Luận văn tập hút toàn cục đối với một lớp phương trình parabolic không địa phương (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– NGUYỄN HỮU NAM TẬP HÚT TỒN CỤC ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ THANH HÓA, NĂM 2016 Luận văn hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức Người hướng dẫn: PGS TS Cung Thế Anh Phản biện 1: GS.TSKH Lê Dũng Mưu Phản biện 2: TS Nguyễn Thành Anh Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học Tại: Trường Đại học Hồng Đức Vào ngày 05 tháng 11 năm 2016 Có thể tìm hiểu luận văn Thư viện trường Đại học Hồng Đức, Bộ môn: Giải tích, Trường Đại học Hồng Đức 1 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm (khi thời gian vô cùng) hệ động lực vô hạn chiều sinh phương trình đạo hàm riêng phi tuyến phương trình vi phân hàm tốn quan trọng có nhiều ý nghĩa thực tiễn Một cách tiếp cận toán hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều nghiên cứu tồn tính chất tập hút tồn cục Đó tập compact, bất biến, hút tập bị chặn chứa đựng nhiều thông tin dáng điệu tiệm cận hệ xét Cụ thể ta xấp xỉ dáng điệu tiệm cận nghiệm quỹ đạo hệ xét quỹ đạo nằm tập hút tồn cục Trong năm qua, có nhiều kết tồn tính chất tập hút tồn cục nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng loại parabolic, với phần tốn tử Laplace nhiều điều kiện khác số hạng phi tuyến điều kiện biên Tuy nhiên, kết tương ứng trường hợp phương trình parabolic khơng địa phương, tức phần phương trình tốn tử khơng địa phương, cịn Vì vậy, chúng tơi chọn vấn đề làm đề tài nghiên cứu luận văn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình parabolic khơng địa phương miền bị chặn với phần tốn tử Laplace thơng qua nghiên cứu tập hút toàn cục Nhiệm vụ đề tài Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình parabolic khơng địa phương miền bị chặn với phần tốn tử Laplace thơng qua nghiên cứu tập hút toàn cục Nhiệm vụ đề tài Ngoài việc tổng hợp kiến thức phục vụ cho việc trình bày nội dung luận văn, luận văn tồn nghiệm yếu toán chứng minh tồn tập hút toàn cục nhiều cặp không gian Banach Sự tồn nghiệm dừng tính ổn định mũ nghiệm dừng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lớp phương trình parabolic khơng địa phương miền bị chặn với phần tốn tử Laplace Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho học viên cao học người bắt đầu tiếp cận, nghiên cứu dáng điệu tiệm cận lớp phương trình parabolic không địa phương thông qua việc nghiên cứu tập hút toàn cục Cấu trúc luận văn Luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số khơng gian hàm, tập hút tồn cục, số định lí thường dùng số bất đẳng thức thường dùng Chương 2: Sự tồn tập hút tồn cục lớp phương trình parabolic khơng địa phương Trong chương giới thiệu toán giả thiết Phát biểu chứng minh định lí tồn nghiệm nghiệm Chứng minh phụ thuộc liên tục nghiệm vào điều