Luận văn cơ sở groebner và thực hành giải hệ phương trình đa thức bằng phần mềm maple

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– VŨ VIỆT ANH CƠ SỞ GROEBNER VÀ THỰC HÀNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẰNG PHẦN MỀM MAPLE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THANH HÓA, 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— VŨ VIỆT ANH CƠ SỞ GROEBNER VÀ THỰC HÀNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẰNG PHẦN MỀM MAPLE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 8.46.01.04 Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ XUÂN DŨNG THANH HÓA, 2021 Danh sách Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ khoa học (Theo Quyết định số: 2181/QĐ-ĐHHĐ ngày 15 tháng 11 năm 2021 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức) Học hàm, học vị, họ tên Cơ quan công tác Chức danh Hội đồng PGS.TS Nguyễn Tiến Quang Trường ĐHSP Hà Nội Chủ tịch hội đồng TS Trần Nam Trung Viện Toán học UV Phản biện TS Phạm Thị Cúc Trường ĐH Hồng Đức UV Phản biện TS Hồng Đình Hải Trường ĐH Hồng Đức Uỷ viên TS Nguyễn Văn Lương Trường ĐH Hồng Đức UV thư ký Xác nhận Người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến Hội đồng Ngày tháng năm (Ký, ghi rõ họ tên) LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu công bố Người cam đoan Vũ Việt Anh i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức hướng dẫn TS Lê Xuân Dũng Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc lịng u q tới Thầy Tơi xin cảm ơn tới tất quý thầy cô Khoa Khoa học Tự nhiên, đặc biệt thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Đại số lý thuyết số K12 - Trường Đại học Hồng Đức, lớp học viên cho trải nghiệm, tự học, tập duyệt nghiên cứu khoa học mà phương pháp luận, giới quan khoa học niềm lạc quan, lĩnh nghiên cứu trình học tập rèn luyện Tôi xin gửi lời cảm ơn tới phòng QLĐT Sau đại học, Trường Đại học Hồng Đức giúp đỡ tơi hồn thiện luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, Ban giám hiệu đồng nghiệp tơi Trường THCS Trương Hán Siêu thường xuyên động viên, cổ vũ tạo điều kiện để yên tâm học tập nghiên cứu Mặc dù cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi hạn chế thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến góp ý nhà khoa học, thầy giáo, cô giáo, anh chị đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Trân trọng cảm ơn! Thanh Hóa, tháng 10 năm 2021 Vũ Việt Anh ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN iv MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ VÀNH, VÀNH ĐA THỨC 1.1 Vành iđêan 1.2 Vành đa thức 1.3 Vành phân bậc 11 1.4 Cơ sở Groebner 12 Chương 2: THỰC HÀNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC 19 2.1 Thuật toán giải hệ phương trình đa thức 19 2.2 Giới thiệu phần mềm Maple 22 2.3 Thực hành giải hệ phương trình đa thức 24 KẾT LUẬN 44 Tài liệu tham khảo 45 iii Mở đầu Lý chọn đề tài Bài tốn giải hệ phương trình đa thức vành đa thức