Luận văn tính ổn định và ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– NGUYỄN VIỆT TRUNG TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HĨA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HÓA, 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— NGUYỄN VIỆT TRUNG TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HĨA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Vũ Ngọc Phát THANH HÓA, 2021 Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số 972/QĐĐHHĐ ngày 27 tháng 05 năm 2021 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị, Họ tên Cơ quan công tác Chức danh hội đồng TS.Mai Xuân Thảo Đại học Hồng Đức Chủ tịch HĐ PGS.TS Vũ Trọng Lưỡng ĐHGD-ĐHQGHN UV Phản biện TS.Nguyễn Văn Lương Đại học Hồng Đức UV Phản biện TS.Tạ Công Sơn ĐHKHTN-ĐHQGHN Ủy viên TS.Đỗ Văn Lợi Đại học Hồng Đức Thư ký Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày 05 tháng 08 năm 2021 (ký, ghi rõ họ tên) GS TSKH Vũ Ngọc Phát LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học GS TSKH Vũ Ngọc Phát khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu công bố Người cam đoan Nguyễn Việt Trung i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Hồng Đức hướng dẫn khoa học GS Vũ Ngọc Phát Tơi xin bày tỏ lịng cám ơn chân thành sâu sắc tới thầy Tôi xin chân thành cám ơn tới Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại học Hồng Đức, tới thầy, cô trực tiếp giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Thanh Hóa, tháng 09 năm 2020 Nguyễn Việt Trung ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mở đầu Chương Giới thiệu sở tốn học 1.1 Hệ phương trình vi phân điều khiển 1.1.1 Mở đầu 1.1.2 Hệ phương trình vi phân 1.1.3 Hệ phương trình điều khiển 1.2 Bài toán ổn định 1.3 Bài tốn ổn định hóa 11 1.4 Các bổ đề hỗ trợ 13 Chương Bài toán ổn định ổn định hóa 14 2.1 Ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính 14 2.2 Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển tuyến tính 22 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 iii MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Lý thuyết điều khiển toán học lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng Trong thực tiễn, mơ hình tốn điều khiển thường mơ tả hệ phương trình vi phân chứa tham số điều khiển, cịn gọi phương trình vi phân điều khiển Những toán quan trọng cần phải nghiên cứu tốn ổn định ổn định hóa hệ động lực Tính ổn định tính chất định tính quan trọng lý thuyết hệ động lực mơ tả phương trình vi phân, tích phân Nói cách tổng quát, hệ động lực gọi ổn định (ổn định trạng thái cân bằng) liệu (hoặc cấu trúc) ban đầu thay đổi nhỏ không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với trạng thái cân Bài tốn ổn định hóa hệ động lực tốn tìm điều khiển chấp