kiện ban đầu Chứng minh tồn tập hút toàn cục Chứng minh tồn tính ổn định nghiệm dừng 3 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nội dung luận văn nhằm tóm lược lại số nội dung thường sử dụng nghiên cứu tốn phương trình đạo hàm riêng phương trình vi phân hàm 1.1 1.1.1 Một số không gian hàm Khơng gian L p (Ω) Mục đích phần trình bày lại số nội dung kiến thức không gian L p (Ω) nhằm tạo tính hệ thống kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu nội dung phần Định nghĩa 1.1.1 i) Cho p ∈ R ≤ p < ∞ Tập L p (Ω) = { f : Ω → R , f đo R Ω|f| p dx < ∞} gọi không gian hàm lũy thừa p khả tích với chuẩn Z 1/p p p k f kL = k f k p = | f (x)| dx Ω ii) Tập L2 (Ω) = { f : Ω → R, f đo Ω | f | dx < ∞ R } gọi không gian hàm bình phương khả tích với chuẩn Z 1/2 k f kL = k f k2 = | f (x)| dx Ω Định lý 1.1.2 L p (Ω) không gian Banach tách với ≤ p < +∞ L2 (Ω) không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.3 Cho (X, k.kX ) không gian Banach Tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính liên tục X, ký hiệu X ∗ , gọi không gian đối ngẫu X Định lý 1.1.4 Không gian đối ngẫu X ∗ không gian Banach X không gian Banach trang bị chuẩn | f (x)| , x6=0 kxkX k f kX ∗ = sup ∀ f ∈ X ∗ 4 Định nghĩa 1.1.5 Cho (X, k.kX ) không gian Banach Dãy xn ∈ X gọi hội tụ yếu tới x ∈ X, xn * x X, f (xn ) −→ f (x) với f ∈ X ∗ p Định nghĩa 1.1.6 Tập Lloc (Ω) = { f : f ∈ L p (K)} với tập compact K ⊂ Ω; ≤ p < ∞ gọi khơng gian hàm lũy thừa p khả tích địa phương Ω p Ta nói fn hội tụ đến f Lloc (Ω) fn → f L p (Ω0 ) với tập compact Ω0 ⊂⊂ Ω (Ω) Ta nói f đạo hàm yếu g theo biến x Định nghĩa 1.1.7 Cho g ∈ Lloc j (Ω) ký hiệu f = D j g f ∈ Lloc Z f φ dx = − Ω Z g Ω dφ dx, dx j với φ ∈ Cc∞ (Ω) - không gian hàm khả vi vô hạn với giá compact Ta định nghĩa đạo hàm yếu cấp cao theo phương pháp quy nạp: (Ω) f gọi đạo hàm yếu cấp α g, f = Dα u Nếu f , g ∈ Lloc Z |α| Z f φ dx = (−1) Ω gDα φ dx, Ω α = (α1 , · · · , αn ) đa số với αi ∈ N |α| = |α1 | + · · · + |αn | Bổ đề 1.1.8 Một đạo hàm yếu cấp α g tồn xác định cách (sai khác tập có độ đo khơng) 1.1.2 Không gian Sobolev Cố định ≤ p < +∞ k số nguyên không âm Trong phần định nghĩa không gian hàm mà thành phần có đạo hàm yếu nằm không gian L p (Ω) Định nghĩa 1.1.9 Không gian Sobolev Wpk (Ω) tập gồm tất hàm khả tích địa phương f : Ω −→ R cho với đa số α, |α| ≤ k, đạo hàm yếu Dα f tồn thuộc L p (Ω), i.e., Wpk (Ω) = { f : Dα ∈ L p (Ω), ≤ |α| ≤ k} trang bị chuẩn )1/p ( k f kWpk (Ω) = kDα f kLp p (Ω) ∑ 0≤|α|≤k k a) Cho {um }∞ m=1 , u ∈ Wp (Ω) Ta nói um hội tụ đến u Định nghĩa 1.1.10 Wpk (Ω) lim kum − ukWpk (Ω) = 0, m→∞ ký hiệu um −→ u Wpk (Ω) b) Ta nói um → u k Wp,loc (Ω) um → u Wpk (Ω0 ) với Ω0 ⊂⊂ Ω Định nghĩa 1.1.11 Bao đóng Cc∞ (Ω) Wpk (Ω) ký hiệu Wpk (Ω) Như vậy, u ∈ Wpk (Ω) tồn hàm um ∈ Cc∞ (Ω) cho um −→ u Wpk (Ω) Ta coi Wpk (Ω) tập hợp hàm thuộc Wpk (Ω) cho ”Dα u = ∂ Ω” với |α| ≤ k − Kí hiệu H k (Ω) = W2k (Ω), k H0 (Ω) = W2k (Ω) Ta trang bị H k (Ω) tích vơ hướng  1/2 α (( f , g))H k (Ω) = ∑ |D f | 0≤|α|≤k Định lý 1.1.12 a) Wpk (Ω) không gian Banach tách b) H k (Ω) không gian Hilbert k (Ω) = { f : f ∈ H k (Ω0 ) với tập compact Ω0 ⊂⊂ Ω} Định nghĩa 1.1.13 Hloc k (Ω) f → f H k (Ω0 ) với tập Chúng ta nói fn → f Hloc n compact Ω0 ⊂⊂ Ω Định nghĩa 1.1.14 Không gian H01 (Ω) = C0∞ (Ω) Trong C0∞ (Ω) = tập hàm khả vi vơ hạn có giá compact Ω (u ∈ C0∞ (Ω), u|∂ u = 0) u ∈ H01 (Ω) ⇔ ∃{un } ⊂ C0∞ (Ω) : kun − ukH (Ω) → Mệnh đề 1.1.15 Cho u ∈ H01 (Ω) h ∈ L2 (Ω), ta có Z hudx| ≤ εkuk2H (Ω) + | khk2L2 (Ω) , ∀ ε > 4ε Ω 1.1.3 Không gian hàm phụ thuộc thời gian Cho X không gian Banach thực với chuẩn k.k ≤ p < +∞ Định nghĩa 1.1.16 Không gian L p (0, T ; X) gồm tất hàm đo u : [0, T ] −→ X với chuẩn kukL p (0,T ;X) :=  ZT p ku(t)k dt 1 p < ∞ Định nghĩa 1.1.17 Không gian C([0, T ]; X) bao gồm tất hàm liên tục u : [0, T ] −→ X với chuẩn kukC([0,T ];X) := max ku(t)k < ∞ 0≤t≤T Định nghĩa 1.1.18 Cho u ∈ L1 (0, T ; X) Ta nói v ∈ L1 (0, T ; X) đạo hàm yếu u viết u0 = v, ZT ϕ (t)u(t)dt = − ZT ϕ(t)v(t)dt với hàm thử ϕ ∈ Cc∞ (0, T ) Định nghĩa 1.1.19 a) Không gian Sobolev Wp1 (0, T ; X) gồm tất hàm u ∈ L p (0, T ; X) cho đạo hàm yếu u0 tồn thuộc L p (0, T ; X) Hơn nữa,  ZT kukW (0,T ;X) :=  P 1/p p
ku (t)k p + u0 (t) dt  < ∞ 7 b) Ta viết H (0, T ; X)= W 12 (0, T ; X) Định lý 1.1.20 Cho u ∈ Wp1 (0, T ; X) Khi đó, a) u ∈ C([0, T ]; X) Rt b) u(t) = u(s) + u (τ)dτ với ≤ s ≤ t ≤ T s c) Hơn nữa, max ku(t)k ≤ Cku(t)kW1p (0,T ;X) , 0≤t≤T số C phụ thuộc vào T Định lý 1.1.21 Giả sử u ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)), với u0 ∈ L2 (0, T ; H −1 (Ω)) a) Khi đó, u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)) b) Ánh xạ t 7→ kuk2L2 (Ω) liên tục tuyệt đối, với d kuk2L2 (Ω) = 2hu0 (t), u(t)i, dt với ≤ t ≤ T hầu khắp nơi c) Hơn nữa, max ku(t)kL2 (Ω) ≤ C(ku(t)kL2 (0,T ;H (Ω)) + ku0 (t)kL2 (0,T ;H −1 (Ω)) ), 0≤t≤T số C phụ thuộc vào T Định lý 1.1.22 Cho X khơng gian Hilbert đối ngẫu X ∗ Nếu g ∈ L p (0, T ; X ∗ ), ≤ p < ∞, khẳng định sau tương đương: i) g = L p (0, T ; X ∗ ) ii) Với v ∈ X, hg(t), vi = hầu khắp nơi với t ∈ [0, T ] 1.2 Tập hút toàn cục Tập hút toàn cục đối tượng trung tâm lý thuyết hệ động lực tiêu hao vơ hạn chiều Vì vậy, phần này, tơi xin tóm lược lại khái niệm kết quan trọng lý thuyết tập hút toàn cục 8 Định nghĩa 1.2.1 Hệ động lực cặp (X, S(t)) gồm không gian metric đủ X họ ánh xạ S(t), t ≥ 0, từ X vào X thỏa mãn: i) S(0) = I; ii) S(t + s) = S(t)S(s) với t, s ≥ 0; iii) với t ≥ 0, S(t) ∈ C0 (X, X); iv) với u ∈ X, t → S(t)u ∈ C0 ((0, +∞), X) Họ ánh xạ S(t), t ≥ 0, gọi nửa nhóm liên tục X Khi X gọi không gian pha (hay không gian trạng thái) Số chiều hệ động lực (X, S(t)) số chiều không gian trạng thái X Định nghĩa 1.2.2 Một tập