Luận văn tập hút toàn cục đối với một lớp hệ parabolic suy biến nửa tuyến tính

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC NGUYỄN THỊ NGỌC TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI MỘT LỚP HỆ PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Cung Thế Anh THANH HÓA, NĂM 2013 MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mở đầu Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Các không gian hàm 1.2 Tập hút toàn cục Chương Sự tồn tập hút toàn cục số chiều fractal tập hút toàn cục L2 (Ω) 10 2.1 Đặt toán 10 2.2 Sự tồn tập hút toàn cục L2 (Ω) 11 2.3 Số chiều fractal tập hút toàn cục L2 (Ω) 15 Chương Một số kết trường hợp hệ gradient 20 3.1 Tập hút toàn cục L2p−2 (Ω) 20 3.2 Tập hút toàn cục S20 (Ω) 28 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình khoa học cơng bố Người cam đoan Nguyễn Thị Ngọc ii LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS TS Cung Thế Anh nhiệt tình hướng dẫn động viên cổ vũ tác giả suốt trình làm luận văn Đồng thời, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, trực tiếp giảng dạy lớp thạc sĩ Tốn khóa trường Đại học Hồng Đức, cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường Ban chủ nhiệm khoa Khoa học Tự Nhiên, Trường Đại học Hồng Đức giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu tổ Toán trường THPT Hoằng Hóa III tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xin dành tặng luận văn cho gia đình, bạn bè, người ln bên cạnh động viên, khích lệ tác giả chỗ dựa tinh thần vững cho tác giả sống, học tập, nghiên cứu MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ động lực vơ hạn chiều tốn vật lí tốn đại Một cách tiếp cận toán hệ động lực tán xạ vô hạn chiều nghiên cứu tập hút tồn cục Đó tập compact, bất biến, hút tập bị chặn chứa đựng nhiều thông tin dáng điệu tiệm cận hệ xét Điều quan tâm nghiên cứu tồn tập hút toàn cục Tiếp theo nghiên cứu tính chất quan trọng nó, số chiều, phụ thuộc liên tục vào tham số, tính trơn, Trong thập kỉ gần đây, nhiều nhà toán học nghiên cứu vấn đề thu nhiều kết lớn lý thuyết phương trình đạo hàm riêng (xem [8, 9, 12] nhiều tài liệu tham khảo khác) Tuy nhiên, kết tốt mà biết đến, kết dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình suy biến cịn Một lớp hệ phương trình suy biến nghiên cứu rộng rãi năm gần lớp phương trình liên quan tới toán tử Grushin Gs u = ∆x u + |x|2s ∆y u Toán tử giới thiệu Grushin [10] Chú ý G0 = ∆ toán tử laplace, Gs , s > 0, khơng phải elliptic miền có giao với mặt x=0 Sự tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình parabolic nửa tuyến tính chứa toán tử nghiên cứu gần hai trường hợp ôtônôm (xem [3, 4]) không ôtônôm (xem [2, 5, 7]) Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu tồn tập hút tồn cục lớp hệ Parabolic chứa toán tử Grushin ut − aGs u + f (u) + g(X) = X ∈ Ω, t > u(X, t) = X ∈ ∂Ω, t > (1) u(X, 0) = u0 (X) X ∈ Ω Ở đó, X = (x, y) ∈ Ω ⊂ RN1 ×RN2 (N1 , N2 ≥ 1), u0 ∈ (L2 (Ω))m , với u =