nhiều biến trường K tốn quan trọng có nhiều ứng dụng Lý thuyết vành Hình học Đại số Ngay từ chương trình tốn phổ thơng, vấn đề đề cập có nội dung thi học kỳ, thi tuyển sinh vào 10 thi tuyển sinh đại học Tuy nhiên, vấn đề chủ yếu xem xét hệ đơn giản có quy tắc hệ phương trình có phương trình rút được, hệ phương trình đối xứng loại 1, hệ phương trình đối xứng loại 2, hệ phương trình đẳng cấp, loại hệ có cách giải riêng tương ứng Ngồi ra, chương trình tốn phổ thơng, đặc biệt chương trình thi học sinh giỏi, thi vào hệ chun, thi đại học cịn có số loại hệ phương trình khơng mẫu mực giải số cách đặc thù Trường hợp hệ phương trình đa thức bậc cao bất kì, kiến thức tốn phổ thơng chưa có cách tiếp cận giải tổng quát Để giải vấn đề này, ta xây dựng thuật tốn dựa sở Groebner Vì chúng tơi chọn đề tài: “Cơ sở Groebner thực hành giải hệ phương trình đa thức phần mềm Maple” Mục tiêu nghiên cứu Tìm hiểu phương pháp giải hệ phương trình đa thức nhiều biến cách sử dụng sở Groebner thực hành theo phương pháp để giải hệ phương trình đa thức phần mềm Maple Đối tượng phạm vi nghiên cứu – Vành đa thức – Cơ sở Groebner hệ phương trình đa thức Nội dung nghiên cứu – Hệ thống kiến thức vành đa thức sở Groebner – Xây dựng hệ thống tập hệ phương trình đa thức, giải hệ phương trình cách tìm sở Groebner phần mềm Maple Phương pháp nghiên cứu + Sử dụng kỹ thuật chứng minh đặc thù đại số để chứng minh kết đề tài + Sử dụng phần mềm Maple giải hệ phương trình đa thức Nhiệm vụ nghiên cứu – Thực hành giải hệ phương trình đa thức cách sử dụng sở Groebner dựa tính tốn phần mềm Maple Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành hai chương: – Chương 1: Kiến thức sở vành, vành đa thức – Chương 2: Thực hành giải hệ phương trình đa thức Mặc dù có nhiều cố gắng chắn luận văn khơng tránh khỏi khiếm khuyết sai sót định Rất mong nhận góp ý, phê bình nhà khoa học, quý thầy cô bạn bè đồng nghiệp Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ VÀNH, VÀNH ĐA THỨC Trong chương trình bày số kiến thức vành, vành phân bậc, vành đa thức sở Groebner dựa tài liệu [1],[2],[3],[4],[5] 1.1 Vành iđêan Trong mục này, chúng tơi trình bày số kiến thức vành iđêan Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp V 6= ∅, V trang bị phép toán cộng “+”và phép toán nhân " " thỏa mãn tính chất sau: (i) (V, +) nhóm giao hốn, phần tử đơn vị kí hiệu (ii) Phép nhân có tính chất kết hợp, tức với x, y, z ∈ V : x.(y.z) = (z.y).z (iii) Phép nhân có tính chất phân phối với phép cộng, tức với x, y, z ∈ V : x.