khác rỗng A X gọi tập hút toàn cục hệ động lực (X, S(t)) nếu: i) A tập đóng bị chặn; ii) A bất biến, tức S(t)A = A với t > 0; iii) A hút tập bị chặn B X, tức lim dist(S(t)B, A ) = 0, t→∞ dist(E, F) = sup inf dist(a, b) nửa khoảng cách Hausdorff hai a∈E b∈F tập E F X Các tính chất sau tập hút tồn cục hệ trực tiếp định nghĩa Mệnh đề 1.2.3 Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút tồn cục A Khi đó: i) Nếu B tập bị chặn bất biến X B ⊂ A (Tính cực đại); ii) Nếu B tập đóng hút tập bị chặn X A ⊂ B (Tính cực tiểu); iii) A Định nghĩa 1.2.4 Hệ động lực (X, S(t)) gọi tiêu hao điểm (tương ứng, tiêu hao bị chặn) tồn tập bị chặn B0 ⊂ X hút điểm (tương ứng, hút tập bị chặn) X 9 Nếu hệ động lực (X, S(t)) tiêu hao bị chặn tồn tập B0 ⊂ X cho với tập bị chặn B ⊂ X, tồn T = T (B) ≥ cho S(t)B ⊂ B0 , ∀t ≥ T Tập B0 gọi tập hấp thụ hệ động lực (X, S(t)) Một hệ động lực tiêu hao bị chặn thường gọi tắt hệ động lực tiêu hao Định nghĩa 1.2.5 Hệ động lực (X, S(t)) gọi compact tiệm cận nếu, với t > với tập bị chặn B X thỏa mãn: Nếu tồn τ > cho tập quỹ đạo dương sau thời gian τ B γτ+ (B) = γ + (S(τ)B) = [ S(t + τ)B t>0 bị chặn, tập có dạng {S(tn )zn }, với zn ∈ B tn > cho tn → ∞ n → ∞, tn ≥ τ, tiền compact Định lý 1.2.6 Hệ động lực (X, S(t)) compact tiệm cận tồn tập compact K cho lim dist(S(t)B, K) = t→∞ với tập B bị chặn X Khi giải tốn, khơng gian pha X thường khơng gian Banach Do đó, định lý sau kết phần Định lý 1.2.7 Giả sử hệ động lực (X, S(t)) tiêu hao compact tiệm cận Nếu B tập hấp thụ, bị chặn hệ (X, S(t)), A = ω(B) tập compact khác rỗng tập hút toàn cục hệ động lực (X, S(t)) Hơn nữa, tập hút toàn cục A tập liên thông X Trong trường hợp chứng minh tồn tập hút toàn cục cho cặp không gian, sử dụng kết phát biểu sau Định nghĩa 1.2.8 Cho {S(t)}t≥0 nửa nhóm khơng gian Banach X Z không gian mêtric (i) Tập A ⊂ X ∩ Z, bất biến, đóng X, compact Z hút tập bị chặn X theo tôpô Z, gọi (X, Z)-tập hút tồn cục nửa nhóm {S(t)}t≥0 ; 10 (ii) Tập bị chặn B0 Z, thỏa mãn với tập bị chặn B ⊂ X, tồn thời gian T = T (B) thỏa mãn S(t)B ⊂ B0 với t ≥ T , gọi (X, Z)- tập hấp thụ bị chặn; (iii) {S(t)}t≥0 gọi (X, Z)- compact tiệm cận, với dãy bị chặn ∞ (trong X) {xn }∞ n=1 ⊂ X tn ≥ 0, tn → ∞, {S(tn )xn }n=1 có dãy hội tụ tương ứng với tôpô Z Định nghĩa 1.2.9 Cho X không gian Banach B ⊂ X tập bị chặn Nửa nhóm {S(t)}t≥0 X gọi liên tục chuẩn-yếu B với dãy {xn }∞ n=1 ⊂ B, xn → x and tn ≥ 0, tn → t, S(tn )xn * S(t)x X Định nghĩa 1.2.10 Cho X khơng gian Banach {S(t)}t≥0 nửa nhóm X Với tập bị chặn B X, Ta định nghĩa tập dừng S(B) B S(B) = x ∈ B|S(t)x ∈ B với t ≥ Mệnh đề 1.2.11 Cho X,Y hai không gian Banach X ∗ , Y ∗ đối ngẫu tương ứng nó, thỏa mãn X ⊂ Y , Y ∗ ⊂ X ∗ , đơn ánh i : X → Y liên tục liên hợp i∗ : Y ∗ → X ∗ đơn ánh trù mật Cho {S(t)}t≥0 nửa nhóm X Y Giả sử {S(t)}t≥0 liên tục liên tục yếu Y Thì với tập bị