f V (t, x) := + f (t, x) ≤ 0, ∀(t, x) ∈ R+ × D ∂t ∂x (đạo hàm theo t dọc theo nghiệm hệ) Trường hợp V (t, x) hàm Lyapunov tồn b, c ∈ K cho V (t, x) ≤ b(kxk), ∀(t, x) ∈ R+ × D; d f V (t, x) ≤ −c(kxk), ∀t ∈ R+ , ∀x ∈ D\{0} V (t, x) gọi hàm Lyapunov chặt hệ (1.6) Định lý 1.6.Nếu hệ (1.6) có hàm Lyapunov ổn định, có hàm Lyapunov với đạo hàm theo t dọc theo nghiệm xác định âm ổn định tiệm cận, có hàm Lyapunov chặt ổn định tiệm cận 10 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ CHẬM 2.1 2.1.1 Giới thiệu phương trình vi phân có chậm Cách viết phương trình có chậm Chúng ta quen với đẳng thức x(t) ˙ = f (t, x(t)), x ∈ X,t ∈ R, gọi phương trình vi phân thường không gian X (xem [1, 2]) Ở đẳng thức ta thấy tốc độ thay đổi hệ thống thời điểm t phụ thuộc vào t trạng thái tức thời x(t) hệ thống Sau đây, ta đề cập đến loại phương trình vi phân ngồi phụ thuộc tốc độ thay đổi x(t) ˙ phụ thuộc vào trạng thái hệ thống khứ: x(t) ˙ = f (t, x(t − h1 (t)), x(t − h2 (t)), , x(t − hs (t))), (2.1) x ∈ Rn để đơn giản ta quy ước xét cho trường hợp t ∈ R+ := [0, +∞), f : R+ × Rn×s −→ Rn , f ∈ C0 (liên tục theo t), hi (t) (i = 1, s) hàm đơn điệu tăng không âm Trong trường hợp này, số h := max{max{hi (t)}} i t∈R+ gọi độ chậm phương trình Sau số kiến thức mở đầu loại phương trình Xét phương trình (2.1) hi (t) < t độ chậm h > Ký hiệu C := C([−h, 0], Rn ) không gian Banach hàm liên tục đoạn [−h, 0] 11 nhận giá trị Rn Chuẩn hàm φ ∈ C xác định sau ||φ ||C = sup ||φ (θ )||Rn −h≤θ ≤0 Giả sử x = x(t) hàm liên tục R+ Với t ∈ R+ , cách đặt xt (s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h, 0] ta có hàm xt ∈ C([−h, 0], Rn ) Như vậy, xt cung từ t − h đến t đường cong x = x(t) Khi s chạy [−h, 0] ta thấy x(t + s) chạy [t − h,t] Có thể thấy đại lượng mang thông tin trạng thái x(s) với s ∈ [t − h,t] Các thông tin "chậm" theo nghĩa xảy trước thời điểm t Khi x(t) ˙ phụ thuộc vào trạng thái này, ta có quan hệ hàm mơ tả sau x(t) ˙ = f (t, xt ), (2.2) f : D ⊂ R ×C −→ Rn Đây phương trình tổng quát phương trình có chậm với độ chậm h 2.1.2 Nghiệm định lý tồn nghiệm Định nghĩa 2.1.1 Hàm liên tục x = x(t) có đạo hàm phải hầu khắp nơi R+ mà thay vào (2.2) đẳng thức gọi nghiệm phương trình có chậm (2.2) Điều kiện ban đầu Định nghĩa 2.1.2 Cho trước φ ∈ C t0 ∈ R+ Nghiệm x(.) (2.2) thỏa mãn điều kiện x(s) = φ (s), ∀s ∈ [t0 − h,t0 ] gọi nghiệm đựợc xác định điều kiện ban đầu (t0 , φ ) (hay nghiệm qua (t0 , φ )) 12 Nghiệm thường ký hiệu x(t0 , φ ,t) đơn giản x(t), khơng có khả nhầm lẫn Định lý tồn tại, nghiệm Định lý 2.1.3 Giả sử D tập mở R+ × C