nhận cho hệ đóng (closed-loop system) ổn định Cho đến hai toán điều khiển nhiều nhà khoa học nước quan tâm phát triển, nhận nhiều kết sâu sắc lý thú Đặc biệt thời kỳ khoa học phát triển đại ngày nay, toán ổn định ổn định hóa hệ động lực nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu ứng dụng vào giải tốn điều khiển kỹ thuật cơng nghệ Vì tơi chọn đề tài “Tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính” nhằm hiểu biết rõ tốn định tính toán ổn định, toán điều khiển được, tốn ổn định hóa, tốn tối ưu hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính, vv Mục tiêu nghiên cứu - Tìm hiểu ý nghĩa toán học phương pháp giải toán ổn định ổn định hóa - Trình bày số kết sở giải toán ổn định ổn định hóa Đối tượng nghiên cứu - Hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ điều khiển tuyến tính - Tính ổn định ổn định hóa Nội dung nghiên cứu - Giới thiệu hệ phương trình vi phân điều khiển - Bài tốn ổn định ổn định hóa - Các phương pháp giải - Trình bày số kết sở tốn ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính Phương pháp nghiên cứu - Lý thuyết giải tích, phương trình vi phân, đại số tuyến tính - Phương pháp hàm Lyapunov - Phương pháp phân tích phổ ma trận Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo hai chương: • Chương Giới thiệu sở toán học Chương trinh bày kiến thức sở phương trình vi phân, phương trình điều khiển, điều khiển, tốn ổn định, toán điều khiển bổ đề dùng chương sau • Chương Bài tốn ổn định ổn định hóa Trong chương chúng tơi trình bày tiếu chuẩn giải tốn ổn định ổn định hóa với chứng minh ví dụ số kiểm tra tính khả thi điều kiện Một số ký hiệu viết tắt R Tập số thực R+ Tập số thực không âm Rn Không gian Euclide n chiều k.k Chuẩn Euclide ma trận L2 ([t, s] ; Rm ) C([t, s]; Rn ) C (R) Ct Không gian hàm khả tích bậc hai đoạn [t, s] Tập hàm liên tục [t, s] Tập hàm khả vi liên liên tục R Tập hàm liên liên tục theo t hx, yi Tích vơ hướng λ (A) Tập giá trị riêng A λmax (A) M ax {Re (λ) : λ ∈ λ (A)} λmin (A) M in {Re (λ) : λ ∈ λ (A)} rank (A) Hạng ma trận A AT Ma trận chuyển vị A A>0 Ký hiệu ma trận xác định dương Re(λ) Phần thực số phức λ Chương GIỚI THIỆU CƠ SỞ TOÁN HỌC Nội dung chương bao gồm kiến thưc (định nghĩa, khái niệm bổ đề bổ trợ) phương trình vi phân, phương trình vi phân điều khiển, tốn ổn định, ổn định hóa Nội dung trình bày từ tài liệu [2], [3] 1.1 1.1.1 Hệ phương trình vi phân điều khiển Mở đầu Sự chuyển động hệ động lực thường mơ tả hệ phương trình vi phân Trong thực tiễn mơ hình kỹ thuật điều khiển (control engineering) mơ tả phương trình tốn học có tham số điều khiển Các biến điều khiển hệ thống mô tả liệu đầu vào (input) tác động quan trọng đến chuyển động đầu (output) hệ thống Căn vào mục đích cụ thể hệ thống ta xác