chặn B X, {S(t)}t≥0 liên tục chuẩn-yếu S(B) Định lý 1.2.12 Cho X không gian Banach Z không gian mêtric Cho {S(t)}t≥0 nửa nhóm X thỏa mãn: (i) {S(t)}t≥0 có (X, Z)-tập hấp thụ bị chặn B0 ; (ii) {S(t)}t≥0 (X, Z)-compact tiệm cận; (iii) {S(t)}t≥0 liên tục chuẩn-yếu S(B0 ) Thì {S(t)}t≥0 có (X, Z)-tập hút toàn cục 1.3 Một số định lý thường dùng Để chứng minh tồn tập hút tồn cục, vấn đề ta cần giải chứng minh tồn nghiệm toán Một phương 11 pháp phổ biến hay sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin Vấn đề tồn tập hút toàn cục hệ động lực sinh từ toán Trong luận văn này, sử dụng phép nhúng phù hợp Chính vậy, chúng tơi cần sử dụng số kết quan trọng sau Định lý 1.3.1 (Định lý Picard - Lipschitz) Giả sử f thỏa mãn | f (x) − f (y)| ≤ L(B)|x − y| với x, y lân cận B Khi đó, tồn T = T (x0 ) cho phương trình vi phân dx = f (x), dt có nghiệm đoạn [0, T ] x(0) = x0 , Định lý 1.3.2 (Định lý Peano) Giả sử f hàm số liên tục Khi đó, tồn T > cho phương trình dx = f (x), dt x(0) = x0 , có nghiệm đoạn [0, T ] Dựa kết chứng minh định lý Peano, nhận kết tốt f (x) Lipschitz tồn cục nghiệm phương trình vi phân nghiệm tồn cục, có nghĩa xác định với t ∈ (0, +∞) Định lý 1.3.3 (Định lý Alaoglu) Giả sử X không gian Banach tách { fn } dãy bị chặn không gian đối ngẫu X ∗ Khi đó, { fn } có dãy hội tụ yếu Hệ 1.3.4 Giả sử X không gian Banach phản xạ {xn } dãy bị chặn X Khi đó, {xn } có dãy hội tụ yếu X Bổ đề 1.3.5 Giả sử Ω miền bị chặn Rnx × Rt giả sử cho trước dãy {gn }, gn ∈ Lq (Ω), < q < ∞ Giả sử kgn k ≤ C, C độc lập với n, gn −→ g, n −→ ∞, hầu khắp nơi Ω g ∈ Lq (Ω) Khi đó, gn −→ g Lq (Ω) Định lý 1.3.6 Giả sử Ω miền mở Rd với biên liên tục Lipschitz, ≤ p < ∞ Khi đó, phép nhúng liên tục sau thỏa mãn: 12 ∗ a) Nếu ≤ sp < d, Wps (Ω) ⊂ L p (Ω) với p∗ = d p/(d − sp) b) Nếu sp = d, Wps (Ω) ⊂ Lq (Ω) với q thỏa mãn p ≤ q < ∞ c) Nếu sp > d, Wps (Ω) ⊂ C(Ω) Định lý 1.3.7 Giả sử Ω miền bị chặn Rd với biên liên tục Lipschitz, ≤ p < ∞ Khi đó, phép nhúng sau compact: a) Nếu ≤ sp < d, Wps (Ω) ⊂ Lq (Ω) với q thỏa mãn ≤ q < p∗ = d p/(d − sp) b) Nếu sp = d, Wps (Ω) ⊂ Lq (Ω) với q thỏa mãn ≤ q < ∞ c) Nếu sp > d, Wps (Ω) ⊂ C(Ω) d) Nếu p > 2d/(d + 2), L p (Ω) ⊂ H −1 (Ω) Đặc biệt, H k (Ω) nhúng compact vào H k−1 (Ω), với k số nguyên không âm Bổ đề 1.3.8 (Aubin - Lions - Simon) Cho X0 , X, X1 ba không gian Banach thỏa mãn X0 ⊂ X ⊂ X1 Giả sử X0 nhúng compact vào X X nhúng liên tục vào X1 Khi đó, với ≤ p, q ≤ ∞, W = {u ∈ L (0, T ; X0 )u0 ∈ Lq (0, T ; X1 )} p i) Nếu p < +∞, W nhúng compact vào L p (0, T ; X) ii) Nếu p = +∞ q > 1, W nhúng compact vào C([0, T ]; X) Bổ đề 1.3.9 Cho H01 (Ω) ⊂⊂ L2 (Ω), với không gian đối ngẫu H −1 (Ω) Giả sử dãy {un } bị chặn L∞ (0, T, H01 (Ω)) , ess sup kun (t)k ≤ C, t∈[0,T ] un * u L2 (0, T, H01 (Ω)); ess sup ku(t)k ≤ C t∈[0,T ] Ngoài nếu, u ∈ C0 ([0, T ]; L2 (Ω)) ta có sup ku(t)k ≤ C t∈[0,T ] 13 1.4 Một số bất đẳng thức thường dùng Dưới số bất đẳng thức sơ cấp quan trọng thường xuyên sử dụng : a2 b2 • Bất đẳng thức Cauchy: ab + 2 b2 • Bất đẳng thức Cauchy với ε: ab , (ε > 0) 4ε • Bất đẳng thức Young với ε : ab εa p + C(ε)bq , (a, b, ε > 0, với C(ε) = q − (ε p) p q−1 εa2 + 1 + = 1, p q f ∈ L p (Ω) g ∈ Lq (Ω) ta có || f g||L1 ≤ || f ||L p ||g||Lq • Bất đẳng thức Holder: Giả thiết ≤ p, q ≤ ∞ • Bất đẳng thức Gronwall: Giả sử η(t) hàm liên tục tuyệt đối không âm [0; T ] thỏa mãn: d η(t) ≤ φ (t)η(t) + ψ(t), hầu khắp t, dt φ (t) ψ(t) hàm khả tổng khơng âm [0; T ] Khi Rt η(t) ≤ e φ (s)ds Z t [η(0) + 0≤t ≤T ψ(s)ds], với • Bất đẳng thức Gronwall đều: Giả sử η(t), φ (t), ψ(t) hàm dương thỏa mãn d η(t) ≤ φ (t)η(t) + ψ(t) dt với Zt+r Zt+r Zt+r t t t η(s)ds ≤ X, φ (s)ds ≤ A, ψ(s)ds ≤ B với r > với t ≥ t0 Khi X  + B eA , với t ≥ t0 + r η(t) ≤ r • Bất đẳng thức Poincaré: Cho Ω tập mở, bị chặn, liên thông Rn , n ≥ với ∂ Ω C1 ; giả sử u ∈ H01 (Ω) Khi tồn số C cho kukL2 (Ω) ≤ CkukH (Ω) 14 Chương : TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG Nội dung chương tập trung nghiên cứu tồn tập hút tồn cục cặp khơng gian Banach lớp phương trình parabolic khơng địa phương chứng minh ổn định mũ nghiệm dừng 2.1 Đặt toán Chúng ta nghiên cứu toán giá trị biên ban đầu phương trình parabolic khơng địa phương sau  ∂u   − a(l(u))∆u + f (u) = g(x), x ∈ Ω,t > 0,    ∂t u(x,t) = 0, x ∈ ∂ Ω,t > 0,     u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω, (2.1) u = u(x,t) hàm giá trị thực, Ω ⊂ Rn , n ≥ 1, miền bị chặn với biên ∂ Ω trơn Giả sử u0 ∈ L2 (Ω), số hạng phi tuyến f , ngoại lực g hệ số khuếch tán a thỏa mãn điều kiện sau (H1 ) a ∈ C(R, R+ ) liên tục Lipschitz, tức tồn số L thỏa mãn |a(t) − a(s)| ≤ L|t − s|, ∀t, s ∈ R, (2.2) bị chặn, tức tồn hai số dương m, M thỏa mãn < m ≤ a(t) ≤ M, ∀t ∈ R (2.3) Hơn nữa, hệ số khuếch tán a = a(l(u)) phụ thuộc vào phiếm hàm tuyến tính l : L2 (Ω) → R xác định công thức sau Z l(u) = k(x)u(x,t)dx, Ω g ∈ L2 (Ω) hàm bình phương khả tích (2.4) 15 (H2 ) f : R → R hàm khả vi liên tục thỏa mãn tăng trưởng kiểu đa thức c1 |u| p − c0 ≤ f (u)u ≤ c2 |u| p + c0 , (2.5) f (u) ≥ −c3 , c0 , c1 , c2 , c3 số dương, < riêng ban đầu (−∆, H01 (Ω)) µ < λ1 với λ1 giá trị m (H3 ) g ∈ L2 (Ω) (2.6) Tính khơng địa phương toán (2.1) hiểu theo nghĩa hệ số khuếch tán a xác định đại lượng tồn cục Lớp tốn xuất nhiều tình thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu cho kết tốt mơ hình cụ thể Thí dụ trường hợp khuếch tán vi khuẩn bình chứa, hệ số khuếch tán phụ thuộc vào tồn số lượng vi khuẩn có bình Nên a xác định dạng a = a( udx, ∇udx) a = a( |∇u|2 dx) R R R Ω Ω Ω Lớp toán nghiên cứu M Chipot B Lovat vào năm 1997 toán sau:  ∂u   − a(l(u))∆u = f (x,t) Ω × (0, T ),    ∂t u(x,t) = ∂ Ω × (0, T ) ,     u(x, 0) = u0 (x) Ω, Ω tập mở bị chặn Rn , n ≥ với biên ∂ Ω