f ∈ C(D, Rn ) Nếu (t0 , φ ) ∈ D tồn nghiệm phương trình (2.2) qua (t0 , φ ) Nếu hàm f Lipschitz theo biến φ nghiệm nói xác định Định lý chứng minh [5], dựa vào bổ đề sau Bổ đề 2.1.4 Nếu t0 ∈ R+ , φ ∈ C cho trước f (t, φ ) liên tục việc tìm nghiệm phương trình (2.2) qua (t0 , φ ) tương đương với việc giải phương trình tích phân sau xt0 = φ Z t x(t) = φ (t0 ) + 2.2 2.2.1 t0 f (s, xs )ds, t ≥ t0 (2.3) Một vài phương trình có chậm giải Trường hợp có độ chậm rời rạc Các phương trình vi phân thường dạng đặc biệt ta giải được, đưa cơng thức giải tích tường minh cho tập nghiệm toàn trục số Với phương trình vi phân hàm việc tìm nghiệm nói chung khơng thể, trừ vài phương trình đơn giản với điều kiện ban đầu cho trước Nhắc lại phương trình có độ chậm h > (2.2) x(t) ˙ = f (t, xt ) xt ∈ C([−h, 0], Rn ), xt (s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h, 0] Trước tiên, ta phân tích độ phức tạp tập nghiệm phương trình góc nhìn từ tập phổ Để minh họa ta xét ví dụ sau cho trường hợp x ∈ R1 x(t) ˙ = x(t) (2.4) x(t) ˙ = x(t − 1) (2.5) 13 Tìm nghiệm dạng x(t) = eλt , (λ ∈ C), ta có phương trình đặc trưng (2.4) (2.5) tương ứng λ =1 (2.6) λ = e−λ , (λ ∈ C) (2.7) Rõ ràng nghiệm (2.6) nhất, nghiệm phương trình có hàm x = et Nghiệm tổng quát phương trình đơn giản x = Cet (C số tuỳ ý) Trong đó, tập nghiệm phức phương trình đặc trưng (2.5) tập vơ hạn đếm (xem [5]) Do đó, tập nghiệm phương trình có chậm (2.5) tập vơ hạn đếm Qua ví dụ ta thấy phương trình đơn giản (một khoảng chậm rời rạc không gian trạng thái vơ hướng) tập phổ phương trình phức tạp Khi dạng phương trình tổng quát số chiều khơng gian tăng lên tập phổ lại phong phú, nói chung khó kiểm sốt Điều có nghĩa tập nghiệm phương trình hàm phức tạp, khó nghiên cứu mặt định lượng Nhận 2.2.1 • Trở lại phương trình có chậm (2.9), với hàmh φ (t)i=ha, ∀t i∈ i h xét π π π − , ta có nghiệm x(t) tính trên đoạn 0, , , π , 2     3π 3π π, , , 2π , nói chung R+ 2 h π i  • Cho hàm φ ∈ C − , , R ta thác triển nghiệm bên phải điểm theo công thức (2.3) (tích phân tồn φ liên tục) Do φ tùy ý không gian hàm C (vô hạn chiều) nên ta thấy tập nghiệm (2.9) có vơ hạn chiều • Tại điểm thay đổi công thức nghiệm x(t) (2.10) không thiết khả vi 2.2.2 Trường hợp có nhiều độ chậm rời rạc Khi phương trình có nhiều độ chậm rời rạc khác < h1 < h2 < h3 < < hr := h 14 dù điều kiện ban đầu cho đoạn có độ dài h vận dụng Bổ đề 2.1, ta lấy tích phân đoạn có độ dài h1 , kể từ t0 Ta minh hoạ qua ví dụ sau x(t) ˙ = f (t, x(t − h0 ), x(t − h1 ), x(t − h2 ), , x(t − hr )) t ∈ [−h, 0], x(t) = φ (t), < h1 < h2 < h3 < < hr := h Để đơn giản ta coi t0 = Trước tiên, với t ∈ [0, h1 ], ta có Z t x(t) = x(0) + Z t = x(0) + f (τ, x(τ − h1 ), x(τ − h2 ), , x(τ − hr ))dτ (2.8) f (τ, φ (τ − h1 ), φ (τ − h2 ), , φ (τ − hr ))dτ := xh1 (t) Như vậy, [0, h1 ] cơng thức (2.15) hồn tồn tường minh: vế trái hàm cần tìm x(t), vế phải tích phân biểu thức φ (τ − hi ) - hàm biết đoạn lấy tích phân [0, h1 ] Như ký hiệu, đoạn đường cong [−h + h1 , h1 ] hàm liên tục x(t) vừa tìm xh1 (t) Đó phần nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu (0, φ ) hệ Tiếp tục, đoạn [h1 , 2h1 ] ta lại lấy tích phân theo biểu thức đoạn hàm liên tục vừa tìm xh1 (t) Z t x(t) = x(h1 ) + h1 f (τ, x(τ − h1 ), x(τ − h2 ), , x(τ − hr ))dτ Z t = xh1 (h1 ) + h1 (2.9) f (τ, xh1 (τ − h1 ), xh1 (τ − h2 ), xh1 , , xh1 (τ − hr ))dτ Tương tự, [2h1 , 3h1 ] ta có Z t x(t) = x2h1 (2h1 ) + 2h1 f (τ, x2h1 (τ − h1 ), x2h1 (τ − h2 ), , x2h1 (τ − hr ))dτ Tiếp tục trình này, ta xác định nghiệm hệ toàn bán trục R+ , [ih1 , (i + 1)h1 ] Z t x(t) = xih1 (ih1 ) + ih1 f (τ, xih1 (τ − h1 ), xih1 (τ − h2 ), , xih1 (τ − hr ))dτ Lưu ý f hàm giới nội D nên tích phân ln tồn Nghiệm hệ hoàn toàn xác định 15 Chương SỰ ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM 3.1 Kiến thức mở đầu 3.1.1 Khái niệm nghiệm ổn định, nghiệm bị chặn Xét phương trình có chậm tổng quát sau x(t) ˙ = f (t, xt ), t ≥ (3.1) f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R+ (3.2) Điều kiện f (t, 0) = đảm bảm hệ có nghiệm cân tầm thường x(t) ≡ Ta giả thiết hàm f đủ tốt để điều kiện tồn tại, kéo dài nghiệm R+ thỏa mãn Định nghĩa 3.1.1 • Nghiệm x = phương trình (3.1) gọi ổn định ∀t0 ∈ R+ , ∀ε > 0, ∃δ = δ (t0 , ε) cho với φ ∈ C mà ||φ || < δ ||x(t0 , φ ,t)|| < ε, ∀t ≥ t0 • Nghiệm x = phương trình (3.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định tồn δ1 > cho với ||φ || < δ1 x(t0 , φ ,t) → t → +∞ • Nghiệm x = phương trình (3.1) gọi ổn định (hoặc ổn định tiệm cận đều) δ ( δ1 ) nói khơng phụ thuộc vào t0 16 • Nghiệm x = gọi ổn định mũ với φ ∈ C, tồn δ > 0, N > cho ||x(t0 , φ ,t)|| ≤ N||φ ||e−δ (t−t0 ) , ∀t ≥ t0 • Với α > cho trước nghiệm x = ổn định mũ với số α (δ = α) nói nghiệm α - ổn định mũ Định nghĩa 3.1.2 • Nghiệm x(t0 , φ ,t) phương trình (3.1) gọi bị chặn ∃β (t0 , φ ) cho ||x(t0 , φ ,t)|| ≤ β (to , φ ), ∀t ≥ t0 − h • Nghiệm x(t0 , φ ,t) phương trình (3.1) bị chặn ∃α > 0, ∃β = β (α) > cho ∀t0 ∈ R, φ ∈ C, ||φ || ≤ α ||x(t0 , φ ,t)|| ≤ β (α), ∀t ≥ t0 • Nghiệm x(t0 , φ ,t) phương trình (3.1) bị chặn cuối tồn số β cho với (t0 , φ ) ∈ R × C, tồn số t1 (t0 , φ ) cho ||x(t0 , φ ,t)|| < β , ∀t ≥ t0 + t1 (t0 , φ ) • Nghiệm x(t0 , φ ,t) phương trình (3.1) bị chặn cuối tồn số β > cho với α > đó, tồn t1 (α) > cho ||x(t0 , φ ,t)|| ≤ β với t ≥ t0 + t1 (α), t0 ∈ R, φ ∈ C, ||φ || ≤ α 3.1.2 Phương pháp nghiên cứu tính ổn định Giả sử x(t) = x(t0 , φ ,t) nghiệm phương trình (3.1), thỏa mãn (3.2) ý hiệu sau đạo hàm theo biến t hàm V dọc theo nghiệm phương trình (3.1) V˙ = V˙(3.1) (t, φ ) = lim [V (t + h, xt+h (t, φ )) −V (t, φ )] h→0+ h Định lý 3.1.3 Giả sử tồn hàm V : D ⊂ R+ ×C −→ R, V (t, 0) = 0, ∀t ≥ t0 , liên tục theo biến D tồn hàm u(s), w(s) : R+ −→ R+ liên tục không giảm, u(s) > với s > 0, u(0) = Khi đó: (i) Nếu u(||φ (0)||) ≤ V (t, φ ) 17 V˙(3.1) (t, φ ) ≤ −w(||φ (0)||) nghiệm x = (3.1) ổn định (ii) Nếu có thêm điều kiện lim u(s) = +∞ nghiệm (3.1) bị chặn s→+∞ (iii) Nếu có thêm điều kiện w(s) > với s > nghiệm x = (3.1) ổn định tiệm cận Định lý 3.1.4 Giả sử tồn hàm V : D ⊂ R+ ×C −→ R,V (t, 0) = 0, ∀t ≥ t0 , liên tục theo biến D tồn hàm u(s), v(s), w(s) : R+ −→ R+ liên tục không giảm, u(s), v(s) > với s > 0, u(0) = v(0) = Khi đó: (i) Nếu u(||φ (0)||) ≤ V (t, φ ) ≤ v(||φ ||) V˙ (t, φ ) ≤ −w(||φ (0)||) nghiệm x = (3.1) ổn định (ii) Nếu có thêm điều kiện lim u(s) = +∞ nghiệm (3.1) bị chặn s→+∞ (iii) Nếu có thêm điều kiện w(s) > với s > nghiệm x = (3.1) ổn định tiệm cận Định lý sau cho ta tiêu chuẩn ổn định mũ Định lý 3.1.5 Giả sử tồn hàm V : D ⊂ R+ ×C −→ R,V (t, 0) = 0, ∀t ≥ t0 , liên tục theo biến D Nếu tồn số dương λ1 , λ2 , λ3 cho λ1 (||φ (0)||) ≤ V (t, φ ) ≤ λ2 ||φ || V˙(3.1) (t, φ ) ≤ −λ3 ||φ (0)|| 18 nghiệm x(t0 , φ ) (3.1) thỏa mãn s ||x(t0 , φ )(t)|| ≤ λ2 ||φ ||e−λ3 (t−t0 ) λ2 Định lý 3.1.6 Cho  x(t) ˙ = f (t, xt ), x(t) = φ (t), t ∈ [−h; 0] Nếu tồn hàm Lyapunov- Krasovskii V (t, xt ) số dương λ1 , λ2 , λ3 cho nghiệm x(t) thỏa mãn: (i) λ1 ||xt ||2 ≤ V (t, xt ) ≤ λ2 ||xt ||2 (ii) V˙ (t, xt ) ≤ −2λ3V (t, xt ) hệ (3.1) ổn định mũ, nghĩa tồn N > cho ||x(t, φ )|| ≤ N ||φ || e−λ3t 3.2 Hệ tuyến tính khơng dừng phương trình Riccati Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng dừng có chậm với h >  x(t) ˙ = A(t)x(t) + f (t, xt ), t ∈ R+ x(t) = φ (t), ∀t ∈ [−h, 0], (3.3) f tuyến tính theo biến thứ hai Đầu tiên ta nghiên cứu phương trình tương ứng Lưu ý phương trình vi phân thường x(t) ˙ = A(t)x(t), t ∈ R+ Gọi S(t) ma trận nghiệm hệ đặt x(t) := S(t)y(t) Thay vào (2.1), ta ˙ S(t)y(t) + S(t)y(t) ˙ = A(t)S(t)y(t) + f (t, xt ) hay ˙ S(t)y(t) ˙ = A(t)S(t)y(t) + f (t, xt ) − S(t)y(t) hay S(t)y(t) ˙ = f (t, xt ) ˙ = A(t)S(t) ) (do S(t) ma trận nghiệm nên S(t) Suy y(t) ˙ = S−1 (t) f (t, xt ) (3.4)