định toán điều khiển khác nhau, toán điều khiển được, toán ổn định, ổn định hóa, tối ưu hóa 1.1.2 Hệ phương trình vi phân Định nghĩa 1.1.1 Xét hệ phương trình vi phân       y(t) ˙ = g (t, y (t)) , t ≥ 0, (1.1)      y (0) = y0 , y (t) ∈ Rn , g : R+ × Rn → Rn , với t ≥ Một hàm khả vi liên tục y(t) thỏa mãn hệ phương trình vi phân (1.1) gọi β = δ − 2KM > Từ suy hệ ổn định tiệm cận Định lý chứng minh Định lý 2.1.8 Hệ t ≥ 0, z˙ (t) = f (t, z (t)) , (2.7) f (t, z) = A + h (z) ổn định tiệm cận ma trận A ổn định h (z) = o (kzk) t tiến tới dương vô cực Chứng minh: Nghiệm hệ (2.7) với f (t, z) = A + h (z) cho z (t) = eA(t−t0 ) z0 + Zt eA(t−s) h (z (s)) ds t0 Vì A ma trận ổn định nên tồn K > 0, δ > cho At e ≤ Ke−δt , ∀t ≥ Khi kz (t)k ≤ Ke−δ(t−t0 ) kz0 k + Zt Ke−δ(t−s) kh (z (s))k ds t0 Vì h (z) = 0, z→0 kzk lim nên với ε > cho trước đó, tồn δ1 > cho với kz (t)k < δ1 ta có kh (z (t))k ≤ ε kz (t)k , 21 ∀t ≥ nên kz (t)k ≤ Ke−δ(t−t0 ) kz0 k + Zt Ke−δ(t−s) ε kz (s)k ds t0 Áp dụng Bổ để 1.4.1 (bất đẳng thức Gronwall) ta có Rt −δ(t−t0 ) kz (t)k ≤ K kz0 k e = K kz0 k e(Kε−δ)(t−t0 ) , Kεds e t0 ∀t ≥ t0 δ ky (t)k → t → ∞, hay hệ ổn định tiệm cận K Định lý chứng minh xong Vậy với ε < Ví dụ 2.1.9 Xét hệ      x˙1 = −3x1 + x21 sin2 t,     x˙2 = −5x2 + x22 sin2 t Ta có   −3 A=  0 ,  −5   2  x1 sin t  h (t, x) =  1  2 x sin t Vì A ma trận ổn định kh (t, x)k = sin2 t q  x41 + x42 ≤ kxk2 hệ ổn định tiệm cận 2.2 Bài tốn ổn định hóa hệ điều khiển tuyến tính Trong mục chúng tơi đưa số tiêu chuẩn ổn định hóa cho lớp hệ điều khiển tuyến tính 22 Xét hệ điều khiển tuyến tính y˙ (t) = Ay (t) + Bu (t) , t ≥ (2.8) Nhắc lại, hệ điều khiển (2.9) gọi ổn định hóa tồn hàm u (t) = Ky (t) cho hệ đóng y(t) ˙ = (A + BK)y(t), t ≥ 0, ổn định tiệm cận Định lý 2.2.1 Giả sử hệ y˙ (t) = By (t) + Cu (t) , B ∈ Rn×n , C ∈ Rn×m , y ∈ Rn , u ∈ Rm   rank C, BC, , B n−1 C = n Thì hệ phương trình ổn định hóa Định lý 2.2.2 Hệ tuyến tính (2.8) ổn định hóa ĐKĐ0 Chứng minh: Giả sử (2.8) ĐKĐ0, ta có ZT ∃T > : LT = T e−At BB T e−A t dt ma trận khả nghịch Ta có ∀T1 > T cho ZT1 LT1 = T (T1 − t) e−At BB T e−A t dt, ma trận nghịch đảo: ∃L−1 T1 Đặt K = −T1 B T L−1 T1 , 23 ta K ma trận điều khiển phản hồi: u (t) = −T1 B T L−1 T1 y (t) Xét hàm V (y) = L−1 y, y Nghiệm x (t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x (0) = x0 T1 ta có y˙ (t) = (A + BK) y (t) (2.9) điều khiển u = −T1 BL−1 T1 ta có −1 d V (y (t)) = L−1 y, ˙ y + LT1 y, y˙ T1 dt
T −1 −1 = L−1 A + A L y, y + Bu, L y T1 T1 T1 Đặt x = LT−11 y ta có

T −1 T L−1 A + a L y, y = L A + AT x, x T T 1 T1 T1 hay