(y + z) = x.y + x.z (y + z).x = y.x + z.x V gọi vành có đơn vị chứa phần tử thỏa mãn x1 = 1x = x với x ∈ V Khi cần nhấn mạnh vành V ta kí hiệu 0V , 1V để phần tử không đơn vị V V gọi vành giao hoán với x, y ∈ V, xy = yx Vành có phần tử kí hiệu xét V vành giao hốn có đơn vị Trong tồn luận văn ta ln Ví dụ 1.1.2 Tập số ngun Z, số thực R , số phức C với phép cộng phép nhân thông thường lập thành vành Tuy nhiên tập N vành Tập R[x] đa thức biến x với hệ số thực lập thành vành Định nghĩa 1.1.3 Cho V vành giao hốn có đơn vị Tập I 6= ∅ V gọi iđêan thỏa mãn hai điều kiện: (i) Với a, b ∈ I, a + b ∈ I (ii) Với a ∈ I v ∈ V , va ∈ I Ví dụ 1.1.4 • Mọi vành V chứa iđêan tầm thường I = I = V Một vành trường có hai iđêan • Tập nZ iđêan vành Z Bổ đề sau cho ta cách xác định iđêan cho trước Bổ đề 1.1.5 Cho V vành ∅ 6= A ⊆ V Khi tập hợp (A) = {v1 a1 + + an |n ∈ N; v1 , , ∈ V ; a1 , , an ∈ A} iđêan bé chứa A Chứng minh Với a ∈ A ta có a = 1.a ∈ (A) nên A ⊆ (A) Do A 6= ∅ nên (A) 6= ∅ Giả sử x, y ∈ (A) Khi tìm n, m ∈ N; v1 , , v(n+m) ∈ V ; a1 , , a(n+m) ∈ A cho x = v1 a1 + +vn an , y = vn+1 an+1 + +vn+m an+m Khi x + y = (v1 a1 + + an ) + (vn+1 an+1 + + vn+m an+m ) = v1 a1 + + vn+m an+m ∈ A Và với v ∈ V vx = v(v1 a1 + + an ) = (vv1 )a1 + + (vvn )an ∈ (A) Vậy (A) iđêan Nếu I iđêan chứa A với v1 , , ∈ V ; a1 , , an ∈ A ta có a1 , , an ∈ I v1 a1 ∈ I, , an ∈ I Do v1 a1 + + an ∈ I Cho nên (A) ⊆ I Hệ tương đương với   y7 =        51xy + 116y = x2 y3 + 6xy4 + 10y5 =     2x3 y − xy3 − 4y4 =     x + xy3 + 5y4 = Giải phương trình y7 = ta y = Thay y = vào phương trình x4 + xy3 + 5y4 = ta x4 = Suy x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) = (0, 0)  4    x + x yz + y = Bài tập 2.3.11 Giải hệ phương trình sau y4 + y2 zx + z4 =    z4 + z2 xy + x4 = Lời giải Xét iđêan I = (x4 + x2 yz + y4 , y4 + y2 zx + z4 , z4 + z2 xy + x4 ) Ta tìm sở Groebner I sau: 31 Hệ tương đương với   z10 =      46yz8 − 49z9 =      23y2 z7 − 8z9 =       381y3 z5 − 223y2 z6 + 35yz7 + 32z8 =      381y4 z4 − 208y2 z6 − 157yz7 + 281z8 =       127y5 z3 + 12y2 z6 + 75yz7 − 4z8 =     11y6 z + 6y5 z2 + 5y4 z3 − 14y3 z4 + 14y2 z5 − 5yz6 + 7z7 =  11y7 − 2y5 z2 − 20y4 z3 + 23y3 z4 − 12y2 z5 + 9yz6 − 6z7 =       xz5 − y6 − y5 z − y4 z2 − y2 z4 + yz5 − z6 =      xy2 z + y4 + z4 =      xy4 + xz4 − y5 − y4 z + yz4 − z5 =       2x2 z4 + 3xyz4 + y6 − y5 z − 2y4 z2 + 3y2 z4 =      x2 yz − xyz2 + y4 − z4 =     xyz2 + z4 = Giải phương trình y10 = ta y = Thay y = vào phương trình 46yz8 − 49z9 = 0ta −49z9 = Suy z = Thay z = vào phương trình x4 + xyz2 + z4 = ta x4 = Suy x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = (0, 0, 0) Bài tập 2.3.12 Giải hệ phương trình sau Lời giải ( x2 + xy = 9y2 − xy = Xét iđêan I = (x2 + xy, 9y2 − xy) Ta tìm sở Groebner I sau: Hệ tương đương với     y =0 xy − 9y2 =    x2 + 9y2 = Giải phương trình y3 = ta y = Thay y = vào phương trình 32 x2 + 9y2 = ta x2 = Suy x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) = (0, 0)  2    x + y + yz = Bài tập 2.3.13 Giải hệ phương trình sau 5y2 − xz =    z2 + xy = Lời giải Xét iđêan I = (x2 + y2 + yz, 5y2 − xz, z2 + xy) Ta tìm sở Groebner I sau: Hệ tương đương với   16xy2 + y3 =       −y3 + 4y2 z =     y4 =  x2 + y2 + yz =       5y2 − xz =     z2 + xy = Giải phương trình y4 = ta y = Thay y = vào phương trình x2 + y2 + yz = ta x2 = Suy x = Thay x = vào phương trình z2 + xy = ta