(u1 , u2 , , um ), a ∈ M atm (R), f (u) = f (u1 , , um ), , f m (u1 , , um )
g(X) = g (X), , g m (X) thỏa mãn: (H1) a ∈ M atm (R) thỏa mãn (a + a∗ ) ≥ βIm , β > 0; (H2) f : Rm → Rm hàm vectơ thuộc lớp C thỏa mãn: p m X f j (u)uj , p ≥ 2, (2) 1 X m m X j 2 ∂f 1 X m X m j 2 ∂f ≤ C2 (1 + |u|p−2 ) |fu0 (u)| = ∂uj i=1 j=1 − C3 |v| ≤ (fu (u)v, v) = m X m X ∂f i i=1 j=1 ∂uj (u)v j v i , (2.3) (2.4) 11 với C0 , C1 , C2 , C3 số dương Từ (2.3),tồn số dương C4 thỏa mãn |f (u)| ≤ C4 (1 + |u|p−1 ) (2.5) (H3) g ∈ L2 (RN ) = (L2 (Ω))m Bây giờ, nghiên cứu tồn tập hút toàn cục Sự tồn tập hút toàn cục L2(Ω) 2.2 Đầu tiên, định nghĩa nghiệm yếu tốn (2.1) Kí hiệu V := Lp (0, T ; Lp (Ω)) ∩ L2 (0, T ; S10 (Ω)) 0 V ∗ := L2 (0, T ; S−1 (Ω)) + Lp (0, T ; Lp (Ω)) Trong đó, 1 + = p p0 Định nghĩa 2.2.1 Giả sử T > u0 ∈ L2 (Ω) cho trước Một hàm u gọi nghiệm yếu toán (2.1) (0, T ) u ∈ V , du ∈ V ∗ , u(0) = u0 dt Z T Z Z T Z (ut , ϕ)dXdt + Ω Z TZ Z + f (u).ϕdXdt + Ω với hàm thử ϕ ∈ V   (a∇x u, ∇x ϕ) + |x|2s (a∇y u, ∇y ϕ) dXdt Ω T Z g(X).ϕdXdt = Ω (2.6) 12 du ∈ V ∗ u ∈ dt C([0, T ]; L (Ω)) (xem [4]) Điều làm cho điều kiện ban đầu Ta chứng minh u ∈ V tốn (2.1) có ý nghĩa Định lí sau thể tồn nghiệm yếu Định lí 2.2.2 [4] Giả sử (H1 ) − (H3 ) thỏa mãn Khi đó, tốn (2.1) có nghiệm yếu u thỏa mãn u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)) ∩ L2loc (0, ∞; S10 (Ω)) ∩ Lploc (0, ∞; Lp (Ω)) du ∈ L2loc (0, ∞; S−1 (Ω)) + Lploc (0, ∞; Lp (Ω)) dt Hơn nữa, ánh xạ u0 7→ u(t) liên tục L2 (Ω) thỏa mãn ku(t)k2L2 (Ω) ≤ e−βλ1 t ku(0)k2L2 (Ω) + C(1 + kgk2L2 (Ω) )(1 − e−βλ1 t ) (2.7) với λ1 giá trị riêng toán tử −Gs Ω với điều kiện biên Dirichlet Định lí 2.2.2 cho phép ta xác định nửa nhóm liên tục (phi tuyến) S(t) : u0 ∈ L2 (Ω) 7→ u(t) ∈ L2 (Ω) sinh toán (2.1) Ta chứng minh nửa nhóm S(t) có tập hút tồn cục A2 L2 (Ω) Bổ đề 2.2.3 Với điều kiện (H1 ) − (H3 ), nửa nhóm S(t) có tập hấp thụ bị chặn S10 (Ω), tức là, tồn số dương ρS10 cho với tập bị chặn B L2 (Ω), tồn số dương T1 phụ thuộc vào chuẩn L2 (Ω) cho ku(t)kS10 (Ω) ≤ ρS10 với t ≥ T1 u0 ∈ B 13 Chứng minh Từ (2.7), tồn số ρ2 > T0 > cho
ku(t)kL2 (Ω) ≤ ρ2 với t ≥ T0 ku0 kL2 (Ω) (2.8) Do đó, suy tồn tập hấp thụ bị chặn S(t) L2 (Ω) Tiếp theo, ta nhân phương trình hệ (2.1) với −Gs u lấy tích phân Ω, ta nhận 1d ku(t)k2S10 (Ω) + βkGs u(t)k2L2 (Ω) dtZ Z   2s ≤ (f (u(t)), ∆x u(t)) + |x| (f (u), ∆y u(t)) dX + (g, Gs u(t))dX Ω Ω (2.9) Khơng tính tổng quát, giả sử f (0) = Nếu không, thay f (u) fˇ(u) = f (u) − f (0) Hàm fˇ thỏa mãn điều kiện tương tự với số Ci (i = 0, 1, 2, 3, 4), |f (0)| ≤ C4 (xem R (2.5)) Chúng ta tích phân phần Ω (f (u), ∆x u(t))dX R 2s Ω |x| (f (u), ∆y u(t))dX sử dụng f (u(t))|∂Ω = 0, ta có Z Z N1 X m m X X ∂uj ∂ui ∂f i (u) dX (f (u), ∆x u(t))dX = − j ∂u ∂x ∂x k k Ω Ω k=1 i=1 j=1  Z  N1 X ∂u ∂u = − , dX fu0 (u) ∂x ∂x k k Ω k=1 Z N1 Z X ∂u dX = C3 |∇x u|2 dX ≤ C3 Ω Ω ∂xk k=1 Tương tự vậy, ta có: Z Z
2s |x| f (u), ∆y u(t) dX ≤ C3 |x|2s |∇y u|2 dX Ω Ω Vì Z Z (f (u), ∆x u(t))dX + Ω Ω
|x|2s f (u), ∆y u(t) dX ≤ C3 ku(t)k2S10 (Ω) (2.10)