d V (y (t)) = LT1 AT + ALT1 x, x + hBu, xi dt Mặt khác T ZT1 LT1 A + ALT1 = i d h −At T −AT t (T1 − t) e BB e dt =T1 BB T − ZT1 T e−At BB T C −A t dt Suy d V (y (t)) = T1 BB T x, x + hBu, xi − dt * ZT1 + T x, e−At BB T e−A t xdt = T1 B T x, B T x − 2T1 B T x, B T x − hLT1 x, xi 24 ⇒ d V (y (t)) = −T1 B T x − hLT1 x, xi dt ≤ − hLT1 x, xi = LT−11 y, y Do L−1 T1 > nên ∃α > : L−1 y, y ≥ α kyk2 T1 Hay Df V (y) ≤ −α kyk2 Điều kiện kalman Ví dụ 2.2.3 Xét hệ      y˙1 = y1     y˙2 = 3y1 + y2 + u   + u, Ta có   1   B=   1  , A=   Khi đó:   1   (B, AB) =    Ta có: rank (B, AB) = nên hệ ổn định hóa Ví dụ 2.2.4 Xét hệ (2.8)     0 A=  0 ,  −3 25 0  B=   Do ma trận A ổn định nên với K = hệ ổn định hóa Tuy nhiên hệ khơng ĐKĐ0   0 rank (B, AB) = rank   0  = <  −6 Qua ví dụ ta thấy hệ ĐKĐ0 ổn định, điều ngược lại chưa Như để hệ ổn định hóa ĐKĐ0 cần điều kiện "chặt" ổn định hóa được, ta gọi ổn định hóa mạnh Định nghĩa 2.2.5 Hệ (2.8) ổn định hóa mạnh với δ > 0, tồn K cho nghiệm hệ (2.9) ổn định mũ theo số δ cho trước, tức kx (t, x0 )k ≤ M e−δ(t−t0 ) kx0 k , ∀t ≥ t0 , với M > Tính ổn định hóa mạnh địi hỏi tính ổn định mạnh hệ theo số Lyapunov Định lý 2.2.6 Giả sử hệ y˙ (t) = By (t) + Cu (t) , (2.10) B ∈ Rn×n , C ∈ Rn×m , y ∈ Rn , u ∈ Rm ổn định hóa mạnh, hệ ĐKĐTC, tức   rank C, BC, , B n−1 C = n Chứng minh: Ta sử dụng phương pháp phản chứng để chứng minh định lý 26 Giả sử hệ không điều khiển tồn cục, theo tiêu chuẩn hạng Kalman ta có:   rank B, AB, , An−1 B = k < n Khi theo tính chất phân tách hệ theo phép chuyển đổi ma trận P không suy biến đó:   A11 A12  , P AP −1 ⇒    A22  B1   PB ⇒   , hệ (2.10) phân tích hai hệ      x˙1 = A11 x1 + A12 x2 + B1 u,     x˙2  x1 ∈ Rk , (2.11) x2 ∈ Rn−k = A22 x2 , Xét ma trận K − (n × m) với tùy ý u = Kx Hệ x˙ (t) = (A + BK) x (t) theo cách phân tích hệ với u = Kx , hệ (2.10) phân tích thành hệ (2.11) A → (A + BK) → (A11 , A12 , B1 ) 27 Do det [λI − (A + BK)] = det   
 P AP −1 + P −1 BK     A11 A12  B1 K1 0  −  = det  λI −      A22 0   λI − (A11 + B1 K1 )  = det   −A12    λI − A22 = det [λI − (A11 + B1 K1 )] + det (λI − A22 ) Như phép biến đổi không suy biến, định thức (A + BK) phân tích thành hai định thức (A11 + B1 K1 ) (A22 ) Như ta có λ (A22 ) ⊆ λ (A + BK) (2.12) Ta chọn K sau: Lấy tùy ý số λ > thỏa mãn δ < max {|Reλ| , λ ∈ λ (A22 )} Nhận xét hệ ổn định hóa mạnh, nên ∀λ > ∃K cho ma trận (A + BK) ổn định: nghiệm hệ y˙ (t) = (A + BK) y (t) thỏa mãn: ky (t, y0 )k ≤ M kx0 k e−δ(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 , số ổn định Lyapunov δ = max {|Reλ| , λ ∈ λ (A + BK)} Từ (2.12) ta có δ > max {|Reλ| , λ ∈ λ (A22 )} , 28 suy mâu thuẫn với cách chọn δ Vậy định lý chứng minh Định lý 2.2.7 Giả sử tồn ma trận đối xứng X > 0, Y > thỏa mãn trình ma trận sau AT X + XA − XBB T X + Y = (phương trình Riccati) Khi hệ (2.10) ổn định hóa ma trận điều khiển phản hồi là: u (t) = − B T Xy (t) , t ≥ Chứng minh: Ta có y˙ (t) =Ay (t) + Bu (t)   = A − BB T y (t) Chọn hàm Lyapunov V (x) = hXx, xi , ta nhận thấy λmin (X) kyk ≤ hXy, yi ≤ λmax (X) kyk Hơn nữa, ta có Df V (y) (t) =2 hX y(t), ˙ y(t)i     = X A − BB T X y(t), y(t)