trơn; T đại lượng thời gian tùy ý a : R → (0, +∞) Năm 2004, J Ferreira cộng mở rộng kết cho hàm f (x, u) Năm 2014, J Simsen J Ferreira tiếp tục nghiên cứu toán  ∂u   − a(l(u))∆u + |u| p−2 u = f (u) Ω × (0, T ),    ∂t u(x,t) = ∂ Ω × (0, T ),     u(x, 0) = u0 (x) Ω, f hàm Lipschitz liên tục 16 Trong trường hợp a số, toán nghiên cứu Hơn nữa, với điều kiện tốn, nhận tập hút toàn cục H02 (Ω) ∩ L2p−2 (Ω) Bài toán (2.1) mở rộng toán Việc nghiên cứu gặp nhiều khó khăn đại lượng a(l(u)) đại lượng phi tuyến toán (2.1) số hạng phi tuyến f tăng trưởng theo kiểu đa thức gây Một công cụ hữu dụng gần để nghiên cứu tốn phương trình đạo hàm riêng có tính chất tiêu hao nghiên cứu tập hút toàn cục hệ động lực sinh từ toán Việc chứng minh tồn nghiệm toán (2.1) phương pháp xấp xỉ Galerkin Sự tồn nghiệm đảm bảo cho hệ động lực sinh từ toán Tiếp theo, chứng minh tồn tập hút toàn cục cặp không gian Banach 2.2 Sự tồn nghiệm Để thuận việc biểu diễn biểu thức tính tốn, kí hiệu ΩT = Ω × (0, T ), V = L2 (0, T ; H01 (Ω)) ∩ L p (ΩT ), V ∗ = L2 (0, T ; H −1 (Ω)) + L p (ΩT ), 1 + = Ngoài ra, p p0 sử dụng C số mà giá trị thay đổi lần xuất p0 số mũ liên hợp p, tức Định nghĩa 2.2.1 Hàm u(x,t) gọi nghiệm yếu toán (2.1) (0, T ) du ∈ V ∗, dt u|t=0 = u0 hầu khắp nơi Ω u ∈ V; Z  du dt ΩT Z  ϕ + a(l(u))∇u∇ϕ + f (u)ϕ dxdt = g(x)ϕdxdt ΩT (2.7) 17 với hàm thử ϕ ∈ H01 (Ω) ∩ L p (Ω), (2.7) hiểu theo nghĩa hàm suy rộng D (0, T ) Định lí sau sau tồn nghiệm tốn (2.1) tính liên tục theo điều kiện ban đầu Định lý 2.2.2 Nếu điều kiện (H1 ), (H2 ), (H3 ) thỏa mãn, tốn (2.1)có nghiệm yếu toàn cục thỏa mãn u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)) ∩ L2 (0, T ; H01 (Ω)) ∩ L p (0, T ; L p (Ω)) 0 du ∈ L2 (0, T ; H −1 (Ω)) + L p (0, T ; L p (Ω)) dt Hơn nữa, ánh xạ u0 → u(t) liên tục L2 (Ω) 2.3 Sự tồn tập hút toàn cục Nhờ vào định lý 2.2.2, định nghĩa nhóm liên tục sau S(t) : L2 (Ω) → L2 (Ω) u0 7→ S(t)u0 := u(t) u(t) nghiệm yếu tốn (2.1) với điều kiện ban đầu u0 Chúng ta chứng minh nửa nhóm S(t) có tập hút tồn cục A cặp không gian Chúng ta đưa tính tốn bản, cịn chứng minh chặt chẽ kết rút từ việc sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin bổ đề 1.3.9 Mệnh đề 2.3.1 Nửa nhóm S(t)t ≥ có tập (L2 (Ω), H01 (Ω) ∩ L p (Ω))- hấp thụ bị chặn B0 , tức tồn số dương ρ, thỏa mãn với tập bị chặn B L2 (Ω), tồn số dương T thỏa mãn kuk2H (Ω) + kukLp p (Ω) ≤ ρ với t ≥ T u0 ∈ B, u nghiệm yếu toán (2.1) với giá trị ban đầu u0 18 Mệnh đề 2.3.2 Nửa nhóm {S(t)}t≥0 liên tục chuẩn yếu S(B0 ), B0 tập (L2 (Ω), H01 (Ω) ∩ L p (Ω))-hấp thụ bị chặn Mệnh đề 2.3.1 Tập B0 nhận Mệnh đề 2.3.1 tập (L2 (Ω), L2 (Ω)) (L2 (Ω), L p (Ω))-hấp thụ bị chặn nửa nhóm S(t) Chúng ta sử dụng Mệnh đề 2.3.1 để chứng minh tồn tập hút toàn cục Định lý 2.3.3 ((L2 (Ω), L2 (Ω))-tập hút toàn cục) Giả sử điều kiện (H1 ), (H2 ) (H3 ) thỏa mãn Thì nửa nhóm S(t) sinh