z2 = Suy z = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = (0, 0, 0)    x + x y2 z + y6 =     y + y z t + z6 = Bài tập 2.3.14 Giải hệ phương trình sau  z6 + z3t x + t =      t + t x2 y + x6 = Lời giải Xét iđêan I = (x6 + x3 y2 z + y6 , y6 + y3 z2t + z6 , z6 + z3t x +t ,t +t x2 y + x6 ) Ta tìm sở Groebner I sau: 33 Hệ tương đương với    t 21 =     t + t x2 y + x6 =  z6 + z3t x + t =      y6 + y3 z2t + z6 = Giải phương trình t 21 = ta t = Thay t = vào phương trình t + t x2 y + x6 = ta x6 = Suy x = Thay t = vào phương trình z6 + z3t x + t = ta z6 = Suy z = Thay z = vào phương trình y6 + y3 z2t + z6 = ta y6 = Suy y = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y, z,t) = (0, 0, 0, 0)     x +y z = Bài tập 2.3.15 Giải hệ phương trình sau y3 + 3z2 x =    z3 + 9x2 y = Lời giải Xét iđêan I = (x3 + y2 z, y3 + 3z2 x, z3 + 9x2 y) Ta tìm sở Groebner I sau: 34 Hệ tương đương với     z =0 y6 =    x3 + y2 z = Giải phương trình y6 = ta y = Giải phương trình z6 = ta z = Thay z = vào phương trình x3 + y2 z = ta x3 = Suy x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = (0, 0, 0)    x4 + y2 zt =     y4 + 3z2tx = Bài tập 2.3.16 Giải hệ phương trình sau  z4 + 9t xy =      t + 27x2 yz = Lời giải Xét iđêan I = (x4 + y2 zt, y4 + 3z2tx, z4 + 9t xy,t + 27x2 yz) Ta tìm sở Groebner I sau: Hệ tương đương với    t8 =     z8 =  y8 =      ty2 z + x4 = Giải phương trình t = ta t = Giải phương trình z8 = ta z = Giải phương trình y8 = ta y = Thay z = vào phương trình ty2 z + x4 = ta x4 = Suy x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y, z,t) = (0, 0, 0, 0) Trong phần cuối luận văn chúng tơi trình bày giải số hệ phương trình đa thức có nghiệm khơng tầm thường ( Bài tập 2.3.17 Giải hệ phương trình sau 35 x2 + xy + y2 = x2 y + xy2 = Lời giải Xét iđêan I = (x2 + xy + y2 − 3, x2 y + xy2 − 2) Ta tìm sở Groebner I sau: Hệ tương đương với ( y3 − 3y + = x2 + xy + y2 − = Giải phương trình y3 − 3y + = ta " y = −2 y = +) Thay y = −2 vào phương trình x2 + xy + y2 − = Ta x2 − 2x + = tương đương (x − 1)2 = Suy x = +) Thay y = vào phương trình x2 + xy + y2 − = Ta x2 + x − = tương đương (x − 1).(x + 2) = Suy x = x = −2 Vậy hệ có nghiệm (1; −2); (1; 1); (−2; 1) Bài tập 2.3.18 Giải hệ phương trình sau Lời giải ( x2 + 3xy − = y2 + 3xy − = Xét iđêan I = (x2 + 3xy − 4, y2 + 3xy − 4) Ta tìm sở Groebner I sau: Hệ tương đương với ( y4 + y2 − = (1) −2y3 + 3x − y = (2) Giải phương trình (1), ta được: (y2 + 2).(y2 − 1) = Suy (y2 − 1) = Suy y = ±1 +) Thay y = vào phương trình (2) ta 3x − = Suy x = +) Thay y = −1 vào phương trình (2) ta 3x + = Suy x = −1 Vậy hệ có nghiệm (1; 1); (−1; −1) 36 Bài tập 2.3.19 Giải hệ phương trình sau Lời giải ( x3 − xy + y3 = xy − x − y = −1 Xét iđêan I = (x3 − xy + y3 − 1, xy − x − y + 1) Ta tìm sở Groebner I sau: Hệ tương đương với     y − y − y + y = (1) xy − x − y + = (2)    x3 + y3 − x − y = (3) Giải phương trình (1), ta (y − 1).