= 2XA − XBB T X y(t), y(t)
= AT X + XA − XBB T X y(t), y(t) = h−Y y(t), y(t)i = −Y ky(t)k2 ≤ − λmin (Y )ky(t)k2 Do theo định lý ổn định Lyapunov suy hệ đóng ổn định 29 Ví dụ 2.2.8 Xét tính ổn định tìm ma trận điều khiển phản hồi hệ      x˙1 (t) = x1 (t) + u(t),     x˙2 (t) = 3x1 (t) + x2 (t) + u(t), theo ví dụ (2.2.3) ta có hệ ổn định hóa được, ta thường chọn     p1   > 0, X=   p2 q   > Y =   q2 Thay vào phương trình Riccati ta có:       1  p  p  1   +       p2 p2       p  1  p    −    1  p2      0       q  + =0    p2 q2     p1 3p2   p1  p1 p1  p1  q1  + −  + =0 ⇔          p2 3p2 p2 p2 p2 p2 q2         p1 3p2   p1   p21 p1 p2  q1  − + =0 + ⇔         3p2 p2 p1 p2 p q2 p2      2p1 − p21 + q1 =      ⇔ 3p − p p =0 2         2p2 − p2 + q2 = 30 Ta chọn: p1 = q1 = p2 = q2 = Ta có     3   P =   3   Q=         3  3 x (t)   x (t) = ⇒u (t) = − − − 1   2 3 ⇒u (t) = − x1 (t) − x2 (t) 2      x˙1 = − x1 (t) − x2 (t) 2 ⇒     x˙2 = x1 (t) − x2 (t) 2   − −  2 x Hay x˙ =   1 − 2 Định lý 2.2.9 Giả sử tồn K ∈ Rm×n cho (A + BK) ma trận ổn định Khi hệ (2.10) ổn định hóa Chú ý: Trường hợp ma trận A ổn định, hệ ổn định hóa với K=0 Ví dụ 2.2.10 Xét tính ổn định tìm hàm điều khiển hệ phương trình vi 31 phân sau:      x˙1 = 2x1 +x2 − u     x˙2 = −3x2 + 2u Ta có:    −1     2 A=  1   −3 Nên n =  m=1 Ta tìm ma trận K để ma trận (A + BK) ổn định Khi K ∈ R1×2 = (k1 k2 ) Ta có       2  −1 +  A + BK =      k1 k2 −3   2 − k1 =  2k1 Ta chọn: k1 = 3, − k2    −3 + 2k2 k2 = ta có   −1   (A + BK) =    −1 A + BK có Reλ < 32 Hay K = (3 1) Khi đó: u (t) = Kx (t)   =  x1 (t)     x2 (t)  = 3x1 (t) + x2 (t) Thế vào hệ ta được:      x˙1 = −x1 ⇔     x˙2 = 6x1 − x2      x1 = e−t     x˙2 = 6e−t − x2 ⇒ x2 (t) =e−t + Zt e−(t−s) 6e−s ds =e−t + 6te−t ⇒ u (t) =3e−t + e−t + 6te−t =4te−t + 6te−t 33 KẾT LUẬN Luận văn trình bày tốn ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính với hai nội dụng sau: Tổng quan số kiến thức toán học hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân điều khiển, tốn ổn định ổn định hóa Trình bày kết quan trọng bao gồm tiêu chuẩn tính ổn định ổn định hóa, chứng minh ví dụ minh họa Sự đóng góp mặt khoa học luận văn tìm hiểu sâu trình bày tổng quan nội dung tốn ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính đưa số ví dụ 34 Tài liệu tham khảo [1] Vũ Ngọc Phát, Nhập Mơn Lý Thuyết Điều Khiển Tốn Học, NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2001 [2] J.Zabczyk, Introduction of Mathematical Control Theory, Birkhauser, Berlin, 1992 [3] Robert R Stoll, Linear Algebra and Matrix Theory, Dover Publication, Berlin, 2012 35