từ tốn (2.1) có (L2 (Ω), L2 (Ω))tập hút toàn cục Để chứng minh tồn tập hút tồn cục cặp khơng gian tiếp theo, ta cần sử dụng bổ đề sau Bổ đề 2.3.4 Giả sử {S(t)}t≥0 nửa nhóm L2 (Ω) có (L2 (Ω), L2 (Ω))tập hút tồn cục Thì {S(t)}t≥0 có (L2 (Ω), L p (Ω))- tập hút tồn cục điều kiện sau thỏa mãn: i) {S(t)}t≥0 có (L2 (Ω), L p (Ω))- tập hấp thụ bị chặn; ii) với ε > với tập bị chặn B L2 (Ω) tồn số dương M = M(ε) T = T (ε, B) thỏa mãn Z |S(t)u0 | p < ε, Ω(|S(t)u0 |≥M) với u0 ∈ B t ≥ T Định lý 2.3.5 ((L2 (Ω), L p (Ω))-tập hút toàn cục) Giả sử điều kiện (H1 ), (H2 ) (H3 ) thỏa mãn Thì nửa nhóm S(t) sinh từ tốn (2.1) có (L2 (Ω), L p (Ω))-tập hút tồn cục A p Ta chứng minh tồn tập hút tồn cục khơng gian hàm bé Để chứng minh điều đó, trước hết ta cần đánh giá cho ut theo chuẩn L2 (Ω) Bổ đề 2.3.6 Giả sử điều kiện (H1 ), (H2 ) (H3 ) thỏa mãn Khi đó, với tập bị chặn B L2 (Ω), tồn số dương T = T (B) thỏa mãn kut (s)k2L2 (Ω) ≤ ρ1 , ∀u0 ∈ B, s ≥ T, ut (s) = d (S(t)u0 )|t=s ρ1 số dương độc lập B dt 19 Đặt Zt γ(t) = a(l(u(s)))ds Ta thấy γ đơn ánh từ (0, +∞) vào Hơn γ γ −1 hàm Lipschitz liên tục Đặt (2.8) w(x, γ(t)) = u(x,t) Suy w(x,t) = u(x, γ −1 (t)) ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)) ∩ L p (0, T ; L p (Ω)) Khi tốn (2.1) tương đương với toán  f (w) g(x) ∂w   − ∆w + = , (x,t) ∈ Ω × (0, γ(T )),   a(l(w)) a(l(w))  ∂t = 0, w(x,t)     w(x, 0) x ∈ ∂ Ω,t > 0, (2.9) x ∈ Ω, = u0 (x), Định lý 2.3.7 Giả sử điều kiện (H1 ), (H2 ) (H3 ) thỏa mãn Khi đó, nửa nhóm {S(t)}t≥0 sinh từ tốn (2.1) có (L2 (Ω), H01 (Ω) ∩ L p (Ω))-tập hút toàn cục A 2.4 Sự tồn tính ổn định mũ nghiệm dừng Nghiệm dừng (yếu) toán (2.1) phần tử u∗ ∈ H01 (Ω) ∩ L p (Ω) thỏa mãn ∗ Z a(l(u )) ∗ Z ∇u ∇vdx + Ω ∗ Z f (u )vdx = Ω gvdx (2.10) Ω với hàm thử v ∈ H01 (Ω) ∩ L p (Ω) Định lý 2.4.1 Giả sử điều kiện (H1 ), (H2 ) (H3 ) thỏa mãn Khi đó, tốn (2.1) có nghiệm dừng (yếu) u∗ thỏa mãn mku∗ k2H (Ω) + 2c1 ku∗ kLp p (Ω) ≤ 2c0 |Ω| + kgk2L2 (Ω) mλ1 (2.11) 20 Hơn nữa, điều kiện sau thỏa mãn r  1  LkkkL2 (Ω)  2λ1 m − √ c0 |Ω| + kgk2L2 (Ω) − 2c3 > 0, m 2mλ1 λ1 (2.12) λ1 giá trị riêng toán tử −∆, m c3 số (2.3) (2.5), nghiệm dừng (2.1) ổn định mũ 21 KẾT LUẬN Luận văn tập trung nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình parabolic không địa phương thông qua việc nghiên cứu tập hút tồn cục, nghiệm dừng tính ổn định nghiệm dừng Luận văn đạt kết sau: Tóm tắt kiến thức sở để phục vụ cho việc nghiên cứu lớp phương trình parabolic không địa phương Chứng minh tồn nghiệm toán phương pháp xấp xỉ Galerkin Chứng minh tồn tập hút tồn cục cặp khơng gian Banach Chứng minh tồn nghiệm dừng đưa điều kiện để nghiệm dừng ổn định mũ Hướng nghiên cứu Tiếp tục nghiên cứu tính quy nghiệm, đánh giá số chiều tập hút toàn cục Nghiên cứu toán cho trường hợp tăng trưởng kiểu mũ thay cho kiểu đa thức Nghiên cứu toán cho lớp toán tử khác −Pα,β , −∆ p ,