(y2 − 1).y =  y=0  ⇔  y=1 y = −1 +) Thay y = vào phương trình (2) ta −x + = Suy x = +) Thay y = −1 vào phương trình (2) ta −2x + = Suyra x = x=0  +) Thay y = vào phương trình (3) ta x3 − x = Suy   x=1 x = −1 Vậy hệ có nghiệm: (1; 0); (1; −1); (0; 1); (1; 1); (−1; 1) ( x3 + 3xy − = Bài tập 2.3.20 Giải hệ phương trình sau y3 + 3xy − = Lời giải Xét iđêan I = (x3 + 3xy − 4, y3 + 3xy − 4) Ta tìm sở Groebner I sau: 37 Hệ tương đương với ( y9 + 15y6 + 48y3 − 64 = (1) −y8 − 15y5 − 32y2 + 48x = (2) Giải phương trình (1) ta (y3 )3 + 15(y3 )2 + 48y3 − 64 = " y3 = ⇔ y3 = −8 " y=1 ⇔ y = −2 Thay y = vào phương trình (2) ta −48 + 48x = Suy x = Thay y = −2 vào phương trình (2) ta 96 + 48x = Suy x = −2 Vậy hệ có nghiệm: (1; 1); (−2; −2) Bài tập 2.3.21 Giải hệ phương trình sau Lời giải ( x2 + 3xy + 3y2 = 5x2 − xy + y2 = Xét iđêan I = (x2 + 3xy + 3y2 − 7, 5x2 − xy + y2 − 5) Ta tìm sở Groebner I sau: Hệ tương đương với ( 73y4 − 298y2 + 225 = (1) 73y3 + 120x − 193y = (2) Giải phương trình (1) ta (73y2 − 225).(y2 − 1) =  y2 = ⇔  225 y2 = 73  y=1   y = −1   ⇔  y = 15 √  73 73   −15 y= √ 73 73 38 +) Thay y = vào phương trình (2) ta 120x − 120 = Suy x = +) Thay y = −1 vào phương trình (2) ta 120x + 120 = Suy x = -1 15 480 +) Thay √ vào phương trình (2) ta 120x + √ = 73 73√ 73 73 −4 73 Suy x = 73 −15 480 +) Thay √ vào phương trình (2) ta 120x − √ = 73 √ 73 73 73 73 Suy x = 73 ! ! √ √ −4 73 15 73 −15 Vậy hệ có nghiệm: (1; 1); (−1; −1); ; ; √ ; √ 73 73 73 73 73 73  2    x + 2z − = Bài tập 2.3.22 Giải hệ phương trình sau xy − 3z2 + =    yz + zx − = Lời giải Xét iđêan I = (x2 + 2z2 − 3, xy − 3z2 + 2, yz + zx − 2) Ta tìm sở Groebner I sau: Hệ tương đương với     z + 2z + 9z − 12 = (1) −z5 + z3 + 6y − 6z = (2)    −z3 + 2x − z = (3) Giải phương trình (1) ta (z2 )3 + 2(z2 )2 + 9z2 − 12 = ⇔ ⇔ z2 = " z=1 z = −1 +) Thay z = vào phương trình (2) ta 6y − = Suy y = Thay z = vào phương trình (3) ta 2x − = Suy x = +) Thay z = −1 vào phương trình (2) ta 6y + = Suy y = −1 Thay z = −1 vào phương trình (3) ta 2x + = Suy x = −1 Vậy hệ có nghiệm: (1; 1; 1); (−1; −1; −1) 39  2    x +y +z = Bài tập 2.3.23 Giải hệ phương trình sau x2 yz + xy2 z + xyz2 =    xy + yz + zx = Lời giải Xét iđêan I = (x2 + y2 + z2 − 3, x2 yz + xy2 z + xyz2 − 3, xy + yz + zx − 3) Ta tìm sở Groebner I sau: Hệ tương đương với     z − 3z + 3z − = (1) −9yz5 + 30yz3 + 3z4 + 8y2 − 37yz − 10z2 + 15 =    −9z5 + 30z3 + 8x + 8y − 37z = (3) (2) Giải phương trình (1) ta (z2 )3 − 3(z2 )2 + 3z2 − = " z=1 ⇔ z2 = ⇔ z = −1 +) Thay z = vào phương trình (2) ta y2 − 2y + = Suy y = Thay z = 1, y = vào phương trình (3) ta 8x − = Suy x = +) Thay z = −1 vào phương trình (2) ta y2 + 2y + = Suy y = −1 Thay z = −1, y = −1 vào phương trình (3) ta 8x + = Suy x = −1 Vậy hệ có nghiệm: (1; 1; 1); (−1; −1; −1)  2    x + y + z + x + y + z = 18 Bài tập 2.3.24 Giải hệ phương trình sau x2 yz + xy2 z + xyz2 − x − y − z = 42    xyz = Lời giải Xét iđêan I = (x2 + y2 + z2 + x + y + z − 18, x2 yz + xy2 z + xyz2 − x − y − z − 42, xyz − 8) Ta tìm sở Groebner I sau: 40 Hệ tương đương với     z − 6z + 12z − = (1) y2 + yz + z2 − 6y − 6z + 12 = (2)    z − + y + x = (3) Giải phương trình (1) ta z = Thay z = vào phương trỉnh (2) ta y2 − 4y + = Suy y = Thay z = 2, y = vào phương trỉnh (3) ta −2 + x = Suy x = Vậy hệ có nghiệm (2; 2; 2)  3    x +y +z = Bài tập 2.3.25 Giải hệ phương trình sau x2 + y2 + z2 =    x + y + z = Lời giải Xét iđêan I = (x3 + y3 + z3 − 3, x2 + y2 + z2 − 3, x + y + z − 3) Ta tìm sở Groebner I sau: Hệ tương đương với     z − 3z + 3z − = (1) y2 + yz + z2 − 3y − 3z + =    x + y + z − = (3) (2) Giải phương trình (1) ta z = Thay z = vào phương trình (2) ta y2 − 2y + = Suy y = Thay z = 1, y = vào phương trình (3) ta x − = Suy x = Vậy hệ có nghiệm (1; 1; 1) Bài tập 2.3.26 Giải hệ phương trình sau Lời giải  5    x +y +z = x3 + y3 + z3 =    x + y + z = Xét iđêan I = (x5 + y5 + z5 − 3, x3 + y3 + z3 − 3, x + y + z − 3) Ta tìm sở Groebner I sau: 41 Hệ tương đương với     z − 3z + 3z − = (1) y2 + yz + z2 − 3y − 3z + =    x + y + z − = (3) (2) Giải phương trình (1) ta z = Thay z = vào phương trình (2) ta y2 − 2y + = Suy y = Thay z = 1, y = vào phương trình (3) ta x − = Suy x = Vậy hệ có nghiệm (1; 1; 1)    x4 + y4 + z4 + t =     x3 + y3 + z3 + t = Bài tập 2.3.27 Giải hệ phương trình sau  x2 + y2 + z2 + t =      x + y + z + t = Lời giải Xét iđêan I = (x4 + y4 + z4 + t − 4, x3 + y3 + z3 + t − 4, x2 + y2 + z2 + t − 4, x + y + z + t − 4) Ta tìm sở Groebner I sau: Hệ tương đương với    t − 4t + 6t − 4t + = (1)     t + t z + tz2 + z3 − 4t − 4tz − 4z2 + 6t + 6z − = (2)  t + ty + tz + y2 + yz + z2 − 4t − 4y − 4z + = (3)      x + y + z + t − = (4) Trong trường hợp phương trình đa thức biến phương trình bậc cao phức tạp Ta tiếp tục sử dụng phần mềm Maple với lệnh sau để giải 42 Suy t = Thay t = vào phương trình (2) ta z3 − 3z2 + 3z − = Suy z = Thay t = 1, z = vào phương trình (3) ta y2 − 2y + = Suy y = Thay t = 1, z = 1, y = vào phương trình (4) ta x − = Suy x = Vậy hệ có nghiệm (1; 1; 1; 1) 43 KẾT LUẬN Luận văn với đề tài “Cơ sở Groebner thực hành giải hệ phương trình đa thức phần mềm Maple” đạt kết sau: Hệ thống sơ lược kiến thức vành đa thức trình bày thuật tốn giải hệ phương trình đa thức sử dụng sở Groebner Xây dựng hệ thống tập hệ phương trình đa thức thực hành giải hệ phần mềm Maple 44 45 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Đại số đại, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, Việt Nam [2] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính: Cơ sở Groebner, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội, Việt Nam [3] Nguyễn Tiến Quang (2003), Bùi Huy Hiền, Đại số đại cương, Nhà xuất Đại học Sư phạm, Việt Nam [4] Nguyễn Tiến Quang (Chủ biên), Phạm Thị Cúc, Đặng Đình Hanh (2013), Bài tập đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, Việt Nam [5] Hồng Xn Sính (2013), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, Việt Nam